JEŻELI

DK jest dobre I

WK jest mały I

CK jest tani

TO UK jest bardzo bardzo bardzo wysoka.

Reguła ta opisuje największą możliwą użyteczność.

Jeżeli kalkulator jest drogi, to w świetle naszych informacji (punkt 3) jest zaledwie akceptowalny, nawet, jeżeli jest mały i działa dobrze. Otrzymujemy, więc regułę:

JEŻELI

DK jest dobre I

WK jest mały I

CK jest drogi

TO UK jest średnio niska.

W ten sposób na podstawie przedstawionej wiedzy możemy zbudować szkielet modelu. Oczywiście system w tej fazie należy uznać za prototyp, który będzie popra­wiany na etapie dalszych konsultacji. Stosunkowo łatwo możemy utworzyć reguły dla kluczowych punktów bazy wiedzy. W kolejnym kroku musimy wypełnić luki między nimi.

Reguły przedstawione powyżej wyznaczają granice, w jakich zmienia się użyteczność, wraz ze zmianą CK (ceny kalkulatora), przy ustalonych wartościach innych zmiennych. Użyteczność UK spada w miarę wzrostu ceny. Gorzej widziane w oczach klientów są jednak również kalkulatory większe. Który atrybut powoduje szybszy spadek użyteczności? Wielkość kalkulatora (WK) tak naprawdę staje się istotna dopie­ro w momencie, gdy kalkulator jest duży. W przypadku niewielkiego wzrostu rozmia­ru wyraźnie ważniejszą rolę odgrywa kryterium ceny. Możemy, więc zaproponować następujące reguły:

JEŻELI

DK jest dobre I

WK jest mały I

CK jest rozsądny

TO UK jest bardzo wysoka.

JEŻELI

DK jest dobre I

WK jest średnio mały I

CK jest tani

TO UK jest bardzo bardzo wysoka.

Postępując dalej w sposób analogiczny, otrzymamy prototypową bazę wiedzy dla rozważanego problemu analizy rynku kalkulatorów. Po jej utworzeniu niezbędna jest oczywiście dalsza konsultacja ze źródłem, od którego pozyskano wiedzę (w na­szym przypadku grupą klientów, od których uzyskaliśmy informacje), w celu uzu­pełnienia ewentualnych luk oraz dokładnego dostrojenia wykorzystywanych reguł. Obszerne fragmenty bazy wiedzy utworzonej do analizy preferencji klientów zapre­zentowane zostały w tablicy 4.2.

Tablica 4.2. Fragmenty bazy wiedzy dla problemu rankingowania kalkulatorów

Wartości oddzielone przecinkiem połączone są spójnikiem lub, zaś skrót b oznacza modyfika­tor bardzo, b² - bardzo bardzo itd.).

4. Działanie systemu

Tworzenie naszego systemu zostało już niemal zakończone. Wykorzystamy go teraz do oszacowania użyteczności kilku przykładowych kalkulatorów. W opisie kalkula­torów pozostawiono zmienną rodzaj kalkulatora (RK). Nie jest ona przydatna w anali­zowanym modelu, ale wykorzystywana będzie w dalszej części rozdziału.

Rozważmy trzy następujące kalkulatory:

• Kalkulator Rachmistrz 1:

rodzaj kalkulatora (RK):1/naukowy

działanie kalkulatora (DK): 1 /dobre,

wymiary kalkulatora (WK): I/ średnio mały,

cena kalkulatora (CK): 1/ rozsądny.

• Kalkulator Rachmistrz 2:

rodzaj kalkulatora (RK): 1/ naukowy,

działanie kalkulatora (DK): 0,6/średnie+0,4/słabe,

wymiary kalkulatora (WK): 1/mały,

cena kalkulatora (CK):1/ rozsądny.

• Kalkulator Rachmistrz 3:

rodzaj kalkulatora (RK): 0,6/naukowy+0,4/nienaukowy,

działanie kalkulatora (DK): dobre ale nie bardzo dobre,

wymiary kalkulatora (WK): 1 /średnio mały,

cena kalkulatora (CK): 45 złotych.

Jak widać z powyższych przykładów wartości zmiennych wejściowych w roz­mytym systemie ekspertowym mogą być podawane na kilka różnych sposobów.

