1693


Materiały pomocnicze do matury z matematyki

1. Zbiory. Działania na zbiorach.

Zbiór oraz element zbioru to pojęcia pierwotne.

jeśli x jest elementem zbioru A to x∈A, x należy do zbioru A

jeśli y nie jest elementem zbioru A to y∉A, y nie należy do zbioru A

Każdy zbiór wyznaczony jest jednoznacznie przez jego elementy.

Zbiór skończony - zbiór, który ma skończoną liczbę elementów.

Zbiór pusty - - zbiór, który nie ma należących do niego elementów.

Zbiór nieskończony - zbiór, który nie jest ani skończony, ani pusty.

Równość zbiorów:

A = B ⇔ (dla każdego x : x∈A ⇔ x∈B )

Zawieranie się zbiorów, podzbiory:

A ⊂ B ⇔ ( dla każdego x: x∈A ⇒ x∈B )

Zbiory rozłączne - zbiory, które nie mają ani jednego elementu wspólnego.

Suma zbiorów A B:

x∈A ∪ B ⇔ ( x∈A lub x∈B )

Iloczyn zbiorów A B:

x∈A ∩ B ⇔ ( x∈A i x∈B )

Różnica zbiorów A \ B:

x∈A \ B ⇔ ( x∈A i x∉B )

Dopełnienie zbioru A ( symbol A' ):

Jeśli wszystkie zbiory znajdują się w ustalonym zbiorze X, nazywanym przestrzenią, to dopełnieniem naszego zbioru A będzie różnica X \ A

Symbolicznie:

X -przestrzeń i A ⊂ X, to A' = X \ A

Iloczyn kartezjański ( produkt ) zbiorów A × B:

Iloczyn kartezjański to uporządkowana para liczb (x,y), w której element x należy do zbioru A, a element y należy do zbioru B.

Symbolicznie:

( x, y )∈A×B ⇔ ( x∈A i y∈B )

Niektóre prawa rachunku zbiorów:

nazwa prawa

treść prawa

przemienność dodawania

A ∪ B = B ∪ A

przemienność iloczynu

A ∩ B = B ∩ A

łączność dodawania

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

łączność iloczynu

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

rozdzielność mnożenia względem dodawania

(A ∪ B) ∩ C =(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

rozdzielność dodawania względem mnożenia

(A ∩ B) ∪ C =(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

prawa

de'Morgana

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

2. Układy równań i nierówności.

Wartość bezwzględna dla liczby rzeczywistej

0x01 graphic

Nierówności z wartością bezwzględną

0x01 graphic
< a , to x∈( -a, a ) 0x01 graphic
> a , to x∈( -∞, -a ) ∪ ( a, ∞ )

0x01 graphic
, to x∈[ -a, a ] 0x01 graphic
, to x∈( -∞, -a ] ∪ [ a, ∞ )

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązaniem układu równań liniowych (stopnia pierwszego) z dwiema niewiadomymi jest każda para liczb, która spełnia jednocześnie pierwsze i drugie równanie.

Mamy układ równań 0x01 graphic
(*)

Wyznacznikami układu są liczby:

W = 0x01 graphic
= a1 ⋅ b2 - a2 ⋅ b1;

Wx = 0x01 graphic
= c1 ⋅ b2 - c2 ⋅ b1;

Wy = 0x01 graphic
= a1 ⋅ c2 - a2 ⋅ c1;

Układ równań (*) jest układem równań:

  1. niezależnych ⇔ W ≠ 0, wtedy układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami:

x = 0x01 graphic
, y =0x01 graphic
,

interpretacja geometryczna układu to dwie proste, które się przecinają

  1. zależnych ⇔ W = 0 i Wx = 0 i Wy = 0, wtedy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań ( x, y ) takich, że x ∈ R, a
    y = −0x01 graphic
    x + 0x01 graphic
    ;

interpretacja geometryczna układu to dwie proste, które się pokrywają

  1. sprzecznych ⇔ W = 0 i Wx ≠ 0 lub Wy ≠ 0, zbiór rozwiązań układu to zbiór pusty,

interpretacja geometryczna układu to dwie proste, które się równoległe.

3. Funkcja kwadratowa.

Funkcja kwadratowa (trójmian kwadratowy) to funkcja f określona wzorem postaci

f(x) =ax2 + bx + c,

gdzie a, b, c ∈ R i a ≠ 0.

Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego to postać:

0x01 graphic
,

gdzie Δ = b2- 4ac. Δ nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej:

tymi miejscami zerowymi są: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

Iloczynowa postać funkcji kwadratowej:

Wzory Viete'a

Jeżeli trójmian kwadratowy y = ax2 + bx + c
(a ≠ 0) ma miejsce zerowe (dwa lub jedno) x1, x2, to

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Wykres funkcji kwadratowej y = ax2 + bx + c, gdzie a ≠ 0, jest krzywą - parabolą. Wierzchołek paraboli ma współrzędne: 0x01 graphic
.

Dla a < 0 w wierzchołku paraboli mamy maksimum funkcji kwadratowej,

Dla a > 0 w wierzchołku paraboli mamy minimum funkcji kwadratowej.

a > 0 a >0 a > 0 a < 0

Δ < 0 Δ = 0 Δ > 0 Δ > 0

0x01 graphic

4. Wielomiany

Wielomianem stopnia n jednej zmiennej nazywamy funkcję W: R → R postaci:

W(x)=a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn,

gdzie a0, a1, a2, ..., an ∈ R i an ≠ 0, n ∈ N.

Liczby a0, a1, a2, ..., an nazywamy współczynnikami wielomianu W.

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.

Wielomian W jest podzielny przez wielomian W1 jeśli istnieje wielomian Q taki, że

W(x) = W1(x)⋅Q(x) dla każdego x ∈ R.

Dla każdej pary wielomianów W i W1 takich, że stopień wielomianu W1 jest dodatni, istnieje dokładnie jeden układ wielomianów Q i R, dla których W(x) = W1(x)⋅Q(x)+R(x) (dla każdego
x ∈ R) i stopień wielomianu R jest mniejszy od stopnia wielomianu W1 lub wielomian R jest zerowy. Wielomian R nazywamy resztą z dzielenia wielomianu W przez wielomian W1.

Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian postaci ( x - r ), gdzie r ∈ R, jest równa liczbie W(r).

Twierdzenie Bézouta. Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest podzielny przez dwumian ( x -a ).

Jeżeli liczba wymierna 0x01 graphic
jest miejscem zerowym wielomianu W(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn, gdzie an≠0, to q jest dzielnikiem współczynnika an, zaś p jest dzielnikiem współczynnika a0.

5. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Funkcją wykładniczą jednej zmiennej nazywamy funkcję f: ( R ) → R+ określoną wzorem postaci:

f ( x ) = ax, gdzie a∈R+ .

Własności funkcji wymiernej:

Równania i nierówności wymierne:

Logarytm dodatniej liczby b przy podstawie a
( a > 0 i a ≠ 1 ) jest to wykładnik potęgi, do której należy podnieść a, żeby otrzymać b:

log a b = z ⇔ az = b.

Z określenia logarytmu wynika, że
log a 1 = 0, log a a = 1.

Funkcją logarytmiczną jednej zmiennej nazywamy funkcję f: ( R+ ) → R określoną wzorem postaci:

f ( x ) = log a x, gdzie a∈R+\{1}.

Własności funkcji wymiernej:

Twierdzenia o logarytmach:

6. Funkcje trygonometryczne

Jeśli α jest miarą kąta skierowanego 0x01 graphic
, P jest dowolnym punktem końcowego ramienia tego kąta ( P ≠ O, x i y są współrzędnymi P, 0x01 graphic
, to

sin α = 0x01 graphic
, cos α = 0x01 graphic
, tg α = 0x01 graphic

( gdy x 0 ), ctg α = 0x01 graphic
( gdy y 0 ).

Związki między funkcjami tego samego kąta x:

Funkcje trygonometryczne kąta podwójnego:

Funkcje trygonometryczne to funkcje okresowe. Okresem zasadniczym funkcji sinus i cosinus jest 2Π, a okresem zasadniczym funkcji tangens i cotangens jest Π.

Równania trygonometryczne są to równania, w których niewiadome występują pod znakami funkcji trygonometrycznych.

Tabela zawiera rozwiązania najprostszych równań
trygonometrycznych:

Równanie

Rozwiązanie

x0 jedyne rozwiązanie
równania należące do przedziału

sin x = a, |a|<1

x = kΠ+(-1)kx0, k∈C

0x01 graphic

cos x = a, |a|<1

x = 2kΠ ± x0, k∈C

( 0, Π )

tg x = a, a∈R

x = kΠ + x0, k∈C

0x01 graphic

ctg x = a, a∈R

x = kΠ + x0, k∈C

0x01 graphic
0x01 graphic

7. Funkcje wymierne. Równania i nierówności wymierne.

Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy funkcję F: ( R \ A ) → R określoną wzorem postaci:

0x01 graphic
,

gdzie W i W1 są wielomianami, zaś A jest zbiorem wszystkich miejsc zerowych wielomianu W1.

