Stabilność układów

automatyki

Stabilność

Stabilność

układu jest cechą polegającą na

układu jest cechą polegającą na

samoczynnym powracaniu do stanu trwałej

samoczynnym powracaniu do stanu trwałej

równowagi po ustaniu działania zakłócenia,

równowagi po ustaniu działania zakłócenia,

które wytrąciło układ z tego stanu.

które wytrąciło układ z tego stanu.

Układ jest

Układ jest

stabilny asymptotycznie

stabilny asymptotycznie

, gdy po

, gdy po

zaniku zakłócenia układ powraca do tego

zaniku zakłócenia układ powraca do tego

samego stanu równowagi co zajmowany

samego stanu równowagi co zajmowany

poprzednio.

poprzednio.

Stabilność układów

automatyki

Rodzaje stabilności:

Rodzaje stabilności:

Stabilność bezwzględna –

Stabilność bezwzględna –

odnosi się do

odnosi się do

warunków przy których układ jest stabilny lub

warunków przy których układ jest stabilny lub

nie.

nie.

Stabilność względna

Stabilność względna

– stopień stabilności

– stopień stabilności

danego układu, gdy jest już zapewniona

danego układu, gdy jest już zapewniona

stabilność.

stabilność.

Stabilność układów

automatyki

Analityczne sformułowanie warunków stabilności

Analityczne sformułowanie warunków stabilności

Należy więc zbadać rozwiązanie ogólne równania różniczkowego
jednorodnego

u

b

dt

du

b

dt

u

d

b

dt

u

d

dt

dy

dt

y

d

dt

y

d

m

m

m

m

m

n

n

n

n

0

1

1

1

1

m

0

1

1

1

1

-

n

n

...

b

y

a

+

a

+

...

+

a

a























0

y

a

+

a

+

...

+

a

a

0

1

1

1

1

-

n

n









dt

dy

dt

y

d

dt

y

d

n

n

n

n

Rozwiązanie jest suma dwóch rozwiązań:

Rozwiązanie jest suma dwóch rozwiązań:

Ogólnego y

Ogólnego y

0

0

(t)

(t)

Szczególnego y

Szczególnego y

s

s

(t)

(t)

Układ będzie stabilny gdy

Układ będzie stabilny gdy

0

)

(

lim

0







t

y

t

0

a

+

a

+

...

+

a

a

0

1

1

1

-

n

n







s

s

s

n

n

Równanie
charakterystyczne

Stabilność układów

automatyki

Pierwiastki równania charakterystycznego mogą przybierać

Pierwiastki równania charakterystycznego mogą przybierać

wartości: zerowe, rzeczywiste dodatnie lub ujemne, zespolone z

wartości: zerowe, rzeczywiste dodatnie lub ujemne, zespolone z

częścią rzeczywistą dodatnią, zerową lub ujemną

częścią rzeczywistą dodatnią, zerową lub ujemną

)

10

2

)(

1

(

4

10

G(s)

)

4

)(

1

(

20

G(s)

)

4

)(

1

(

)

1

(

20

G(s)

)

3

2

)(

1

(

)

4

(

20

G(s)

)

3

)(

2

)(

1

(

)

4

(

20

G(s)

2

2

2

2

2













































s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

Układ stabilny

Układ niestabilny z
powodu bieguna s=1

Układ na granicy
stabilności z powodu
biegunów w s=+/-j2

Układ niestabilny z
powodu biegunów
wielokrotnych w s=+/-
j2

Układ niestabilny z
powodu biegunów w
s=1+/-j3

Stabilność układów

automatyki

Kryteria stabilności układów liniowych

Kryteria stabilności układów liniowych

Kryterium stabilności nazywamy twierdzenia które

Kryterium stabilności nazywamy twierdzenia które

bez rozwiązywania równania charakterystycznego

bez rozwiązywania równania charakterystycznego

rozstrzygają problem stabilności.

rozstrzygają problem stabilności.

Rozpatrujemy dwie grupy kryteriów stabilności:

Rozpatrujemy dwie grupy kryteriów stabilności:

a) kryterium analityczne

a) kryterium analityczne

-

kryterium Hurwitza

kryterium Hurwitza

-

kryterium Routha

kryterium Routha

b) kryterium graficzne

b) kryterium graficzne

-

kryterium Nyquista

kryterium Nyquista

-

kryterium Michajłowa

kryterium Michajłowa

Stabilność układów

automatyki

Kryteria

Kryteria

Hurwitza

Hurwitza

i

i

Routha

Routha

są

metodami

są

metodami

algebraicznymi

dostarczającymi

informacji

o

algebraicznymi

dostarczającymi

informacji

o

stabilności absolutnej liniowych układów ciągłych.

stabilności absolutnej liniowych układów ciągłych.