Przyjrzyjmy się cenie kalkulatora CK. Jest to typowa zmienna ilościowa, której naturalnym sposobem określenia jest podanie dokładnej liczbowej wartości. Cena kalkulatora Rachmistrz 3 z przykładu wynosi 45 złotych. Wartości zmiennych tego typu zwykle będą miały charakter ostry (nierozmyty). Cena kalkulatora może być jednak znana jedynie w przybliżeniu. Wówczas wartość zmiennej CK określić możemy poprzez zbiór rozmyty.

Wartości te mogą mieć również charakter złożony, np. więcej niż tani, ale nie drogi.

Nieco inaczej jest w przypadku pozostałych zmiennych. Weźmy dla przykładu działanie kalkulatora (DK). Można sobie wyobrazić, że zmienna ta będzie podana w postaci dokładnej wartości liczbowej, jako ocena wystawiona w ankiecie:

Określ działanie kalkulatora w skali od 0 do 1: .

Ten sposób postępowania (dosyć częsty w systemach nierozmytych) jest jednak dosyć trudny dla użytkownika. Nie jest łatwo wyspecyfikować natężenie cechy nie­mierzalnej w postaci wartości liczbowej. Znacznie bardziej naturalne jest wyrażenie jej w postaci opisu lingwistycznego. Dla kalkulatora Rachmistrz 3 wyglądałoby to w sposób następujący:

Działanie kalkulatora jest: dobre, ale nie bardzo dobre.

Zmienne mogą być określane również w inny sposób. W systemach eksperto­wych często zbiór wartości zmiennej jest zestawem określonych kategorii. Użytkownik korzystający z systemu wybiera jedynie jedną z nich:

Określ działanie kalkulatora:

• Słabe,

• średnie,

• dobre.

Wykorzystanie logiki rozmytej umożliwia określenie stopnia przynależ­ności do każdej z kategorii. W przypadku kalkulatora Rachmistrz 2 wartość zmiennej DK podana zostaje w sposób następujący:

Określ działanie kalkulatora:

• słabe: 0,4

• średnie: 0,6

• dobre:

Wszystkie wymienione sposoby określania wartości zmiennych umożliwiają prowadzenie wnioskowania w systemie rozmytym. Przyjrzyjmy się po kolei działaniu naszego systemu w odniesieniu do każdego z trzech opisanych kalkulatorów.

W podrozdziale 4.5.2 przedstawiono kilka wariantów procesu wnioskowania w systemie rozmytym. Przypomnijmy krótko sposób jego działania.

1. W przeciwieństwie do klasycznego systemu ekspertowego w modelu rozmytym uaktywniane są wszystkie reguły. Dla każdej z nich:

• na podstawie stopnia dopasowania poszczególnych wejść do warunków reguły obliczany jest stopień prawdziwości poprzednika,

• na podstawie korelacji poprzednika z następnikiem znajdowany jest zbiór roz­myty będący wynikiem działania reguły.

2. Wyniki działania pojedynczych reguł wnioskowania scalane są ostatecznie w jeden zbiór wyjściowy.

Na potrzeby naszego modelu analizy preferencji wykorzystamy operację mini­mum do realizacji koniunkcji warunków w regule (4.40), korelację minimum następ­nika z poprzednikiem (4.41) oraz scalanie działania reguł poprzez operację maksi­mum (4.43).

Kalkulator Rachmistrz 1. W przypadku kalkulatora Rachmistrz 1 atrybu­ty określo­ne zostały celowo w sposób sprowadzający działanie modelu do klasycznego systemu ekspertowego. Wszystkie wartości wejściowe systemu określone zostały poprzez wy­bór ostrej (nierozmytej) kategorii.

Dla każdej reguły systemu (patrz tablica 4.2) musimy więc określić stopień jej aktywacji (prawdziwość poprzednika). Rozważmy regułę 1: Rl: JEŻELI

DK jest dobre I

WK jest mały I

CX jest tani

TO UK jest bardzo bardzo bardzo wysoka.

