P O L I T E C H N I K A W A R S Z A W S K A

WYDZIAŁ MECHATRONIKI

INSTYTUT METROLOGII I SYSTEMÓW POMIAROWYCH

ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW

LABORATORIUM

ĆWICZENIE 1

Wyznaczanie niepewności pomiaru bezpośredniego

Opracował dr inż. Jerzy Arendarski

Współpraca: mgr inż. Anna Ostaszewska

Warszawa, 2008

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest ugruntowanie wiedzy z zakresu wyrażania i wyznaczania niepewności pomiarów.

2. Wprowadzenie teoretyczne

Pomiar jest bezpośredni, jeżeli wartość wielkości mierzonej otrzymuje się bezpośrednio z przyrządu pomiarowego, bez potrzeby wykonywania dodatkowych obliczeń opartych na zależności funkcyjnej wielkości mierzonej od innych wielkości.

Przykłady pomiarów bezpośrednich:

• pomiar długości za pomocą suwmiarki,

• pomiar długości za pomocą mikrometru,

• pomiar masy na wadze z podzielnia,

• pomiar napięcia za pomocą woltomierza,

• pomiar natężenia prądu za pomocą amperomierza,

• pomiar temperatury za pomocą termometru.

Równanie pomiaru bezpośredniego (wzór na wynik pomiaru), uwzględniające istotne źródła niepewności ma postać:

(1)

gdzie:

W - wskazanie przyrządu lub średnia z serii wskazań,

P_w - poprawka wskazania przyrządu,

P_rw -poprawka kompensująca błąd rozdzielczości przyrządu,

P_ws - poprawka lub suma poprawek związanych z warunkami środowiskowymi.

Poprawki i niepewności poprawek wyznacza się według niżej przedstawionych zasad:

P_w - Przy ustalaniu tej poprawki korzysta się ze świadectwa wzorcowania przyrządu,

które może zawierać wyniki w jednej z trzech następujących wersji:

1. szczegółowa tablica poprawek lub krzywa kalibracji + niepewność wzorcowania,

2. błędy wskazania lub poprawki wskazania w wybranych punktach zakresu pomiarowego + niepewność wzorcowania,

3. błędy wskazania lub poprawki wskazania w wybranych punktach zakresu pomiarowego + niepewność wzorcowania + potwierdzenie, że błędy wskazania nie przekraczają granic błędów dopuszczalnych E_g.

W pierwszym przypadku, dla określonego wskazania W, ze świadectwa wzorcowania, odczytuje się wartość P_w oraz U(P_w) na poziomie ufności 1-α =.0,95.

W drugim przypadku ustala się symetryczny względem zera przedział ± E_k, w którym mieszczą się wyniki wzorcowania i przyjmuje się, że P_w= (0 ± E_k). Obliczając niepewność poprawki uwzględnia się wtedy również niepewność wzorcowania U(E_w):

(2)

Tę składową można również wyznaczyć z zależności:

(3)

W trzecim przypadku przyjmuje się, że P_w= (0 ± E_g), a niepewność standardową poprawki oblicza się według wzoru:

(4)

P_rw - Przyjmuje się, że P_rw = (0 ± d/2), a jej niepewność standardową wyznacza się z zależności:

(5)

P_ws - jeżeli poprawką związaną z warunkami środowiskowymi jest poprawka temperaturowa, to, przy pomiarach długości, wyznacza się ją zgodnie ze wzorem:

(6)

gdzie:

W - wskazanie przyrządu (długość mierzona),

ၡ - uśredniony współczynnik rozszerzalności cieplnej materiałów przyrządu i mierzonego elementu,

ၤt- różnica temperatur przyrządu i mierzonego elementu.

Niepewność standardową poprawki temperaturowej określa wzór

(7)

Równanie niepewności standardowej złożonej ma ogólną postać:

(8)

Niepewność standardową u(W) wyznacza się metodą typu A, na podstawie serii pomiarów wykonanych w określonych warunkach, jako tzw. niepewność standardową połączoną u_p(W). Następnie przy pomiarach wykonywanych w podobnych warunkach wykorzystuje się tę niepewność jako znaną.

Jeżeli kolejne pomiary wykonuje się jako jednokrotne, to

u(W) = u_p(W) (9)

W takiej sytuacji wartość wyznaczona ze wzoru (9) obejmuje również wpływ rozdzielczości (u(W) >> u(P_rw)), dlatego we wzorze (8), trzecią składową (związaną z rozdzielczością) można pominąć.