Równaniem wymiernym nazywamy równanie postaci:

0x01 graphic
, gdzie W i W1 są wielomianami.

Rozwiązaniem równania 0x01 graphic
nazywamy każdą liczbę r, dla której
W1(r) ≠ 0 i W(r) = 0.

Nierównością wymierną nazywamy nierówność postaci

0x01 graphic
, lub 0x01 graphic
, lub 0x01 graphic
, lub 0x01 graphic
,

gdzie W i W1 są wielomianami.

Nierówności

0x01 graphic
, 0x01 graphic

są równoważne odpowiednio nierównościom w postaci iloczynu:

W(x)⋅W1(x)>0, W(x)⋅W1(x)<0.

Natomiast nierówności

0x01 graphic
, 0x01 graphic

są równoważne odpowiednio układom:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

8. Ciągi

Zasada indukcji matematycznej ( zupełnej )

Jeżeli twierdzenie, które dotyczy liczb naturalnych, jest

  1. prawdziwe dla ustalonej liczby naturalnej n0,

  2. jeżeli dla każdej liczby naturalnej
    k ≥ n0 z założenia prawdziwości twierdzenia dla
    k wynika, że jest ono prawdziwe dla liczby następnej k + 1, to twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n ≥ n0.

Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych dodatnich ( N \ { 0 } ). Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy f ( n ) = an. Jeżeli wyrazy ciągu są liczbami rzeczywistymi , to ciąg nazywamy ciągiem liczbowym.

Ciąg o wyrazach a1, a2,..., an, ... oznaczamy ( an ).

Ciąg liczbowy ( an ) nazywamy:

Ciągi rosnące lub malejące nazywamy monotonicznymi.

Granice ciągu

Liczba g jest granicą ciągu liczbowego ( an ) wtedy i tylko wtedy, gdy do każdego otoczenia liczby g należą wszystkie wyrazy tego ciągu z wyjątkiem skończonej ich ilości.

0x01 graphic
.

Ciąg liczbowy ( an ) jest rozbieżny do + wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby A wszystkie wyrazy tego ciągu oprócz skończonej ich ilości są większe od A..

0x01 graphic
.

Ciąg liczbowy ( an ) jest rozbieżny do - wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby B wszystkie wyrazy tego ciągu oprócz skończonej ich ilości są mniejsze od B..

0x01 graphic
.

Prawdziwe są następujące twierdzenia:

  1. Jeżeli 0x01 graphic
    i 0x01 graphic
    , to:

a) 0x01 graphic
= a + b,
b) 0x01 graphic
= a - b,

c) 0x01 graphic
= a ⋅ b,
d) jeżeli0x01 graphic
, to0x01 graphic
.

  1. Jeżeli dla każdego n∈N\{0} an > 0 i 0x01 graphic
    , to 0x01 graphic
    .

  1. Jeżeli dla każdego n∈N\{0} an < 0 i 0x01 graphic
    , to 0x01 graphic
    .

  1. Jeżeli 0x01 graphic
    , to 0x01 graphic
    .

  2. Jeżeli 0x01 graphic

    i ciąg ( bn ) jest ciągiem ograniczonym, to0x01 graphic
    .

9. Ciągi arytmetyczny i geometryczny

Ciąg arytmetyczny

Ciąg ( an ) nazywamy arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy różnica między dowolnym wyrazem ciągu a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym, jest stała dla danego ciągu.

an+1 - an = r

Dla dowolnego ciągu ( an ) przez Sn oznaczamy sumę pierwszych n wyrazów tego ciągu, tzn.

Sn = a1 + a2 + ... + an.

Jeżeli ciąg ( an ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to prawdziwe są wzory:

Ciąg geometryczny

Ciąg ( an ) nazywamy geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy a1 ≠ 0 i iloraz dowolnego wyrazu tego ciągu i wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, jest dla danego ciągu stały.

0x01 graphic
= q

Jeżeli ciąg ( an ) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q ≠ 0, to prawdziwe są wzory:

Dla ciągu geometrycznego ( an ) spełniającego warunek q < 1 zachodzi:

10. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.

1. Granica funkcji w punkcie

Liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( xn ) takiego, że xn ∈ Df , xn ≠ x0 i 0x01 graphic
jest 0x01 graphic
.

