Materiały pomocnicze do matury z matematyki

1. Zbiory. Działania na zbiorach.

Zbiór oraz element zbioru to pojęcia pierwotne.

jeśli x jest elementem zbioru A to x∈A, x należy do zbioru A

jeśli y nie jest elementem zbioru A to y∉A, y nie należy do zbioru A

Każdy zbiór wyznaczony jest jednoznacznie przez jego elementy.

Zbiór skończony - zbiór, który ma skończoną liczbę elementów.

Zbiór pusty - ∅ - zbiór, który nie ma należących do niego elementów.

Zbiór nieskończony - zbiór, który nie jest ani skończony, ani pusty.

Równość zbiorów:

A = B ⇔ (dla każdego x : x∈A ⇔ x∈B )

Zawieranie się zbiorów, podzbiory:

A ⊂ B ⇔ ( dla każdego x: x∈A ⇒ x∈B )

Zbiory rozłączne - zbiory, które nie mają ani jednego elementu wspólnego.

Suma zbiorów A ∪ B:

x∈A ∪ B ⇔ ( x∈A lub x∈B )

Iloczyn zbiorów A ∩ B:

x∈A ∩ B ⇔ ( x∈A i x∈B )

Różnica zbiorów A \ B:

x∈A \ B ⇔ ( x∈A i x∉B )

Dopełnienie zbioru A ( symbol A' ):

Jeśli wszystkie zbiory znajdują się w ustalonym zbiorze X, nazywanym przestrzenią, to dopełnieniem naszego zbioru A będzie różnica X \ A

Symbolicznie:

X -przestrzeń i A ⊂ X, to A' = X \ A

Iloczyn kartezjański ( produkt ) zbiorów A × B:

Iloczyn kartezjański to uporządkowana para liczb (x,y), w której element x należy do zbioru A, a element y należy do zbioru B.

Symbolicznie:

( x, y )∈A×B ⇔ ( x∈A i y∈B )

Niektóre prawa rachunku zbiorów:

nazwa prawa	treść prawa
przemienność dodawania	A ∪ B = B ∪ A
przemienność iloczynu	A ∩ B = B ∩ A
łączność dodawania	(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
łączność iloczynu	(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
rozdzielność mnożenia względem dodawania	(A ∪ B) ∩ C =(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
rozdzielność dodawania względem mnożenia	(A ∩ B) ∪ C =(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
prawa de'Morgana	(A ∩ B)' = A' ∪ B' (A ∪ B)' = A' ∩ B'

2. Układy równań i nierówności.

Wartość bezwzględna dla liczby rzeczywistej

Nierówności z wartością bezwzględną

< a , to x∈( -a, a )
> a , to x∈( -∞, -a ) ∪ ( a, ∞ )

, to x∈[ -a, a ]
, to x∈( -∞, -a ] ∪ [ a, ∞ )

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązaniem układu równań liniowych (stopnia pierwszego) z dwiema niewiadomymi jest każda para liczb, która spełnia jednocześnie pierwsze i drugie równanie.

Mamy układ równań
(*)

Wyznacznikami układu są liczby:

W =
= a₁ ⋅ b₂ - a₂ ⋅ b₁;

W_x =
= c₁ ⋅ b₂ - c₂ ⋅ b₁;

W_y =
= a₁ ⋅ c₂ - a₂ ⋅ c₁;

Układ równań (*) jest układem równań:

1. niezależnych ⇔ W ≠ 0, wtedy układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami:

x =
, y =
,

interpretacja geometryczna układu to dwie proste, które się przecinają

2. zależnych ⇔ W = 0 i W_x = 0 i W_y = 0, wtedy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań ( x, y ) takich, że x ∈ R, a
   y = −
   x +
   ;

interpretacja geometryczna układu to dwie proste, które się pokrywają

3. sprzecznych ⇔ W = 0 i W_x ≠ 0 lub W_y ≠ 0, zbiór rozwiązań układu to zbiór pusty,

interpretacja geometryczna układu to dwie proste, które się równoległe.

3. Funkcja kwadratowa.

Funkcja kwadratowa (trójmian kwadratowy) to funkcja f określona wzorem postaci

f(x) =ax² + bx + c,

gdzie a, b, c ∈ R i a ≠ 0.

Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego to postać:

,

gdzie Δ = b²- 4ac. Δ nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego.

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej:

• funkcja kwadratowa ma dwa różne miejsca zerowe x₁, x₂ wtedy i tylko wtedy, gdy Δ>0,

tymi miejscami zerowymi są:
,
,

• funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe x₁ wtedy i tylko wtedy, gdy Δ=0,

,

• funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy Δ<0.

