Ćw. 5 - 1. POMIARY MOCY W OBWODACH JEDNOFAZOWYCH

1. Definicje

Moc P w obwodzie prądu stałego jest określana jako iloczyn napięcia U i natężenia prądu I

P = U I (1)

Iloczyn chwilowych wartości napięcia u(t) i natężenia prądu i(t) w obwodzie prądu przemiennego określa moc chwilową p(t)

p(t) = u(t) i(t) . (2)

Jeżeli napięcie i prąd są sinusoidalnie zmienne, to:

, (3)

, (4)

a moc chwilową można przedstawić zależnością

. (5)

Dla określenia stanu energetycznego obwodu stosowane są parametry mocy chwilowej. Wzór (5) dowodzi, że w obwodzie prądu przemiennego moc chwilowa p(t) oscyluje - z częstotliwością dwukrotnie większą od częstotliwości f źródła zasilającego obwód - wokół wartości P=UIcosϕ - nazywanej mocą czynną. Amplituda tych oscylacji jest równa S = U I, i jest nazywana mocą pozorną. Moc czynna jest definiowana operacją uśrednienia p(t) w okresie T:

. (6)

Moc bierna Q dla sinusoidalnych przebiegów napięcia i prądu przedstawia zależność

. (7)

Wymienione moce wiąże ze sobą zależność

. (8)

Zależność (2) obowiązuje również dla odkształconych przebiegów napięć i prądów. Przebiegi te traktuje się jako sumy wielu przebiegów sinusoidalnych (harmonicznych):

, (9)

, (10)

a wówczas parametry mocy wynikają ze wzorów:

, (11)

, (12)

, (13)

Okazuje się jednak, że obliczone z powyższych równań moce S, P i Q nie spełniają równania (8). Z tej przyczyny klasyczna teoria mocy - opracowana przez Budeanu - wprowadza pojęcie mocy zniekształceń K, przedstawioną zależnością

, (14)

dzięki której jest spełniona zależność:
(15)

Jednak teorii Budeanu nie można zinterpretować fizycznie, co jest jej poważną wadą. W związku z tym, problem wyznaczania mocy w obwodach z przebiegami odkształconymi jest nadal przedmiotem prac badawczych.

Stosunek mocy czynnej P do mocy pozornej S nazywany jest współczynnikiem mocy PF (power factor)

. (16)

Jeżeli przebiegi napięcia i prądu są sinusoidalne to współczynnik mocy PF jest równy cosinusowi kąta ϕ przesunięcia fazowego między napięciem i prądem (zw. też cosφ).

2. Przyrządy do pomiaru mocy

Przyrządy do pomiaru mocy występują w praktyce w postaci mierników mocy lub przetworników mocy (rys.1). Mają dwa obwody wejściowe: napięciowy WE1 i prądowy WE2. Podane na oba wejścia wielkości podlegają mnożeniu analogowemu, zgodnie ze wzorem (1) lub (2). Po dokonaniu filtracji otrzymuje się sygnał proporcjonalny do wartości średniej mocy chwilowej p(t) (wzór (6)). Sygnał ten jest dostępny na wyjściu WY przyrządu.

Rys. 1. Schemat blokowy przyrządu do pomiaru mocy czynnej.

W miernikach elektromechanicznych sygnałem wyjściowym jest odchylenie  wskazówki. Do pomiaru mocy są stosowane konstrukcje elektromechaniczne typu elektrodynamicznego i ferrodynamicznego. Na rys. 2. Przedstawiono te konstrukcje.

Obwód prądowy watomierza elektrodynamicznego stanowi zespół dwóch nieruchomych cewek 3 wiodący prąd i₁. Cewki te mogą być łączone szeregowo lub równolegle, wynikiem tego uzyskuje się zmianę zakresu obwodu prądowego watomierza w stosunku 1:2, np. jeżeli prąd znamionowy cewki I_cewki = 2,5A, to przy połączeniu szeregowym I_n1=I_cewki = 2,5 A, a przy połączeniu równoległym - I_n2 = 2 I_cewki = 5A. Na obwód napięciowy watomierza składają się: cewka ruchoma 6, spiralne sprężynki 7 i oporniki dodatkowe (nie przedstawione na rysunku), których wybór ustala zakres obwodu napięciowego watomierza. Zakresy napięciowe watomierzy elektrodynamicznych mieszczą się w granicach od kilkudziesięciu do kilkuset woltów.

a b

Rys. 2. Szkice konstrukcji miernika elekrodynamicznego (a) i ferrodynamicznego (b); 1 - podzielnia z podziałką, 2 - magnetowód, 3 - cewki obwodu prądowego (nieruchome), 4 - koncentrator pola magnetycznego, 5 - szczelina powietrzna, 6 - cewka obwodu napięciowego (ruchoma, obrotowa), 7 - sprężynki spiralne, 8 - wskazówka, 9 - oś układu ruchomego.