Przy n pomiarach i wyznaczaniu
, niepewność standardową wyznacza się wg zależności:

(10)

W takich przypadkach zdarza się, że u(W) < u(P_rw) i wtedy, przy obliczaniu niepewności wzorcowania, uzasadnione jest uwzględnienie obu tych składowych. Rutynowe uwzględnianie we wszystkich przypadkach obu składowych spowoduje, że w odniesieniu do części pomiarów składowa od rozdzielczości będzie uwzględniona podwójnie, co zawyży nieco wartość niepewności złożonej i ocena niepewności będzie bardziej asekuracyjna. W niżej podanych przykładach uwzględniono oba warianty. Czytelnik może więc ocenić, czy pominięcie składowej liczonej wg wzoru (4) w istotnym stopniu zmieni niepewność pomiaru.

3. Przebieg ćwiczenia

Każdy student przeprowadza analizę niepewności pomiaru bezpośredniego wybranej wielkości zgodnie z załączonym przykładem. W bazie danych są dostępne świadectwa wzorcowania przyrządów pomiarowych oraz wyniki badania powtarzalności wskazań przyrządów.

4. Przykładowe rozwiązanie zadania

Dane wejściowe:

• według wymagań technologicznych, średnica trzpienia powinna się zawierać w przedziale [184,95; 185,00],

• z pojedynczego pomiaru, wykonanego za pomocą mikrometru o numerze inwentarzowym 020/M, uzyskano wskazanie W₁ = 184,995 mm

• w trzech powtórzonych pomiarach w tym samym przekroju otrzymano: W₂ = 184,994 mm, W₃ = 184,997 mm, W₄ = 184,998 mm

• w procesie pomiarowym zapewnia się takie warunki, że różnica temperatur przyrządu i mierzonego elementu δt = (0 ± 3) °C,

• wyniki wcześniejszych badań rozrzutu wskazań mikrometru przedstawiono w Tablicy 1: „Wyniki badania powtarzalności przyrządów pomiarowych”,

• w pliku świadectwa wzorcowania, jest aktualne świadectwo wzorcowania mikrometru - potwierdzona zgodność z wymaganiami normy PN-82/M-53200.

Sporządzić budżet niepewności, podać wynik dla pojedynczego pomiaru oraz dla średniej z czterech pomiarów. Ponadto odpowiedzieć na pytanie czy kontrolowany trzpień jest zgodny z wyżej określonym wymaganiem, uwzględniając każdy z otrzymanych wyników

Obliczenia:

4.1. Równanie pomiaru

4.2. Równanie niepewności standardowej złożonej pomiaru

4.2.1. Współczynniki wpływu

4.2.2. Niepewności standardowe składowe

u(W)=
= 0,0012 mm

Budżety niepewności przedstawiono w tablicach 1 i 2.

Tablica 1. Budżet niepewności dla pojedynczego pomiaru

Wielkość	Oszaco-wanie	Szerokość połówkowa	Wsp. roz­rzutu	Niepewn. stand.	Wsp. wpływu	Składowe niepewn. złożonej
1	2	3	4	5	6	7
Xi	xi	0,5Ri	k^*	u(Xi)	ci	ui(Y)
W	184,995	-	-	0,0012	1	0,0012
PW	0	0,007		0,0040	1	0,0040
Prw	0	0,0005		0,0003	1	0,0003
δt	0	3		1,73	0,00213	0,0037
D	184,995					0,00559

U(D) = 2 u(D) = 0,01117 mm ≈ 0,011 mm

Końcowy wynik pomiaru: D = (184,995 ± 0,011) mm

Tablica 2. Budżet niepewności dla średniej z czterech pomiarów

Wielkość	Oszaco-wanie	Szerokość połówkowa	Wsp. roz­rzutu	Niepewn. stand.	Wsp. wpływu	Składowe niepewn. złożonej
1	2	3	4	5	6	7
Xi	xi	0,5Ri	k^*	u(Xi)	ci	ui(Y)
W	184,996	-	-	0,0006	1	0,0006
PW	0	0,007		0,0040	1	0,0040
Prw	0	0,0005		0,0003	1	0,0003
δt	0	3		1,73	0,00213	0,0037
D	184,995					0,00549

U(D) = 2 u(D) = 0,01098 mm ≈ 0,011 mm

Końcowy wynik pomiaru: D = (184,996 ± 0,011) mm

Wnioski: Zmierzony trzpień nie może być uznany za zgodny z wymaganiami, ponieważ niepewność wykracza poza pole tolerancji , co zilustrowano na rysunku 1.

Rys. 1. Graficzne przedstawienie wyników pomiarów na tle tolerancji

Literatura

1. Arendarski J.: Niepewność pomiarów, OWPW, Warszawa 2006

2. Mała encyklopedia metrologii, WNT, Warszawa 1989

3. Jakubiec W., Malinowski J.: Metrologia wielkości geometrycznych, WNT, Warszawa 2005

- 7 -

---