Pole elektrostatyczne - Zadanie 1

Treść: O ile więcej ładunków elementarnych ujemnych niż dodatnich zawiera kula naładowana ładunkiem Q=-1.6^.10^-2C?

Dane: Q= -1.6 ^. 10^-2 C e = 1.6 ^. 10^-19 C

Szukane: n = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Szukamy liczby ładunków elementarnych. Znamy wartość pojedynczego ładunku elementarnego, która wynosi

W celu rozróżnienia, czy mamy do czynienia z ładunkiem ujemnym, czy ładunkiem dodatnim, możemy dodać odpowiedni znak przed tą wartością. Ponieważ szukamy liczby ładunków ujemnych, zatem:

Zanim podamy rozwiązanie, pomyślmy, co oznacza liczba Q.
Jeżeli jakieś ciało ma tyle samo ładunków ujemnych i ładunków dodatnich, wtedy Q = 0. Oznacza to, że gdy Q < 0, to wtedy w danym ciele jest przewaga ładunków ujemnych, a jeśli Q > 0, to wtedy owe ciało posiada więcej ładunków dodatnich.

W naszym zadaniu wartość Q jest wartością ujemną, zatem kula zawiera więcej ładunków ujemnych i wartość różnicy ładunków ujemnych i ładunków dodatnich wynosi Q = -1.6 ^. 10^-2 C. Oznacza to, że jeżeli chcemy obliczyć liczbę ładunków ujemnych, to wartość Q musimy podzielić przez ładunek elementarny e. To tak, jakbyśmy chcieli obliczyć, ile jabłek po 0.50 zł za sztukę możemy kupić za 200 zł. Zatem:

Kula posiada 10¹⁷ więcej ładunków ujemnych niż dodatnich.

Pole elektrostatyczne - Zadanie 2

Treść: Dwa różnoimienne ładunki punktowe o wartości 1C każdy, znajdujące się w ośrodku o stałej dielektrycznej 2, umieszczone są w odległości 1m. Jaką siłą przyciągają się te ładunki?

Dane: q = 1 C r = 1 m εR = 2

Szukane: F = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Dwa ładunki różnoimienne o wartości Q każdy zgodnie z prawem Coulomba przyciągają się tymi samymi co do wartości siłami F. Zależność tę wyrażamy wzorem

k to współczynnik proporcjonalności, który wyrażamy wzorem:

Wartość ε₀ to przenikalność dielektryczna próżni, która zawsze wynosi (wartości tej szukaj zawsze w tablicach fizycznych):

a wartość ε_R to przenikalność dielektryczna danego środowiska (liczba niemianowana, w próżni wynosi 1 - czyli jest to jakaś wielokrotność wartości ε₀).

Po uwzględnieniu tego wszystkiego wzór wynikający z prawa Coulomba przybiera następującą postać:

Możemy więc obliczyć szukaną wartość siły

Sprawdzamy jednostkę:

Ładunki punktowe przyciągają się siłą równą około 4.5 ^. 10⁹ N.

Pole elektrostatyczne - Zadanie 3

Treść: Dwa ładunki punktowe znajdowały się w pewnej odległości od siebie. Zmniejszenie odległości o 10cm spowodowało czterokrotny wzrost siły wzajemnego oddziaływania. Ile wynosiła początkowa odległość między ładunkami?

Dane: d = 10 cm = 0.1 m 4 F1 = F2

Szukane: x = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Dwa ładunki elektryczne (załóżmy, że znajdują się w szarych kulach) działają na siebie zgodnie z prawem Coulomba jakąś siłą F. Zauważcie, że nie wiemy nic o znakach ładunków - przyjmijmy więc, że jeden ma wartość Q, a drugi wartość q.
Oba ładunki na początku (1) znajdowały się w szukanej odległości x. Wtedy siła oddziaływania ładunków miała wartość zgodnie z prawem Coulomba

Potem (2) zmniejszamy odległość o d = 10 cm i wtedy siła oddziaływania ładunków wynosi

Z treści zadania wiemy jeszcze, że po zbliżeniu ładunków odnotowano czterokrotny wzrost siły wzajemnego oddziaływania

Podstawiamy wartości sił wyliczone wcześniej:

Wartość ładunków oczywiście się nie zmienia, współczynnik proporcjonalności k również jest stały, bo nie zależy od odległości. Wyliczamy więc szukaną wartość x:

Początkowa odległość między ładunkami wynosiła 20 cm.

