PARADOKSY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

dr Krzysztof Bryś

Celem wykładu jest pokazanie, że w przypadku modelowania zjawisk losowych, do oceny szans zajścia określonego zdarzenia losowego nie wystarcza intelekt i intuicja.

Z pomocą przychodzi jednak nauka, a konkretnie stosunkowo młoda gałąź matematyki zwana rachunkiem prawdopodobieństwa, zajmująca się budowaniem modeli matematycznych zjawisk losowych. Często zdarza się, że uczeń, który nie ma problemów z rozwiązywaniem trudnych zadań z pozostałych działów matematyki, nie radzi sobie rachunkiem prawdopodobieństwa. Wśród przyczyn takiego stanu rzeczy można wymienić zbytnią wiarę uczniów (ale nie tylko uczniów) we własną intuicję i inteligencję. Tymczasem nierzadko zdarza się również, że uczeń niezbyt radzący sobie z matematyką, doskonale radzi sobie z zadaniami z rachunku prawdopodobieństwa. Ten dział matematyki daje takie możliwości ze względu na to, że do rozwiązania tych zadań potrzebna jest jedynie umiejętność prawidłowego posługiwania się narzędziami, do których opanowania praktycznie nie jest potrzebna wiedza zdobyta na poprzednich etapach edukacji. Znane są przypadki sławnych matematyków, takich jak np. d'Alembert, którzy w zetknięciu z niektórymi zagadnieniami z rachunku prawdopodobieństwa wskazywali niepoprawne rozwiązania uzasadniając ich poprawność swoją wiedzą i doświadczeniem. Ten wykład ma na celu pokazanie, że ta gałąź matematyki nie ma wcale nic wspólnego z magią.

Nawet w przypadku prawidłowych wyników, z którymi nasza intuicja nie godzi się i stanowczo protestuje, można znaleźć precyzyjne uzasadnienie. Podczas tego wykładu wprowadzone zostają wszystkie narzędzia niezbędne do precyzyjnego wyjaśnienia słynnego paradoksu Monty Halla. Wyjaśnienia sprzecznego z tym co podpowiada intuicja, ale opartego na twardym rozumowaniu matematycznym i wykorzystującego bardzo proste a zarazem bardzo silne narzędzie, jakim jest wzór Bayesa.

Warto przypomnieć w tym miejscu na czym polega słynny paradoks Monty Halla (dokładnie opisany podczas wykładu). Gracz ma do wyboru trzy bramki: A, B, C. Za jedną z nich jest nagroda (samochód). Gracz wybiera jedną z bramek, powiedzmy A. Prowadzący odsłania jedną z dwóch pozostałych, ale taką, za którą nie ma nagrody, a następnie pyta gracza, czy chce zmienić swój pierwotny wybór. Co powinien zrobić gracz? Zostały dwie bramki - ta którą wybrał na początku i druga dotąd nieodkryta. Czyli intuicja podpowiada, że można nie zmieniać początkowo wybranej bramki na inną, bo szanse, że nagroda jest za każdą z nich są takie same. Ale intuicja nie ma racji. Swoją sławę paradoks Monty Halla zawdzięcza między innymi temu, ze niepoprawną odpowiedź podało wielu znanych matematyków. Nawet przeciwko formalnemu dowodowi potwierdzającemu rozwiązanie sprzeczne z intuicją protestował słynny węgierski matematyk Paul Erdos.

W trakcie Pikniku Naukowego przeprowadziliśmy wraz ze studentami PW, eksperyment. Paradoks Monty Halla ukryliśmy za bajką o złym smoku i księżniczce więzionej w jednej z trzech wież. Stoisko odwiedzali ludzie w wieku od lat 3 do 103 i większość nie wiedziała, że poprawna strategia polega na zmianie pierwotnego wyboru. Niektórzy odkryli podobieństwo pomiędzy tą zagadką a słynnym paradoksem i przytaczali poprawną odpowiedź. Nikt jednak nie potrafił tego paradoksu wyjaśnić, mimo że z pozoru proste uzasadnienie istnieje. Otóż zakładając, że nagroda jest z jednakowym prawdopodobieństwem ukrywana za każdą z bramek, mamy trzy jednakowo prawdopodobne sytuacje. Jak widać z poniższej tabeli w dwóch z trzech przypadków (gdy nagroda jest za którąś z bramek niewybranych pierwotnie przez gracza) zmiana decyzji spowoduje wybranie bramki z nagrodą (druga, ta bez nagrody, z pierwotnie niewybranych bramek zostanie otwarta przez prowadzącego, zatem zmiana będzie zmianą wyboru na bramkę z nagrodą). Tylko w jednym przypadku (gdy nagroda jest za bramką pierwotnie wybraną) zmiana decyzji będzie błędną decyzją. Zatem zmiana wybranej bramki na drugą pozostałą daje dwa razy większe szanse na zdobycie nagrody niż pozostanie przy pierwotnie wybranej. Takie proste wyjaśnienie tego paradoksu przytaczane przez nas spotykało się najczęściej z reakcją „muszę to sobie jeszcze w domu przemyśleć”.

Bramka A (pierwotnie wybrana)	Bramka B	Bramka C	Pozostanie przy wybranej bramce	Zmiana wybranej bramki
Nagroda			DOBRZE	ŹLE
	Nagroda	Otwarta	ŹLE	DOBRZE
	Otwarta	Nagroda	ŹLE	DOBRZE

Zachodzi zatem pytanie, czy do walki z intuicją nie należy wytoczyć działa mocniejszego. Takim działem jest niewątpliwie wzór Bayesa. Opanowanie sztuki posługiwania się nim z pewnością nie okaże się dla ucznia niepotrzebne. Nawet jeśli proste uzasadnienie paradoksu Monty Halla okazuje się dla ucznia wystarczające, to nabyte umiejętności pozwolą przyszłemu sędziemu, policjantowi, lekarzowi, nauczycielowi, fizykowi, chemikowi czy przedsiębiorcy uniknąć pułapek czyhających na osoby, które nie potrafią poprawnie analizować związków przyczynowo-skutkowych.

