Mechanika płynów Wykład nr 1

Cykl wykładów z „Mechaniki płynów” ma za zadanie zaznajomić studenta z podstawowymi zasadami i równaniami mechaniki płynów (w tym i hydrauliki): koncepcja płynu jako ośrodka ciągłego, równaniami: ciągłości, pędu i energii. W czasie wykładów i zajęć student zapozna się z podstawowymi rodzajami przepływów: laminarny, przejściowy i turbulentny. Ponadto zapozna się z podstawowymi zjawiskami przepływowymi w inżynierii środowiska: filtracja, sedymentacja, odpylanie i napowietrzanie cieczy.

Podręczniki

1 .Z. Orzechowski, J. Prywer, R. Zarzycki, Mechanika płynów w inżynierii środowiska, WNT, Warszawa,

2. Ryszard Gryboś, Podstawy mechaniki płynów, PWN, Warszawa, 1989

3. Włodzimierz Prosnak, Mechanika płynów, PWN, Warszawa, 1970

4. Jerzy Bukowski, Piotr Kijkowski, Kurs mechaniki płynów, PWN, Warszawa

5. Romuald Puzyrewski, Jerzy Sawicki, Podstawy mechaniki płynów i hydrauliki, PWN, Warszawa, 1998

2. Kazimierz Rup, Mechanika płynów w środowisku naturalnym

Zbiory zadań

1 . Z. Orzechowski, J. Prywer, R. Zarzycki, Zadania z mechaniki płynów w inzynierii środowiska, WNT, Warszawa, 2001

2. Ryszard Gryboś, Zbióó zadań z technicznej mechaniki płynów, PWN Warszawa, 2002

2. Tomasz Nałęcz, Zbiór zadań z mechaniki płynów

Przedmiot mechaniki płynów

Zjawiska ruchu i równowagi płynów z uwzględnieniem oddziaływania płynu na ścianki naczyń i ciał stałych ograniczających płyn

mechanika płynów

- mechaniczne (dynamiczne) - siły w płynie, bądź na ściankach naczyń

-  kinematyczne - prędkość ruchu płynu, przyspieszenie, tory ruchu

- termodynamiczne - pole temperatur płynu + wymiana ciepła w płynie

- przepływy z reakcjami chemicznymi - spalanie

- przepływy z reakcjami fizycznymi - jonizacja gazów

 

Podział mechaniki płynów

       - teoretyczna, - doświadczalna, - numeryczna

 

Przedmiot mechaniki płynów

Zagadnienia mechaniki płynów występują powszechnie w przyrodzie i w technice

Zjawiska zachodzące w przyrodzie:

- ruch wody: oceany, morza, zbiorniki wodne
-krążenie wody w terenie opady deszczu, przepływ wody w rzekach, ruch wód gruntowych
Technika:
- produkcja energii w turbinach wodnych, parowych i gazowych
- maszyny robocze tłoczenie powietrza i wody odpowiednio: sprężarki i pompy
w inżynierii środowiska
- wentylacja i klimatyzacja
- wodociągi i kanalizacje
- ogrzewanie
-odpylanie, filtrowanie powietrza i wody
- oczyszczanie ścieków

- ruch wilgoci w murach

Podział płynów

Płyny - w odróżnieniu od ciał stałych zmieniają swój kształt pod działaniem dostatecznie małych sił mechanicznych

 

- ciecze ρ=const

- gazy ρ = var

 

kryterium - zmiana objętości

 

ciecze - płyny zachowujące niemal stałą objętość pod działaniem bardzo wielkich sił mechanicznych i przy dostatecznie małych zmianach temperatury

gazy - płyny znacznie zmieniające swą objętość pod wpływem ciśnienia i temperatury

podział na ciecze i gazy nieostry dla tzw. warunków krytycznych

 

Podział płynów

Różnice termodynamiczne ciecz i gaz 

䦋㌌㏒㧀좈໱琰茞ᓀ㵂Ü	ciecz	gaz
gęstość	ρ=const	ρ=p/RT gaz doskonały
Energia wewnętrzna	e = const	e~T
Wykładnik izentropy	k=∞	k= const (1.3, 1.44)
Powierzchnia swobodna	Tak	Nie