Kryteria te sprawdzają czy są pierwiastki równania

Kryteria te sprawdzają czy są pierwiastki równania

charakterystycznego, które znajdują się w prawej

charakterystycznego, które znajdują się w prawej

półpłaszczyźnie.

półpłaszczyźnie.

Kryterium

Kryterium

Nyquista

Nyquista

jest metodą graficzną dająca

jest metodą graficzną dająca

informację o różnicy pomiędzy liczba biegunów i zer

informację o różnicy pomiędzy liczba biegunów i zer

transmitancji układu zamkniętego które są w prawej

transmitancji układu zamkniętego które są w prawej

półpłaszczyźnie.

półpłaszczyźnie.

Kryterium

Kryterium

Michajłowa

Michajłowa

służy do oceny stabilności

służy do oceny stabilności

układu liniowego jednowymiarowego, a właściwie do

układu liniowego jednowymiarowego, a właściwie do

uzyskania metoda graficzną odpowiedzi na pytanie:

uzyskania metoda graficzną odpowiedzi na pytanie:

ile pierwiastków równania charakterystycznego leży

ile pierwiastków równania charakterystycznego leży

w prawej półpłaszczyźnie.

w prawej półpłaszczyźnie.

Stabilność układów

automatyki

Kryterium Hurwitza

Kryterium Hurwitza

Układ liniowy jest stabilny, jeżeli współczynniki (a

Układ liniowy jest stabilny, jeżeli współczynniki (a

0

0

, a

, a

1

1

, a

, a

n

n

) wielomianu

) wielomianu

charakterystycznego (równania charakterystycznego ) są jednakowych

charakterystycznego (równania charakterystycznego ) są jednakowych

znaków i są różne od zera.

znaków i są różne od zera.

2

3

3

2

3







s

s

s

1

2

2

3







s

s

s

--układ
niestabilny

--układ stabilny

0

1

1

1

a

s

a

s

a

s

a

n

n

n

n















0

det 



H

H

n

Układ liniowy o wielomianie charakterystycznym o postaci
jest stabilny asymptotycznie jeżeli wszystkie kolejne minory główne
macierzy Hurwitza
są dodatnie, tzn. jest spełniony warunek

.

0

1

1







n

a

H

















































0

3

1

4

2

5

3

1

0

0

0

0

0

a

a

a

a

a

a

a

a

a

H

n

n

n

n

n

n

n

n

n























0

0

0

3

1

4

2

5

3

1

3

2

3

1

2





























n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

H

a

a

a

a

H

Kryterium Hurwitza- przykład

Kryterium Hurwitza- przykład

Zbadać stabilność układu zamkniętego, jeżeli transmitancja układu otwartego

K(s) wynosi:

K(s)

-

1

3

1

)

(

2

3









s

s

s

s

K

2

3

1

)

(

1

)

(

)

(

2

3













s

s

s

s

k

s

k

s

G

0

1

0

3

0

1

0

2

3

2

1

0

















a

a

a

a























2

3

0

0

1

1

0

2

3

H

0

1

1

1

2

3

1

1

2

3

det

)

det(

2





















H

0

2

2

3

0

0

1

1

0

2

3

det

)

det(

3



























H

















































0

3

1

4

2

5

3

1

0

0

0

0

0

a

a

a

a

a

a

a

a

a

H

n

n

n

n

n

n

n

n

n























0

1

1

1

a

s

a

s

a

s

a

n

n

n

n















Stabilność układów

automatyki

Kryterium Routha

Kryterium Routha

Przy użyciu kryterium Rutha możliwe jest również określenie liczby

Przy użyciu kryterium Rutha możliwe jest również określenie liczby

pierwiastków znajdujących się na osi urojonej i w prawej

pierwiastków znajdujących się na osi urojonej i w prawej

półpłaszczyźnie.

półpłaszczyźnie.

Warunek konieczny stabilności:

Warunek konieczny stabilności:

1.

1.

Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego musza mieć

Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego musza mieć

ten sam znak

ten sam znak

2.

2.