Wykład rozpoczyna się od opisania sytuacji, z którą ma do czynienia gracz w paradoksie Monty Halla i zadania pytania, jaką decyzję powinien podjąć. Następnie wprowadzone zostają elementarne pojęcia rachunku prawdopodobieństwa, takie jak doświadczenie losowe czy zdarzenie losowe. Pozwala to na przyswojenie treści wykładu przez osoby, które nigdy wcześniej nie zetknęły się z tym działem matematyki. Uczeń, który miał już z tym do czynienia może tą część wykładu ominąć, choć może również wykorzystać okazję na powtórzenie sobie przyswojonego wcześniej materiału. Po wprowadzeniu klasycznej definicji prawdopodobieństwa pojawiają się przykłady pokazujące, kiedy wolno z niej korzystać i jak należy robić to poprawnie. Po przerwie, w drugiej części wykładu pojawia się prawdopodobieństwo warunkowe oraz przykłady pokazujące, że posiadanie informacji o zajściu pewnego zdarzenia może prowadzić do diametralnej zmiany prawdopodobieństwa interesującego nas zdarzenia. Następnie wprowadzone zostaje pojęcie zupełnego układu zdarzeń, jako zbioru potencjalnych przyczyn zajścia danego zjawiska. Związek przyczynowo-skutkowy może z powodzeniem być ilustrowany graficznie za pomocą drzewka. Jak pokazują przykłady pojawiające się w trakcie wykładu, stworzenie takiego modelu znacznie ułatwia zrozumienie wzoru na prawdopodobieństwo całkowite i wzoru Bayesa, które pojawiają się w dalszej części wykładu. Następnie podano przykład, który pokazuje, jak za pomocą tego ostatniego wzoru można obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że określona przyczyna spowodowała dany skutek. Na zakończenie, to samo narzędzie zostaje użyte do wyjaśnienia paradoksu Monty Halla. Okazuje się, że prawdopodobieństwo tego, że to nagroda za bramką A, czyli bramką wskazaną pierwotnie przez gracza wywołała określone zachowanie prowadzącego, czyli odkrycie bramki powiedzmy B wynosi tylko 1/3. Prawdopodobieństwo, że zachowanie to zostało wywołane faktem, że nagroda jest za bramką C wynosi 2/3.

Wykorzystanie wzoru Bayesa prowadzi do wielu zdumiewających wyników. W Zeszycie Ćwiczeń dla ucznia można znaleźć rozwiązania starszych (w sensie historycznym) wersji paradoksu Monty Halla, czyli paradoks więźnia i paradoks Bertranda. Oprócz tego pojawiają się tam również przykłady zadań, które mogą znaleźć zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i w życiu codziennym. Okazuje się, że niepoprawna analiza związku przyczynowo-skutkowego a w szczególności brak umiejętności prawidłowego korzystania z wzoru Bayesa, może mieć poważne skutki. Z obliczeń, które można znaleźć w Zeszycie Ćwiczeń, wynika przykładowo, że nie powinien popadać w depresję pacjent dowiadując się od lekarza o tym, że test, który u 99% chorych osób wykrywa pewną rzadką chorobę, dał u niego wynik pozytywny. Wzór Bayesa pokazuje, że prawdopodobieństwo występowania tej choroby u niego nie wynosi wcale 0.99 lecz może być nawet rzędu 0.01. Nie trzeba chyba dodawać, że to przede wszystkim lekarz powinien umieć wyjaśnić prawidłowo znaczenie wyniku testu. Z drugiej strony wiedza taka może przydać się każdemu, by nie być zdanym na „wiedzę lub niewiedzę” lekarza czy sędziego. Z kolei policjant prowadząc śledztwo nawet jeśli wie, że osoby wykonujące pewną rzadką profesję z dużym prawdopodobieństwem (np. około 0.9) mogłyby być sprawcami określonego przestępstwa, to jednak prawdopodobieństwo, że osoba wykonująca ten zawód dopuściła się tego czynu, jeśli wiadomo, że przestępstwo miało miejsce, jest bardzo małe (np. około 0,1). Również pozytywny wynik testu DNA nie musi oznaczać pewności, że sprawca został wykryty. Wiele przykładów zastosowań wzoru Bayesa w życiu codziennym można znaleźć w literaturze.

Słownik pojęć kluczowych

doświadczenie losowe - doświadczenie, którego wynik nie jest znany, ale dla potrzeb budowy modelu matematycznego zakłada się, że znamy zbiór wszystkich potencjalnych wyników;

zdarzenie losowe - wynik doświadczenia losowego;

zdarzenie elementarne - niepodzielny, rozłączny z pozostałymi wynik doświadczenia losowego;

prawdopodobieństwo - miara szans zajścia zdarzenia losowego;

prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło inne zdarzenie B (ocena szans zajścia zdarzenia A w sytuacji, gdy posiadamy dodatkową wiedzę o zajściu zdarzenia B);

zupełny układ zdarzeń - rodzina parami rozłącznych zdarzeń losowych taka, że każde zdarzenie elementarne należy do dokładnie jednego zdarzenia z tej rodziny (tzn. w wyniku doświadczenia losowego zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń z tej rodziny).

Podręcznik dla nauczyciela

Projekt współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

4

Projekt współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

---