ZAKŁAD AUTOMATYKI I INŻYNIERII POMIAROWEJ

WZMACNIACZ OPERACYJNY

MODELE CZŁONÓW PODSTAWOWYCH

Ćwiczenie

Wzmacniacz operacyjny modele członów podstawowych

Cel ćwiczenia - zapoznanie studentów z własnościami wzmacniaczy operacyjnych i zasadami ich wykorzystania do modelowania podstawowych członów dynamicznych.

1. Wzmacniacz operacyjny - własności i zastosowanie

Obok modelowania fizykalnego, gdzie model ma taką naturę fizyczną co układ rzeczywisty w praktyce stosuje się również tak zwane modelowanie matematyczne. W tym ostatnim przypadku model
i układ rzeczywisty mają odmienną naturę fizyczną, jednakże nie różnią się one opisującymi je równaniami matematycznymi.

Jedna z możliwych realizacji modelowania matematycznego polega na rozwiązaniu równań matematycznych opisujących układ przy wykorzystaniu maszyn analogowych. Podstawowym elementem maszyn analogowych są wzmacniacze operacyjne, objęte odpowiednimi torami sprzężeń zwrotnych.

Z teorii automatycznej regulacji wynika, że każdy układ automatyki możemy przedstawić w postaci kombinacji podstawowych członów dynamicznych, sprężeń zwrotnych oraz węzłów sumacyjnych i zaczepowych. Wobec powyższego ważną rzeczą staje się umiejętność modelowania prostych członów dynamicznych przy pomocy wzmacniaczy operacyjnych, które są obecnie podstawowym, najbardziej analogowym układem scalonym.

Idealny wzmacniacz operacyjny charakteryzują następujące właściwości:

• nieskończenie duże wzmocnienie przy otwartej pętli sprzężenia zwrotnego,

• nieskończenie szerokie pasmo przenoszenia częstotliwości,

• dwupolarna charakterystyka,

• nieskończenie długa impedancja wejściowa, zarówno między wejściami, jak i między każdym z wejść i ziemią,

• impedancja wyjściowa równa zeru,

• dobra stabilizacja poziomu zerowego,

• napięcie wyjściowe równe zeru przy równości napięć wejściowych,

• nieskończenie duży dopuszczalny prąd wyjściowy,

• zerowy prąd wejściowy,

• odwracalność wzmacnianego sygnału,

• zachowanie powyższych właściwości przy zmianach temperatury.

Wymienione właściwości nie są osiągalne w praktyce lecz stanowią granicę, którą można przyjąć w modelowaniu układów automatyki.

Na rysunku 1 przedstawiony jest symbol graficzny wzmacniacza operacyjnego. Wejście oznaczone „+” nosi nazwę wejścia nieodwracającego, a „-`' - wejścia odwracającego. Sygnał wejściowy doprowadzony między wejścia wzmacniacza zwany jest sygnałem różnicowym. Napięcie wyjściowe wzmacniacza operacyjnego jest proporcjonalne do wartości sygnału różnicowego zgodnie z zależnością.

(1.1.)

gdzie:

U₁, U₂ - napięcia wejściowe,

U_O - napięcie wejściowe,

U_d - różnicowe napięcie wejściowe,

k - wzmocnienie napięciowe wzmacniacza z otwartą pętlą sprzężenia zwrotnego,

R_d - wejściowa rezystancja różnicowa wzmacniacza.

Rys.1. Wzmacniacz operacyjny-oznaczenia graficzne

Podstawowym układem wzmacniacza operacyjnego wykorzystywanego do modelowania podstawowych członów automatyki jest układ o równoległym napięciowym sprzężeniu zwrotnym przedstawiony na rysunku 2. Uwzględniając właściwości wzmacniacza operacyjnego o nieskończenie dużej impedancji wejściowej (wzmacniacz operacyjny nie pobiera mocy na wejściu) na podstawie rysunku 2. możemy napisać operatorowe równanie prądów o postaci:

(1.2.)

Rys.2. Prosty układ pracy wzmacniacza operacyjnego

Równanie (1.2.) można zapisać również w postaci:

(1.3.)

Uwzględniając, że napięcia U(s) i U_O(s) związane są zależnością

(1.4.)

to po przekształceniu (1.3.) i (1.4.) otrzymamy

(1.5.)

Ponieważ współczynnik wzmocnienia wzmacniacza operacyjnego, przyjmuje się za nieskończenie duży, to

(1.6.)

wobec tego

(1.7.)

Dla n=1 wyrażenie (1.7.) przyjmie postać

(1.8.)

Na podstawie (1.8.) możemy wyznaczyć transmitancję operatorową układu, która wyniesie

(1.9.)