Pole elektrostatyczne - Zadanie 4

Treść: Dwa ładunki elektryczne działają na siebie w próżni siłą F. Jak należy zmienić odległość między tymi ładunkami, by po zanurzeniu ich w cieczy o stałej dielektrycznej εR=81, siła ich wzajemnego oddziaływania nie zmieniła się?

Dane: F εR = 81

Szukane: r2 = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Mamy dwa ładunki - przyjmijmy, że jeden z nich ma wartość q, a drugi wartość Q.
Na początku ładunki te znajdują się w próżni (w próżni ε_R = 1) i oddziałują na siebie siłą wynikającą z prawa Coulomba:

Współczynnik k₁ dla próżni wynosi:

Zatem

Potem umieszczamy ładunki w cieczy o stałej dielektrycznej ε_R = 81. Wtedy siła wzajemnego oddziaływania wynosi...

...a współczynnik k₂...

...więc:

Chcemy, aby siły oddziaływania nie zmieniły się, czyli:

Stąd możemy wyrazić szukaną odległość r₂.

Po zanurzeniu odległość między ładunkami należy zmniejszyć 9 razy.

Pole elektrostatyczne - Zadanie 5

Treść: Dwie jednakowe przewodzące kulki oddalone od siebie o r, naładowane ładunkami 2q i 6q, odpychają się siłą F1. Jak zmieni się siła F2 w stosunku do siły F1, jeżeli kulki ze sobą zetkniemy i rozsuniemy na taką samą odległość r?

Dane: r F1 q1 = 2q q2 = 6q

Szukane: F1 / F2 = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Na początku mamy dwie kulki naładowane ładunkiem 2q i 6q. Siła wzajemnego oddziaływania pomiędzy tymi kulkami, zgodnie z prawem Coulomba, wynosi

Potem kulki ze sobą stykamy. Ponieważ kulki dążą do równowagi elektrostatycznej, ładunki w obu kulkach wyrównają się i zgodnie z zasadą zachowania ładunku będą wynosić po 4q. Wtedy siła wzajemnego oddziaływania wynosić będzie

Pamiętajmy, że odległość r nie zmienia się, a współczynnik k jest stały, gdyż nie zmieniamy środowiska, w którym znajdują się kulki.
Obliczmy szukany stosunek sił:

Po zetknięciu kulek i rozsunięciu ich na odległość r, siła wzajemnego oddziaływania wzrośnie 4/3 razy (czyli o 1/3).

Pole elektrostatyczne - Zadanie 6

Treść: Dwa dodatnie ładunki punktowe q i 4q znajdują się w odległości r od siebie. W jakiej najbliższej odległości od ładunku q znajduje się punkt, w którym natężenie pola elektrostatycznego równa się zeru? Oblicz potencjał w tym punkcie.

Dane: q 4q r

Szukane: x = ? V = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Mamy znaleźć punkt, położony jak najbliżej ładunku q, w którym natężenie pola elektrostatycznego będzie równe zeru; punkt ten oznaczamy literą P.
Oba ładunki wytwarzają dookoła siebie pole elektrostatyczne. Tak więc działają tutaj dwa pola, korzystamy więc z zasady superpozycji, która mówi że natężenie pola w danym punkcie jest sumą wektorową natężeń pól wytwarzanych przez każdy z tych ładunków niezależnie.
Szukany punkt znajduje się na linii prostej łączącej oba ładunki (patrz rysunek). Jest wiele takich punktów, w których natężenie równa się zeru, znajdują się one jednak w nieskończoności.
Przyjmijmy oznaczenia odległości, jakie są na rysunku. Pamiętajmy że wektor natężenia ma zawsze zwrot skierowany od ładunku dodatniego. Korzystając z zasady superpozycji oraz tego, że w punkcie P natężenie jest równe zeru, mamy:

Tak więc wartości wektorów

Korzystamy teraz ze wzoru na natężenie pola:

gdzie k jest stałe.
Możemy już wyliczyć szukaną odległość x, upraszczając na samym początku wzór:

Zatem punkt ten znajduje się w odległości r/3 od ładunku q.