Musimy określić dopasowanie wartości wejściowych poszczególnych zmien­nych do ich wartości, uwzględniając warunki reguły Rl. Wartość wejściowa zmiennej DK dla kalkulatora Rachmistrz 1 wynosi 1/dobre, stopień dopasowania do warunku dla zmiennej DK w regule Rl wynosi więc 1. Wartość wejściowa WK z kolei wynosi 1/średnio mały. WK do zbioru mały, znajdującego się w warunku reguły Rl, przyna­leży zatem w stopniu 0. Stąd stopień dopasowania do reguły Rl dla tej zmiennej wy­nosi 0. Analogicznie rozumując, ponieważ wejściowa wartość ceny CK wynosi 1/rozsądny, to jej dopasowanie do Rl wynosi również 0. Stopień prawdziwości po­przednika reguły Rl wynosi więc:

=min(l,0,0) = 0. (4.46)

Obliczając następnie wynikowy zbiór rozmyty dla reguły Rl otrzymujemy:
(4.47)

Wynikiem działania reguły R1 jest, więc w tym przypadku zbiór pusty (ponieważ jego funkcja przynależności jest stale równa 0).

Podobnie będzie w przypadku większości reguł: wynikiem ich działania będą zbiory puste. Jedynie reguła R5 będzie miała stopień aktywacji większy od 0:

R5: JEŻELI

DK jest dobre I

WK jest średnio małe I

CK jest rozsądny

TO UK jest wysoka.

Łatwo zauważyć, że w przypadku reguły R5 stopień dopasowania wszystkich zmien­nych wejściowych kalkulatora Rachmistrz 1 wynosi 1. Stopień prawdziwości poprze­dnika wynosi:

(4.48)

Wynikiem działania reguły R5 jest, zatem zbiór rozmyty B'₅, którego funkcja przynależności określona jest następująco:

• (4.49)

Prawdziwość reguły wyniosła 1, czyli B'₅ jest równy po prostu następnikowi re­guły R5.

Ponieważ wynikiem działania pozostałych reguł były zbiory puste, to po scaleniu otrzymujemy:

• ( (4.50)

gdzie B' jest rozmytą wartością użyteczności UK dla kalkulatora Rachmistrz 1 (rysu­nek 4.28).

Otrzymaną wartość użyteczności dla kalkulatora Rachmistrz 1 zapiszemy nastę­pująco:

UK=1/wysoka. (4.51)

Zauważmy, że w przypadku, gdy dane wejściowe podane zostały w sposób precy­zyjny, system rozmyty działał dokładnie jak klasyczny system ekspertowy. Uaktyw­niona została tylko jedna reguła, której poprzednik dokładnie odpowiadał podanym danym. Wynikiem działania systemu jest następnik tej reguły. Kalkulator Rachmistrz 2. W przypadku kalkulatora Rachmistrz 2 większość danych stanowią również kategorie nierozmyte. Jedynie wartość atrybutu DK {działanie kal­kulatora) określona została poprzez zbiór rozmyty: 0,6/średnie+0,4/słabe.

Podobnie jak w poprzednim przypadku, dla większości reguł znajdujących się w bazie wiedzy prawdziwość poprzednika wynosi 0. Działają jedynie dwie z nich: Rll oraz R17.

Reguła Rl 1 ma postać:

Rll: JEŻELI

DK jest średnie I

WK jest mały I

CA jest rozsądny

TO UK jest wysoka.

Stopień dopasowania dla zmiennej DK wynosi 0,6, dla pozostałych zmiennych 1. Prawdziwość poprzednika reguły Rl 1:

=min(0,6, 1, 1) = 0,6. (4.52)

Wynikiem działania reguły R11 jest zbiór rozmyty (rysunek 4.29), o funkcji przynależności:

(4.53)

Dla reguły R17, mającej postać: R17:

JEŻELI

DK jest słabe I

WK jest mały I

CK jest rozsądny

TO UK jest średnio wysoka

stopień dopasowania zmiennej DK wynosi 0,4, a zatem:

=min(0,4, 1, l) = 0,4. (4.54)

Wynikiem działania tej reguły jest więc zbiór rozmyty B'_X1, dla którego:

/7_/(f7 (x) = min(/7_vm/„„, „,„„,„ (x), 0,4). (4.55)

Wykres funkcji przynależności tego zbioru znajduje się na rysunku 4.30.