Na cewkę ruchomą 6 działa moment obrotowy M_t, wywołany dynamicznym oddziaływaniem pola magnetycznego, wytworzonego prądem i₁ płynący w cewkach 3, na prąd i₂ cewki ruchomej. Wartość chwilową tego momentu określa wzór

, (17)

w którym:
,
.

Moment M_t zmienia w czasie swoją wartość i kierunek w takt zmian iloczynu prądów i₁ i i₂. Jednak organ ruchomy, ze względu na swoją dużą bezwładność, nie nadąża za zmianami momentu M_t i w konsekwencji uśrednia jego wartość. Ostateczne odchylenie  organu ruchomego, obserwowane przez obserwatora jako przemieszczenie wskazówki, jest wynikiem zrównania się średniego momentu napędowego M i przeciwdziałającego mu momentu zwrotnego (skręcającego) M_z sprężynek spiralnych 7

, (18)

. (19)

Jeżeli prąd I₂ jest proporcjonalny do napięcia U - występującego na odbiorniku energii elektrycznej, to różnica faz (ψ_i1-ψ_i2) prądów i₁ i i₂ jest przesunięciem fazowym φ między napięciem U i prądem I odbiornika, a odchylenie wskazówki miernika elektrodynamicznego jest proporcjonalne do mocy czynnej odbiornika P

, (20)

gdzie: k_z - współczynnik sprężystości sprężyn, M_1,2 - współczynnik indukcyjności wzajemnej między cewkami, s_u - czułość układu, c_w - stała watomierza.

Jeżeli ponadto współczynnik indukcyjności wzajemnej M_1,2 nie zmienia się ze zmianą odchylenia  cewki ruchomej, to charakterystyka przetwarzania   f(P) miernika jest liniowa, a jego podziałka równomierna. Watomierze elektrodynamiczne są budowane w klasach dokładności 0,1; 0,2 i 0,5. Błędy dodatkowe watomierzy elektrodynamicznych są powodowane zmianami: temperatury, częstotliwości i wynikiem oddziaływania zewnętrznych pól magnetycznych.

Watomierze ferrodynamiczne są podobne do watomierzy elektrodynamicznych. Dodatkowo wyposażone są w obwód magnetyczny (rys. 2b - 2 i 4), którym skupia się pole magnetyczne w szczelinie powietrznej 5 z umieszczą w niej cewką ruchomą 6. Dzięki temu moment napędowy cewki jest większy niż w mierniku elektrodynamicznym. Konstrukcja ta jest mniej wrażliwa na wpływ zewnętrznych pól magnetycznych. Jednak obwód magnetyczny wywołuje histerezę charakterystyki przetwarzania i wprowadza błąd fazowy, a podziałka miernika jest nieliniowa. Stąd watomierze ferrodynamiczne zwykle są stosowane w obwodach prądu przemiennego, a najwyższa osiągana dokładność odpowiada klasie 0,5. Górna granica częstotliwości nie przekracza 500Hz.

Zamiana miejscami przewodów na jednym z wejść watomierza wywołuje zmianę kierunku prądu w obwodzie i w konsekwencji zmianę kierunku odchylenia wskazówki watomierza. W celu ułatwienia poprawnego włączenia watomierza do obwodu pomiarowego jeden z zacisków każdego wejścia oznacza się za pomocą znaku graficznego, np. ∗ (patrz: schemat na rys. 4). Zacisk ten jest nazywany początkiem obwodu.

W analogowych przetwornikach mocy wartości napięcia i prądu, po wstępnym przetworzeniu w obwodach wejściowych (rys. 1), są mnożone w układzie zw. mnożnikiem analogowym. Sygnałem wyjściowym mnożnika jest najczęściej napięcie stałe U lub prąd stały I. Włączenie miernika (woltomierza lub miliamperomierza) do wyjścia przetwornika mocy czyni z niego watomierz. Miernik wyjściowy może być zarówno analogowy, np. magnetoelektryczny, jak i cyfrowy. Dołączając do wyjścia mnożnika przetwornik analogowo-cyfrowy (a/c) uzyskuje się sygnał pomiarowy w postaci cyfrowej (rys.1). Jego transmisja do komputera pozwala rozszerzyć funkcje pomiarowe przyrządu, w tym automatyzować pomiary.

