Korzystne skutki działania ujemnego sprzężenia zwrotnego (zmniejszanie wrażliwości, redukcja zniekształceń i zakłóceń) występują tym wyraźniej, im większe jest wzmocnienie kβ pętli, czyli im więcej stopni wzmacniacza jest objętych sprzężeniem zwrotnym. Jednak ze wzrostem liczby stopni zwiększają się nadmiarowe przesunięcia fazy w pętli sprzężenia, przez co może zmienić się charakter sprzężenia z ujemnego na dodatnie, a w konsekwencji może również wystąpić generacja w układzie wzmacniacza.

Układ elektroniczny jest stabilny, jeśli jego odpowiedź na dowolne ograniczone w czasie pobudzenie zanika do zera, gdy t →
. W związku z tym bieguny transmitancji operatorowej k(s) układu stabilnego nie mogą leżeć w prawej półpłaszczyźnie zmiennej s.

Badanie stabilności układu ze sprzężeniem zwrotnym można sprowadzić do badania położenia biegunów transmitancji
. Wyznaczenie wartości tych biegunów jest zadaniem trudnym, a dla układów, których parametry są znane tylko z pomiarów, może być zadaniem niewykonalnym. Dlatego ważne znaczenie praktyczne mają takie metody, w których położenie biegunów jest określone na podstawie analizy lub pomiaru transmitancji w dziedzinie częstotliwości rzeczywistej ω.

Jedna z metod polega na badaniu przebiegu funkcji F(jω) = 1- k(jω)ß(jω), lub ─ co jest równoważne ─ przebiegu funkcji T(jω) = -k(jω)β(jω) (stosunku zwrotnego). Na rysunku pokazano różnice możliwe przebiegi T(jω). Z własności funkcji zmiennej zespolonej wynika następujący wniosek, znany jako kryterium Nyquista.

Im T(jω)

-1

1 Re T(jω)

2

3

Wykres funkcji stosunku zwrotnego T(jω) na płaszczyźnie zespolonej: 1-dla układu stabilnego, 2-dla układu stabilnego warunkowo, 3-dla układu niestabilnego.

Układ ze sprzężeniem zwrotnym jest stabilny, jeśli wykres biegunowy T(jω) nie obejmuje punktu (-1,0) lub (co jest równoważne) wykres biegunowy F(jω) nie obejmuje punktu (0,0).

Ograniczając się do układów skupionych i do przypadku, gdy czwórnik β jest stabilny, kryterium Nyquista można uzasadnić na podstawie następującego rozumowania:

Transmitancja k
(s) zależy od F(s) zgodnie z zależnością:

k
(s) =

jω

z

φ

δ

=
-

przy czym:

F(s) = F

a z
, p
są zerami i biegunami różnicy zwrotnej F(s). Na podstawie przebiegu funkcji F(jω) trzeba ocenić, czy istnieją zera F(s) (bieguny k
(s)) w półpłaszczyźnie zmiennej s. Niech A oznacza liczbę zer F(s) w lewej półpłaszczyźnie (LP), B-liczbę zer w prawej półpłaszcyżnie (PP), C-liczbę biegunów F(s) w LP, D-liczbę biegunów w PP. Ponieważ stopień licznika F(s) jest taki sam, jak stopień mianownika, stąd:

1) A + B = C + D = m

Gdy ω zmienia się od -
do +
, wówczas wektor
=
-
obraca się w lewo, jeżeli Re(z
) < 0. Zmiana fazy F(jω) związana z obrotem tego wektora;

Jeżeli Re(z
) > 0, wówczas
. Całkowita zmiana argumentu F(jω) przy zmianie ω w zakresie od -∞ do +∞;

Z zależności 1) wynika, że A-C=D-B, stąd:

Wielkość
wyznacza liczbę okrążeń punktu (0,0) przez wykres F(jω). Aby układ był stabilny, powinien być spełniony warunek B=0 (brak zer F(s) w PP). Ponieważ w praktyce jest interesujący przypadek, gdy układ bez sprzężenia jest stabilny, wówczas iloczyn k(s)β(s) nie ma biegunów w PP i D=0. Stąd wynika że dla stabilnego układu ze sprzężeniem zwrotnym
, tzn. wykres F(jω) nie okrąża punktu (0,0).

Weryfikację eksperymentalną kryterium stabilności najczęściej realizuje się przez pomiar wzmocnienia pętli T(jω) (modułu fazy) w dostatecznie dużym zakresie częstotliwości. Zagadnienie badania stabilności układu ze sprzężeniem zwrotnym można uprościć, jeśli jest to układ minimalnofazowy. Dla tej szerokiej klasy układów kryterium Nyquista formułuje się w postaci, w której jest potrzebne tylko badanie modułu i argumentu funkcji. Związek modułu i fazy ma postać :

Jeżeli w otoczeniu
nachylenie charakterystyki
, przedstawionej w skali logarytmicznej, jest w przybliżeniu stałe:

to ten wzór można zapisać następująco (dla φ(0)=0)

Na podstawie znanej wartości całki oznaczonej :

fazę transmitancji T(jω) dla ω=
ostatecznie wyraża się zależnością

Jeżeli w pewnym zakresie częstotliwości nachylenie charakterystyki amplitudowej
przekracza -40dB / dekadę (K<-2), to
<-π. Gdy w tym zakresie częstotliwości moduł stosunku zwrotnego jest większy od jedności, wówczas wykres biegunowy T(jω) okrąża punkt (-1,0); jest to przypadek układu niestabilnego.

Z tych rozważań wynika następujące kryterium, słuszne dla układów minimalnofazowych, a oparte na badaniu asymptotycznych charakterystyk amplitudowych stosunku zwrotnego.

Układ ze sprzężeniem zwrotnym jest stabilny, jeżeli w zakresie częstotliwości, w którym
> 0dB, asymptotyczne nachylenie charakterystyki
nie przekracza 40dB na dekadę zmiany częstotliwości (12 dB na oktawę).

Charakterystyki amplitudowe i fazowe stosunku zwrotnego T:

1-dla układu stabilnego,

2-dla układu stabilnego warunkowo,

3-dla układu niestabilnego;

3

2

1

0 ω

arg(T)

0

-π

3

-2π

1 2 ω

Na rysunku pokazano przykłady wykresów modułu T dla układów stabilnych i niestabilnych. rysunek ten jest odpowiednikiem poprzedniego w innym układzie współrzędnych.

Stosunek zwrotny T nie powinien przybierać wartości zbyt bliskich punktu (-1,0). Zmiany charakterystyk fizycznych układów z upływem czasu i pod wpływem czynników zewnętrznych mogą doprowadzić do takiego przesunięcia charakterystyki T(jω), że układ stanie się niestabilny. Dlatego jest celowe zapewnienie odpowiedniego „zapasu” stabilności, określanego odległością wykresu T(jω) od punktu krytycznego (-1,0). Odległość tę charakteryzuje się za pomocą tzw. marginesów wzmocnienia i fazy.

Stabilność układów ze sprzężeniem zwrotnym.

Opracował : Bogdan Bogacz

GR EN-21

---