103

średnio wysoka

średnio niska

wysoka

niska

średnia

O 0,2 0,4 0,6 0,8 1 UK

Rys. 430. Wynik działania reguły R17 dla kalkulatora Rachmistrz 2

U), H_B{1 Zbiór B' przedstawiony został na rysunku 4.31.

Ostatecznie po scaleniu wyniku działania reguł Rl 1 i R17 otrzymujemy rozmytą wartość użyteczności dla kalkulatora Rachmistrz 2:

(4.56)

niska

średnio niska

średnia

średnio wysoka

0,2 0,4 0,6 0,8

Rys. 4.31. Użyteczność kalkulatora Rachmistrz 2

wysoka

1 UK

Możemy więc powiedzieć, że użyteczność UK kalkulatora Rachmistrz 2 należy w stopniu 0,4 do kategorii średnio wysoka oraz w stopniu 0,6 do kategorii wysoka. Za­piszemy to w postaci:

UK = 0A/średnio wysoka + 0,6/wysoka.

(4.57)

Kalkulator Rachmistrz 3. Dla ostatniego z naszych przykładowych kalkulatorów opisy atrybutów podano w nieco bardziej złożony sposób. Bezpośredni stopień przy­należności do kategorii rozmytej, w przeciwieństwie do poprzednich przypadków, wskazano jedynie dla wymiaru kalkulatora (WK= \l średnio mały). Działanie kalkula­tora określone zostało w postaci rozmytej (DK-dobre ale nie bardzo dobre), zaś cena

104

w postaci liczbowej (CK = 45). Dla dwu ostatnich zmiennych stopień ich przyna­leżności do warunków określonych w przesłankach reguł musimy dopiero wyzna­czyć.

Rozważmy więc zmienną działanie kalkulatora. Zgodnie z tym, co powiedzie­li s'my w podrozdziale 4.4 przysłówek bardzo możemy wyrazić, wykorzystując funk­cję kwadratową:

Mbardzo dobre « = Mdobre (*). (4.58)

Stosując dalej operator dopełnienia zbioru rozmytego (4.11) otrzymujemy:

Mnie bardzo dobre W = I - n]_obre (x). (4.59)

Ostateczna wartość zmiennej DK jest iloczynem zbioru dobre oraz zbioru nie bardzo dobre. Stosując więc operator minimum jako iloczyn zbiorów rozmytych, otrzymuje­my:

I*dobre ale me bardzo dobre M = ^min(Mdobre W, 1 ~ Mdobre (*))• (⁴-⁶⁰)

Zbiór ten przedstawiony został na rysunku 4.32.

nie bardzo dobre

dobre

'0,4 0,6 0,8 1 DK

Rys. 4.32. Wartość DK = dobre ale nie bardzo dobre

Stopień dopasowania wartości zmiennej DK do poszczególnych kategorii wystę­pujących w przesłankach reguł (patrz rysunek 4.33) możemy wyznaczyć na podstawie

(4.39):

¹'DK, dobre- ^maX .ve| 0.1 I ^m^ⁿ(Mdobre ale nie bardzo dobre (^X)' (Hdobre M) ~ 0,62, l)K. .vWn,V= ^1TlaX .re| 0.1 1 ™ⁿ(Mdobre ale nie bardzo dobre W, (Mśrednie (*)) *" 0,50, (4.6 1 )

^r/>A. .,/„/„■= ^m''x ,„!„_,, min(/J_{llnhrr ale} „,„ _{himlzo dohre}{x),{^_slahe{x)) « 0. Ostatecznie wartość zmiennej DK możemy wyrazić:

105

średnie

dobre

i słabe

dobre ale nie bardzo dobre

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 DK

Rys. 4.33. Dopasowanie zmiennej DK do przesłanek reguł bazy wiedzy

DK = 0,51 średnie + 0,62/dobre.