We współczesnej technice pomiarowej stosowane są również próbkujące przetworniki mocy. Różnią się one w istotny sposób od wymienionych przetworników analogowych. Przykład podstawowej struktury blokowej próbkującego przetwornika mocy przedstawiono na rys. 3.

Rys. 3. Schemat blokowy próbkującego przetwornika mocy.

Wielkości wejściowe, po wstępnym przetworzeniu, zostają poddane operacji próbkowania. Uzyskany w określonym czasie, np. w okresie T, zbiór próbek jest cyfrową (dyskretną) reprezentacją wartości wielkości wejściowych. Następnie, na zapamiętanych zbiorach próbek, przeprowadza się w mikroprocesorze operację mnożenia przez siebie próbek napięcia u_k i prądu i_k zebranych w tej samej chwili t_k - w konsekwencji uzyskując zbiór wartości chwilowych mocy p(t). Po obliczeniu ich wartość średniej w okresie T uzyskuje się moc czynną P

, (21)

gdzie: N - liczba zebranych próbek w okresie T, k - numer próbki.

Metoda próbkowania sygnałów stwarza możliwość pomiaru nie tylko mocy czynnej ale również mocy pozornej, mocy biernej, współczynnika mocy i wielu innych parametrów sygnałów wejściowych. Metoda stanowi podstawę działania współczesnych systemów pomiarowych.

Przyrządy do pomiaru mocy charakteryzują następujące parametry:

• rodzaj przebiegów czasowych wielkości wejściowych (napięcia i prądu) - stałe, okresowo zmienne, sinusoidalne, niesinusoidalne (odkształcone),

• wartości znamionowe wielkości wejściowych - U_n, I_n - największa wartość wielkości wejściowej dopuszczana przy długotrwałym działaniu przyrządu,

• maksymalne dopuszczalne wartości wielkości wejściowych - wartość wielkości wejściowej dopuszczana przy krótkotrwałym działaniu przyrządu; umożliwia przeciążenie określonego obwodu wejściowego w dopuszczalnych granicach, a w konsekwencji pomniejszenie błędu pomiaru mocy (np. U_max=2U_n, I_max=1,5I_n),

• zakres pomiaru mocy P_n; jeżeli producent przyrządu nie podał zakresu mocy to można go obliczyć ze wzoru:
  , np. przy U_n=100V, I_n=2A, to P_n=200W,

• rezystancje i indukcyjność obwodów wejściowych, decydujące o poborze mocy przez watomierz i błędzie metody pomiaru mocy;

• klasa dokładności watomierza - określa błędy podstawowe watomierza (graniczne, dopuszczalne)

• błędy dodatkowe watomierza; wynikają z różnicy pomiędzy przyjętym umownie stanem odniesienia wielkości wpływowych a stanem tych wielkości w momencie wykonywania pomiaru mocy. Wielkościami wpływowymi nazywamy wielkości, które nie są celem pomiaru a mają znaczący wpływ na wskazania miernika, jak np. częstotliwość, temperatura; zamiast wartości błędu dodatkowego producent może podać dopuszczalne granice wartości wielkości wpływowych, np.: (40...50...500)Hz, (15...23...40)⁰C.

2. Metody i układy pomiarowe

Pomiary mocy są wykonywane w oparciu o definicje mocy podane w punkcie 1. Jeżeli wynik pomiaru mocy jest odczytywany przez obserwatora na polu odczytowym przyrządu, to taki pomiar jest nazywany pomiarem bezpośrednim. Natomiast jeżeli wartość mocy jest obliczana na podstawie wyników pomiarów innych wielkości, np. napięcia i prądu, to pomiar mocy jest nazywany pomiarem pośrednim.

