Ekonomia matematyczna I

Prowadzący ćwiczenia

mgr inż. Piotr Betlej

Analiza nakładów i wyników

Model nakładów i wyników jest nazywany w literaturze także modelem Leontiefa, modelem przepływów międzygałęziowych lub modelem input-output. Ponadto termin "model" często jest zastępowany słowem "analiza".

Twórcą tej powszechnie znanej i stosowanej metody analizy ekonomicznej jest amerykański uczony, laureat nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii Wassily Leontief. Model ten opisuje sposób funkcjonowania złożonych układów gospodarczych. Umożliwia między innymi podanie odpowiedzi na następujące pytania: "ile powinna wynosić produkcja każdej z gałęzi gospodarki, aby całkowity popyt, składany zarówno przez sektor produkcyjny jak i sektor gospodarstw domowych na dobra produkowane przez te gałęzie był zaspokojony?" lub "o ile procent wzrośnie zapotrzebowanie na wyroby skórzane, pracę, maszyny, itp. jeżeli zwiększymy produkcję butów o 10% ?".

Model nakładów i wyników był i jest używany między innymi do:

• badania wpływu jaki będzie miało przejście z produkcji nastawionej na cele wojenne do produkcji cywilnej po Drugiej Wojnie Światowej

• analizy przepływu produktów pomiędzy gospodarkami różnych krajów

• międzygałęziowych analiz przeprowadzanych między innymi przez Bank Światowy, Organizację Narodów Zjednoczonych, Departament Handlu USA

Przed przejściem do szczegółowego omówienia konstrukcji modelu nakładów i wyników zostanie omówiony poniżej prosty przykład ilustrujący podstawowe cechy tego modelu.

Przykład:

Rozważmy sytuację gospodarstwa produkującego dwa rodzaje produktów: kukurydzę i nawóz. W produkcji kukurydzy zużywana jest kukurydza oraz nawóz. Z kolei nawóz jest produkowany z kukurydzy (zakładamy, iż kukurydza jest zużywana przez krowy, które wytwarzają cenny nawóz).

Załóżmy, iż do wyprodukowania tony kukurydzy musimy zużyć 0,2 tony kukurydzy oraz 0,8 tony nawozu. Z kolei aby krowy wytworzyły jedną tonę nawozu, muszą skonsumować 0,4 tony kukurydzy, nie zużywają natomiast nawozu.

Każdy z tych dwóch procesów produkcyjnych możemy oznaczyć parą liczb. Proces produkcji kukurydzy możemy opisać jako ( 0,2 ; 0,8 ) natomiast proces produkcji nawozu jako ( 0,4 ; 0 ). W tym momencie możemy zadać sobie następujące pytania:

Czy możemy tak ustawić produkcję aby zaspokojone było zapotrzebowanie na te produkty zużywane w procesie produkcyjnym oraz odłożyć część produkcji do konsumpcji ?

Jeśli tak, jakie kombinacje produkcji obu dóbr są możliwe ?

Odpowiedzi na te pytania możemy uzyskać układając układ równań liniowych. Oznaczmy:

X _K - całkowitą produkcję kukurydzy

X _N - całkowitą produkcję nawozu

Kukurydza jest zużywana do produkcji kukurydzy (w ilości 0,2 * X _K) oraz do produkcji nawozu (w ilości 0,4 * X _N).

Analogicznie rozważając nawóz jest zużywany do produkcji kukurydzy (w ilości 0,8 * X _K) oraz nie jest zużywany do produkcji nawozu (co możemy zapisać 0 * X _N).

Całkowitą ilość kukurydzy pozostawioną do konsumpcji możemy obliczyć jako różnicę pomiędzy całkowitą produkcją kukurydzy X _K a ilością kukurydzy zużytą w procesie produkcyjnym 0,2 X _K , 0,4 X _N. Analogicznie całkowitą ilość nawozu pozostawioną do konsumpcji możemy zapisać jako różnicę pomiędzy całkowitą jego produkcją X _N a jego zużyciem w procesie produkcyjnym 0,8 X _K , 0 X _N.

Jeżeli założymy, iż farma ma produkować pewną ilość każdego z tych produktów do konsumpcji końcowej, np. 10 ton kukurydzy oraz 2 tony nawozu, wówczas możemy ułożyć następujący układ równań:

0,8 X _K - 0,4 X _N = 10

0,8 X _K + X _N = 2

Rozwiązując tak skonstruowany układ równań, jesteśmy w stanie obliczyć ile powinna wynieść całkowita produkcja kukurydzy i nawozu, aby zostały zaspokojone zapotrzebowanie na te dobra wynikające z procesu produkcji oraz do konsumentów trafiła ustalona ilość tych dóbr. Ponieważ jest to prosty układ równań możemy go rozwiązać metodą podstawiania. Wynik będzie następujący:
X _K = 22,5 oraz X _N = 20.