Iloczynowa postać funkcji kwadratowej:

• jeżeli Δ>0, wtedy trójmian kwadratowy y = ax² + bx + c (gdzie a ≠ 0) można zaprezentować w postaci iloczynu
  y = a(x-x₁)(x-x₂), gdzie x₁, x₂ są to miejsca zerowe trójmianu kwadratowego;

• jeżeli Δ=0, to trójmian kwadratowy y= ax² + bx + c (a ≠ 0) można przedstawić w postaci iloczynu y = a(x-x₁)², gdzie x₁ jest miejscem zerowym trójmianu kwadratowego.

Wzory Viete'a

Jeżeli trójmian kwadratowy y = ax² + bx + c
(a ≠ 0) ma miejsce zerowe (dwa lub jedno) x₁, x₂, to

,

.

Wykres funkcji kwadratowej y = ax² + bx + c, gdzie a ≠ 0, jest krzywą - parabolą. Wierzchołek paraboli ma współrzędne:
.

Dla a < 0 w wierzchołku paraboli mamy maksimum funkcji kwadratowej,

Dla a > 0 w wierzchołku paraboli mamy minimum funkcji kwadratowej.

a > 0 a >0 a > 0 a < 0

Δ < 0 Δ = 0 Δ > 0 Δ > 0

4. Wielomiany

Wielomianem stopnia n jednej zmiennej nazywamy funkcję W: R → R postaci:

W(x)=a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ,

gdzie a₀, a₁, a₂, ..., a_n ∈ R i a_n ≠ 0, n ∈ N.

Liczby a₀, a₁, a₂, ..., a_n nazywamy współczynnikami wielomianu W.

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.

Wielomian W jest podzielny przez wielomian W₁ jeśli istnieje wielomian Q taki, że

W(x) = W₁(x)⋅Q(x) dla każdego x ∈ R.

Dla każdej pary wielomianów W i W₁ takich, że stopień wielomianu W₁ jest dodatni, istnieje dokładnie jeden układ wielomianów Q i R, dla których W(x) = W₁(x)⋅Q(x)+R(x) (dla każdego
x ∈ R) i stopień wielomianu R jest mniejszy od stopnia wielomianu W₁ lub wielomian R jest zerowy. Wielomian R nazywamy resztą z dzielenia wielomianu W przez wielomian W₁.

Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian postaci ( x - r ), gdzie r ∈ R, jest równa liczbie W(r).

Twierdzenie Bézouta. Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest podzielny przez dwumian ( x -a ).

Jeżeli liczba wymierna
jest miejscem zerowym wielomianu W(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ, gdzie a_n≠0, to q jest dzielnikiem współczynnika a_n, zaś p jest dzielnikiem współczynnika a₀.

5. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Funkcją wykładniczą jednej zmiennej nazywamy funkcję f: ( R ) → R₊ określoną wzorem postaci:

f ( x ) = a^x, gdzie a∈R₊ .

Własności funkcji wymiernej:

• Funkcja f ( x ) = a^x przyjmuje tylko wartości dodatnie;

• Funkcja f ( x ) = a^x jest rosnąca gdy
  a > 1;

• Funkcja f ( x ) = a^x jest stała gdy a = 1;

• Funkcja f ( x ) = a^x jest malejąca gdy
  0 < a < 1.

Równania i nierówności wymierne:

• Jeżeli a > 0 i a ≠ 1 oraz a^x = a^y to x = y;

• Jeżeli a > 1 oraz a^x > a^y (a^x < a^y )
  to x > y ( x < y );

• Jeżeli a > 1 oraz a^x ≥ a^y (a^x ≤ a^y )
  to x ≥ y ( x ≤ y );

• Jeżeli 0 < a < 1 oraz a^x > a^y (a^x < a^y ) to x < y ( x > y );

• Jeżeli 0 < a < 1 oraz a^x ≥ a^y (a^x ≤ a^y ) to x ≤ y ( x ≥ y ).

Logarytm dodatniej liczby b przy podstawie a
( a > 0 i a ≠ 1 ) jest to wykładnik potęgi, do której należy podnieść a, żeby otrzymać b:

log _a b = z ⇔ a^z = b.

Z określenia logarytmu wynika, że
log _a 1 = 0, log _a a = 1.

Funkcją logarytmiczną jednej zmiennej nazywamy funkcję f: ( R₊ ) → R określoną wzorem postaci:

f ( x ) = log _a x, gdzie a∈R₊\{1}.

Własności funkcji wymiernej:

• Funkcja f ( x ) = log _a x jest rosnąca gdy a > 1;

• Funkcja f ( x ) = log _a x jest malejąca gdy 0 < a < 1.

Twierdzenia o logarytmach:

• Jeśli a, b, c ∈ R₊ i a ≠ 1,
  to log _a (b⋅c) = log _a b + log _a c oraz log _a
  = log _a b - log _a c;

• Jeśli a, b ∈ R₊ , a ≠ 1 i r ∈ R,
  to log _a b^r = r log _a b;

• Jeśli a, b, x ∈ R₊ , a ≠ 1 i b ≠ 1,
  to log _a b =
  ( zmiana podstawy logarytmu ).