Ciągłość płynu

W mechanice płynów podobnie jak w teorii sprężystości i plastyczności ciał stałych płyn rzeczywisty zastępuje się modelem płynu uproszczonym przez wyeliminowanie struktury cząsteczkowej i nieuporządkowanego ruchu cząsteczek

 Model teoretyczny płynu jest ośrodkiem (ciałem) ciągłym tj. tworzy tzw. kontinuum materialne

Płyn jest materią ciągłą wypełniającą przestrzeń w sposób doskonale ciągły.

Uproszczenie to jest dopuszczalne - przestrzeń zajęta przez płyn jest nieskończenie wielka w stosunku do wymiarów cząsteczek, zaś wielkości parametrów charakteryzujące ruch płynu przedstawiają wartości przeciętne (średnie)

 Element płynu - myślowo wyodrębniona część masy płynu o wymiarach nieskończenie małych w porównaniu do wymiarów masy bedącej w ruchu albo do wymiarów ciał poruszających się w płynie., a równocześnie dostatecznie duzych w porównaniu z wymiarem drogi swobodnej cząsteczki

Ciągłość płynu

Liczba Knudsena:

λ- średnia droga swobodna molekuł gazu

tj. droga między dwoma kolejnymi zderzeniami molekuł np.

dla powietrza λ=0.06 μm w warunkach normalnych tj. temperaturze 0ºC

i ciśnieniu 0.1 Mpa, na wysokości 200 km średnia droga swobodna wynosi λ=18 m.

L - wymiar liniowy zbiornika lub opływanego ciała

 

Dla Kn <0.1 można nie uwzględniać molekularnej struktury gazu i

traktować gaz jako ośrodek ciągły

V=1 μm3 zawiera 2.7 *10⁶ molekuł

Skalary, wektory i tensory

Mechanika

 

Wielkości skalarne (ciśnienie potencjał, temperatura)

Wielkości wektorowe (prędkość, siła)

Wielkości tensorowe ( naprężenie, gradient prędkości)

Pole skalarne, wektorowe i tensorowe

 

Dział matematyki potrzebny do analizy zagadnień mechaniki płynów

Analiza wektorowa i tensorowa

 

Siły działające na płyn

 

Siły wewnętrzne - wzajemne oddziaływanie elementów mas wewnątrz

obszaru napełnionego płynem, są to siły powierzchniowe

 

Siły zewnętrzne - działanie mas nie należących do wydzielonego

układu (obszaru) wypełnionego płynem

 

Siły masowe

Siły powierzchniowe

 

Siły masowe

działające na odległość działają na wszystkie elementy obszaru płynnego np. siła ciężkości są to proporcjonalne do masy elementu dm, na który działają

wektor F - współczynnik proporcjonalności ma wymiar przyspieszenia

dla siły ciężkości - wektor przyspieszenia ziemskiego g

Siły powierzchniowe

Bezpośrednio przyłożone do powierzchni obejmującej wydzieloną część ośrodka

Reakcje hydro- aerodynamiczne między płynem

a poruszającym się w nim ciałem stałym

 

Δp' - główny wektor sił działających na element powierzchni o polu ΔS

w punkcie M na powierzchni S

Obliczmy

jednostkowa siła powierzchniowa

lub naprężenie sił powierzchniowych

  Wektor siły powierzchniowej P= pdS iloczyn wektora naprężeń przez

pole elementu powierzchniowego

Różnice pomiędzy silą masową i powierzchniową

F - siła masowa = f(x,y,z,t) jednoznaczna funkcja przestrzeni i czasu, pole wektorowe

 

p - naprężenie wewnętrzne przybiera w każdym punkcie ośrodka nieskończenie wiele wartości w zależności od kierunku elementu powierzchniowego w danym punkcie w którym przyłożona jest siła jednostkowa

 

p - funkcja wektora promienia R i wektora n normalnej do elementu powierzchniowego obejmującego ten punkt. Ze zmianą położenie punktu i zmianą kierunku normalnej n ulega zmianie naprężenie p, jego wartość liczbowa i kierunek.

