Kiniuś™

Statystyka

Dr Elżbieta Grabowska

(notatki z wykładu 4)

27.03.2009 (piątek)

ŚREDNIA DLA INDYWIDUALNYCH DANYCH ILOŚCIOWYCH

lub

( powyższy przykład do danych z poprzedniego wykł. ile długopisów…)

jest najdokładniejszą miarą położenia i tendencji centralnej zbioru danych, ale jako miara klasyczna (wynik zależy od wszystkich pomiarów) jest wrażliwa na wyniki przypadkowe, wyniki nietypowe, nietypowy rozkład danych.

- średnia zawsze zawiera się między minimalną a maksymalną wartością zbioru danych

- zawsze dąży do zera

Średnia dla nietypowego rozkładu danych

1. Rozkład ekstremalnie skośny

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 30, 50.

Me -1

D - 1

- 8,8 - niewiarygodna średnia

(firma ma 10 pracowników 8 z nich zarabia po 1 tys. złotych, jeden pracownik zarabia 30 tys. i jeden 50 tys. Średnia to 8,8 tys. Ale to nie znaczy że każdy pracownik zarabia po ok.8,8 tys.)

2. Rozkład siodłowy

dla danych siodłowych
jest niewiarygodne i jej liczenie nie ma sensu…

Oglądalność programu `ziarno'

średnia arytmetyczna wieku to 20,8.

Jak widać na wykresie około 20 roku życia oglądalność tego programu jest najmniejsza - średnia nie wiarygodna.

Kiniuś™

3. Rozkład normalny

Jeżeli rozkład danych jest typowy to mediana równa jest dominancie i średniej.

Me = D =

Im bardziej rozkład danych jest nietypowy tym bardziej wartości tych miar się rozbiegają.

WSKAŹNIKI POŁOŻENIA DLA DANYCH ILOŚCIOWYCH POGRUPOWANYCH W SZEREG PUNKTOWY

Średnia dla danych punktowych

Jeżeli danych jest dużo, a cecha ma charakter skokowy to wyniki grupujemy w szereg rozdzielczy, punktowy.

		.
0 1 2 3	2 2 7 4	0 2 14 12
	15	28

- warianty cechy

- liczba przypadków każdego wariantu

mierzona cecha: liczba posiadanych zwierząt domowych.

D - 2 (7 osób posiada 2 zwierzątka domowe)

(suma n_i równa jest liczebności próby)

lub

Wniosek:

Przeciętnie na jedną osobę z badanej grupy przypada 1,87 zwierzaka domowego.

Dominanta dla danych punktowych

Dominantą jest wariant cechy, który

wskazuje największą liczebność cząstkową.

1 2 3 4	7 7 8 7
1 2 3 4	2 3 3 2

Dominanta to 3 !

Brak dominanty

Kiniuś™

Mediana dla danych punktowych

1) Wyznaczamy pozycję mediany

Uwaga!!!

Przy dużych danych przyjęte jest:

dla danych nieparzystych

dla danych parzystych

2) Kumulujemy szereg liczebności

3) Wskazujemy palcem medianę

Wariant cechy na wysokości którego pozycja mieści się w liczebności skumulowanej

Przykład 1

		ncum
0 1 2 3	2 2 7 4	2 4 11 15
	N=15

n_cum - liczebność skumulowana, liczona narastająco

Poz.Me=8 mieści się w 11, czyli Me=2

Prawidłowe skumulowanie gdy:

Ostatnia pozycja w szeregu skumulowanym, jest równa liczebności próby.

Wniosek:

Połowa grupy ma, co najwyżej 2 zwierzaki domowe (2 lub mniej), i połowa grupy ma co najmniej 2 zwierzaki domowe (2 lub więcej).

Przykład 2

		.	ncum
2 3 4 5	10 3 3 3	20 9 12 15	10 13 16 10
	N=19	56

Poz.Me=10 mieści się w 10, czyli Me=2

Uwaga! Dane ujęte jako indywidualne i dane ujęte w szereg punktowy, daja identyczne wskaźniki.

Kiniuś™

Przykład 3

Cecha mierzona: liczba posiadanych bratanków.

		.	ncum
0 1 2 3	20 21 7 2	20 21 14 6	20 41 48 50
	N=50

D = 1 Typowe jest posiadanie jednego bratanka

Przeciętnie na 1 os. przypada 0,82 bratanka.

Me=1

Wniosek:

Połowa grupy ma co najwyżej 1 bratanka, a połowa ma co najmniej 1 bratanka.