Czas zająć się potencjałem. Potencjał ten będzie dodatni, ponieważ znajdujemy się w polu ładunków dodatnich.
Zgodnie z zasadą nakładania się pól potencjał w punkcie P jest sumą algebraiczną:

Podstawiamy dane:

Jamnik

Pole elektrostatyczne - Zadanie 7

Treść: Trzy ładunki q1=-5^.10^-4C, q2=5^.10^-4C i q3=10^-4C umieszczono we wierzchołkach trójkąta o bokach równych a=3m, b=4m i c=5m, tak jak na rysunku. Ile wynosi siła działająca na ładunek q3?

Dane: q1 = -5 ^. 10^-4 C q2 = 5 ^. 10^-4 C q3 = 10 ^-4 C a = 3 m b = 4 m c = 5 m

Szukane: F = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Ponieważ a² + b² = c², to mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym.
Zastanówmy się, jakie siły działają na ładunek q₃.

Pamiętajmy, że ładunki jednoimienne odpychają się, zaś różnoimienne przyciągają. Siłą działającą na ładunek q₃ jest siła wypadkowa F powstała z sił F₁ i F₂ i wyliczyć ją można z twierdzenia Pitagorasa:

Korzystamy z prawa Coulomba, by podać wartości składowych sił:

Sprowadzamy dwa ułamki pod pierwiastkiem do mianownika

gdzie:

Ze wzoru wyprowadziliśmy spod pierwiastka co się dało, mimo to otrzymany wzór jest mało przyjemny. Możecie się pokusić o wyliczenie dokładnej wartości siły. :)

Pole elektrostatyczne - Zadanie 8

Treść: Dwa ładunki punktowe q1=2^.10^-4C i q2=-2^.10^-4C umieszczono w odległości r1=1m. Jaką pracę należy wykonać aby zwiększyć ich odległość do r2=2m?

Dane: q1 = 2 ^. 10^-4 C q2 = -2 ^. 10^-4 C r1 = 1 m r2 = 2m

Szukane: W = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Energia potencjalna dwóch ładunków q₁ i q₂, umieszczonych w odległości r jest równa

Szukana praca jest równa przyrostowi energii potencjalnej układu:

Pamiętaj, że k to stała (zakładamy, że ładunki znajdują się w próżni):

Zatem możemy podać wartość wykonanej pracy

Sprawdźmy jeszcze jednostkę:

Wykonana praca równa się 180 J.

Pole elektrostatyczne - Zadanie 9

Treść: Mamy dipol elektryczny, w którym dwa ładunki wynoszą Q=(+/-)2^.10^-4C, a odległość pomiędzy ładunkami r=12m. Jaką należy wykonać pracę, aby przenieść ładunek q=10^-5C z punktu A, odległego o x=10m od każdego z ładunków Q, do punktu B odległego o y=8m od każdego z ładunków Q?

Dane: Q = 2 ^. 10^-4 C r = 12 m q = 10^-5 C x = 10 m y = 8 m

Szukane: W = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Na początku trzeba dowiedzieć się, czym jest dipol elektryczny.
Dipol składa się z dwóch jednakowych ładunków (Q) o przeciwnych znakach, umieszczonych w odległości r (patrz rysunek).

Zgodnie z treścią zadania umieszczamy jakiś ładunek q w odległości x od każdego z naszych ładunków Q (punkt A). Potem przesuwamy ten ładunek do punktu, w którym odległość od każdego z ładunków Q wynosi y. Takie punkty możliwe są dwa, oznaczyłem je przez B i B'. Zauważmy że punkty te tworzą prostą, która jest symetralną odcinka o długości r (przerywana linia).

Ponieważ każdy punkt na symetralnej odcinka jest równo odległy od ładunków Q, to zgodnie z zasadą superpozycji pól potencjał V na symetralnej jest stały i wynosi zero:

Zamiast odległości r możemy wstawić dowolną inną odległość, ale zawsze wyjdzie zero. Tak więc potencjał w punkcie A, B oraz B' równy jest zeru.
Ale zaraz! My mieliśmy obliczyć pracę.
Przypomnijmy sobie jednak jeden ze wzorów na pracę w polu elektrostatycznym, w którym występuje potencjał

A ponieważ...

...to:

Praca W jest równa zeru.

Pole elektrostatyczne - Zadanie 10

Treść: Proton o ładunku e i masie m, mający prędkość v, zbliża się do nieruchomego ładunku dodatniego Q. Ile wynosi minimalna odległość rmin, na którą zbliży się proton do ładunku Q?