6. Funkcje trygonometryczne

Jeśli α jest miarą kąta skierowanego
, P jest dowolnym punktem końcowego ramienia tego kąta ( P ≠ O, x i y są współrzędnymi P,
, to

sin α =
, cos α =
, tg α =

( gdy x ≠ 0 ), ctg α =
( gdy y ≠ 0 ).

Związki między funkcjami tego samego kąta x:

• sin²x + cos²x = 1, dla x∈ R,

• tg x =
  , dla x ≠(2k+1)⋅
  , k∈C,

• ctg x =
  , dla x ≠ kΠ, k∈C,

• tg x ⋅ ctg x = 1, dla x≠k⋅
  , k∈C.

Funkcje trygonometryczne kąta podwójnego:

• sin 2x = 2⋅sin x⋅cos x,

• cos 2x = cos²x - sin²x = 1 - 2sin²x =
  2 cos²x - 1,

• tg 2x =
  , dla x ≠ (2k+1)⋅
  i x ≠ (2k+1)⋅
  , k∈C,

• ctg 2x =
  , dla x ≠ k⋅
  , k∈C.

Funkcje trygonometryczne to funkcje okresowe. Okresem zasadniczym funkcji sinus i cosinus jest 2Π, a okresem zasadniczym funkcji tangens i cotangens jest Π.

Równania trygonometryczne są to równania, w których niewiadome występują pod znakami funkcji trygonometrycznych.

Tabela zawiera rozwiązania najprostszych równań
trygonometrycznych:

Równanie	Rozwiązanie	x0 jedyne rozwiązanie równania należące do przedziału
sin x = a, |a|<1	x = kΠ+(-1)^kx0, k∈C
cos x = a, |a|<1	x = 2kΠ ± x0, k∈C	( 0, Π )
tg x = a, a∈R	x = kΠ + x0, k∈C
ctg x = a, a∈R	x = kΠ + x0, k∈C	∪

7. Funkcje wymierne. Równania i nierówności wymierne.

Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy funkcję F: ( R \ A ) → R określoną wzorem postaci:

,

gdzie W i W₁ są wielomianami, zaś A jest zbiorem wszystkich miejsc zerowych wielomianu W₁.

Równaniem wymiernym nazywamy równanie postaci:

, gdzie W i W₁ są wielomianami.

Rozwiązaniem równania
nazywamy każdą liczbę r, dla której
W₁(r) ≠ 0 i W(r) = 0.

Nierównością wymierną nazywamy nierówność postaci

, lub
, lub
, lub
,

gdzie W i W₁ są wielomianami.

Nierówności

,

są równoważne odpowiednio nierównościom w postaci iloczynu:

W(x)⋅W₁(x)>0, W(x)⋅W₁(x)<0.

Natomiast nierówności

,

są równoważne odpowiednio układom:

,
.

8. Ciągi

Zasada indukcji matematycznej ( zupełnej )

Jeżeli twierdzenie, które dotyczy liczb naturalnych, jest

1. prawdziwe dla ustalonej liczby naturalnej n₀,

2. jeżeli dla każdej liczby naturalnej
   k ≥ n₀ z założenia prawdziwości twierdzenia dla
   k wynika, że jest ono prawdziwe dla liczby następnej k + 1, to twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n ≥ n₀.

Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych dodatnich ( N \ { 0 } ). Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy f ( n ) = a_n. Jeżeli wyrazy ciągu są liczbami rzeczywistymi , to ciąg nazywamy ciągiem liczbowym.

Ciąg o wyrazach a₁, a₂,..., a_n, ... oznaczamy ( a_n ).

Ciąg liczbowy ( a_n ) nazywamy:

• ciągiem rosnącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego n∈N\{0} zachodzi a_n < a_n+1;

• ciągiem malejącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego n∈N\{0} zachodzi a_n > a_n+1;

• ciągiem niemalejącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego n∈N\{0} zachodzi a_n ≤ a_n+1;

• ciągiem nierosnącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego n∈N\{0} zachodzi a_n ≥ a_n+1.

Ciągi rosnące lub malejące nazywamy monotonicznymi.

Granice ciągu

Liczba g jest granicą ciągu liczbowego ( a_n ) wtedy i tylko wtedy, gdy do każdego otoczenia liczby g należą wszystkie wyrazy tego ciągu z wyjątkiem skończonej ich ilości.

.

Ciąg liczbowy ( a_n ) jest rozbieżny do +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby A wszystkie wyrazy tego ciągu oprócz skończonej ich ilości są większe od A..

.

Ciąg liczbowy ( a_n ) jest rozbieżny do -∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby B wszystkie wyrazy tego ciągu oprócz skończonej ich ilości są mniejsze od B..

.

Prawdziwe są następujące twierdzenia:

1. Jeżeli
   i
   , to:

a)
= a + b,
b)
= a - b,

c)
= a ⋅ b,
d) jeżeli
, to
.