Żadnego ze współczynników nie może brakować

Żadnego ze współczynników nie może brakować

Warunek konieczny i wystarczający stabilności:

Warunek konieczny i wystarczający stabilności:

Wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego znajdują się w

Wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego znajdują się w

lewej półpłaszczyźnie jeśli wszystkie elementy pierwszej kolumny

lewej półpłaszczyźnie jeśli wszystkie elementy pierwszej kolumny

tablicy Routha maja ten sam znak. Liczba zmian znaków w elementach

tablicy Routha maja ten sam znak. Liczba zmian znaków w elementach

pierwszej kolumny równa jest liczbie pierwiastków w prawej

pierwszej kolumny równa jest liczbie pierwiastków w prawej

półpłaszczyźnie.

półpłaszczyźnie.

Stabilność układów

automatyki

Kryterium Routha

Kryterium Routha

Tablica Routha

Tablica Routha

0

1

1

1

a

s

a

s

a

s

a

n

n

n

n



















7

5

3

1

6

4

2















n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

0

7

5

3

6

4

2

7

5

3

1

6

4

2

0

3

2

1

a

c

c

c

b

b

b

a

a

a

a

a

a

a

a

s

s

s

s

s

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n









































1

3

1

2

2















n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

b

1

5

1

4

4















n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

b

1

7

1

6

6















n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

b

2

4

2

3

1

3

















n

n

n

n

n

n

b

b

b

a

a

c

2

6

2

5

1

5

















n

n

n

n

n

n

b

b

b

a

a

c

………..

Przypadki szczególne tablicy Routha

1.Pierwszy element w pewnym wierszu tablicy Routha jest zerowy,
lecz nie wszystkie współczynniki sa równe zero
2.Wszystkie elementy pewnego wiersza tablicy Routha sa zerowe.

Kryterium Routha- przykład

Kryterium Routha- przykład

Zbadać stabilność układu zamkniętego, jeżeli transmitancja układu otwartego

K(s) wynosi:

K(s)

-

1

3

1

)

(

2

3









s

s

s

s

K

2

3

1

)

(

1

)

(

)

(

2

3













s

s

s

s

k

s

k

s

G

2

3

2

3







s

s

s

2

3

1

1

2

3

1

2

3

1

1

0

1

2

3

s

s

s

s

3

1

3

2

3

1

1

1







b

0

1

0

3

0

1

0

2

3

2

1

0

















a

a

a

a

Stabilność układów

automatyki

Kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista

Kryterium to ma bardzo duże znaczenie praktyczne ponieważ pozwala

Kryterium to ma bardzo duże znaczenie praktyczne ponieważ pozwala

rozstrzygnąć problem stabilności układu zamkniętego na podstawie

rozstrzygnąć problem stabilności układu zamkniętego na podstawie

charakterystyki amplitudowo- fazowej układu otwartego, którą można

charakterystyki amplitudowo- fazowej układu otwartego, którą można

uzyskać na drodze doświadczalnej. Umożliwia ono badanie stabilności

uzyskać na drodze doświadczalnej. Umożliwia ono badanie stabilności

układu zamkniętego, nawet w przypadku nieznajomości opisu

układu zamkniętego, nawet w przypadku nieznajomości opisu

matematycznego niektórych członów układu. W takich przypadkach

matematycznego niektórych członów układu. W takich przypadkach

eksperymentalnie określa się charakterystyki amplitudowo-fazowe

eksperymentalnie określa się charakterystyki amplitudowo-fazowe

oddzielnych członów, a następnie charakterystyki amplitudowo-fazowe

oddzielnych członów, a następnie charakterystyki amplitudowo-fazowe

układu otwartego.

układu otwartego.

.

Stabilność układów

automatyki

.

Warunki stabilności:

1)Jeżeli układ otwarty jest stabilny

To układ zamknięty jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy,
gdy charakterystyka amplitudowo- fazowa G(jw.) dla pulsacji
0<w<nieskończoności układu otwartego nie obejmuje punktu (-1,j0).

2)Jeżeli układ otwarty jest niestabilny i posiada m pierwiastków w
prawej półpłaszczyźnie zmiennej s

To układ zamknięty jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy gdy
charakterystyka amplitudowo- fazowa G(jw.) dla pulsacji
0<w<nieskończoności układu otwartego okrąża m/2 razy punkt (-1,j0) w
kierunku dodatnim (przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Stabilność układów

automatyki

Kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista

.

Stabilność układów

automatyki

Kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista

.

Stabilność układów

automatyki

Definicja stabilności w sensie Lapunova

Definicja stabilności w sensie Lapunova

η

ε

x=0

x

1

x

2

-------stabilny
asymptotycznie
stabilny
…….niestabilny

x=
0

ε

η