WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI

INSTYTUT AUTOMATYKI I INFORMATYKI

KIERUNEK AUTOMATYKA I ROBOTYKA

STUDIA STACJONARNE I STOPNIA

PRZEDMIOT : LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI

ĆW nr 6

TEMAT: Badanie stabilności układów na podstawie kryterium Nyquista. Zapas fazy i wzmocnienia

NAZWISKO: DĄBEK IMIĘ: DOMINIKA

TERMIN WYKONANIA: 28-04-2011 TERMIN ODDANIA: 05-05-2011

Prowadzący:

Dr inż. Grzegorz Bialic

1. STABILNOŚĆ.

Kryterium Nyquista opiera się na badaniu charakterystyki amplitudowo-fazowej otwartego układu automatyki, która pozwala sądzić, czy układ zamknięty jest stabilny czy też niestabilny.

Zad.1

Zbadać stabilność układu:

1. $G\left( s \right) = \frac{k}{s^{3} + 3s^{2} + s + 1}$

Kod:

clear all % czyszczenie pamięci roboczej

close all % zamykania otwartych okien graficznych

liczG=[0,0,0,1];

mianG=[1,3,1,1];

rG = roots(mianG)

% pierwiastki układu otwartego:

% rG = -2.7693

% -0.1154 + 0.5897i

% -0.1154 - 0.5897i

obiektG = tf(liczG,mianG); % obiekt A

obiektZ = feedback(obiektG, 1) % obiekt zamknięty

[liczZ, mianZ] = tfdata(obiektZ,'v');

rZ_A = roots(mianZ)

% pierwiastki układu zamkniętego:

% rZ_A = -2.8933

% -0.0534 + 0.8297i

% -0.0534 - 0.8297i

figure(1)

hold on;

[Re,Im] = nyquist(liczG, mianG) % charakterystyka Nyquista

plot(Re,Im)

plot(rG,'b+')

plot(rZ_A,'g*')

point=complex(-1,0);

plot(point,'ro','MarkerFaceColor','r')

V=axis;

plot(floor(V(1)):ceil(V(2)),zeros(length(floor(V(1)):ceil(V(2)))),'k:');

plot(zeros(length(floor(V(3)):ceil(V(4)))),floor(V(3)):ceil(V(4)),'k:');

legend ('Charakterystyka Nyquista', 'Pierwiastki ukl. otwartego', 'Pierwiastki ukl. zamknietego') % legenda

title ('Nyquist diagram') % tytuł

xlabel ('Real') % opis osi X

ylabel ('Imaginary') % opis osi Y

Układ ten jest stabilny, ponieważ pierwiastki nie posiadają dodatnich części rzeczywistych, a punkt (-1,j0) znajduje się po lewej stronie od charakterystyki Nyquista.

1. $G\left( s \right) = \frac{k}{{2s}^{3} + 3s^{2} + s + 1}$

Kod:

clear all % czyszczenie pamięci roboczej

close all % zamykania otwartych okien graficznych

liczG=[0,0,0,1];

mianG=[2,3,1,1];

rG = roots(mianG)

% pierwiastki układu otwartego:

% rG = -1.3982

% -0.0509 + 0.5958i

% -0.0509 - 0.5958i

obiektG = tf(liczG,mianG); % obiekt A

obiektZ = feedback(obiektG, 1) % obiekt zamknięty

[liczZ, mianZ] = tfdata(obiektZ,'v');

rZ_A = roots(mianZ)

% pierwiastki układu zamkniętego:

% rZ_A = -1.5832

% 0.0416 + 0.7937i

% 0.0416 - 0.7937i

figure(1)

hold on;

[Re,Im] = nyquist(liczG, mianG) % charakterystyka Nyquista

plot(Re,Im)

plot(rG,'b+')

plot(rZ_A,'g*')

point=complex(-1,0);

plot(point,'ro','MarkerFaceColor','r')

V=axis;

plot(floor(V(1)):ceil(V(2)),zeros(length(floor(V(1)):ceil(V(2)))),'k:');

plot(zeros(length(floor(V(3)):ceil(V(4)))),floor(V(3)):ceil(V(4)),'k:');

legend ('Charakterystyka Nyquista', 'Pierwiastki ukl. otwartego', 'Pierwiastki ukl. zamknietego') % legenda

title ('Nyquist diagram') % tytuł

xlabel ('Real') % opis osi X

ylabel ('Imaginary') % opis osi Y

Tak jak poprzednio układ nie posiada dodatnich części rzeczywistych pierwiastków układu otwartego. Jednakże jest on niestabilny, ponieważ charakterystyka amplitudowo-fazowa okrąża punkt (-1,j0) jeden raz.