(4.6J

W przypadku ceny (CK) kalkulatora Rachmistrz 3 dysponujemy jej dokładiu; wartos'cią. Zgodnie z (4.38) dopasowanie CA'do poszczególnych zbiorów rozmytych, występujących w przesłankach reguł równe jest po prostu wartości funkcji przyna leżności w punkcie CK = 45 (patrz rysunek 4.34):

*.,™^,™-(45) = 0,65,

~ 0.35,

^TCK,rozsqdny

(4.() i

* CK.drogi

rozsądny

drogi

tani

⁰ 20 45 60 80 100 120 140 160 CK

Rys. 4.34. Dopasowanie zmiennej CA^do przestanek reguł bazy wiedzy

Ostatecznie, pod względem ceny, kalkulator Rachmistrz 3 możemy określić jako:
CK = 0,65/tani + 0,35/rozsądny. (4.64 i

Z bazy wiedzy naszego systemu ekspertowego (tablica 4.2) jedynie reguły R4 R5, R13 i R14 osiągną stopień aktywacji (prawdziwość poprzednika) większy od xc ra. Reguła R4 przyjmuje postać:

106

R4: JEŻELI

DK jest dobre I

WK jest średnio mały I

CA'jest /ani TO Ć/A" jest b² wysoka. Stopień aktywacji dla tej reguły wynosi więc:

r₄ = min(0,62, 1, 0,65) = 0,62. (4.65)

Zbiór rozmyty B'₄ będący wynikiem działania tej reguły możemy zatem opisać za po­mocą następującej funkcji przynależności:

ju_B,_Ą(x) = min(//_{hardzo bardzo wys(lka}(x), 0,62) = 0,62 / b² wysoka. (4.66)

Z kolei dla reguły R5: R5: JEŻELI

DK jest dobre I

WK jest średnio mały I

CA" jest rozsądny TO UK jest wysoka otrzymujemy następującą prawdziwość poprzednika:

r₄ = min(0,62, 1, 0,35) = 0,35. (4.67)

W wyniku jej działania możemy określić zbiór B'₅ o funkcji przynależności:

/V, U) = mm(ju_wysokl, (jc), 0,35) = 0,35 / wysoka. (4.6S)

Reguła R13 ma postać: R13: JEŻELI

DA" jest średnie I

WK jest średnio mały I

CK jcsl lani TO UK jest ht.wAy/. Prawdziwość poprzednika wynosi:

T₁₃ = min(0,5, 1, 0,65) = 0,5. (4.69)

Wynik działania reguły za pomocą funkcji przynależności:

V_liU(x)= min(/u_n,_vxokJx), 0,5) = Q,5/wysoka. (4.70)

pozwala opisać zbiór /?,',.

Ostatnią z reguł jest reguła R14: R14: JEŻELI

DA" jest średnie I

WK jest średnio mały I

CA" jest rozsądny TO t/A" jest średnio wysoka.

107

Dla tej reguły prawdziwość poprzednika wynosi:

T₁₄ = min(0,5, 1, 0,35) = 0,35. (4.71)

Wynikiem działania reguły jest więc zbiór opisany za pomocą funkcji:

/y„₄ ix) = min(// _{średnill wysoka} (x), 0,35) = 0,35 /średnio wysoka. (4.72)

Zauważmy, że B'₅ jest podzbiorem B'_n więc wynikowy zbiór B' dla kalkulatora Rachmistrz 3 możemy opisać za pomocą funkcji:

/_B,(x),^_B,U),//_fif3(x),//_Bf4U)= ₍₄_₇₃₎

Użyteczność UK dla tego kalkulatora wynosi więc (rysunek 4.35):

UK = 0,35 / średnio wysoka + 0,5 / wysoka + 0,62 / b² wysoka. (4.74)

średnio niska

średnio wysoka

wysoka

niska

średnia

0,2

⁰ 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Rys. 4.35 Użyteczność kalkulatora Rachmistrz 3.

4.6.1.5. Interpretacja wyników

Spróbujemy teraz zinterpretować wyniki otrzymane przy wykorzystaniu rozmytego systemu ekspertowego. Przypomnijmy, że dla poszczególnych kalkulatorów otrzy­maliśmy następujące oceny użyteczności: Rachmistrz 1: UK= ]/wysoka (rysunek 4.28).

Rachmistrz 2: UK = OA/średnio wysoka + 0,6/wysoka (rysunek 4.31). Rachmistrz 3: UK = 0,35/średnio wysoka + 0,5/wysoka + 0,62/b² wysoka

(rysunek 4.35).

