Kraków, 5.06.2007r.

Paweł Sobczak

Laboratorium: Automatyka i Podstawy Pomiarów

Sprawozdanie 2: Badanie stabilności układu

Wariant 7.

Celem ćwiczenia laboratoryjnego było badanie stabilności układu zamkniętego ze sprzężeniem zwrotnym w zależności od współczynnika wzmocnienia, w wariancie 7 dla układu o transmitancji (przed zapięciem sprzężenia zwrotnego) : 0.3 s + 1

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 3 s + 1

Teść M-pliku wykorzystanego w zadaniu:

clear all;

clc

num = input('Podaj wektor licznika transmitancji Go ukladu otwartego Num=')

den = input('Podaj wektor licznika transmitancji Go ukladu otwartego Den=')

disp('Transmitancja układu otwartego: ')

G0 = tf(num,den)

Zam = feedback(G0,1)

[numz,denz] = tfdata(Zam,'v');

disp('Mianownik układu zamknietego: ')

disp(denz)

disp('Pierwiastki rownania charakterystycznego: ')

roots(denz)

rlocus(numz,denz)

disp('Powieksz wykres linii pierwiastkowych w miejscu przeciecia jednej z linii z osia urojona, a nastepnie nacisnij ENTER w oknie polecen');

pause;

disp('Kliknij mysza w miejscu przeciecia sie linii pierwiastkowych z osia wartosci urojonych')

Kkr=rlocfind(numz,denz)

%disp(k)

G1 = feedback(G0, 0.5*Kkr);

G2 = feedback(G0, Kkr);

G3 = feedback(G0, 1.5*Kkr);

figure(1),step(G1,G2,G3, 15),hold on, grid on, legend('k=0.5 Kkr','k=Kkr','k=1.5 Kkr'),title('Pawel Sobczak: Odpowiedz ukladu zamknietego na wymuszenie skokowe dla roznych wartosci wzmocnienia')

figure(2),pzmap(G1,G2,G3),hold on, grid on, legend('k=0.5 Kkr','k=0.5 Kkr','k=Kkr','k=Kkr','k=1.5 Kkr','k=1.5 Kkr')

,title('Pawel Sobczak: Rozmieszczenie pierwiastków ukladu zamknietego dla kolejnych wspólczynników k')

figure(3),nyquist(G1,G2,G3),hold on, grid on, legend('k=0.5 Kkr','k=Kkr','k=1.5 Kkr'),title('Pawel Sobczak: Charakterystyki amplitudowo - fazowe układu zamkniętego dla kolejnych wspólczynników k')

disp('Należy wylączyć charakterystyki dla ujemnych pulsacji')

Po zapięciu na układ sprzężenia zwrotnego przy współczynniku wzmocnienia k=1

0.3 s + 1

uzyskałem transmitancję: Gz(s) = -----------------------

s^3 + 2 s^2 + 3.3 s + 2

, której pierwiastki mianownika, tj. równania charakterystycznego to:

s1 = -0.5688 + 1.4126i s2 = -0.5688 - 1.4126i s3 = -0.8625

Podstawowe twierdzenie o stabilności mówi, że wartości rzeczywiste zespolonych pierwiastków równania charakterystycznego muszą być ujemne, aby układ był w obszarze stabilnym, co w naszym przypadku jest spełnione.

Przy zmianie współczynnika wzmocnienia od zera do nieskończoności uzyskałem wykresy:

Następnie, z pomocą Matlab'a wyznaczyłem współczynnik wzmocnienia krytycznego, przy którym układ jest na granicy stabilności : Kkr = 11.73

Wykresy charakterystyk skokowych, amplitudowo-fazowych oraz rozkład zer i biegunów badanego układu dla k = 0,5k_kr, k = k_kr, k = 1,5k_kr :

Na wykresach powyższych bardzo dobrze widać charakter stabilności układu zamkniętego w zależności od dobranego współczynnika wzmocnienia. Dla współczynnika wzmocnienia znacznie mniejszego od krytycznego układ jest stabilny, asymptotycznie dąży do określonej wartości, przeregulowania stopniowo zanikają z upływem czasu. Przy współczynniku wzmocnienia równym krytycznemu, układ jest na granicy stabilności, oscyluje stale, jego oscylacje nie zanikają ani nie narastają. Dla k znacznie większego od krytycznego układ się rozbiega, oscylacje narastają, układ jest wyraźnie niestabilny.

Rozkład pierwiastków równania charakterystycznego w zależności od wzmocnienia wyraźnie pokazuje, iż para pierwiastków zespolonych dla wzmocnienia większego od krytycznego przechodzi na prawą półpłaszczyznę zespoloną, a zatem układ traci stabilność, to samo uwydacznia wykres Nyquista.