4. Przekształcenie Z

(proste)

(odwrotne)

4.1 Oblicz transmitancje systemów o odpowiedziach impulsowych:

1. h[n] = u[n],

2. h[n] = u[n] - u[n-N],

3. h[n] = aⁿu[n],

4. h[n] = nu[n],

5. h[n] = ၤ[n] - ၤ[n-N],

6. h[n] = ၤ[n+N] + ၤ[n].

Napisz równania różnicowe opisujące te systemy. Narysuj schematy. Opisz systemy słownie.

Odpowiedzi

1. Transmitancja
   , obszar zbieżności (ROC):
   ,

równanie różnicowe:

system typu IIR, przyczynowy;

2. Transmitancja
   , obszar zbieżności (ROC):
   ,

równanie różnicowe:

system typu FIR, przyczynowy;

3. Transmitancja
   , obszar zbieżności (ROC):
   ,

równanie różnicowe:
,

system typu IIR, przyczynowy;

4. Korzystamy z następującej właściwości: Jeżeli
   , to
   . Wówczas szukana transmitancja wynosi:
   , obszar zbieżności (ROC):
   ,

równanie różnicowe:
,

system typu IIR, przyczynowy;

5. Transmitancja
   , obszar zbieżności (ROC):
   ,

równanie różnicowe:
,

system typu FIR, przyczynowy;

6. Transmitancja
   , obszar zbieżności (ROC):
   ,

równanie różnicowe:
,

system typu FIR, nieprzyczynowy.

4.2 Stosując przekształcenie Z, wyznacz odpowiedź systemu o odpowiedzi impulsowej h[n] = (1/3)ⁿu[n] na pobudzenie sygnałem x[n] = (1/2)ⁿu[n]. Czy system jest przyczynowy i czy jest stabilny? Podaj jego równanie różnicowe.

Rozwiązanie

Transmitancja systemu:
, transformata pobudzenia:
. Transformata odpowiedzi:

,

gdzie
,

Odpowiedź impulsowa systemu, h[n], przyjmuje wartości zerowe dla ujemnych chwil n, zatem system jest przyczynowy. W równaniu różnicowym,
, nie występują składniki typu x[n+1], x[n+2] itd. Transmitancja systemu jest funkcją wymierną, w której stopień licznika jest nie większy niż stopień mianownika.

Aby system był stabilny, jego odpowiedź impulsowa musi być bezwzględnie sumowalna lub sumowalna z kwadratem (drugi warunek oznacza, że jej energia jest skończona). Ponieważ

więc system jest stabilny. Aby wykazać, że system jest stabilny na podstawie transmitancji H(z) wystarczy sprawdzić położenie jej biegunów. Jeżeli wszystkie bieguny transmitancji leżą wewnątrz okręgu jednostkowego, czyli ich moduły są nie większe od jedności, system jest stabilny. W naszym przypadku mamy pojedynczy biegun
,
, więc system jest stabilny.

4.4 Wyznacz odpowiedź y[n] systemu o transmitancji H(z) na pobudzenie x[n]. Narysuj schemat systemu. Czy system jest stabilny? Czy jest przyczynowy?

a)
,

b)
,

c)
,

Odpowiedzi

a)
, stabilny (biegun transmitancji leży wewnątrz okręgu jednostkowego)

b)
, stabilny (jw.)

c)
, niestabilny (co najmniej jeden z biegunów nie leży wewnątrz okręgu jednostkowego, w tym przypadku żaden z biegunów nie spełnia tego warunku)

Wszystkie systemy są przyczynowe, ponieważ stopnie liczników transmitancji są nie większe od stopni mianowników.

4.5 Dane są sygnały:

a)
,

b)
,

Jaką transmitancję ma system, który pobudzony sygnałem x[n] daje na wyjściu odpowiedź y[n]? Podaj równanie różnicowe opisujące ten system i jego odpowiedź impulsową. Następnie sprawdź metodą splotu, że
. Który z filtrów jest typu FIR, a który IIR? Kiedy są stabilne?

Odpowiedzi

a)
,
,

b)
,
,

Metodą splotu rozwiążemy drugi przykład z tego zadania jako mniej trywialny. Skorzystamy tu ze wzoru definicyjnego:

Wymnożenie przez skok jednostkowy otrzymaliśmy z warunku, że suma typu
ma sens tylko wtedy, gdy górna granica sumowania jest nie mniejsza od dolnej. W tym przypadku n musi być nieujemne. Pierwsza próbka sygnału
ma wartość zero, z czego wynika równość sygnałów
i
.

5. Prawostronne przekształcenie Z

Definicja:

Podstawowe właściwości (dla N > 0):

5.1 Oblicz odpowiedź własną (swobodną) i wymuszoną systemu danego równaniem różnicowym
przy sygnale wejściowym
i warunkach początkowych:

a) y[-1] = 3, y[-2] = 0; b) y[-1] = 0, y[-2] = 3.

Odpowiedzi

Odpowiedź własna a)
; b)
.