Siła ciśnieniowa - Parcie

Całkowita siła normalna na skończona powierzchnię S

całkowita siła styczna

Pole sił powierzchniowych jest polem tensorowym

podczas ruch płynu nielepkiego lub dla cieczy w spoczynku jednostkowa siła powierzchniowa

pn=-np.

 

dla całej powierzchni

Klasyfikacja pól

- skalarne

-   wektorowe

-    tensorowe

 Pole - obszar w mechanice płynów, w którym wielkość fizykalna jest ciągła funkcją punktu

 

pole ustalone lub stacjonarne

pole nieustalone ( niestacjonarne)

H nie zależy od współrzędnych x,y,z - pole jednorodne

H zależy od współrzędnych x, y, z - pole niejednorodne

H=H(x,y,z) - pole przestrzenne

pole płaskie (dwuwymiarowe)

gdy H(s,t) - zależy tylko od jednej współrzędnej - pole jednowymiarowe

Modele płynów

korzysta się z nich przy rozważaniach problemów mechaniki płynów

 1)  Płyn doskonały - nieściśliwy i nielepki

2) Płyn nieściśliwy i lepki - ciecz rzeczywista oraz gaz przy małych prędkościach

3)   Płyn ściśliwy i nielepki - gaz doskonały

4)   Płyn ściśliwy i lepki - gaz rzeczywisty

Model ośrodka ciągłego

 

Makroskopowe własności ośrodka ciągłego jako ciągłe funkcje

przestrzeni i czasu

 

Np. ciśnienie p=p(t,x,y,z)

Prędkość V=V(t,x,y,z), temperatura T=T(t,x,y,z)

Daje to możliwość zastosowania ogólnych twierdzeń teorii pola,

tj. mówimy pole ciśnienia,

pole temperatury, pole prędkości, pole gęstości

 

Parametry te są dostrzegalne przez zmysły człowieka i mierzalne w drodze

pomiarów, mimo to wynikają one z mikrostruktury materii.

Jest to tzw. fenomenologiczny sposób opisu zjawisk zachodzących

między molekułami

Gęstość płynu

Gęstość płynu

przy Δτ→0, ale zawiera wciąż punkt A,

granicę tę nazywamy gęstością płynu w punkcie A(x,y,z).

Gęstość ρ jest skalarem

Objętość Δτ - Δm masa zawarta w tej objętości

 

Wykład II

Plan wykładu

Parametry opisujące stan płynu,

Parametry zależne od struktury materii

Elementarna kinetyczna teoria gazów

Rozmiary cząsteczek (oszacowanie)

Ciepło parowania,

Napięcie powierzchniowe

Średnica cząstki wody,

średnia droga swobodna,

Zjawiska transportu

Dyfuzja

Przewodzenie ciepła (energia wewnętrzna)

Parametry gazów zależne od struktury molekuły

Zależności pomiędzy podstawowymi parametrami płynu

Prawa gazowe

Gazy rzeczywiste

Zależności dla cieczy

Moduł sprężystości (ściśliwości)

Prędkość dźwięku dla gazu

Parametry opisujące stan płynu

Prędkość u ciśnienie p

Gęstość ρ temperatura T

Te parametry opisują stan płynu w punkcie ( w elemencie)

 

Parametry opisujące właściwości transportu wywołane chaotycznym ruchem molekuł

 

Dynamiczny współczynnik lepkości μ transport pędu

Współczynnik dyfuzji D transport masy

Współczynnik przewodnictwa cieplnego λ transport ciepła (energii)

Parametry zależne od struktury materii

 

Ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu cp

Ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu cv

Ciepło właściwe dla cieczy cp=cv=c

Wykładnik izentropy κ=cp/cv

 