2. Granice jednostronne funkcji w punkcie

a) Liczbę a nazywamy granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( xn ) spełniającego warunki
xn ∈ Df , xn < x0 i 0x01 graphic

jest 0x01 graphic
.

b) Liczbę b nazywamy granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( xn ) spełniającego warunki
xn ∈ Df , xn > x0 i 0x01 graphic

jest 0x01 graphic
.

c) Istnienie granic jednostronnych funkcji w punkcie x0 i ich równość jest równoważna istnieniu granicy funkcji w punkcie x0.

3. Granica niewłaściwa funkcji w punkcie

a) Funkcja f ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą + wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( xn ) takiego, że 0x01 graphic
, xn ∈ Df i xn ≠ x0
jest 0x01 graphic
.

b) Funkcja f ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą - wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( xn ) takiego, że 0x01 graphic
, xn ∈ Df i xn ≠ x0
jest 0x01 graphic
.

4. Twierdzenia o granicy funkcji w punkcie

Jeżeli 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, to:

a) 0x01 graphic
= a + b,
b) 0x01 graphic
= a - b,

c) 0x01 graphic
= a ⋅ b,
d) jeżeli b≠0, to0x01 graphic
.

5. Granica funkcji w + oraz w -

a) Mówimy, że granicą funkcji y = f(x) w + jest liczba g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( xn ) spełniającego warunki xn ∈ Df i 0x01 graphic
jest 0x01 graphic
.

b) Mówimy, że granicą funkcji y = f(x) w - jest liczba g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( xn ) spełniającego warunki xn ∈ Df i 0x01 graphic
jest 0x01 graphic
.

6. Ciągłość funkcji

Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 ∈ Df wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica funkcji w punkcie x0 i 0x01 graphic
.

Funkcja f jest ciągła w zbiorze Z ⊂ Df wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym punkcie zbioru Z.

Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x0,
to funkcje f + g, f - g, f ⋅ g też są ciągłe w tym punkcie, i jeżeli g(x0) ≠ 0, to funkcja 0x01 graphic

też jest ciągła w x0.

11. Pochodna funkcji i jej zastosowania

Ilorazem różnicowym funkcji f odpowiadającym przyrostowi argumentu Δx = x1 - x0,
gdzie x0, x1∈ Df i x0 ≠ x1, nazywamy liczbę 0x01 graphic
.

Jeżeli przy powyższym istnieje granica 0x01 graphic
i jest liczba skończoną, to tę liczbę nazywamy pochodną funkcji w punkcie x0 i oznaczamy f '(x0).

Jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie x0, to mówimy, że jest w tym punkcie różniczkowalna.

Jeżeli funkcja y = f(x) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0 i ma w tym punkcie pochodną, to prosta o równaniu:

y = f '(x) ⋅ ( x - x0 ) + f(x0)

jest prostą styczną do wykresu funkcji f w punkcie P ( x0, f(x0) ). f '(x0) jest tangensem kąta nachylenia tej stycznej do osi 0X.

Jeżeli przez X oznaczymy zbiór tych argumentów, dla których istnieje pochodna funkcji f, wówczas funkcję, która każdemu x ∈ X przyporządkowuje liczbę f '(x) nazywamy pochodną funkcji f. Dziedziną funkcji f ' jest zbiór X.

Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w zbiorze X, to:

  1. ( k⋅ f )' = k ⋅ f ', dla k ∈ R

  2. ( f + g )' = f ' + g'

  3. ( f - g )' = f ' - g'

  4. ( f ⋅ g )' = f '⋅ g + g'⋅ f

  5. 0x01 graphic

Pochodne niektórych funkcji:

  1. ( c )' = 0

  2. ( x m )' = m xm-1, dla m ∈ W \{0}

  3. ( sin x )' = cos x

  4. ( cos x )' = - sin x

  5. ( tg x )' = 0x01 graphic

  6. ( ctg x )' = - 0x01 graphic

Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w każdym punkcie pewnego zbioru X ⊂ R, a funkcja g w każdym punkcie y0 = f(x) zbioru wartości funkcji f, to dla x ∈ X pochodna funkcji złożonej
h = g ◦ f równa się iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej g i pochodnej funkcji wewnętrznej f:

( g ◦ f )'(x) = g'(f(x)) ⋅ f '(x).

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w zbiorze
Z ⊂ Df i pochodna funkcji f jest różniczkowalna, to pochodną funkcji f ' nazywamy drugą pochodną funkcji f i oznaczamy f ''.

12. Badanie funkcji

  1. Twierdzenia o monotoniczności funkcji

Niech funkcja f będzie różniczkowalna w przedziale ( a, b ), wtedy dla każdego x ∈ ( a, b )

  1. Ekstremum funkcji

Mówimy, że funkcja ma w punkcie x0 ∈ Df minimum ( maksimum ), jeśli dla każdego
x należącego do pewnego otoczenia punktu
x0 zawartego w dziedzinie funkcji zachodzi
f(x) > f(x0) ( f(x) < f(x0) ). Maksimum i minimum nazywamy ekstremum funkcji.