Odpowiedź wymuszoną obliczamy tak, jak w zwykłym przekształceniu Z, przyjmując zerowe warunki początkowe.

6. Dyskretnoczasowe przekształcenie Fouriera (DTFT)

(proste)

(odwrotne)

6.1 Udowodnij, że odpowiedź filtru o charakterystyce amplitudowo-fazowej (częstotliwościowej), spełniającej warunek: H(e^-jω) = H^*(e^jω), na pobudzenie
, wynosi:

,

gdzie
,
, k = 1, 2, 3.

Rozwiązanie

Dla pierwszej składowej
mamy:

.

Jak zatem widać, dostajemy iloczyn oryginalnego sygnału (sinusoidy zespolonej, inaczej zespolonej eksponenty) i liczby zespolonej, równej wartości charakterystyki częstotliwościowej dla pulsacji
. Iloczyn ten możemy zapisać w następującej postaci:

W obliczeniach dla kosinusoidy i sinusoidy rzeczywistej wystarczy rozłożyć każdą z nich na sumę dwóch sinusoid zespolonych (ze wzoru Eulera) i wykorzystać powyższy wynik oraz symetrię Hermite'a, opisaną formalnie w treści zadania.

6.2 Oblicz w dziedzinie czasu i w dziedzinie częstotliwości odpowiedź filtru grzebieniowego o odpowiedzi impulsowej
, gdzie M > 0, na pobudzenie a)
, b)
, c)
.

Rozwiązanie dla przypadku c)

Pobudzeniem filtru jest sinusoida zespolona
. Obliczenie z zastosowaniem splotu sprowadza się do wykorzystania właściwości splotu dowolnego sygnału z deltą Kroneckera:

,

(ponieważ wymnożenie przez j jest równoznaczne z przesunięciem o
). Z tego wynika, że amplituda sinusoidy zespolonej na wyjściu jest równa
, natomiast faza
. Charakterystyka częstotliwościowa filtru
.

W rozwiązaniach zad. 6.5 przedstawiono charakterystyki filtrów dla wybranych wartości parametru M.

Widmo sinusoidy zespolonej
wynosi

Aby obliczyć widmo sygnału przefiltrowanego, wymnażamy widmo pobudzenia przez charakterystykę częstotliwościową filtru. U nas
, więc
. Stąd widmo sygnału wyjściowego

.

Sygnał wyjściowy ma więc postać:

.

6.3 Oblicz odpowiedź impulsową idealnego filtru dolnoprzepustowego o pulsacji granicznej ω_o.

Rozwiązanie

6.4 Oblicz odpowiedź impulsową transformatora Hilberta o charakterystyce częstotliwościowej

. Wyznacz sygnał wyjściowy y[n] przy pobudzeniu: a)
, b) 
, c)
, gdzie A > 0 oznacza amplitudę sygnału.

Rozwiązanie dla przypadku b)

Odpowiedź impulsowa transformatora Hilberta wynosi:

Sygnał po przejściu przez transformator Hilberta najłatwiej i najwygodniej jest wyznaczyć, wykonując obliczenia w dziedzinie częstotliwości. I tak, widmo sygnału
wynosi:

.

Po przejściu przez układ widmo sygnału jest iloczynem widma sygnału pobudzającego i charakterystyki częstotliwościowej:

.

Jak widać jest to widmo sygnału
.

6.5 Wyznacz i naszkicuj charakterystyki częstotliwościowe (amplitudową i fazową) filtrów grzebieniowych o odpowiedziach impulsowych:

1. h₁[n] = {1, 1}, h₂[n] = {1, -1};

2. h₃[n] = {1, 0, 1}, h₄[n] = {1, 0, -1}.

Jaka będzie odpowiedź y[n] filtrów na pobudzenie
? Składowe o jakich częstotliwościach wycinają filtry, jeśli szybkość próbkowania F_S = 8000 Sa/s?

Odpowiedź

Wybrane charakterystyki częstotliwościowe przedstawiono na poniższych wykresach. Narysowanie charakterystyki amplitudowej i fazowej umożliwia w prosty sposób wyznaczenie amplitud i przesunięć fazowych dla poszczególnych składowych po przejściu sygnału przez dany filtr. Wielkości te można również obliczyć bezpośrednio ze wzorów opisujących charakterystyki częstotliwościowe.

1. 
   ,
   


,


Pierwszy filtr wycina składowe o częstotliwościach ±4 kHz, drugi - składową stałą.

2. 
   ,
   


,


Pierwszy filtr wycina składowe o częstotliwościach ±2 kHz, drugi - składową stałą i ±4 kHz.

7. Dyskretne przekształcenie Fouriera (DFT)

, (proste, DFT)

, (odwrotne, IDFT)

7.1 Udowodnij, korzystając z definicji przekształcenia, że N-punktowe widma DFT sygnałów
i 
dla całkowitego parametru B_o są równe odpowiednio:




oraz


.