Elementarna kinetyczna teoria gazów

Niech w 1 m3 gazu znajduje się n cząsteczek

1/3 z nich niech porusza się równolegle do jednej osi x, y, z

wzdłuż dodatniego kierunku tej osi tylko 1/2 , a zatem ½ n/3= n/6

jeżeli cząstka ma prędkość c, to wszystkie cząstki zawarte w sześcianie o długości c i polu 1 m2 uderzą w ciągu 1 sek o powierzchnię ścianki naczynia , liczba cząstek nc/6 uderza o ściankę , po odbiciu od ścianki ma pęd -mc, a zatem zmiana pędu Δp=2mc

zatem siła bombardowania ścianki

 

Elementarna kinetyczna teoria gazów

jest to nic innego jak elementarne wyprowadzenie wzoru na ciśnienie na podstawie najprostszej kinetycznej teorii gazów

Wyznaczmy prędkość cząsteczek powietrza:

dla powietrza p=105 Pa, ρ=1.29 kg/m3

 Prędkość cząstek (molekuł) gazu z powyższego wzoru można wyznaczyć

(Równa prędkości kuli karabinowej)

Poczyniono tu jednak niesłuszne założenie, że prędkość cząstek jest stała,

w rzeczywistości jest pewien rozkład prędkości zwany rozkładem Maxwella

Elementarna kinetyczna teoria gazów

Rozkład Maxwella

skąd dalej średnia prędkość cząsteczek

k- stała Boltzmana , R - stała gazowa dla jednego mola gazu,

N-liczba Avogadro

Rozmiary cząsteczek (oszacowanie)

Założenia

-   zasięg oddziaływania między dwiema cząsteczkami wynosi d

-   siła przyciągania ma stałą wartość f, jeżeli odległość jest mniejsza od d, a równa się zeru gdy L>d

ciepło parowania

 

w procesie parowania cieczy cząstka musi pokonać przyciąganie

cząsteczkowe na drodze 2d wykonuje więc pracę

zatem praca jednostkowa na 1g wynosi

 

m - masa cząsteczki

Napięcie powierzchniowe

szukamy wartości pracy wykonanej przy przenoszenia

czątsteczek z wnętrza cieczy dla wytworzenia 1 cm2

nowej powierzchni swobodnej na odległości L>d f=0

zaś dla L<d f = const

aby powiększyć swobodna powierzchnię cieczy o 1 cm2 musimy przenieść z

głębi cieczy na powierzchnię n cząstek

 

ponadto każda cząsteczka pokonuje przy tym siłe f na drodze d/2

a zatem praca potrzebna do wyniesienia jednej cząstki na powierzchnię

zaś praca na utworzenie 1 cm2 powierzchni wynosi

średnia droga swobodna (oszacowanie)

walec o promieniu r, cząstka zderzy się z drugą cząstka o ile znajdzie się w tym walcu o objętości V

jeśli n cząsteczek w 1cm3 to ilość zderzeń

Walec wymiatany przez

cząsteczkę w czasie ruchu

średnia droga swobodna jako średnia droga pomiędzy zderzeniami, ale liczba zderzeń to

średnia droga swobodna

a zatem średnia droga swobodna l

 

( dla rozkładu Maxwella )

 

aby wyznaczyć, średnią drogę swobodna musimy znać wartości n i r

średnia droga swobodna

Wiemy, że w warunkach normalnych 1 mol gazu zajmuje objętość 22.4 l i zawiera N =2*1024 cząsteczek gazu

a zatem ilość cząsteczek w 1 cm3 wynosi na 1 cm3

 

skąd średnia droga swobodna w gazach w warunkach normalnych

Zjawiska transportu

 

Lepkość gazu - obecność gradientu prędkości,

ruch postępowy warstw gazu względem siebie

U równoległość, U<<c

Zjawiska transportu

pęd przenoszony przez 1 cm2 płaszczyzny A w ciągu jednej sek

naprężenia styczne

dynamiczny współczynnik lepkości

 

 

 

n λ- stałe i niezależne od ciśnienia, lepkość nie zależy od ciśnienia i gęstości

( naprawdę zależy, ale w niewielkim stopniu)

Dyfuzja

Obecność gradientu gęstości 

ilość cząsteczek przenoszonych z płaszczyzny B i C do pł.A

współczynnik dyfuzji [m2/s]

 znak minus oznacza, że przepływ następuje z obszarów o większej koncentracji do obszarów o mniejszej koncentracji.