Dane: e m v Q

Szukane: rmin = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Proton ma ładunek dodatni.
Zgodnie z zasadą zachowania energii całkowitej początkowa energia kinetyczna protonu (bo gdzieś w nieskończoności nie ma energii potencjalnej pola elektrostatycznego) zostanie zamieniona na energię potencjalną w punkcie największego zbliżenia ładunków (ponieważ dwa ładunki dodatnie się odpychają, to siła coulombowska, powodująca to odpychanie, zahamuje proton, czyli wtedy energia kinetyczna będzie równa zeru).

Zapiszmy zasadę zachowania energii (pamiętajmy, że dla ładunków jednoimiennych energia potencjalna ma wartość dodatnią):

Otrzymany wzór wyraża minimalną odległość, na jaką zbliży się proton do ładunku Q.

Pole elektrostatyczne - Zadanie 11

Treść: 64 krople rtęci, o równych promieniach, naładowane takimi samymi ładunkami, łączą się w jedną dużą kroplę. Jeżeli V1 oznacza potencjał przy powierzchni małej kropli, a V2 przy powierzchni dużej kropli, to oblicz stosunek V2 / V1.

Dane: 64 małe krople 1 duża kropla q - ładunek małej kropli

Szukane: V2 / V1 = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Potencjał przy powierzchni małej kropli o promieniu r₁, naładowanej ładunkiem q, jest równy

Analogicznie dla dużej kropli o promieniu r₂ mamy

Możemy znaleźć również zależność promieni małej i dużej kropli. Ponieważ objętość dużej kropli równa jest łącznej objętości małych kropel więc

Ponieważ potencjał i objętość oznacza się w fizyce zwyczajowo literą V, nie pomylcie tych wielkości fizycznych!
Ostatecznie szukany stosunek wynosi:

Szukany stosunek potencjałów wynosi więc 16.

Pole elektrostatyczne - Zadanie 12

Treść: Potencjał w punkcie P pola elektrycznego trzech ładunków punktowych q1=q, q2=2q, q3 jest równy zeru. Ile wynosi ładunek q3?

Dane: q1 = q q2 = 2q

Szukane: q3 = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Obiecuję, że zadanie nie jest trudne.
Przede wszystkim trzeba znać zasadę składania potencjałów, jeżeli mamy kilka ładunków w polu. Zasada ta mówi, że potencjał w danym punkcie pola jest równy sumie algebraicznej potencjałów pochodzących od każdego ładunku. A więc potencjał V w punkcie P wynosi

gdzie V_i oznacza potencjał w punkcie P liczony dla i-tego ładunku (i = 1, 2, 3).

Z zadania wiemy, że potencjał w punkcie P jest równy zeru.

Za każdy potencjał podstawiamy wartość zgodną ze wzorem i rysunkiem

Uprościliśmy wzór ze stałej k i odległości d.

Podstawiamy dane wartości ładunków q₁ i q₂

Teraz możemy wyliczyć szukaną wartość ładunku q₃

Zatem szukany ładunek ma wartość -6 q.

Pole elektrostatyczne - Zadanie 13

Treść: Ładunki punktowe q1=q, q2=-sqrt(2)q i q3=2q umieszczono na przekątnej kwadratu o boku a. Ile wynosi potencjał w punkcie K (wierzchołek kwadratu)? Narysuj wektor natężenia pola elektrostatycznego w tym punkcie oraz określ jego wartość (sqrt(2) oznacza pierwiastek z 2).

Dane: q1 = q q2 = - sqrt(2)q q3 = 2q a

Szukane: V = ? E = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Podobnie jak w zadaniu poprzednim, musimy skorzystać z zasady obliczania potencjału w danym punkcie pola, jeżeli w polu jest kilka ładunków. Zasada ta mówi, że potencjał V w punkcie K jest równy sumie algebraicznej potencjałów związanych z poszczególnymi ładunkami

Podstawiamy wartości potencjałów zgodnie ze wzorem. Zauważ, że ładunek q₂ oddalony jest od punktu K o odległość równą połowie przekątnej kwadratu o boku a. Ponieważ przekątna kwadratu jest równa (można ją wyliczyć z tw. Pitagorasa)

to odległość ładunku q₂ od punktu K wynosi

Zatem potencjał V:

Mamy jeszcze narysować wektor natężenia pola E w punkcie K. Wektor natężenia pola ma zwrot zawsze od ładunku dodatniego (czyli inaczej mówiąc w kierunku ładunku ujemnego). Rysujemy składowe natężenia pola pochodzącego od każdego z ładunków.