Aby więc wyprodukować wspomnianą wyżej ilość kukurydzy (10 ton) oraz nawozu (2 tony) przeznaczone do konsumpcji, gospodarstwo musi wyprodukować aż 22,5 tony kukurydzy oraz 20 ton nawozu (ze względu na istniejące zależności w procesach produkcji tych dóbr). Przykład ten stanowi doskonałą ilustrację podstaw modelu nakładów i wyników w którym pomijana jest praca. W dalszej części kursu znajduje się bardziej szczegółowy opis tego modelu oraz sposoby jego rozwiązywania.

Przedstawiony w tej części kursu zostanie tzw. model zamknięty, w którym pomijamy pracę.

Podstawowe założenia analizy nakładów i wyników (model zamknięty):

• Wyniki produkcji każdej gałęzi są wykorzystywane jako nakłady przez inne gałęzie oraz co również może mieć miejsce przez tą samą gałąź. Przykład: energia elektryczna wyprodukowana przez elektrownię jest zużywana przez większość innych gałęzi przemysłu oraz także przez nią samą.

• Powyższe założenie sprawia, iż poziom całkowitej (globalnej) produkcji każdej z gałęzi gospodarki będzie uzależniony od wzajemnych zależności w całej gospodarce.

• W celu uproszczenia modelu zakłada się iż każda gałąź wytwarza tylko jeden produkt lub grupę produktów wytwarzanych w niezmieniającej się proporcji. W tym celu zużywa jeden lub wiele produktów również przy uwzględnieniu niezmieniających się proporcji.

• Ponieważ rozważamy model zamknięty, sektor gospodarstw domowych nie jest uwzględniany jako jedna z gałęzi danej gospodarki.

Poniższy diagram w pewnym uproszczeniu stanowi ilustrację zamkniętego modelu nakładów i wyników.

Diagram ten stanowi przykład w jaki mogą kształtować się przepływy dóbr w 5-gałęziowej gospodarce. Strzałki znajdujące się w obrębie zielonego owalu ilustrują przepływy dóbr pomiędzy gałęziami tej gospodarki. Natomiast strzałki pogrubione, wychodzące na zewnątrz owalu stanowią ilustrację popytu sektora gospodarstw domowych na dobra produkowane przez te gałęzie.

Przykładowo do produkcji dobra pierwszego jest zużywane dobro pierwsze, drugie, trzecie oraz czwarte. Wynik produkcji pierwszej gałęzi jest nakładem tejże gałęzi oraz gałęzi drugiej.

Współczynniki nakładów

Przy każdej ze strzałek ilustrujących przepływ dóbr pomiędzy gałęziami przemysłu możemy postawić następujący symbol: a ij - gdzie i - numer gałęzi z której dane dobro wypływa, j - numer gałęzi do której dane dobro trafia. Są to tak zwane współczynniki nakładów. Współczynniki nakładów przyjmują wartości z przedziału <0, 1) i są interpretowane w sposób wartościowy. Przykładowo współczynnik a 23 = 0,55 możemy zinterpretować w sposób następujący: do produkcji dobra trzeciego o wartości jednostki pieniężnej (np. 1 złotówki) musi zostać zużyte dobro drugie o wartości 0,55 tej jednostki pieniężnej (np. 55 grosze). Interpretując współczynniki nakładów możemy przyjąć pewne uproszczenie używając tylko jednostek (przykładowo: do produkcji jednostki dobra trzeciego musimy zużyć 0,32 jednostki dobra drugiego).

Z kolei symbol d i oznacza tą ilość dobra produkowanego przez gałąź i, która trafia do gospodarstw domowych. Przykładowo d ₁ = 100 możemy rozumieć jako popyt sektora gospodarstw domowych na pierwsze dobro w wysokości 100 jednostek pieniężnych (np. 100 zł) oraz w sposób uproszczony jako popyt sektora gospodarstw domowych na 100 jednostek pierwszego dobra.

Na podstawie powyższych założeń możemy skonstruować model matematyczny. Model ten umożliwi między innymi wyznaczanie poziomu całkowitej (globalnej) produkcji dla każdej z gałęzi przemysłu tak aby całkowity popyt sektora produkcyjnego oraz sektora otwartego został zaspokojony na każde z tych dóbr.

Konstrukcja modelu matematycznego

Konstrukcję modelu matematycznego należy zacząć od założenia, iż produkcja całkowita każdej z gałęzi gospodarki musi w całości zaspokoić popyt gospodarstw domowych oraz sektora produkcyjnego na każde z dóbr. Symbol X _i w modelu będzie oznaczać produkcję całkowitą gałęzi i.