Warunek konieczny ekstremum. Jeżeli funkcja
f ma ekstremum w punkcie x0 ∈ ( a, b ) i jest w tym punkcie różniczkowalna, to

f '(x0) = 0.

Warunek wystarczający ekstremum. Jeżeli funkcja f ma pochodną w pewnym otoczeniu punktu x0, przy czym

f '(x) > 0 gdy x < x0 i f '(x) < 0 gdy x > x0

to w punkcie x0 funkcja f ma maksimum;
jeżeli natomiast

f '(x) < 0 gdy x < x0 i f '(x) > 0 gdy x > x0

to w punkcie x0 funkcja f ma minimum.

  1. Najmniejsza i największa wartość funkcji w przedziale

Mówimy, że funkcja f określona w przedziale
< a, b > osiąga w tym przedziale wartość największą ( najmniejszą ), jeśli istnieje punkt
x0 ∈ < a, b > taki, że dla każdego x ∈ < a, b > i x ≠ x0 spełniony jest warunek f(x) ≤ f(x0)
( f(x) ≥ f(x0) ).

Aby wyznaczyć największą ( najmniejszą ) wartość funkcji w przedziale < a, b >, należy znaleźć wszystkie maksima ( minima ) lokalne w tym przedziale oraz obliczyć f(a) i f(b); największa ( najmniejsza ) z tych liczb jest liczbą poszukiwaną.

  1. Asymptoty wykresu funkcji

Prostą, której odległość od wykresu danej funkcji f zmierza do zera w nieskończoności nazywamy asymptotą wykresu funkcji f.

Prostą o równaniu x = a nazywamy asymptotą pionową wykresu funkcji f, jeżeli funkcja f jest określona przynajmniej z jednej strony punktu a oraz 0x01 graphic
albo 0x01 graphic
.

Jeżeli istnieją skończone granice 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
, to prostą o

równaniu y = mx+b nazywamy asymptotą ukośną ( albo poziomą przy m = 0 ) wykresu funkcji f.

12. Badanie funkcji cd.

  1. Schemat badania funkcji

    1. Wyznaczamy dziedzinę funkcji

    2. Obliczamy granice na końcach dziedziny

    3. Wyznaczamy asymptoty wykresu funkcji

    4. Wyznaczamy pierwszą pochodną i jej dziedzinę

    5. Obliczamy miejsca zerowe pierwszej pochodnej

    6. Określamy znak pierwszej pochodnej, wyznaczamy przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji

    7. Wyznaczamy punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych i wartości funkcji w punktach wyznaczonych w 5.5, 5.6

    8. Zbieramy wyniki z poprzednich punktów w tabeli

    9. Szkicujemy wykres funkcji

13. Funkcja homograficzna

Funkcją homograficzną nazywamy funkcję postaci

f(x) = 0x01 graphic

gdzie c ≠ 0 i a⋅d - b⋅c ≠ 0.

Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór
D = 0x01 graphic
.

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.

Proste o równaniach x = 0x01 graphic
oraz y = 0x01 graphic

są asymptotami tej hiperboli.

0x08 graphic

hiperbola o równaniu y = 0x01 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic

hiperbola o równaniu y = -0x01 graphic

Aby narysować funkcję homograficzną musimy jej postać f(x) = 0x01 graphic
przekształcić do postaci f(x) = 0x01 graphic
, wtedy wykres funkcji y = 0x01 graphic
przesuwamy o wektor [ -w, t ].

Pochodna funkcji homograficznej jest równa
f '(x) = 0x01 graphic
, ponieważ z założenia licznik jest różny od zera, więc pochodna funkcji nie przyjmuje wartości równej zero, czyli funkcja homograficzna nie posiada ekstremum. Znak pochodnej zależy od znaku licznika ( czyli wyrażenia a⋅d - b⋅c ). Wynika z tego, że:

14. Geometria analityczna - wektory, proste

Współrzędnymi wektora 0x01 graphic
w prostokątnym układzie współrzędnych XOY nazywamy miary jego składowych. Jeżeli punkt A( xA, yA ) jest początkiem, a punkt B( xB, yB ) jest końcem wektora 0x01 graphic
, to współrzędnymi wektora 0x01 graphic
są liczby: a = xB - xA , b = yB - yA .