Na podstawie przeprowadzonego rozumowania można stwierdzić że dobierając impedancję Z_s(s) i Z₁(s) w postaci kombinacji rezystorów i kondensatorów można zamodelować podstawowe człony dynamiczne, co wykonane zostanie w ćwiczeniu.

2. Modele analogowe podstawowych członów
automatyki

2.1. Człon proporcjonalny

Jeżeli zgodnie z oznaczeniami punktu 1 zastosujemy elementy impedancji równe

Z_s(s) = R_s

Z₁(s) = R₁

to otrzymany człon o transmitancji

(1.10.)

Jest to transmitancja członu proporcjonalnego, którego współczynnik wzmocnienia wynosi -R_s/R₁. Układ połączeń odpowiadający transmitancji (1.10.) przedstawia rysunek 3.

Rys.3 Model analogowy członu proporcjonalnego i jego charakterystyka skokowa przy U₁(t)=-1(t)

2.2. Człon całkujący idealny

Dla przypomnienia zauważmy, że w członie tym sygnał wyjściowy z sygnałem wejściowym (rys.4.) związany jest zależnością:

(1.11.)

przyjmując

Rys 4 Model analogowy członu idealnego i jego charakterystyka skokowa przy U₁(t)=-1(t)

Otrzymamy transmitancję operatorową równą

(1.12.)

gdzie:

Wyrażenie (1.12.) jest transmitancją członu całkującego idealnego, czemu odpowiada model przedstawiony na rysunku 4

2.3. Człon różniczkujący idealny

Przyjmując

oraz

Otrzymamy

(1.13.)

gdzie:
jest współczynnikiem wzmocnienia członu.

Wyrażenie (1.13.) jest transmitancją członu różniczkującego idealnego, którego model analogowy przedstawia rysunek 5.

Rys. 5 Model członu różniczkującego idealnego i jego charakterystyka skokowa dla

2.4. Człon różniczkujący rzeczywisty

Chcąc zbudować model członu różniczkującego rzeczywistego (rys.6.) należy impedancję Z₁(s) przyjąć w postaci szeregowego połączenia rezystora o rezystancji R₁ i kondensatora o pojemności c₁. Impedancję Z_s(s) natomiast należy przyjąć w postaci rezystora o rezystancji R_s. Zapiszemy to następująco:

Przy takich założeniach transmitancja operatorowa modelu wynosi

(1.14.)

gdzie:

T = R₁C₁ - stała czasowa,

k_p = -R_s/R₁ - współczynnik wzmocnienia

Rys 6 Model analogowy członu różniczkującego rzeczywistego i jego charakterystyka skokowa dla

2.5. Człon inercyjny pierwszego rzędu

Jeżeli jako impedancję Z_s(s) zastosujemy równoległe połączenie kondensatora o pojemności C_s i rezystancji R_s, a jako impedancję Z₁(s) zastosujemy rezystor o rezystancji R₁ to otrzymamy model analogowy członu inercyjnego pierwszego rzędu (rys.7). W tej sytuacji zapisujemy

A zatem

(1.15.)

gdzie:

T=R_sC_s - stała czasowa członu inercyjnego,

K_p= -R_s/R₁ - współczynnik wzmocnienia.

Rys.7 Model analogowy członu inercyjnego i jego charakterystyka skokowa dla

2.6. Człon proporcjonalno-całkujący

Człon ten buduje się przyjmując impedancję Z_s(s) w postaci szeregowego połączenia rezystora o rezystancji R_s i kondensatora o pojemności c_s. W postaci impedancji Z₁(s) występuje rezystor o rezystancji R₁. Otrzymamy zatem model przedstawiony na rysunku 8. w tym przypadku

Rys.8 Model analogowy członu proporcjonalno-całkującego i jego charakterystyka skokowa przy

transmitancja operatorowa wyniesie

(1.16.)

Odpowiedź skokowa układu o transmitancji (1.16.) ma postać

(1.17.)

2.7. Człon proporcjonalno-różniczkujący

Przyjmując impedancję operatorową Z₁(s) w postaci równoległego połączenia rezystora o rezystancji R₁ i kondensatora o pojemności c₁ oraz impedancję operatorową Z_s(s) w postaci rezystora o rezystancji R_s otrzymujemy układ przedstawiony na rysunku 9. zgodnie z powyższym

Z tego

(1.18.)

Odpowiedź skokowa takiego układu ma postać

(1.19.)

Rys.9 Model analogowy członu proporcjonalno-różniczkującego i jego charakterystyka skokowa przy

2.8. Człon całkujący z inercją

Człon ten uzyskuje się drogą szeregowego połączenia członu całkującego idealnego i członu inercyjnego pierwszego rzędu, co prezentuje rysunek 10.