Metoda pośrednia

Metoda pośrednia z wykorzystaniem woltomierza i amperomierza jest stosowana wtedy, gdy napięcie i prąd obiektu pomiaru mają zbyt małe wartości w stosunku do zakresów dostępnych watomierzy(rys. 3). Metoda jest więc stosowana w obwodach prądu stałego przy pomiarach obiektów o małej mocy. Wartość mocy oblicza się ze wzoru (1) na podstawie wskazań woltomierza U_V i amperomierza I_A: P=U_V I_A. Szczegółowa analiza układów przedstawionych na rys. 3 wskazuje, że obliczona wartość P mocy nie jest równa dokładnie mocy odbiornika. Różnica między obliczoną mocą P a wartością poprawną jest zależna od sposobu połączenia układu pomiarowego (rys. 3a lub 3b) i nazywana jest błędem bezwzględnym metody _mP. Błąd metody pomiaru mocy można znacznie ograniczyć przez wprowadzenie do wyniku pomiaru poprawki. I tak, wartości poprawne mocy odbiornika P_odb należy obliczać za wzorów

dla układu z rys. 3a:
, (23)

a dla układu z rys. 3b:
. (24)

Poprawkę należy stosować wtedy, gdy jej wartość jest porównywalna z innymi błędami wpływającymi na dokładność pomiaru.

a b

Rys. 3. Układy do pomiaru mocy metodą pośrednią za pomocą woltomierza i amperomierza,

a - przy poprawnym pomiarze napięcia odbiornika, b - przy poprawnym pomiarze prądu odbiornika.

Obliczona ze wzorów (23) lub (24) moc P_odb jest obarczona niepewnością wynikającą głównie z błędów aparaturowych użytych przyrządów.

Metoda woltomierza i amperomierza jest również stosowana w obwodach prądu przemiennego do pomiaru mocy pozornej S, zarówno przy przebiegach sinusoidalnych jak i odkształconych.

Metoda bezpośrednia

W metodzie bezpośredniej pomiaru mocy w obwodach prądu stałego jak i przemiennego wykonuje się za pomocą odpowiedniego miernika mocy. Miernik wskazujący moc czynną nazywany jest watomierzem. Miernik wskazujący moc bierną, nazywany waromierzem, jest stosowany tylko w obwodach prądu przemiennego. Na rys. 4a przedstawiono sposób włączenia watomierza do obwodu jednofazowego. W celu zapewnienia poprawnej pracy watomierza jego obwód prądowy (I-I) należy włączyć szeregowo do przewodu fazowego, przy tym początek obwodu, oznaczony symbolem *, musi być włączony od strony zasilania. Obwód napięciowy watomierza (U-U) należy włączyć równolegle do odbiornika (1-PEN) lub zasilania (2-PEN), przy czym początek obwodu musi być włączony do przewodu fazowego. Nie zachowanie tych reguł spowoduje to, że wskazówka watomierza nie będzie odchylać się na podziałkę.

a

b c

Rys. 4. Układ do pomiaru mocy w obwodzie jednofazowym, a - schemat układu pomiarowego,

b - wykres wektorowy napięć i prądów istotnych przy pomiarze mocy, gdy obwód napięciowy jest załączony na zaciski odbiornika [PEN-(1)], c - wykres wektorowy napięć i prądów istotnych przy pomiarze mocy, gdy obwód napięciowy jest załączony na zaciski zasilania [PEN-(2)].

Jeżeli celem pomiaru jest wyłącznie pomiar mocy czynnej, to woltomierz i amperomierz służą tylko do kontroli napięcia i prądu, a ich dokładność mogą być znacznie mniejsza od dokładności watomierza. Jeżeli jednak ma być mierzona moc pozorna i współczynnik mocy, to dokładności woltomierza i amperomierza muszą być odpowiednio dobrane.

Wskazanie watomierza P_w zależy od konfiguracji połączeń układu pomiarowego. Obwód napięciowy watomierza (U-U) oraz woltomierz V są połączone równolegle i mogą być włączone między przewód ochronno-neutralny PEN sieci i punkt 1, tj. na napięcie odbiornika, lub punkt 2, tj. na napięcie zasilania. Nie zaleca się włączania napięciowych obwodów pomiarowych między przewód PEN i punkt 3.

Moc czynną wskazywaną przez wielozakresowy watomierz analogowy oblicza się ze wzoru

, (25)

w którym c_w - stała watomierza.