2. Jeżeli dla każdego n∈N\{0} a_n > 0 i
   , to
   .

3. Jeżeli dla każdego n∈N\{0} a_n < 0 i
   , to
   .

4. Jeżeli
   , to
   .

5. Jeżeli
   
   i ciąg ( b_n ) jest ciągiem ograniczonym, to
   .

9. Ciągi arytmetyczny i geometryczny

Ciąg arytmetyczny

Ciąg ( a_n ) nazywamy arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy różnica między dowolnym wyrazem ciągu a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym, jest stała dla danego ciągu.

a_n+1 - a_n = r

Dla dowolnego ciągu ( a_n ) przez S_n oznaczamy sumę pierwszych n wyrazów tego ciągu, tzn.

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n.

Jeżeli ciąg ( a_n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to prawdziwe są wzory:

• dla każdego n∈N\{0} a_n = a₁ + ( n - 1 ) r,

• dla każdego n∈N\{0}
  a_n =
  ,

• dla każdego n∈N\{0}
  S_n =
  =
  .

Ciąg geometryczny

Ciąg ( a_n ) nazywamy geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy a₁ ≠ 0 i iloraz dowolnego wyrazu tego ciągu i wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, jest dla danego ciągu stały.

= q

Jeżeli ciąg ( a_n ) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q ≠ 0, to prawdziwe są wzory:

• dla każdego n∈N\{0} a_n = a₁ ⋅q^n-1,

• dla każdego n∈N\{0} a_n² = a_n-1⋅a_n+1,

• jeżeli q ≠ 1, to S_n = a₁
  ,

• jeżeli q = 1, to S_n = n ⋅ a₁.

Dla ciągu geometrycznego ( a_n ) spełniającego warunek q < 1 zachodzi:

• 
  ,

• 
  
  .

10. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.

1. Granica funkcji w punkcie

Liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( x_n ) takiego, że x_n ∈ D_f , x_n ≠ x₀ i
jest
.

2. Granice jednostronne funkcji w punkcie

a) Liczbę a nazywamy granicą lewostronną funkcji f w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( x_n ) spełniającego warunki
x_n ∈ D_f , x_n < x₀ i

jest
.

b) Liczbę b nazywamy granicą prawostronną funkcji f w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( x_n ) spełniającego warunki
x_n ∈ D_f , x_n > x₀ i

jest
.

c) Istnienie granic jednostronnych funkcji w punkcie x₀ i ich równość jest równoważna istnieniu granicy funkcji w punkcie x₀.

3. Granica niewłaściwa funkcji w punkcie

a) Funkcja f ma w punkcie x₀ granicę niewłaściwą +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( x_n ) takiego, że
, x_n ∈ D_f i x_n ≠ x₀
jest
.

b) Funkcja f ma w punkcie x₀ granicę niewłaściwą -∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( x_n ) takiego, że
, x_n ∈ D_f i x_n ≠ x₀
jest
.

4. Twierdzenia o granicy funkcji w punkcie

Jeżeli
i
, to:

a)
= a + b,
b)
= a - b,

c)
= a ⋅ b,
d) jeżeli b≠0, to
.

5. Granica funkcji w +∞ oraz w -∞

a) Mówimy, że granicą funkcji y = f(x) w +∞ jest liczba g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( x_n ) spełniającego warunki x_n ∈ D_f i
jest
.

b) Mówimy, że granicą funkcji y = f(x) w -∞ jest liczba g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( x_n ) spełniającego warunki x_n ∈ D_f i
jest
.

6. Ciągłość funkcji

Funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ ∈ D_f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica funkcji w punkcie x₀ i
.

Funkcja f jest ciągła w zbiorze Z ⊂ D_f wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym punkcie zbioru Z.

Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x₀,
to funkcje f + g, f - g, f ⋅ g też są ciągłe w tym punkcie, i jeżeli g(x₀) ≠ 0, to funkcja

też jest ciągła w x₀.

11. Pochodna funkcji i jej zastosowania

Ilorazem różnicowym funkcji f odpowiadającym przyrostowi argumentu Δx = x₁ - x₀,
gdzie x₀, x₁∈ D_f i x₀ ≠ x₁, nazywamy liczbę
.

Jeżeli przy powyższym istnieje granica
i jest liczba skończoną, to tę liczbę nazywamy pochodną funkcji w punkcie x₀ i oznaczamy f '(x₀).

Jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie x₀, to mówimy, że jest w tym punkcie różniczkowalna.

Jeżeli funkcja y = f(x) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x₀ i ma w tym punkcie pochodną, to prosta o równaniu:

y = f '(x) ⋅ ( x - x₀ ) + f(x₀)

jest prostą styczną do wykresu funkcji f w punkcie P ( x₀, f(x₀) ). f '(x₀) jest tangensem kąta nachylenia tej stycznej do osi 0X.