Składowe te zostały narysowane orientacyjnie.
Zasada superpozycji mówi, że aby obliczyć wektor natężenia pola, należy zastosować sumę wektorową poszczególnych składowych.
Obliczmy wartości poszczególnych składowych wektora natężenia pola:

Składową E₂ możemy rozłożyć na dwie składowe E_2-1 i E_2-2

E_2-1 i E_2-2 mają tę samą wartość, ponieważ wektor E₂ leży na przekątnej kwadratu, więc wektory E_2-1 i E_2-2 są również bokami (mniejszego) kwadratu

stąd

Teraz popatrzmy na oba rysunki.
Zauważymy, że w kierunku poziomym

Wektory te równoważą się i nie odgrywają roli w ustalaniu cech wektora natężenia pola E.
Patrzymy teraz na kierunek poziomy. Wektor E_2-2 ma większą wartość niż wektor E₁. Oznacza to, że wektor E skierowany jest w kierunku poziomym ze zwrotem ku dołu o wartości (wyliczanej zgodnie z zasadami odejmowania wektorów)

Pole elektrostatyczne - Zadanie 14

Treść: W punkcie A, leżącym w połowie odległości między ładunkami dodatnimi o nieznanej wartości, natężenie pola elektrostatycznego jest równe E. Jaką wartość ma ładunek q, jeżeli odległość między ładunkami wynosi r?

Dane: r E

Szukane: q = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Ładunki q i 2q wytwarzają pewne pole elektrostatyczne. Na rysunku zaznaczano wektor natężenia pola elektrostatycznego w punkcie A. Zasada superpozycji mówi, że jeżeli chcemy policzyć natężenie pola elektrostatycznego w jakimś punkcie pola, w którym jest kilka ładunków, to natężenie tego pola przedstawiamy jako sumę wektorową natężeń pól pochodzących od każdego z ładunków.
Zatem nasze natężenie E

Obliczmy natężenia pola pochodzące od każdego z ładunków:

Wektor natężenia pola skierowany jest zawsze od ładunku dodatniego

Tak więc zgodnie z zasadą odejmowania wektorów, aby otrzymać wartość wektora E należy od wektora E_2q odjąć wektor E_q

Zauważcie, że pierwszy wzór przedstawiał zapis wektorowy sytuacji, ten powyższy natomiast przedstawia zapis niewektorowy; pozwala on nam wyliczyć wartość wektorów. Zatem

Z otrzymanej zależności możemy wyliczyć ładunek q.

Pamiętajmy, że k to stała, która zależy między innymi od środowiska, w którym znajduje się pole. Zakładamy, że ładunki znajdują się w próżni.

Jamnik

Pole elektrostatyczne - Zadanie 15

Treść: Takie same ładunki Q znajdują się w każdym rogu kwadratu o boku a. Poszczególne ładunki zostają uwalniane pojedynczo zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Uwalniany ładunek osiąga swoją końcową prędkość zanim kolejny ładunek zostanie uwolniony. Jakie są końcowe energie kinetyczne wszystkich czterech ładunków?

Dane: Q a - bok kwadratu k - stała

Szukane: EK = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Na rysunku czerwonymi cyframi zaznaczono kolejność "wypadania" ładunków.
Przy rozwiązywaniu zadania korzystamy z zasady zachowania energii. Gdy na początku ładunek znajduje się w wierzchołku kwadratu posiada on energię potencjalną pola elektrostatycznego, ale nie posiada energii kinetycznej, ponieważ prędkość ładunku równa jest zeru. Gdy ładunek zacznie się oddalać, dotrze on do takiego punktu, w którym energia potencjalna jest równa zeru (punkt taki, zgodnie z teorią, znajduje się nieskończenie daleko). Wtedy całkowita początkowa energia potencjalna zostanie zamieniona na energię kinetyczną. Tak więc za każdym razem:

Musimy zastanowić się, jak wyznaczyć energię potencjalną w polu elektrostatycznym. Nie jest to trudne, należy skorzystać ze wzoru pierwszego, który przekształcamy do postaci:

gdzie V jest potencjałem elektrostatycznym, który wyznaczamy ze wzoru:

Najpierw zajmujemy się ładunkiem pierwszym. Potencjałem całkowitym jest tutaj suma potencjałów pochodzących od każdego ładunku (zgodnie z zasadą superpozycji):

