Kraków, 5.06.2007r.
Paweł Sobczak
Laboratorium: Automatyka i Podstawy Pomiarów
Sprawozdanie 2: Badanie stabilności układu
Wariant 7.
Celem ćwiczenia laboratoryjnego było badanie stabilności układu zamkniętego ze sprzężeniem zwrotnym w zależności od współczynnika wzmocnienia, w wariancie 7 dla układu o transmitancji (przed zapięciem sprzężenia zwrotnego) : 0.3 s + 1
---------------------
s^3 + 2 s^2 + 3 s + 1
Teść M-pliku wykorzystanego w zadaniu:
clear all;
clc
num = input('Podaj wektor licznika transmitancji Go ukladu otwartego Num=')
den = input('Podaj wektor licznika transmitancji Go ukladu otwartego Den=')
disp('Transmitancja układu otwartego: ')
G0 = tf(num,den)
Zam = feedback(G0,1)
[numz,denz] = tfdata(Zam,'v');
disp('Mianownik układu zamknietego: ')
disp(denz)
disp('Pierwiastki rownania charakterystycznego: ')
roots(denz)
rlocus(numz,denz)
disp('Powieksz wykres linii pierwiastkowych w miejscu przeciecia jednej z linii z osia urojona, a nastepnie nacisnij ENTER w oknie polecen');
pause;
disp('Kliknij mysza w miejscu przeciecia sie linii pierwiastkowych z osia wartosci urojonych')
Kkr=rlocfind(numz,denz)
%disp(k)
G1 = feedback(G0, 0.5*Kkr);
G2 = feedback(G0, Kkr);
G3 = feedback(G0, 1.5*Kkr);
figure(1),step(G1,G2,G3, 15),hold on, grid on, legend('k=0.5 Kkr','k=Kkr','k=1.5 Kkr'),title('Pawel Sobczak: Odpowiedz ukladu zamknietego na wymuszenie skokowe dla roznych wartosci wzmocnienia')
figure(2),pzmap(G1,G2,G3),hold on, grid on, legend('k=0.5 Kkr','k=0.5 Kkr','k=Kkr','k=Kkr','k=1.5 Kkr','k=1.5 Kkr')
,title('Pawel Sobczak: Rozmieszczenie pierwiastków ukladu zamknietego dla kolejnych wspólczynników k')
figure(3),nyquist(G1,G2,G3),hold on, grid on, legend('k=0.5 Kkr','k=Kkr','k=1.5 Kkr'),title('Pawel Sobczak: Charakterystyki amplitudowo - fazowe układu zamkniętego dla kolejnych wspólczynników k')
disp('Należy wylączyć charakterystyki dla ujemnych pulsacji')
Po zapięciu na układ sprzężenia zwrotnego przy współczynniku wzmocnienia k=1
0.3 s + 1
uzyskałem transmitancję: Gz(s) = -----------------------
s^3 + 2 s^2 + 3.3 s + 2
, której pierwiastki mianownika, tj. równania charakterystycznego to:
s1 = -0.5688 + 1.4126i s2 = -0.5688 - 1.4126i s3 = -0.8625
Podstawowe twierdzenie o stabilności mówi, że wartości rzeczywiste zespolonych pierwiastków równania charakterystycznego muszą być ujemne, aby układ był w obszarze stabilnym, co w naszym przypadku jest spełnione.
Przy zmianie współczynnika wzmocnienia od zera do nieskończoności uzyskałem wykresy:
Następnie, z pomocą Matlab'a wyznaczyłem współczynnik wzmocnienia krytycznego, przy którym układ jest na granicy stabilności : Kkr = 11.73
Wykresy charakterystyk skokowych, amplitudowo-fazowych oraz rozkład zer i biegunów badanego układu dla k = 0,5kkr, k = kkr, k = 1,5kkr :
Na wykresach powyższych bardzo dobrze widać charakter stabilności układu zamkniętego w zależności od dobranego współczynnika wzmocnienia. Dla współczynnika wzmocnienia znacznie mniejszego od krytycznego układ jest stabilny, asymptotycznie dąży do określonej wartości, przeregulowania stopniowo zanikają z upływem czasu. Przy współczynniku wzmocnienia równym krytycznemu, układ jest na granicy stabilności, oscyluje stale, jego oscylacje nie zanikają ani nie narastają. Dla k znacznie większego od krytycznego układ się rozbiega, oscylacje narastają, układ jest wyraźnie niestabilny.
Rozkład pierwiastków równania charakterystycznego w zależności od wzmocnienia wyraźnie pokazuje, iż para pierwiastków zespolonych dla wzmocnienia większego od krytycznego przechodzi na prawą półpłaszczyznę zespoloną, a zatem układ traci stabilność, to samo uwydacznia wykres Nyquista.