Zad.2

$G\left( s \right) = \frac{s + 1}{{0.01s}^{4} + {0.5s}^{3} + 3s^{2} - 10s + 10}$ dla K={50,125,200}

Kod:

clear all % czyszczenie pamięci roboczej

close all % zamykania otwartych okien graficznych

for i=1:3

K=[50,125,200]

liczG=K(i)*[0 0 0 1 1]

mianG=[0.01 0.5 3 -10 10]

rG = roots(mianG)

obiektG = tf(liczG,mianG)

obiektZ = feedback(obiektG, 1)

[liczZ, mianZ] = tfdata(obiektZ,'v')

rZ_A = roots(mianZ)

figure(i);

hold on;

[Re,Im] = nyquist(liczG, mianG)

plot(Re,Im)

plot(rG,'b+')

plot(rZ_A,'g*')

point=complex(-1,0);

plot(point,'ro','MarkerFaceColor','r')

V=axis;

plot(floor(V(1)):ceil(V(2)),zeros(length(floor(V(1)):ceil(V(2)))),'k:');

plot(zeros(length(floor(V(3)):ceil(V(4)))),floor(V(3)):ceil(V(4)),'k:');

legend('Charakterystyka Nyquista','Pierwiastki ukl. otwartego','Pierwiastki ukl. zamknietego');

title ('Nyquist diagram')

xlabel ('Real')

ylabel ('Imaginary')

hold off;

figure(i+3);

step(liczZ,mianZ);

end

K=50

K=125

K=200

Układy o wzmocnieniu k=50 oraz k=125 są stabilne, gdyż charakterystyka amplitudowo-fazowa okrąża punkt (-1,j0). Układ ze wzmocnieniem k=200 jest niestabilny, ponieważ wykres Nyquista nie okrąża punktu (-1,j0).

1. ZAPAS FAZY I WZMOCNIENIA.

Stabilność względna systemu jest określana przez parametry takie jak zapas wzmocnienia i zapas fazy, które pozwalają na określenie „jak daleko” system znajduje się od granicy stabilności wyznaczonej przez kryterium Nyquista.

Zad.3

$G\left( s \right) = \frac{k}{{(s + 1)}^{3}}$

1. zapas fazy wynosi 45°

Kod:

function e = faza(k)

Zp=45; % zadany zapas fazy

[licz,mian] = zp2tf([],[-1 -1 -1],k);

[Gm, Pm] = margin(licz,mian);

e=abs(Pm-Zp); % błąd

margin(licz,mian);

[Re,Im]=nyquist(licz,mian);

plot(Re,Im);

end

%wynik_Kp =

%

% 2.8284

%

%

%blad_Kp =

%

% 6.1803e-005

------------------------------------------------------------------------

clear all

close all

figure

[wynik_Kp,blad_Kp]=fminsearch(@faza,1)

------------------------------------------------------------------------

1. zapas wzmocnienia wynosi 6[dB]

Kod:

function e = wzmocnienie(k)

zw=6;

[licz,mian]=zp2tf([],[-1 -1 -1],k);

[Gm, Pm]=margin(licz,mian);

Gm_dB=20*log10(Gm);

e=abs(Gm_dB-zw); % bład

margin(licz,mian);

[Re,Im]=Nyquist(licz,mian);

plot(Re,Im);

end

%wynik_Kp2 =

%

% 4.0101

%

%

%blad_Kp2 =

%

% 1.4024e-005

--------------------------------------------------------------------------

clear all

close all

figure

[wynik_Kp2,blad_Kp2]=fminsearch(@wzmocnienie,1)

W pierwszym przypadku, gdy zapas fazy wynosi 45˚, zapas wzmocnienia 9.03dB , wzmocnienie wynosi 2.8284, błąd równa się 6.1803e-005.

W drugim przypadku, gdy zapas wzmocnienia wynosi 6dB, zapas fazy 27˚, wzmocnienie wynosi 4.0101, błąd równa się 1.4024e-005.