Zauważmy, że przy ładunku trzecim odległością jest długość przekątnej kwadratu, a w pozostałych przypadkach - długość boku kwadratu.
Wyliczamy energię potencjalną

A ponieważ E_K = E_P

Teraz gdy ładunek pierwszy jest daleko w nieskończoności, to nie wpływa on na pozostałe ładunki, tak więc pozostały nam trzy ładunki.
W podobny sposób liczymy energie kinetyczne dla pozostałych ładunków:

Słowo wyjaśnienia należy się w przypadku ostatnim. Otóż wtedy zostaje nam tylko jeden ładunek, bo pozostałe są w nieskończoności. W takim wypadku ładunek ten nie ma z czym oddziaływać, a więc pozostaje w spoczynku. Wtedy energia kinetyczna równa jest zeru.

Pole elektrostatyczne - Zadanie 16

Treść: Jaką wartość powinno mieć natężenie pola, aby pole elektrostatyczne nadało cząstce o masie m i ładunku q przyspieszenie równe przyspieszeniu ziemskiemu?

Dane: m q g

Szukane: E = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Pole elektrostatyczne nadaje cząstce przyspieszenie a równe przyspieszeniu ziemskiemu g:

Zgodnie z II zasadą dynamiki przyspieszenie możemy zapisać jako iloraz siły powodującej przyspieszenie przez masę cząstki:

Działającą siłą jest tu oczywiście siła wynikająca z prawa Coulomba, które zapisujemy wzorem

gdzie:
q - to ładunek cząstki,
Q - ładunek źródła pola elektrostatycznego,
r - odległość pomiędzy q a Q,
k - stała zależna od środowiska, w którym znajdują się ładunki.

Nasze równanie przyjmuje więc postać

Mamy znaleźć natężenie pola elektrostatycznego, które wyrażamy wzorem

Zauważ, że we wzorze tym jest wartość ładunku Q, czyli wartość ładunku źródłowego. Przekształcając dalej nasze równanie otrzymujemy:

Teraz bez problemu możemy wyprowadzić wzór na natężenie pola

Sprawdzimy jeszcze, czy otrzymamy poprawną jednostkę (pamiętaj, że jednostką natężenia pola jest wolt na metr).

skorzystaliśmy z tego, że siła to iloraz pracy (energii) przez przesunięcie, a iloraz energii przez ładunek to napięcie.

Pole elektrostatyczne - Zadanie 17

Treść: W każdym wierzchołku trójkąta równobocznego o boku a umieszczono ładunek q i w ten sposób wykonano łącznie pracę W. Jakiej pracy wymaga zbudowanie takiego samego trójkąta o boku a/2?

Dane: a - bok trójkąta q W

Szukane: W' = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Aby obliczyć pracę, korzystamy z jednego ze wzorów na pracę w polu elektrostatyczną. My wybraliśmy wzór

Za ΔV przyjmiemy całkowity potencjał pola, który wyliczymy z zasady superpozycji potencjałów, która mówi, że potencjał całkowity równy jest sumie algebraicznej potencjałów składowych.

Spójrzmy najpierw na trójkąt o boku a.
Na każdy ładunek q działają dwa inne ładunki oddalone w każdym przypadku o a. Potencjał wyliczony dla jednego z ładunków q wynosi:

A ponieważ takich ładunków mamy trzy sztuki, to całkowity potencjał wynosi

Pamiętajmy, że k to stała zależna od środowiska, w którym znajdują się ładunki - jednak, jak zobaczycie później, ona wcale nie będzie nam potrzebna.
Wykonana praca przy budowie trójkąta pierwszego

Teraz zajmiemy się trójkątem o boku a/2.
Rzecz z potencjałami ma się identycznie jak poprzednio.
Potencjał w punkcie pola, w którym znajduje się jeden z ładunków wyrażamy...

a ponieważ mamy trzy ładunki, to:

Czyli wykonana praca wynosi:

Tak więc aby zbudować trójkąt o boku a/2 należy wykonać dwa razy większą pracę, niż przy budowie trójkąta o boku a.

Pole elektrostatyczne - Zadanie 18

Treść: Natężenie pola elektrostatycznego w pewnym punkcie ma wartość 10^2N/C i zwrot pionowo w dół. Jaki będzie kierunek, zwrot i wartość wektora siły działającej na ładunek ujemny o wartości 10^-6C, który umieścimy w tym punkcie?