WSKAŹNIKI POŁOŻENIA DLA DANYCH ILOŚCIOWYCH UJĘTYCH W SZEREG ROZDZIELCZY KLASOWY

Jeżeli danych jest dużo, a cecha ma charakter ciągły (lub danych jest bardzo dużo i cecha jest skokowa) to opłaca się zestawić dane w szereg rozdzielczy klasowy.

00-10 10-20 20-30 30-40	2 5 8 2	5 15 25 35
	N=17

Jest to szereg klasowy uproszczony.

Cechy:

1. górna granica poprzedniego przedziału jest równa dolnej kolejnego.

2. mają równe przedziały

- środek przedziału.

00,00-09,99 10,00-19,99 20,00-29,99 30,00-39,99	2 3 6 2
00,1-10,00 10,1-20,00 20,1-30,00 30,1-40,00	2 3 6 2

Są to dwa przykłady na szereg klasowy dokładny

(Dane zapisujemy w uproszczonym szeregu w domyśle stosujemy jeden z dwóch szeregów dokładnych)

Uwaga! Dane z szeregu klasowego będą zawsze przybliżone i zaokrąglone.

Różnice w stosunku do danych indywidualnych będą tym większe im szersze przyjmiemy przedziały.

Kiniuś™

Średnia dla danych klasowych

lub

00-10 10-20 20-30 30-40	2 5 8 2	5 15 25 35	10 75 200 70
	N=17		355

Dominanta dla danych klasowych

Dominantę można wyznaczyć tylko w przybliżeniu pod warunkiem, że są spełnione 3 warunki:

1. musi być jeden przedział dominujący

2. przedział ten nie może być ani pierwszy ani ostatni

3. rozpiętość 3 przedziałów kluczowych ( dominującego i dwóch sąsiednich) musi być jednakowa

D dla danych klasowych można wyznaczyć:

a) ze wzoru interpolacyjnego

x_o - dolna granica przedziału dominującego

n_D - liczebność przedziału nominacyjnego

n_D-1- liczebność przedziału poprzedniego (przed dominującym)

n_D+1- liczebność przedziału następnego (po dominującym)

h_D - rozpiętość przedziału dominującego

Uwaga!

Obliczona dominanta musi się mieścić w przedziale dominującym.

Kiniuś™

b) graficznie

1. rysujemy histogram

łączymy na krzyż rogi słupków, ze skrzyżowania spuszczamy linię do osi x

05-15 15-25 25-35	2 6 2

Symetryczny rozkład danych

D=20 Me=20 x=20

Mediana dla danych klasowych

Wyznaczanie:

1. Medianę można wyznaczyć zawsze, nie ma takich danych, dla których nie można by było wyznaczyć Me.

2. Wyznaczamy pozycję mediany ze wzoru:
   

3. Kumulujemy szereg liczebności

4. Ustalamy, w którym miejscu szeregu skumulowanego mieści się pozycja

Wartość mediany wyznacza się ze wzoru interpolacyjnego:

- dolna granica przedziału medialnego

- pozycja mediany

- liczebność skumulowana poprzedzająca przedział mediany

- rozpiętość przedziału medialnego

- liczebność przedziału medialnego

Kiniuś™

Rozkład typowy

		ncum
00-10 10-20 20-30 30-40	2 5 8 2	2 7 15 17
	N=17

n_cum = N

Poz.Me = (17+1):2=9

x₀ = 20 n_m = 8

h_m = 10 nasza Poz.Me=9 mieści się w n_cum=15

Obliczona wartość Me musi się mieścić w przedziale medialnym!

Wniosek:

Połowa grupy wydała, co najwyżej 20,50 zł (lub mniej) i połowa grupy wydała conajmnie22,50 (lub więcej).

Rozkład danych zbliżony do typowego:

Liczenie Me dla danych nietypowych

Cecha mierzona:

Wielkość posiadanej działki w arach.

0,2-1,0 1,1-2,1 2,2-10 10,1-20,3	30 12 5 5	0,6 1,6 6,1 15,2	18 19,2 30,5 76	30 42 47 52
	N=52		143,7

Dla takich danych nie można wskazać D, bo nie ma równych przedziałów i przedział dominujący jest pierwszy.

Wniosek:

Połowa właścicieli ma działki o powierzchni, co najwyżej 0,89 (lub mniejsze) i połowa ma działki o wielkości, co najmniej 0,89 (lub większe).

7

---