Jeżeli przez X oznaczymy zbiór tych argumentów, dla których istnieje pochodna funkcji f, wówczas funkcję, która każdemu x ∈ X przyporządkowuje liczbę f '(x) nazywamy pochodną funkcji f. Dziedziną funkcji f ' jest zbiór X.

Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w zbiorze X, to:

1. ( k⋅ f )' = k ⋅ f ', dla k ∈ R

2. ( f + g )' = f ' + g'

3. ( f - g )' = f ' - g'

4. ( f ⋅ g )' = f '⋅ g + g'⋅ f

5. 
   

Pochodne niektórych funkcji:

1. ( c )' = 0

2. ( x ^m )' = m x^m-1, dla m ∈ W \{0}

3. ( sin x )' = cos x

4. ( cos x )' = - sin x

5. ( tg x )' =
   

6. ( ctg x )' = -
   

Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w każdym punkcie pewnego zbioru X ⊂ R, a funkcja g w każdym punkcie y₀ = f(x) zbioru wartości funkcji f, to dla x ∈ X pochodna funkcji złożonej
h = g ◦ f równa się iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej g i pochodnej funkcji wewnętrznej f:

( g ◦ f )'(x) = g'(f(x)) ⋅ f '(x).

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w zbiorze
Z ⊂ D_f i pochodna funkcji f jest różniczkowalna, to pochodną funkcji f ' nazywamy drugą pochodną funkcji f i oznaczamy f ''.

12. Badanie funkcji

1. Twierdzenia o monotoniczności funkcji

Niech funkcja f będzie różniczkowalna w przedziale ( a, b ), wtedy dla każdego x ∈ ( a, b )

• jeżeli f '(x) > 0, to funkcja f jest rosnąca w przedziale ( a, b );

• jeśli f jest rosnąca w przedziale ( a, b ), to f '(x) ≥ 0;

• jeżeli f '(x) < 0, to funkcja f jest malejąca w przedziale ( a, b );

• jeśli f jest malejąca w przedziale
  ( a, b ), to f '(x) ≤ 0.

2. Ekstremum funkcji

Mówimy, że funkcja ma w punkcie x₀ ∈ D_f minimum ( maksimum ), jeśli dla każdego
x należącego do pewnego otoczenia punktu
x₀ zawartego w dziedzinie funkcji zachodzi
f(x) > f(x₀) ( f(x) < f(x₀) ). Maksimum i minimum nazywamy ekstremum funkcji.

Warunek konieczny ekstremum. Jeżeli funkcja
f ma ekstremum w punkcie x₀ ∈ ( a, b ) i jest w tym punkcie różniczkowalna, to

f '(x₀) = 0.

Warunek wystarczający ekstremum. Jeżeli funkcja f ma pochodną w pewnym otoczeniu punktu x₀, przy czym

f '(x) > 0 gdy x < x₀ i f '(x) < 0 gdy x > x₀

to w punkcie x₀ funkcja f ma maksimum;
jeżeli natomiast

f '(x) < 0 gdy x < x₀ i f '(x) > 0 gdy x > x₀

to w punkcie x₀ funkcja f ma minimum.

3. Najmniejsza i największa wartość funkcji w przedziale

Mówimy, że funkcja f określona w przedziale
< a, b > osiąga w tym przedziale wartość największą ( najmniejszą ), jeśli istnieje punkt
x₀ ∈ < a, b > taki, że dla każdego x ∈ < a, b > i x ≠ x₀ spełniony jest warunek f(x) ≤ f(x₀)
( f(x) ≥ f(x₀) ).

Aby wyznaczyć największą ( najmniejszą ) wartość funkcji w przedziale < a, b >, należy znaleźć wszystkie maksima ( minima ) lokalne w tym przedziale oraz obliczyć f(a) i f(b); największa ( najmniejsza ) z tych liczb jest liczbą poszukiwaną.

4. Asymptoty wykresu funkcji

Prostą, której odległość od wykresu danej funkcji f zmierza do zera w nieskończoności nazywamy asymptotą wykresu funkcji f.

Prostą o równaniu x = a nazywamy asymptotą pionową wykresu funkcji f, jeżeli funkcja f jest określona przynajmniej z jednej strony punktu a oraz
albo
.

Jeżeli istnieją skończone granice
oraz
, to prostą o

równaniu y = mx+b nazywamy asymptotą ukośną ( albo poziomą przy m = 0 ) wykresu funkcji f.

12. Badanie funkcji cd.

1. Schemat badania funkcji

1. Wyznaczamy dziedzinę funkcji

2. Obliczamy granice na końcach dziedziny

3. Wyznaczamy asymptoty wykresu funkcji

4. Wyznaczamy pierwszą pochodną i jej dziedzinę

5. Obliczamy miejsca zerowe pierwszej pochodnej

6. Określamy znak pierwszej pochodnej, wyznaczamy przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji

7. Wyznaczamy punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych i wartości funkcji w punktach wyznaczonych w 5.5, 5.6

8. Zbieramy wyniki z poprzednich punktów w tabeli

9. Szkicujemy wykres funkcji

13. Funkcja homograficzna

Funkcją homograficzną nazywamy funkcję postaci

f(x) =

gdzie c ≠ 0 i a⋅d - b⋅c ≠ 0.

Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór
D =
.

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.

Proste o równaniach x =
oraz y =

są asymptotami tej hiperboli.

hiperbola o równaniu y =



hiperbola o równaniu y = -

Aby narysować funkcję homograficzną musimy jej postać f(x) =
przekształcić do postaci f(x) =
, wtedy wykres funkcji y =
przesuwamy o wektor [ -w, t ].

Pochodna funkcji homograficznej jest równa
f '(x) =
, ponieważ z założenia licznik jest różny od zera, więc pochodna funkcji nie przyjmuje wartości równej zero, czyli funkcja homograficzna nie posiada ekstremum. Znak pochodnej zależy od znaku licznika ( czyli wyrażenia a⋅d - b⋅c ). Wynika z tego, że:

• 
  funkcja homograficzna jest w przedziałach
  ( -∞,
  ) oraz (
  , +∞ )
  rosnąca, gdy a⋅d - b⋅c > 0;
  

• funkcja homograficzna jest w przedziałach
  ( -∞,
  ) oraz (
  , +∞ )
  malejąca, gdy a⋅d - b⋅c < 0.

14. Geometria analityczna - wektory, proste

Współrzędnymi wektora
w prostokątnym układzie współrzędnych XOY nazywamy miary jego składowych. Jeżeli punkt A( x_A, y_A ) jest początkiem, a punkt B( x_B, y_B ) jest końcem wektora
, to współrzędnymi wektora
są liczby: a = x_B - x_A , b = y_B - y_A .

Zapisujemy to symbolicznie:

[ a, b ] lub
= [ a, b ].

Jeżeli wektor
= [ a, b ], to długość wektora
wyraża się wzorem:
.

Jeżeli punkt A( x_A, y_A ) i punkt B( x_B, y_B ),
to środek S odcinka
ma współrzędne:

x_S =
, y_S =
.

Jeśli α jest miarą kąta skierowanego uporządkowanej pary niezerowych wektorów
(
,
) współrzędnych
= [ a₁, a₂ ],

= [b₁, b₂ ], to:

cos α =
,
sin α =
.

Jeżeli wektory
i
mają współrzędne

= [ a₁, a₂ ],
= [b₁, b₂ ], to ich iloczyn skalarny wyraża się wzorem

⋅
= a₁ ⋅ b₁ + a₂ ⋅ b₂ .

Wyznacznikiem niezerowej pary wektorów

i
o współrzędnych
= [ a₁, a₂ ],

= [b₁, b₂ ] nazywamy liczbę
d(
,
) =
= a₁ ⋅ b₂ - a₂ ⋅ b₁ .

Jeżeli punkty A( x_A, y_A ), B( x_B, y_B ) i C( x_C, y_C ) są wierzchołkami trójkąta, to pole trójkąta ΔABC wyraża się wzorami:

P =
=

=
,

P =
.

Współczynnikiem kierunkowym prostej nieprostopadłej do osi OX nazywamy tangens kąta nachylenia tej prostej do osi OX.

Równaniem kierunkowym prostej l nieprostopadłej do osi OX nazywamy równanie postaci y = ax+b, gdzie a oznacza współczynnik kierunkowy prostej l, zaś b rzędną punktu,
w którym l przecina oś OY.

Jeżeli punkty A( x_A, y_A ) i B( x_B, y_B ) należą do prostej l, to równanie prostej l ma postać:

y - y_A =
( x - x_A ), gdy x_A ≠ x_B , lub

( y - y_A )⋅( x_A - x_B ) - ( y_A - y_B )⋅( x - x_A ) = 0.

Każde równanie postaci Ax+By+C = 0, gdzie
A² + B² ≠ 0 jest równaniem ogólnym prostej.
Wektor
= [ A, B ] jest wektorem prostopadłym do tej prostej.

Odległość punktu P ( x₀, y₀ ) od prostej o równaniu Ax+By+C = 0 wyraża się wzorem:

d =
.

Warunki równoległości prostych

Dwie proste o równaniach y = a₁ x +b₁ i
y = a₂ x +b₂ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy a₁ = a₂.

Dwie proste o równaniach Ax+By+C = 0 i
A₁ x+B₁ y+C₁ = 0 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy

AB₁ - BA₁ = 0.

Warunki prostopadłości prostych

Dwie proste o równaniach y = a₁ x +b₁ i
y = a₂ x +b₂ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy a₁ ⋅ a₂ = -1.

Dwie proste o równaniach Ax+By+C = 0 i
A₁ x+B₁ y+C₁ = 0 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy

AA₁ + BB₁ = 0.

