Belki na sprężystym podłożu.

-rozważamy dowolnie obciążoną belkę spoczywająca na podłożu

-zagadnienie polega na wyznaczeniu sil przekrojowych, przemieszczeń belki

i wyznaczeniu odpowiedzi podłoża- zagadnienie kontaktowe

-grunt dozna przemieszczen nie tylko w pkt. Leżących bezpośrednio pod belką, ale także poza nią:

-jeśli przyłożymy obciążenie belka na skutek deformacji może stracić kontakt z podłożem

hipotezy Winklera:

• Wiezy pomiędzy podłożem a konstrukcją są dwustronne (więzy łączące belkę z podłożem „pracują” na rozciąganie i na ściskanie) - oznacza to, że belka nie odrywa się od podłoża i gładkie (brak tarcia między podłożem i spoczywającą na nim belką)

• Podłoże traktujemy jako ciało, w którym przemieszczają się wyłącznie te punkty, które leżą na prostej działania siły i przemieszczenie to jest proporcjonalne do działającej siły

Doświadczenie potwierdza słusznośc hipotez Winklera jedynie dla belek dlugich( szyny kolejowe, ławy fundamentowe) doznających małych ugięć

-hipotezy te pozwalają zbudować prosty mogel wiezów i podłoża w postaci sprężyn przypiętych do belki i ułożonych do niej prostopadle:

-oznaczamy charakterystykę sprężyny przez k=b*c gdzie b to szerokość belki, a c moduł podatności podłoża

-odpór podłoża na belkę, czyli siłę z jaką belka dziala na dany pkt. Podłoża zapisujemy:

r(x)=kw(x)

- odpór podłoża r(x) w punkcie (liczony na jednostkę długości belki) jest proporcjonalny do ugięcia w tym punkcie

-Równania linii ugięć oraz momentów zginających i sił poprzecznych

α [1/m]

- współrzędna bezwymiarowa

⇒

⇒

k = b c równanie to wraz z warunkami brzegowymi tworzy zagadnienie brzegowe rządzące rozwiązaniem belki leżącej na podłożu winklerowskim

rozwiązanie:

-stałe A,A,C,D dobieramy z kinematycznych warunków brzegowych, to jest wartości w i w' oraz wyrażonych poprzez przemieszczenia wartości sił przekrojowych, a także z warunków zszycia (relacji pomiędzy tymi wielkościami w pkt. węzłowych przedziałów charakterystycznych)

-znając fk ugięcia belki znajdujemy sily przekrojowe

M_y(x)=-EI_yw''(x) F_z(x)=-EI_yw'''(x)

Belki nieskończenie długie

• warunek skończonej wielkości ugięć powoduje zerowania się stałych A i B

Belka obciążona siłą skupioną

dla ζ ≥ 0

1)

2)

• z warunków kinematycznych 1) wynika, że :

• A = 0 , B = 0

• z warunku kinematycznego i statycznego 2) wynika, że :

• ostatecznie zatem dla

• dla

; ;

• wiele sił skupionych

*) jeżeli ζ < 0 to wyraz w nawiasie klamrowym z gwiazdką należy wziąć ze znakiem przeciwnym

Belka obciążona momentem skupionym

dla ζ ≥ 0

1) ⇒ A =0 ; B = 0

2) ⇒ C = 0

3) ⇒

• ostatecznie zatem dla

• dla

; ;

• wiele momentów skupionych

*) jeżeli ζ < 0 to wyraz w nawiasie klamrowym z gwiazdką należy wziąć ze znakiem przeciwnym

Belka obciążona obciążeniem ciągłym

Obciążenie łączne

*) jeżeli ζ < 0 to wyrazy w nawiasach klamrowych z gwiazdką należy wziąć ze znakiem przeciwnym, zaś w funkcjach η÷η₃ należy w miejsce ζ wstawić .

Belki skończonej długości

k = b c

• w belkach o skończonej długości ( ζ przyjmuje wartości skończone ) zachodzą warunki A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ 0. Te 4 stałe należy wyznaczyć z warunków kinematycznych i statycznych. Jeżeli belka składa się z kilku przedziałów charakterystycznych to należy napisać i rozwiązać tyle równań ile jest przedziałów, korzystając dodatkowo z 4 warunków zapisanych w punkcie zszycia każdych dwóch przedziałów. Taka droga jest rachunkowo uciążliwa.

Metoda F. Bleicha

• belkę o skończonej długości zastępuje się belką o nieskończonej długości

• obciążenie belki nieskończonej składa się z :

1. obciążenia pierwotnej belki skończonej (na długości tej belki)

1. dodatkowego obciążenia poza obszarem belki pierwotnej, takiego, aby zapewniona była zgodność statycznych warunków brzegowych obu belek. Uzyskuje się to poprzez umieszczenie 4 sił skupionych R₁ ÷ R₄, po dwie z każdej strony belki, w takim rozstawie, który ułatwia obliczenia

• zapewniając zgodność momentu zginającego i siły poprzecznej w punktach belki nieskończonej, odpowiadających punktom końcowym A i B belki o skończonej długości - zapewniamy pełną zgodność rozwiązań w obszarze belki skończonej.

h

b

q (x)

w

r (x)

x

P

w

ζ

P₁

w

ζ

P₃

P₂

α

α

ζ₁

ζ₂

ζ₃

M

w

ζ

+

M₁

w

ζ

M₃

M₂

α

α

ζ₁

ζ₂

ζ₃

q

w

ζ

α

α

ζ _p

ζ _k

w

ζ

α

α

ζ _p

ζ _k

ζ _p

ζ _k

P⁺

q

M⁺

π/4α

π/4α

π/4

π/4

π/4

π/4

R₃

R₄

π/4α

π/4α

R₁

R₂

B

A

---