Moc P_W wskazywana przez watomierz jest większa od mocy odbiornika o moc traconą w przyrządach pomiarowych. W przypadku, gdy obwody napięciowe układu pomiarowego są załączone na napięcie odbiornika (1-PEN), poprawną wartość mocy odbiornika P_odb oblicza się odejmując od wskazania watomierza moc traconą w woltomierzu i obwodzie napięciowym watomierza

. (26)

Poprawną wartość mocy biernej odbiornika Q_odb wynika ze wzoru

, (27)

a poprawną wartość mocy pozornej odbiornika z zależności

. (28)

Jeżeli obwody napięciowe układu pomiarowego są załączone do zacisków zasilania (2-PEN), to poprawną wartość mocy odbiornika oblicza się ze wzorów:

, (29)

, (30)

. (31)

Znajomość mocy czynnej P_odb i mocy pozornej S_odb pozwala obliczyć współczynnik mocy

. (32)

3. Program ćwiczenia

Zestawionym układem pomiarowym z poprawnie mierzonym napięciem zmierzyć moc czynną i współczynnik mocy odbiorników jednofazowych (żarówek), w tym:

1. Na podstawie pomiarów próbnych oszacować wartości błędów metody pomiaru mocy i prądu; przeanalizować potrzebę uwzględnienia poprawek na wskazania watomierza i amperomierza.

2. W czasie pomiarów zwrócić uwagę na wahania wartości prądu i mocy; określić stosunek tych wahań do wartości błędów granicznych stosowanych mierników. W przypadku ich znaczących wartości uwzględnić je w obliczeniu niepewności pomiaru w postaci błędu odczytu.

3. Z obrazu oscyloskopowego ocenić kształty przebiegów napięcia i prądu. Przebiegi odkształcone przedstawić rysunkiem z opisem ich parametrów (amplitudy, okres, czas trwania, itp.)

4. Na podstawie porównania wskazań stosowanych w układzie pomiarowym dwóch różnych typów amperomierzy (elektromagnetycznego i z przetwornikiem wartości średniej) ocenić ich przydatność w pomiarach prądów sinusoidalnych i odkształconych.

.

4. Przykład opracowania wyniku pomiaru

Wyznaczono współczynnik mocy odbiornika z pomiarów: P=65,3W, U=236V, I=482mA. Niepewności standardowe stosowanych przyrządów były następujące: u_r(P)=0,65%, u_r(U)=0,84%, u_r(I)=0,44%. Określ niepewność względną pomiaru PF oraz zapisz wynik pomiaru na poziomie ufności 0,95.

Wartość współczynnika mocy:
.

Z równania pomiaru wynika wzór na obliczenie względnej niepewności standardowej łącznej pomiaru PF

.

Dla przykładu będzie:

Niepewność rozszerzona dla p=0,95 ma współczynnik rozszerzenia k=2, więc

U_r(PF) =k u_r(PF)= 2 1,15% = 2,30%

Niepewność rozszerzona bezwzględna: U(PF)=(U_r(PF) PF)/100%=(2,30% 0,5741)/100%=0,013

Wynik pomiaru: PF=0,574±0,013 p=0,95 ; niepewność względna pomiaru: 2,3%.

Tab. 1. Pomiary mocy źródeł światła

Rodzaj źródła

pomiar napięcia

pomiary prądu

pomiar mocy

pw (poprawka) W

Pp ±U(P) p=0,95 W

PF ±U(PF) p=0,95

Uz V

UV V

ur(U) %

I^*^(1)

I

Pz W

αw dz

cw W/dz

Pw W

ur(P) %

mA

δdI %

Iz ; cA mA mA/dz

αA dz

IA mA

ur(I) %

........................

........................

........................

(1) I^* - prąd zmierzony amperomierzem z przetwornikiem wartości średniej (multimetr V 640). W przypadku pomiaru prądu odkształconego występuje błąd dodatkowy δ_dI, którego wartość można oszacować przez porównanie wskazań miernika z wynikiem pomiaru amperomierzem elektromagnetycznym: δ_dI = [(I^*- I_A) / I_A ] 100%

Wzory: poprawka na wskazania watomierza p_w = -U² (1/R_V + 1/R_W); poprawna wartość mocy
; współczynnik mocy odbiornika PF=P_p/(U_V I_A). Obliczenia niepewności pomiaru mocy - jak dla pomiarów bezpośrednich. Obliczenia niepewności pomiaru współczynnika mocy:
,
- gdzie dla p = 0,95 - k = 2 .

Tab. 2. Pomiary oscyloskopem prądu odkształconego (pobieranego przez żarówkę gazowaną)

Wartość maksymalna impulsu: Im = Um/ R					Czas trwania impulsu timp
lmax dz	cu V/dz	Um V	R Ω	Im mA	lt dz	ct ms/dz	timp ms

Względny czas trwania impulsu:

8

11

---