Przewodzenie ciepła (energia wewnętrzna)

Obecność gradientu temperatury

e=cvT, cv ciepło właściwe przy stałej objętości

 przyrost energii wewnętrznej

Współczynnik przewodności k ściśle związany z lepkością dynamiczną,

k- współczynnik przewodnictwa cieplnego, μ- współczynnik lepkości dynamicznej

Parametry gazów zależne od struktury molekuły

Z kinetycznej teorii gazów

Zasada ekwipartycji energii

skąd

gdzie k - stała Boltzmana, R- stała gazowa,

N - liczba Avogadro

średnia energia na trzy stopnie swobody dla ruchu translacyjnego

gaz jednoatomowy posiada trzy stopnie swobody

Parametry gazów zależne od struktury molekuły

suma energii kinetycznej na jeden mol

 

czyli ciepła właściwe przy stałej objętości

f-ilość stopni swobody

 

dla gazu jednoatomowego f=3 cv = 3fNk/2=12.5 kJ/(kmol deg)

dla gazu dwuatomowego f=5 cv = 5fNk/2=20.8 kJ/(kmol deg)

ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu

 cv = (f+2)Nk/2=12.5 kJ/(kmol deg) κ=1.66 f=3 gaz jednoatomowy

κ=1.4 f=5 gaz dwuatomowy

κ=1.33 f=6 powietrze

 κ=cp/cv=(f+2)/f κ - wykładnik izentropy

Zależności pomiędzy podstawowymi parametrami płynu

Dla gazów doskonałych, f(T, p, ρ)=0 równanie stanu (równanie termiczne)

 

Formy tego równania

gdzie R= 8, 314 kJ/kg deg, R - uniwersalna stała gazowa

V- objętość i masa gazu

m - masa gazu o objętości V

T - temperatura gazu w K

n - ilość kilo moli gazu, ρ - gęstość gazu

M - masa molowa gazu

R'=R/M - indywidualna stała gazowa, R'=287 J/kg deg dla powietrza

Prawa gazowe

1) Prawo Boyle'a - Mariotte'a

T = idem , pV=poVo= idem

ၥ- współczynnik ściśliwości gazu

 

2) Prawo Gay-Lussaca (pierwsze)

 p=idem

ၡ - współczynnik rozszerzalności termicznej gazu

Prawa gazowe

dla V = idem

 

 

• - współczynnik rozprężliwości gazu

4) połączone prawo Boyle'a-Mariotte'a - Gay-Lussaca

 

 R - stała gazowa

Ogólnie

Współczynniki ၡ, ၢ i ၥ są funkcjami T i p dla gazów,

natomiast dla ciał stałych i cieczy są prawie stałe.

Gazy rzeczywiste

Dla ciśnienia atmosferycznego oraz temperatur znacznie wyższych od temperatury krytycznej obowiązuje równanie stanu dla gazu doskonałego

Dla dużych ciśnień i niskich temperatur

 

B,C, ..., B', C', ... współczynniki wirialne, funkcje temperatury i rodzaju gazu

 

Zwykle wystarcza uwzględnienie tylko jednego ze współczynników B lub B'

 

Równanie van der Walsa

a, b - stałe uwzględniające odchyłki od stanu gazu doskonałego

Zależności dla cieczy

Zależności dla cieczy

 

Brak równania stanu !!!!

Trzy podstawowe współczynniki

 

Dla p = const - równanie rozszerzalności termicznej

 

lub

Zależności dla cieczy

Dla T=const

 

lub

 

dla v = const

 

lub

zmienne p, t i V związane są z równaniem stanu f(T, p, ρ)= ∞

 

stąd zależność wiążąca te trzy współczynniki

Moduł sprężystości (ściśliwości)

objętość właściwa

 

Prędkość dźwięku w wodzie

Gęstość wody

Prędkość dźwięku dla gazu

dla gazu moduł sprężystości (ściśliwości)

 

prędkość dźwięku

  

Dla porównania

---