Model matematyczny opisujący daną gospodarkę będzie składał się z układu równań liniowych - ich liczba będzie równa liczbie gałęzi przemysłu w danej gospodarce. Po lewej stronie równań umieścimy całkowitą podaż danego dobra natomiast po prawej sumę popytu sektora produkcyjnego oraz sektora gospodarstw domowych na dane dobro. Dla 3-gałęziowej gospodarki będzie to wyglądało w sposób następujący:

Całkowita podaż danego dobra musi być równa całkowitemu popytowi na to dobro. Część popytowa musi zostać uzupełniona w sposób następujący. Uzupełnienie powyższego modelu o popyt sektora gospodarstw domowych nie sprawia problemu. Popyt ten jest równy odpowiednio d ₁ , d ₂ i d ₃ dla kolejnych równań.

Rozpisanie popytu sektora produkcyjnego jest bardziej skomplikowane. Rozważmy pierwsze równanie, w którym po lewej stronie znaku równości mamy całkowitą produkcję pierwszego dobra, po prawej całkowite zapotrzebowanie na to dobro. Całkowity popyt na pierwsze dobro przez sektor produkcyjny może zostać rozbity na całkowity popyt pierwszej, drugiej oraz trzeciej gałęzi gospodarki na to dobro co zostało przedstawione poniżej:

Przykładowo element a ₁₂ X ₂ został zapisany w ten sposób, iż współczynnik nakładów a ₁₂ oznacza ilość jednostek pierwszego dobra niezbędną do wyprodukowania jednostki dobra drugiego. Jeżeli ten współczynnik pomnożymy przez liczbę wszystkich produkowanych jednostek dobra drugiego otrzymamy całkowite zapotrzebowanie drugiej gałęzi przemysłu na pierwsze dobro. Analogicznie możemy rozpisać pozostałe elementy tego układu równań:

Otrzymaliśmy w ten sposób układ równań - matematyczny model analizy nakładów i wyników. Uzyskane rozwiązanie jest w pełni skalowane - dodając lub odejmując równania oraz odpowiednie elementy występujące w tych równaniach możemy dostosować ten układ do opisu zarówno gospodarki składającej się z dwóch jak i przykładowo stu gałęzi przemysłu.

Zakładając, iż na podstawie obserwacji procesów produkcyjnych zostały wyznaczone w danej gospodarce wartości współczynników nakładów oraz został ustalony poziom konsumpcji sektora gospodarstw domowych, można w oparciu o ten model wyznaczyć docelową produkcję całkowitą każdego z tych dóbr ( X ₁ , X ₂ , ... , X _n - dla gospodarki składającej się z n-gałęzi).

Rozwiązanie tego układu w sposób ręczny, już przy trzech gałęziach gospodarki może nastręczać sporo trudności. Natomiast przy rozważaniu modelu składającego się z kilkudziesięciu, kilkuset, kilku tysięcy gałęzi jedynym rozsądnym wyjściem jest użycie komputera do wykonania niezbędnych obliczeń. Jedną z metod jest nieznaczne przekształcenie tego układu równań i użycie metody eliminacji Gauss'a do rozwiązania problemu. Drugą metodą jest zapisanie układu równań w postaci równania macierzowego a następnie wykorzystania algebry macierzy do jego rozwiązania. Drugie rozwiązanie jest bardzo wygodne, ponieważ działania na macierzach są zaimplementowane między innymi w arkuszach kalkulacyjnych i korzystając np. z Excel'a możemy bardzo szybko uzyskać szukane rozwiązanie.

Pierwszym etapem będzie przekształcenie powyższego układu równań do postaci macierzowej. Efekt tego przekształcenia jest następujący:

Uzyskaliśmy w efekcie jedno równanie macierzowe, które stanowi odpowiednik wyprowadzonego wcześniej układu równań. Aby uczynić to równanie przejrzystym i czytelnym, popyt sektora produkcyjnego na każde z tych dóbr został zapisany jako iloczyn macierzy współczynników oraz wektora produkcji całkowitej.