Analizowany przez nas system, na podstawie wartości poszczególnych kryte­riów oceny, klasyfikuje kalkulatory do jednej z kilku grup użyteczności (wysoka, śre­dnio wysoka itd.). Zadania klasyfikacji należą bez wątpienia do najczęściej poja­wiających się w praktyce problemów decyzyjnych. Do tej grupy zaliczyć można

108

przede wszystkim zadanie wyboru jednego wariantu ze skończonego zbioru wa­riantów decyzyjnych.

Techniki konwencjonalne zwykle zakładają jednoznaczność przydziału wzor­ca do klasy. Założenie to często jest jednak nierealistyczne. System nierozmyty w rozważanym przez nas przypadku wybrałby jedną z kategorii użyteczności, do której zaliczyłby badany wyrób. Jeśli spojrzymy na wyniki uzyskane przez po­szczególne kalkulatory, to najprawdopodobniej dla każdego z nich byłaby to kate­goria wysoka, ponieważ przynależność do niej jest najwyższa we wszystkich trzech przypadkach (użyteczność bardzo bardzo wysoka jest podkategorią wysokiej). Kla­syfikator nierozmyty zaliczyłby więc wszystkie badane kalkulatory dokładnie do tej samej klasy.

Metody rozmyte natomiast pokazują, w jaki sposób kształtuje się przynależność do każdej z rozważanych kategorii. Jest to szczególnie przydatne w przypadku występowania źle określonych zależności w postaci częściowo pokrywających się klas. Kalkulator Rachmistrz 2 najprawdopodobniej rzeczywiście należy to kategorii wysoka. Istnieją jednak pewne przesłanki, aby zaliczyć go do kategorii średnio wyso­ka. Pozwala to na zwiększenie możliwości dyskryminacji (rozróżnienia) między po­szczególnymi klasami.

System rozmyty nie decyduje samodzielnie, którą z kategorii wybrać. Pozosta­wia decyzję w rękach użytkownika, sygnalizując jedynie występujące możliwości. W tym sensie klasyfikator rozmyty raczej wspomaga proces decyzyjny. Jeśli zachodzi taka potrzeba, łatwo możemy na podstawie wyników działania systemu rozmytego przejść do kategorii ostrych, przyjmując prostą regułę decyzyjną: wybierz klasę, do której badany obiekt należy w stopniu najwyższym.

Przyjrzyjmy się teraz dokładniej wynikom działania systemu dla wszystkich kal­kulatorów. Spróbujmy uporządkować je według wysokości ocen klientów. Który z badanych towarów jest najlepszy, a który najgorszy? Kalkulator Rachmistrz 1 jest z całą pewnością wyżej oceniany przez klientów niż Rachmistrz 2. Nie jest to już jed­nak takie oczywiste w przypadku Rachmistrza 3. Aby rozstrzygnąć ten problem, po­trzebne nam są dokładniejsze informacje o preferencjach klientów w stosunku do ba­danych kalkulatorów. Chcielibyśmy otrzymać konkretną wartość użyteczności dla każdego z nich. Potraktowanie naszego problemu jako zadania klasyfikacji jest więc wygodne z punktu widzenia analizy jednego obiektu. Łatwiej jest zinterpretować in­formację w postaci symbolicznej (tzn. użyteczność kalkulatora jest wysoka lub śre­dnia, a może częściowo wysoka, częściowo średnia), niż otrzymaną w postaci dosyć enigmatycznej liczby z przedziału [0, 1]. Do sporządzenia rankingu, abyśmy mogli porównywać kalkulatory zbliżonej klasie, niezbędne jest jednak wykorzystanie więk­szej ilości informacji.

Zbiory rozmyte oferują nam łatwe przejście od symbolicznej do numerycznej postaci informacji. W punkcie 4.5.3 mówiliśmy o wyostrzaniu wyników. W praktyce zwykle zbiory rozmyte przechowywane są w postaci stablicowanej, co umożliwia sto­sowanie prostego wzoru na centroid (4.45b), nie wymagającego obliczenia całek. W naszym przypadku, wykorzystując tę zależność, otrzymujemy dokładne wartości obliczonej użyteczności:

10')

---