15. Geometria analityczna - krzywe stopnia drugiego

Okrąg

Równanie okręgu o środku ( a, b ) i promieniu r ma postać ( x - a )² + ( y - b )² = r ² .

Równanie postaci x² + y² -2ax - 2by + c = 0 przedstawia okrąg wtedy i tylko wtedy,
gdy a² +b² - c > 0, promieniem okręgu jest
r =
, zaś środkiem punkt
( a, b ).

Równanie stycznej do okręgu o środku ( a, b ) i promieniu r w punkcie ( x₀, y₀ )
należącym do okręgu, ma postać
( x₀ - a )( x - a )+( y₀ - b )( y - b ) = r ² .

Elipsa

Niech dane będą dwa punkty F₁, F₂ oraz liczba dodatnia a taka, że 2a > F₁⋅F₂ . Elipsą nazywamy zbiór tych wszystkich punktów P płaszczyzny, dla których PF₁ + PF₂ = 2a.

Jeśli punkty F₁, F₂ należą do osi OX, zaś początek układu współrzędnych jest środkiem odcinka
, to równanie elipsy ma postać
, gdzie b² = a² - c² i |c| = OF₁ .

Elipsa ta ma środek symetrii w punkcie ( 0, 0 ) i dwie osie symetrii proste OX i OY.

Równanie stycznej do elipsy w punkcie ( x₀, y₀ ) należącym do elipsy, ma postać:
.

Punkty F₁, F₂ nazywamy ogniskami elipsy.

Cięciwą elipsy nazywamy każdy odcinek, którego końce należą do elipsy. Średnicą elipsy nazywamy każdą cięciwę, do której należy środek symetrii elipsy. Osią wielką nazywamy najdłuższą z jej średnic. Osią małą nazywamy najkrótszą z jej średnic. Wierzchołkami elipsy nazywamy punkty wspólne elipsy i jej osi symetrii.

Mimośrodem elipsy nazywamy liczbę e =
, zaś kierownicami elipsy proste o równaniach:

x =
i x = -
.

Hiperbola

Niech dane będą dwa punkty F₁, F₂ oraz liczba dodatnia a taka, że 2a < F₁⋅F₂ . Hiperbolą nazywamy zbiór tych wszystkich punktów P płaszczyzny, dla których PF₁ - PF₂ = 2a.

Jeśli punkty F₁, F₂ należą do osi OX, zaś początek układu współrzędnych jest środkiem odcinka
, to równanie hiperboli ma postać
, gdzie b² = c² - a² i |c| = OF₁.

Hiperbola ta ma środek symetrii w punkcie ( 0, 0 ) i dwie osie symetrii proste OX i OY.

Równanie stycznej do hiperboli w punkcie
( x₀, y₀ ) należącym do hiperboli, ma postać:
.

Punkty F₁, F₂ nazywamy ogniskami hiperboli.

Asymptotami hiperboli są elipsy proste o równaniach: y =
⋅x i y = -
⋅x.

Parabola

Jest to krzywa, która w pewnym układzie XOY ma równanie y² = 2px, gdzie p ≠ 0, 2p jest parametrem paraboli. Punkt F =

jest ogniskiem paraboli. Prosta o równaniu
x = -
jest kierownicą paraboli. Punkt ( 0, 0 ) jest wierzchołkiem paraboli.

Parabola jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny równo odległych od jej ogniska i od jej kierownicy. Jedyną osią symetrii paraboli jest prosta OX.

Równanie stycznej do paraboli y² = 2px w punkcie ( x₀, y₀ ) należącym do paraboli, ma postać:

y ⋅ y₀ = p⋅ ( x + x₀ ).

16. Planimetria - własności podstawowych figur planimetrycznych

Odległość punktu od prostej.

Odległość punktu od figury niepustej - długość promienia największego otoczenia kołowego tego punktu wewnątrz którego nie ma punktów tej figury. Gdy otoczenie takie nie istnieje, odległość jest zerem.

Odległość punktu od prostej równa się odległości tego punktu od jego rzutu prostokątnego na tę prostą.

Położenie prostej m względem okręgu o(A,r).

m jest styczną do o(A,r) ⇔ odl. A od m = r,

m jest sieczną o(A,r) ⇔ odl. A od m < r,

m jest zewnętrzną dla o(A,r) ⇔ odl. A od m > r.

Styczna do okręgu (tzn. prosta mająca z nim dokładnie jeden punkt wspólny) jest prostopadła do promienia łączącego punkt styczności ze środkiem okręgu.

Dwa okręgi.

Jeśli okręgi o(A,a) i o(B,b) są różne i a ≥ b, to

• o(A,a) i o(B,b) są wzajemnie
  zewnętrzne ⇔ AB > a + b,

• o(A,a) i o(B,b) są zewnętrznie
  styczne ⇔ AB = a + b,

• o(A,a) i o(B,b) przecinają
  się ⇔ a - b < AB < a + b,

• o(A,a) i o(B,b) są wewnętrznie
  styczne ⇔ a - b = AB,

• o(B,b) ⊂ k(A,a) ⇔ a - b > AB.