Dane: E = 10^2 N/C q = 10^-6 C

Szukane: F = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Wektor natężenia pola elektrostatycznego E ma zawsze zwrot "od plusa do minusa". A ponieważ ładunek ujemny Q będzie przyciągać się tylko z dodatnim ładunkiem, oznacza to, że zwrot siły F będzie skierowany ku górze, a kierunek oczywiście będzie pionowy.
Pozostało nam wyliczenie wartości siły F. Korzystamy ze wzoru na natężenie pola elektrostatycznego

Aby wyliczyć z niego siłę, należy go przekształcić i wyliczyć szukaną wartość:

Na ładunek działa siła o wartości 10^-4 N skierowana pionowo w górę.

Pole elektrostatyczne - Zadanie 19

Treść: Proton i cząstka α (alfa) zostały przyspieszone tą samą różnicą potencjałów. Jaka jest zależność pomiędzy prędkością protonu oraz prędkością cząstki alfa?

Dane: Up = Uα

Szukane: vp / vα = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Nim zaczniemy rozwiązywać, trzeba znać podstawowe informacje o cząstkach alfa. Cząstka alfa składa się z dwóch protonów i dwóch neutronów; ma ładunek dodatni.

Teraz spróbujemy wyrazić prędkość ładunku wskutek przyspieszenia go różnicą potencjałów.
Aby przenieść dodatni ładunek przez różnicę potencjałów ΔV (zwaną dalej napięciem U) należy wykonać pracę

Praca ta w polu elektrostatycznym równa jest oczywiście energii potencjalnej.

Po przebyciu całej różnicy potencjałów, energia potencjalna zostanie całkowicie zamieniona na energię kinetyczną

I właśnie z tego ostatniego równania spróbujemy wyprowadzić stosowny wzór:

Wracamy do treści zadania. Liczymy kolejno prędkość protonu i prędkość cząstki alfa, uwzględniając to, że przebywają one takie samo napięcie (różnicę potencjałów):

Oznacza to, że:

Pole elektrostatyczne - Zadanie 20

Treść: Kulę przewodzącą o promieniu r, naładowaną do potencjału V, zetknięto z nienaelektryzowaną kulą o trzykrotnie większym promieniu. Ile wynosi potencjał kul po zetknięciu?

Dane: r R = 3r V

Szukane: V' = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Skorzystamy tutaj z zasady zachowania ładunku. Otóż ładunek który znajdował się w kuli o promieniu r będzie równy ładunkowi, jaki będzie umieszczony w dwóch kulach po zetknięciu.
Przed zetknięciem mamy daną kulę o promieniu r. Jej potencjał wynosi

Ze wzoru na potencjał wyprowadzono obok wzór na ładunek.
Stykamy teraz naszą kulę z nienaładowaną kulą (czyli o potencjale równym zeru) o promieniu 3r.
Powstała różnica potencjałów, zatem układ nie jest w równowadze elektrostatycznej. Następuje przemieszczanie się elektronów swobodnych w stronę potencjału wyższego, aż do memontu wyrównania się potencjałów obu kul, który oznaczymy przez V'.
Ale oczywiście pozostał ten sam ładunek, który znajduje się teraz w dwóch kulach:

Porównujemy dwa powyższe wzory na ładunek

Równanie to możemy uprościć przez stałą k, promień r oraz wyliczyć szukany potencjał kul po zetknięciu

Potencjał kul po zetknięciu jest równy 0.25 potencjału naładowanej kuli przed zetknięciem.

Pole elektrostatyczne - Zadanie 21

Treść: Kropla wody została naładowana ładunkiem q>0. Jak zmienił się jej potencjał, jeżeli wskutek parowania, nie zmieniając ładunku, kropla zmienia swoją objętość 27 razy?

Dane: q > 0 27 O' = O (O - objętość)

Szukane: V' = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Kropla wody zmienia 27 razy swoją objętość. Objętość kuli zależy od jej promienia, a od tego promienia zależy również potencjał (przyjrzyj się wzorom).
Obliczymy na początku zmianę promienia wskutek zmiany objętości kropli. Kula (kropla) miała na początku objętość O, a potem jej objętość miała wartość O'. Z treści zadania wiemy, że

Na początku duża kropla miała potencjał V

A teraz część kropli wyparowała; liczymy potencjał

Wskutek parowania potencjał kuli zwiększył się 3 razy.

r />

27

---