Optyka geometryczna i falowa

1. Wstęp

1. Odbicie i załamanie

Przypomnienie kilku podstawowych wiadomości:

• współczynnik załamania; bezwzględny i względny

n = c/v, n_2,1 = v₁/v₂ (27.1)

• prawo odbicia i załamania: promień odbity i załamany leżą w jednej płaszczyźnie utworzonej przez promień padający i prostopadłą do powierzchni odbijającej w punkcie padania (normalna padania) tzn. W płaszczyźnie rysunku poniżej.

• dla odbicia θ₁ = θ₁'

• 
  dla załamania
  

Prawa te można wyprowadzić z równań Maxwella, ale jest to matematycznie zbyt trudne. Jednak te prawa optyki można wyprowadzić w oparciu o prostą (ale ważną) zasadę odkrytą w 1650 r przez Pierre Fermata.

1. Zasada Fermata

Zasadę tę formułujemy w następujący sposób:

Promień świetlny biegnący z jednego punktu do drugiego przebywa drogę, na której przebycie trzeba zużyć w porównaniu z innymi, sąsiednimi drogami, minimum albo maksimum czasu.

Np. najkrótszy czas między dwoma punktami w próżni - linia prosta.

Z tej zasady można wyprowadzić prawa odbicia i załamania.

Na rysunku są przedstawione dwa punkty A i B oraz łączący je promień APB.

Całkowita długość drogi promienia wynosi

gdzie x jest zmienną zależną od położenia punktu P (punkt odbicia promienia).

Zgodnie z zasadą Fermata punkt P (zmienną x) wybieramy tak, żeby czas przebycia drogi APB był minimalny (lub maksymalny, lub niezmieniony). Matematycznie oznacza to warunek

czyli

lub przekształcając

Porównując z rysunkiem widzimy, że jest to równoważne zapisowi

sinθ = sinθ'

czyli

θ = θ'

co jest prawem odbicia.

Podobnie postępujemy w celu wyprowadzenia prawa załamania. Rozpatrzmy sytuację przedstawioną na rysunku poniżej.

Czas t, przelotu światła, z A do B dany jest wzorem

Uwzględniając n = c/v możemy przepisać to równanie w postaci

Wielkość l = n₁l₁ + n₂l₂ nazywamy drogą optyczną promienia (nie mylić z drogą geometryczną równą l₁ + l₂). Ponownie dobieramy x (punkt P), aby droga l była minimalna czyli, aby dl/dx = 0. Ponieważ droga optyczna wynosi

otrzymujemy

lub po przekształceniu

Porównując to z rysunkiem otrzymujemy

n₁sinθ₁ = n₂sinθ₂

co jest prawem załamania.

W omawianych obu przypadkach czas (i droga) był minimalny.

1. Warunki stosowalności optyki geometrycznej

Omawiając odbicie i załamanie fal (płaskich) posługiwaliśmy się pojęciem promienia. Ta wygodna konstrukcja myślowa przydatna do opisu tych zjawisk nie jest pomocna przy opisie ugięcia światła (fal) gdyż niemożliwe jest wydzielenie pojedynczego promienia z padającej fali płaskiej. Żeby to sprawdzić prześledźmy zachowanie fali płaskiej padającej na szczeliny o różnej szerokości. To zachowanie jest przedstawione schematycznie na rysunku poniżej dla szczelin o szerokości a = 5λ, a = 3λ oraz a = λ.

Widzimy, że ugięcie staje się coraz bardziej wyraźne gdy a/λ → 0.

To ugięcie jest charakterystyczne dla wszystkich rodzajów fal. Dzięki temu możemy np. słyszeć fale głosowe znajdując się za załomem muru.

Ugięcie fal na szczelinie (albo przeszkodzie) wynika z zasady Huyghensa.

1. Zasada Huyghensa

W tej teorii światła podanej przez Christiana Huyghensa w 1678 r. zakłada się, że światło jest falą ( a nie strumieniem cząstek). Nie wspomina ona o elektromagnetycznym charakterze światła ani nie wyjaśnia, że światło jest falą poprzeczną. Teoria Huyghensa oparta jest na konstrukcji geometrycznej (zwanej zasadą Huyghensa), która pozwala przewidzieć gdzie znajdzie się czoło fali w dowolnej chwili w przyszłości, jeżeli znamy jej obecne położenie. Zasada ta głosi, że wszystkie punkty czoła fali można uważać za źródła nowych fal kulistych. Położenie czoła fali po czasie t będzie dane przez powierzchnię styczną do tych fal kulistych. Poniżej przedstawiony jest na rysunku elementarny przykład obrazujący, za pomocą elementarnych fal Huyghensa, rozchodzenie się fali płaskiej w próżni.

Dane jest czoło fali płaskiej w próżni. Zgodnie z zasadą Huyghensa kilka dowolnie wybranych punktów na tej powierzchni traktujemy jako źródła fal kulistych. Po czasie t promienie tych kul będą równe ct, gdzie c jest prędkością światła. Powierzchnia styczna do tych kul po czasie t jest nową powierzchnią falową. Oczywiście powierzchnia falowa fali płaskiej jest płaszczyzną rozchodzącą się z prędkością c.

Uwaga: Można by oczekiwać ( w oparciu o tę zasadę), że wbrew obserwacji fala Huyghensa może się rozchodzić zarówno do tyłu jak i do przodu. Tę „trudność” w modelu eliminuje się poprzez założenie, że natężenie tych fal kulistych (Huyghensa) zmienia się w sposób ciągły od maksimum dla kierunku „w przód” do zera dla kierunku „w tył”.

Metoda Huyghensa daje się zastosować jakościowo do wszelkich zjawisk falowych. Można przedstawić za pomocą fal elementarnych Huyghensa zarówno odbicie fal jak i ich załamanie.

My zastosujemy je do wyjaśnienia ugięcia fal na szczelinie (przeszkodzie).

Rozpatrzmy czoło fali dochodzącej do szczeliny. Każdy jej punkt możemy potraktować jako źródło fal kulistych Huyghensa. Jednak przez szczelinę przechodzi tylko część fal. Fale leżące poza brzegami szczeliny zostają wyeliminowane i z tym jest związane zaginanie wiązki w obszar tzw. cienia geometrycznego. Szczegóły dotyczące fal ugiętych zostaną przedstawione dokładnie w dalszych wykładach. Tutaj zwróćmy jedynie uwagę na to, że gdy szerokość szczeliny staje się duża (w stosunku do długości fali) a >> λ to ugięcie można zaniedbać. Wydaje się, że światło rozchodzi się po liniach prostych co można przedstawić w postaci promieni podlegających prawom odbicia i załamania. Mówimy, że mamy do czynienia z optyką geometryczną.

Warunkiem stosowalności optyki geometrycznej jest więc aby wymiary liniowe wszystkich obiektów (soczewek, pryzmatów, szczelin itp.) były o wiele większe od długości fali.

Jeżeli tak nie jest to nie możemy przy opisie światła posługiwać się promieniami, lecz trzeba wziąć pod uwagę falowy charakter światła. Widać jak znaczące jest ugięcie fali gdy szczelina ma rozmiar porównywalny z długością fali.

Mamy wtedy do czynienia z optyką falową.

Optyka geometryczna jest więc szczególnym (granicznym) przypadkiem optyki falowej.

Zajmiemy się teraz właśnie optyką falową.

26-6

1

Szukasz gotowej pracy ?

To pewna droga do poważnych kłopotów.

Plagiat jest przestępstwem !

Nie ryzykuj ! Nie warto !

Powierz swoje sprawy profesjonalistom.

---