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym.

Jeśli
⊥
i
⊥
,
to a² =
,
sinα=
, cosα=
, tgα=
, ctgα=
,
b² =
, a=
=
,
h² =
, b=
=
,
c² = a²+b² (tw. Pitagorasa), c=
=
.

Związki miarowe w dowolnym trójkącie.

Wzór sinusów:
,
gdzie r - długość promienia okręgu opisanego na ΔABC.

Wzór cosinusów: a² = b² + c² - 2bc cosα.

Symetralne wszystkich boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie O, który jest środkiem okręgu przechodzącego przez punkty A, B, C, czyli okręgu opisanego na tym trójkącie.

Długość promienia opisanego na trójkącie
r =
, gdzie S jest polem trójkąta;

Dwusieczne wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu stycznego do wszystkich boków trójkąta, czyli okręgu wpisanego w trójkąt.

Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt
,
gdzie S - pole, p - połowa obwodu trójkąta.

Odcinek łączący środki dwu boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i równy jego połowie.

16. Planimetria - własności podstawowych figur planimetrycznych cd.

Najważniejsze wiadomości o wielokątach.

Czworokąt - wielokąt o czterech bokach.

Suma miar kątów wewnętrznych dowolnego czworokąta jest równa 360^O.

Trapez - czworokąt mający przynajmniej dwa boki równoległe.

Trapez równoramienny - trapez mający dwa boki przeciwległe nierównoległe i równe.

Jeżeli w trapezie dwa przeciwległe boki nie są równoległe, to

1. suma kątów wewnętrznych leżących przy każdym z tych boków jest kątem półpełnym,

2. odcinek łączący środki tych boków jest równoległy do podstaw (tzn. boków równoległych), a jego długość równa się połowie sumy długości obu podstaw.

W trapezie równoramiennym kąty przy każdej podstawie są przystające.

Trapez równoramienny ma jedną oś symetrii.

Czworokąt wpisany w okrąg i czworokąt opisany w kręgu.

Czworokąt wypukły można wpisać w okrąg ⇔ sumy miar kątów przeciwległych w tym czworokącie są równe (każda z nich jest równa 180^o).

Czworokąt wypukły można opisać na okręgu ⇔ sumy długości boków przeciwległych w tym czworokącie są równe.

Odcinki, proste i kąty w związku z okręgiem

Kąt między cięciwą i styczną

Kąt ostry między cięciwą i styczną przechodzą przez koniec cięciwy jest równy połowie kąta środkowego opowiadającego cięciwie.

Kąt środkowy i kąty wpisane oparte na tym samym łuku

Wszystkie kąty wpisane okrąg i oparte na tym samym łuku są równe każdy z nich jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym łuku

Kąt wpisany w półokrąg (oparty na średnicy) jest prosty.

17. Rachunek prawdopodobieństwa

Kombinatoryka

Permutacje - każdy n - wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów n elementowego zbioru. P = n!

Kombinacje - każdy k - elementowy podzbiór n - elementowego zbioru.

Wariacje bez powtórzeń - każdy k - wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów n - elementowego zbioru.

Wariacje z powtórzeniami - każdy k - wyrazowy ciąg utworzony z elementów n - elementowego zbioru.

Własności prawdopodobieństwa

P(A) ≥ 0, P(∅) = 0, P(Ω) = 1,

jeżeli A ⊂ B to P(A) ≤ P(B), dla każdego A ⊂ Ω jest P(A) ≤1,

P(A') = 1- P(A),
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Jeżeli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne to prawdopodobieństwo każdego zdarzenia A jest ilorazem liczby zdarzeń sprzyjających temu zdarzeniu przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.
P(A) =
, gdzie

- liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A,

- liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.

Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B jest to liczba

P(A / B) =

Prawdopodobieństwo całkowite ( zupełne )

Jeśli B₁, B₂, ... ,B_n są zdarzeniami wyłączającymi się parami oraz ich suma jest zdarzeniem pewnym, to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi wzór:

P(A) = P(A / B₁) ⋅ P(B₁) + P(A / B₂) ⋅ P(B₂) + ... + P(A / B_n) ⋅ P(B_n)

Niezależność zdarzeń

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B).

W przeciwnym przypadku mówimy, że zdarzenia A i B są zależne.

Schemat Bernoulliego - ciąg powtórzeń tego samego doświadczenia.

Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie
k sukcesów w n próbach Bernoulliego wynosi:

P_n(k) =
⋅p^k⋅q^n-k,

gdzie p - prawdopodobieństwo sukcesu,
q = 1- p - prawdopodobieństwo porażki,
k = 0, 1, ... ,n.

7

---