Zapisujemy to symbolicznie:
0x01 graphic
[ a, b ] lub 0x01 graphic
= [ a, b ].

Jeżeli wektor 0x01 graphic
= [ a, b ], to długość wektora 0x01 graphic
wyraża się wzorem: 0x01 graphic
.

Jeżeli punkt A( xA, yA ) i punkt B( xB, yB ),
to środek S odcinka 0x01 graphic
ma współrzędne:

xS =0x01 graphic
, yS = 0x01 graphic
.

Jeśli α jest miarą kąta skierowanego uporządkowanej pary niezerowych wektorów
( 0x01 graphic
, 0x01 graphic
) współrzędnych 0x01 graphic
= [ a1, a2 ],
0x01 graphic
= [b1, b2 ], to:

cos α = 0x01 graphic
,
sin α = 0x01 graphic
.

Jeżeli wektory 0x01 graphic
i 0x01 graphic
mają współrzędne
0x01 graphic
= [ a1, a2 ], 0x01 graphic
= [b1, b2 ], to ich iloczyn skalarny wyraża się wzorem
0x01 graphic
0x01 graphic
= a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 .

Wyznacznikiem niezerowej pary wektorów
0x01 graphic
i 0x01 graphic
o współrzędnych 0x01 graphic
= [ a1, a2 ],
0x01 graphic
= [b1, b2 ] nazywamy liczbę
d( 0x01 graphic
, 0x01 graphic
) = 0x01 graphic
= a1 ⋅ b2 - a2 ⋅ b1 .

Jeżeli punkty A( xA, yA ), B( xB, yB ) i C( xC, yC ) są wierzchołkami trójkąta, to pole trójkąta ΔABC wyraża się wzorami:

P = 0x01 graphic
=
0x01 graphic
=0x01 graphic
,

P = 0x01 graphic
.

Współczynnikiem kierunkowym prostej nieprostopadłej do osi OX nazywamy tangens kąta nachylenia tej prostej do osi OX.

Równaniem kierunkowym prostej l nieprostopadłej do osi OX nazywamy równanie postaci y = ax+b, gdzie a oznacza współczynnik kierunkowy prostej l, zaś b rzędną punktu,
w którym l przecina oś OY.

Jeżeli punkty A( xA, yA ) i B( xB, yB ) należą do prostej l, to równanie prostej l ma postać:

y - yA = 0x01 graphic
( x - xA ), gdy xA ≠ xB , lub

( y - yA )⋅( xA - xB ) - ( yA - yB )⋅( x - xA ) = 0.

Każde równanie postaci Ax+By+C = 0, gdzie
A2 + B2 ≠ 0 jest równaniem ogólnym prostej.
Wektor 0x01 graphic
= [ A, B ] jest wektorem prostopadłym do tej prostej.

Odległość punktu P ( x0, y0 ) od prostej o równaniu Ax+By+C = 0 wyraża się wzorem:

d = 0x01 graphic
.

Warunki równoległości prostych

Dwie proste o równaniach y = a1 x +b1 i
y = a2 x +b2 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy a1 = a2.

Dwie proste o równaniach Ax+By+C = 0 i
A1 x+B1 y+C1 = 0 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy

AB1 - BA1 = 0.

Warunki prostopadłości prostych

Dwie proste o równaniach y = a1 x +b1 i
y = a2 x +b2 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy a1 ⋅ a2 = -1.

Dwie proste o równaniach Ax+By+C = 0 i
A1 x+B1 y+C1 = 0 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy

AA1 + BB1 = 0.

15. Geometria analityczna - krzywe stopnia drugiego

Okrąg

Równanie okręgu o środku ( a, b ) i promieniu r ma postać ( x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 .

Równanie postaci x2 + y2 -2ax - 2by + c = 0 przedstawia okrąg wtedy i tylko wtedy,
gdy a2 +b2 - c > 0, promieniem okręgu jest
r = 0x01 graphic
, zaś środkiem punkt
( a, b ).

Równanie stycznej do okręgu o środku ( a, b ) i promieniu r w punkcie ( x0, y0 )
należącym do okręgu, ma postać
( x0 - a )( x - a )+( y0 - b )( y - b ) = r 2 .

Elipsa

Niech dane będą dwa punkty F1, F2 oraz liczba dodatnia a taka, że 2a > F1⋅F2 . Elipsą nazywamy zbiór tych wszystkich punktów P płaszczyzny, dla których PF1 + PF2 = 2a.

Jeśli punkty F1, F2 należą do osi OX, zaś początek układu współrzędnych jest środkiem odcinka 0x01 graphic
, to równanie elipsy ma postać 0x01 graphic
, gdzie b2 = a2 - c2 i |c| = OF1 .