7.2 Stosując odpowiednie właściwości przekształceń fourierowskich i obliczając pojedynczą transformatę DFT, oblicz widma dwóch sygnałów rzeczywistych (np. składowych w kanale lewym i prawym sygnału stereofonicznego):

x_R[n] = {1, 0, -1, 0}, x_L[n] = {1, 2, 3, 4}.

Rozwiązanie

Łączymy dwa sygnały rzeczywiste w jeden sygnał zespolony, w którym pierwszy z sygnałów będzie stanowił część rzeczywistą, drugi - urojoną:

x[n] = x_R[n] + jx_L[n]

Wypisujemy wartości próbek dla tak utworzonego sygnału:

x[n] = {1 + j, j2, -1 + j3, j4}

Przechodzimy do obliczenia jego 4-punktowego widma DFT:




Następnie wykorzystujemy właściwość przekształcenia Fouriera, która mówi o tym, że składowej rzeczywistej sygnału odpowiada składowa parzysta jego widma:




a składowej urojonej - składowa nieparzysta widma:




W powyższych wzorach skrót „mod N” oznacza operację modulo N, czyli zawinięcie wartości do przedziału

0…N-1. Dla ujemnych wartości indeksu k możemy po prostu wykorzystać okresowość transformaty DFT:


.

Obliczamy oba widma:







Widmo składowej x_R[n] wynosi: X_R[k] = {0, 2, 0, 2}; widmo składowej x_L[n]: X_L[k] = {10, -2 + j2, -2, -2 - j2}.

7.3 Stosując odpowiednie właściwości przekształcenia DFT odwróć kolejność próbek w sygnale x[n] = {1, 3, 5, 7}.

Rozwiązanie

Obliczamy widmo sygnału:




Odwróceniu sygnału rzeczywistego odpowiada sprzężenie jego widma:




Sygnał wyjściowy obliczamy z odwrotnego przekształcenia DFT (w skrócie IDFT):




Jak widać próbka x[0] nie zmieniła położenia, pozostałe próbki występują w kolejności odwrotnej.

7.4 Oblicz 4-punktową DFT sygnału x[n] = {1, j, 1}, a następnie stosując odpowiednią właściwość DFT i obliczając transformatę odwrotną, usuń z sygnału składową urojoną.

Rozwiązanie

Aby obliczyć transformatę DFT o rozmiarze większym niż długość sygnału, należy zastosować uzupełnienie zerami. Po takiej operacji sygnał podlegający transformacji ma postać: x[n]={1, j, 1, 0}. Jego widmo wynosi:




Obliczamy składową parzystą widma, która - jak napisano w zadaniu 7.2 - jest widmem składowej rzeczywistej sygnału:




Obliczamy sygnał:




Otrzymaliśmy składową rzeczywistą sygnału x[n].

8. Splot kołowy (cykliczny)

8.1 Oblicz w dziedzinie czasu i stosując przekształcenie DTFT splot (liniowy) sygnałów x[n] = {1, 1, 1} i  h[n] = {1, 2, 3}. Oblicz w dziedzinie czasu i stosując przekształcenie DFT splot kołowy tych sygnałów. Podaj najmniejszą liczbę zer, o które należy wydłużyć oba sygnały, aby wyniki splatania były w obu przypadkach takie same. Udowodnij poprawność tej metody.

Rozwiązanie

Widma DTFT obu sygnałów wynoszą odpowiednio:


oraz


Widmo sygnału po splocie jest równe iloczynowi tych widm:




Stąd sygnał po splocie liniowym wynosi y[n] = {1, 3, 6, 5, 3}.

Do obliczenia splotu kołowego należy zapewnić równą długość obu sygnałów (w naszym przypadku oba sygnały mają po 3 próbki). 3-punktowe transformaty DFT obu sygnałów wynoszą:


oraz


Po wymnożeniu transformat dostajemy:




A zatem sygnał po splocie kołowym jest równy y[n] = {6, 6, 6}.

Do otrzymania takiego samego wyniku jak dla splotu liniowego należy uzupełnić oba sygnały zerami do długości nie mniejszej niż 5 (przewidywana długość sygnału po splocie liniowym): x[n] = {1, 1, 1, 0, 0} i h[n] = {1, 2, 3, 0, 0}, czyli w dziedzinie częstotliwości obliczać transformaty minimum 5-punktowe.

9. Równość Parsevala

Dla transformat DTFT	Dla N-punktowych transformat DFT

9.1 Sprawdź równość Parsevala dla sygnału x[n] = {1, -2 , 1, 0}.

Rozwiązanie

Energia sygnału, mierzona w dziedzinie czasu wynosi:




Widmo DTFT sygnału x[n] jest równe:




Ponieważ
, więc widmo amplitudowe wynosi
, natomiast jego kwadrat:




Energia obliczona w dziedzinie częstotliwości jest zatem równa:




Dla 4-punktowej transformaty DFT mamy:

X[k] = {0, j2, 4, -j2}

Energia obliczona na jej podstawie wynosi:




10. Dodatek

Wzory Eulera

D. Tkaczuk. Zadania z Przetwarzania Sygnałów, cz. 2, rok 2011/2012 (wersja z dn. 3.12.2012)

13

---