Rys.10. Model analogowy członu całkującego z inercją i jego charakterystyka skokowa przy U₁(t) = -1(t)

Zgodnie z zasadą szeregowego połączenia członów, zastępcza transmitancja operatorowa równa jest iloczynowi członów składowych, a zatem

(1.20.)

gdzie:

2.9. Człon sumacyjny

Powracając do układu przedstawionego na rysunku 2. i przyjmując n>1 oraz Z₁(s)=R₁, Z_s(s)=R_s, otrzymamy zgodnie z wyrażeniem (1.7) że napięcie wyjściowe U(s) jest sumą napięć wejściowych U₁(s) pomnożonych przez współczynnik proporcjonalności równy R_s/R₁ (rys.11.).

Rys.1 Model analogowy członu sumacyjnego

Wobec powyższego po uwzględnieniu (1.7.) otrzymamy

(1.21.)

Przyjmując, że R_s=R₁ otrzymamy

(1.22.)

Wyrażenie (1.22.) realizuje działanie węzła sumacyjnego, a zatem układ z rysunku 11. jest modelem analogowym tego węzła.

2.10. Człon dwuinercyjny

Człon ten uzyskuje się drogą szeregowego połączenia dwóch członów inercyjnych pierwszego rzędu (rys.12.)

Transmitancja operatorowa powstałego modelu jest równa iloczynowi transmitancji pierwszego i drugiego modelu inercyjnego. Zapisując powyższe otrzymamy

Rys 12. Model analogowy członu dwuinercyjnego

(1.23.)

gdzie

T = R_s1C_s1

T₁ = αT=R_s2C_s2

3. Opis stanowiska laboratoryjnego

Stanowisko laboratoryjne wyposażone jest w osiem wzmacniaczy operacyjnych, kondensatory o pojemnościach 0,1μF oraz rezystory 10kΩ, z których część ma możliwość regulacji rezystancji, co pozwala rozszerzyć zakres możliwości doboru parametrów modelowanych członów i układów.

Na płycie łączeniowej stanowiska laboratoryjnego wyprowadzone są wyjścia i wejścia wszystkich wzmacniaczy zakończone gniazdami ułatwiającymi modelowanie. W taki sposób wyprowadzone są końcówki kondensatorów i rezystorów. Stanowisko laboratoryjne zasilane jest napięciem stałym z zasilacza. Na wejście badanych modeli członów dynamicznych podawane są sygnały z generatora funkcyjnego, a pomiar odpowiedzi wykonywany jest przy użyciu oscyloskopu dwukanałowego. Pomiary napięć wejściowych i wyjściowych prowadzone są również przy użyciu woltomierzy.

4. Instrukcja przebiegu ćwiczenia

1. Po zapoznaniu się z właściwościami wzmacniaczy operacyjnych i zasadami modelowania, zamodelować kolejno wskazane przez prowadzącego człony dynamiczne omówione w punkcie 2. Naszkicować z oscyloskopu analogowego lub wydrukować z oscyloskopu cyfrowego charakterystyki skokowe (czasowe).

2. Korzystając z rysunku 13. łączyć układy pomiarowe, rejestrując charakterystyki czasowe kolejnych modeli przy wskazanych wartościach parametrów R i C. Zanotować również dane niezbędne do określenia wartości rzeczywistych na charakterystykach.

Rys. 13. Układ połączeń do rejestracji charakterystyk czasowych modelowanych członów układów dynamicznych

3. Wyznaczyć logarytmiczną charakterystykę amplitudową korzystając z układu połączeń, przedstawionego na rysunku 14. i 15. oraz tabeli 1.

4. Dokonać aproksymacji uzyskanych logarytmicznych charakterystyk amplitudowych wyznaczając analitycznie i graficznie punkty załamania charakterystyki asymptotycznej. Omówić różnice wartości doświadczalnych charakterystyki i analitycznych.

Rys. 14 .Układ połączeń do rejestracji charakterystyki amplitudowej modelu analogowego członu inercyjnego pierwszego rzędu

Rys. 15 Układ połączeń do rejestracji charakterystyki amplitudowej modelu analogowego

członu różniczkującego rzeczywistego

Tabela 1.

PARAMERTY MODELU-CZŁONU
f	Hz
	rad/s
U1	V
U	V
U/ U1	-
20log U/ U1	dB

5. Protokół z ćwiczenia

Protokół powinien zawierać:

• schematy zrealizowanych członów dynamicznych oraz podane obok ich charakterystyki czasowe z zaznaczeniem parametrów modelu członu,

• wyznaczoną transmitancję operatorową G(s) każdego członu

• przeprowadzane obliczenia i analizę wyników,

• schematy pomiarowe do wyznaczenia charakterystyk,

• tabele pomiarów według załączonego wzoru (TABELA 1.),

• wnioski z przeprowadzonych badań.

- 17 -

POLITECHNIKA RADOMSKA - INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Wej1

We2

U_we2

U_we1

W_y

U_wy

---