Elipsa ta ma środek symetrii w punkcie ( 0, 0 ) i dwie osie symetrii proste OX i OY.

Równanie stycznej do elipsy w punkcie ( x0, y0 ) należącym do elipsy, ma postać: 0x01 graphic
.

Punkty F1, F2 nazywamy ogniskami elipsy.

Cięciwą elipsy nazywamy każdy odcinek, którego końce należą do elipsy. Średnicą elipsy nazywamy każdą cięciwę, do której należy środek symetrii elipsy. Osią wielką nazywamy najdłuższą z jej średnic. Osią małą nazywamy najkrótszą z jej średnic. Wierzchołkami elipsy nazywamy punkty wspólne elipsy i jej osi symetrii.

Mimośrodem elipsy nazywamy liczbę e = 0x01 graphic
, zaś kierownicami elipsy proste o równaniach:

x = 0x01 graphic
i x = -0x01 graphic
.

Hiperbola

Niech dane będą dwa punkty F1, F2 oraz liczba dodatnia a taka, że 2a < F1⋅F2 . Hiperbolą nazywamy zbiór tych wszystkich punktów P płaszczyzny, dla których PF1 - PF2 = 2a.

Jeśli punkty F1, F2 należą do osi OX, zaś początek układu współrzędnych jest środkiem odcinka 0x01 graphic
, to równanie hiperboli ma postać 0x01 graphic
, gdzie b2 = c2 - a2 i |c| = OF1.

Hiperbola ta ma środek symetrii w punkcie ( 0, 0 ) i dwie osie symetrii proste OX i OY.

Równanie stycznej do hiperboli w punkcie
( x0, y0 ) należącym do hiperboli, ma postać: 0x01 graphic
.

Punkty F1, F2 nazywamy ogniskami hiperboli.

Asymptotami hiperboli są elipsy proste o równaniach: y = 0x01 graphic
⋅x i y = -0x01 graphic
⋅x.

Parabola

Jest to krzywa, która w pewnym układzie XOY ma równanie y2 = 2px, gdzie p ≠ 0, 2p jest parametrem paraboli. Punkt F = 0x01 graphic

jest ogniskiem paraboli. Prosta o równaniu
x = -0x01 graphic
jest kierownicą paraboli. Punkt ( 0, 0 ) jest wierzchołkiem paraboli.


Parabola jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny równo odległych od jej ogniska i od jej kierownicy. Jedyną osią symetrii paraboli jest prosta OX.

Równanie stycznej do paraboli y2 = 2px w punkcie ( x0, y0 ) należącym do paraboli, ma postać:

y y0 = p ( x + x0 ).

16. Planimetria - własności podstawowych figur planimetrycznych

Odległość punktu od prostej.

Odległość punktu od figury niepustej - długość promienia największego otoczenia kołowego tego punktu wewnątrz którego nie ma punktów tej figury. Gdy otoczenie takie nie istnieje, odległość jest zerem.

Odległość punktu od prostej równa się odległości tego punktu od jego rzutu prostokątnego na tę prostą.

Położenie prostej m względem okręgu o(A,r).

m jest styczną do o(A,r) ⇔ odl. A od m = r,

m jest sieczną o(A,r) ⇔ odl. A od m < r,

m jest zewnętrzną dla o(A,r) ⇔ odl. A od m > r.

Styczna do okręgu (tzn. prosta mająca z nim dokładnie jeden punkt wspólny) jest prostopadła do promienia łączącego punkt styczności ze środkiem okręgu.

Dwa okręgi.

Jeśli okręgi o(A,a) i o(B,b) są różne i a ≥ b, to

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym.

Jeśli 0x01 graphic
0x01 graphic
i 0x01 graphic
0x01 graphic
,
to a2 =0x01 graphic
,
sinα=0x01 graphic
, cosα=0x01 graphic
, tgα=0x01 graphic
, ctgα=0x01 graphic
,
b2 =0x01 graphic
, a=0x01 graphic
=0x01 graphic
,
h2 =0x01 graphic
, b=0x01 graphic
=0x01 graphic
,
c2 = a2+b2 (tw. Pitagorasa), c=0x01 graphic
=0x01 graphic
.

Związki miarowe w dowolnym trójkącie.

Wzór sinusów: 0x01 graphic
,
gdzie r - długość promienia okręgu opisanego na ΔABC.

Wzór cosinusów: a2 = b2 + c2 - 2bc cosα.

Symetralne wszystkich boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie O, który jest środkiem okręgu przechodzącego przez punkty A, B, C, czyli okręgu opisanego na tym trójkącie.

Długość promienia opisanego na trójkącie
r =0x01 graphic
, gdzie S jest polem trójkąta;

Dwusieczne wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu stycznego do wszystkich boków trójkąta, czyli okręgu wpisanego w trójkąt.

Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt 0x01 graphic
,
gdzie S - pole, p - połowa obwodu trójkąta.

Odcinek łączący środki dwu boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i równy jego połowie.

16. Planimetria - własności podstawowych figur planimetrycznych cd.

Najważniejsze wiadomości o wielokątach.

Czworokąt - wielokąt o czterech bokach.

Suma miar kątów wewnętrznych dowolnego czworokąta jest równa 360O.

Trapez - czworokąt mający przynajmniej dwa boki równoległe.

Trapez równoramienny - trapez mający dwa boki przeciwległe nierównoległe i równe.

Jeżeli w trapezie dwa przeciwległe boki nie są równoległe, to

  1. suma kątów wewnętrznych leżących przy każdym z tych boków jest kątem półpełnym,

  2. odcinek łączący środki tych boków jest równoległy do podstaw (tzn. boków równoległych), a jego długość równa się połowie sumy długości obu podstaw.

W trapezie równoramiennym kąty przy każdej podstawie są przystające.

Trapez równoramienny ma jedną oś symetrii.

Czworokąt wpisany w okrąg i czworokąt opisany w kręgu.

Czworokąt wypukły można wpisać w okrąg ⇔ sumy miar kątów przeciwległych w tym czworokącie są równe (każda z nich jest równa 180o).

Czworokąt wypukły można opisać na okręgu ⇔ sumy długości boków przeciwległych w tym czworokącie są równe.

Odcinki, proste i kąty w związku z okręgiem

Kąt między cięciwą i styczną

Kąt ostry między cięciwą i styczną przechodzą przez koniec cięciwy jest równy połowie kąta środkowego opowiadającego cięciwie.

Kąt środkowy i kąty wpisane oparte na tym samym łuku

Wszystkie kąty wpisane okrąg i oparte na tym samym łuku są równe każdy z nich jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym łuku

Kąt wpisany w półokrąg (oparty na średnicy) jest prosty.

17. Rachunek prawdopodobieństwa

Kombinatoryka

Permutacje - każdy n - wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów n elementowego zbioru. P = n!

Kombinacje - każdy k - elementowy podzbiór n - elementowego zbioru. 0x01 graphic

Wariacje bez powtórzeń - każdy k - wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów n - elementowego zbioru. 0x01 graphic

Wariacje z powtórzeniami - każdy k - wyrazowy ciąg utworzony z elementów n - elementowego zbioru. 0x01 graphic

Własności prawdopodobieństwa

P(A) ≥ 0, P(∅) = 0, P(Ω) = 1,

jeżeli A ⊂ B to P(A) ≤ P(B), dla każdego A ⊂ Ω jest P(A) ≤1,

P(A') = 1- P(A),
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Jeżeli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne to prawdopodobieństwo każdego zdarzenia A jest ilorazem liczby zdarzeń sprzyjających temu zdarzeniu przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.
P(A) = 0x01 graphic
, gdzie
0x01 graphic
- liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A,
0x01 graphic
- liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.

Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B jest to liczba

P(A / B) = 0x01 graphic

Prawdopodobieństwo całkowite ( zupełne )

Jeśli B1, B2, ... ,Bn są zdarzeniami wyłączającymi się parami oraz ich suma jest zdarzeniem pewnym, to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi wzór:

P(A) = P(A / B1) ⋅ P(B1) + P(A / B2) ⋅ P(B2) + ... + P(A / Bn) ⋅ P(Bn)

Niezależność zdarzeń

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B).

W przeciwnym przypadku mówimy, że zdarzenia A i B są zależne.

Schemat Bernoulliego - ciąg powtórzeń tego samego doświadczenia.

Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie
k sukcesów w n próbach Bernoulliego wynosi:

Pn(k) = 0x01 graphic
⋅pk⋅qn-k,

gdzie p - prawdopodobieństwo sukcesu,
q = 1- p - prawdopodobieństwo porażki,
k = 0, 1, ... ,n.

7



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Barok, MORSZTYN, Jan Andrzej Morsztyn (1621-1693)
1693
1693
1693
Кіку Магнати боржники львівських єзуїтів (1693 1721)
Jean S MacLeod Adam s Daughter (Adam s Wife) [HS 1693] (v0 9) (docx) 2

więcej podobnych podstron