Równanie to możemy zapisać używając następujących symboli:

X - macierz (wektor) produkcji całkowitej (globalnej)

A - macierz współczynników nakładów

d - macierz (wektor) popytu sektora gospodarstw domowych

Zakładając, iż dane są macierz współczynników nakładów ( A ) oraz wektor popytu sektora gospodarstw domowych ( d ) należy to równanie przekształcić do postaci, w której wektor niewiadomych (wektor produkcji całkowitej X ) znalazł się po jednej stronie znaku równości natomiast pozostałe elementy po drugiej stronie. Przy przekształceniach należy pamiętać o regułach działań na macierzach oraz ich własnościach. Wynik przekształceń znajduje się poniżej:

Ostatni wiersz przekształceń jest równaniem, z którego mając dane macierze A i d jesteśmy bezpośrednio w stanie wyznaczyć macierz produkcji całkowitej X. Symbol I występujący w tym równaniu jest macierzą jednostkową (macierz kwadratowa, w której elementy leżące na głównej przekątnej są równe 1 a wszystkie pozostałe są równe 0). Uzyskanie rozwiązania wymaga między innymi odwrócenia macierzy (I-A) oraz pomnożenia jej przez wektor d, dlatego też najlepiej wykorzystać do obliczeń komputer. Poniżej znajduje się łącze do kolejnej części kursu, w której opisane jest działanie arkusza Excel, który umożliwia automatyczne wykonanie oraz prześledzenie tych działań.

Przykład liczbowy - algebra macierzy

Przedstawiony został poniżej przykład liczbowy rozwiązany przy użyciu działań na macierzach.

Przykład liczbowy

Przyjmijmy, iż rozważamy gospodarkę składającą się z trzech sektorów: górnictwa, przemysłu energetycznego i hutnictwa. Produkty wytwarzane przez te sektory to kolejno węgiel, energia elektryczna i stal. Gałęzie te są wzajemnie ze sobą powiązane. Wyniki produkcji każdej z nich są potrzebne jako nakłady innych gałęzi i być może nawet w tej samej gałęzi.

Wyprodukowanie jednostki węgla wymaga zużycia 0,3 jednostki energii elektrycznej i 0,15 jednostki stali. Wyprodukowanie z kolei jednostki energii elektrycznej wymaga zużycia 0,5 jednostki węgla, 0,1 jednostki energii elektrycznej oraz 0,05 jednostki stali. Natomiast przy produkcji jednostki stali zużywane są 0,32 jednostki węgla, 0,18 jednostki energii elektrycznej oraz 0,04 jednostki stali.

Popyt sektora otwartego (popyt końcowy zgłaszany np. przez gospodarstwa domowe) jest równy:

Węgiel - 20 jednostek Energia elektryczna - 130 jednostek Stal - 55 jednostek

Ile powinna wynosić produkcja każdej z tych gałęzi, tak aby na rynku nie występowały nadwyżki lub niedobory produktów tych gałęzi?

Rozwiązanie

Na podstawie treści tego zadania możemy utworzyć diagram przepływów międzygałęziowych:

Pierwszym etapem jest utworzenie macierzy współczynników nakładów. Kolejność, jaka została przyjęta: I gałąź - górnictwo, II gałąź - przemysł energetyczny i III gałąź - hutnictwo.

Następnie należy uzupełnić wektor popytu końcowego (popytu sektora gospodarstw domowych):

Aby obliczyć poziomy produkcji globalnej dla każdej z tych gałęzi przemysłu, przy których gospodarka będzie się znajdowała w równowadze należy wyznaczyć wartość następującego wyrażenia:

X = (I - A) ^-1 d

Końcowe rozwiązanie przedstawione jest poniżej:

Przykład liczbowy - metoda eliminacji Gauss'a

Metoda eliminacji Gauss'a umożliwia rozwiązywanie układów równań liniowych. Metoda ta, może zostać łatwo zaimplementowana w dowolnym niemal języku programowania przez co sprawia, iż może być użyteczna do sprawnego rozwiązywania układów równań z dużą liczbą równań oraz niewiadomych.

Ponieważ dowolny model nakładów i wyników może zostać przedstawiony w postaci układu równań liniowych, co pozwala na użycie tej metody do jego rozwiązania (wyznaczenia produkcji globalnej dla każdej z gałęzi przemysłu).

Przykład liczbowy

Przyjmijmy, iż rozważamy gospodarkę składającą się z trzech sektorów: górnictwa, przemysłu energetycznego i hutnictwa. Produkty wytwarzane przez te sektory to kolejno węgiel, energia elektryczna i stal. Gałęzie te są wzajemnie ze sobą powiązane. Wyniki produkcji każdej z nich są potrzebne jako nakłady innych gałęzi i być może nawet w tej samej gałęzi.

Wyprodukowanie jednostki węgla wymaga zużycia 0,3 jednostki energii elektrycznej i 0,15 jednostki stali. Wyprodukowanie z kolei jednostki energii elektrycznej wymaga zużycia 0,5 jednostki węgla, 0,1 jednostki energii elektrycznej oraz 0,05 jednostki stali. Natomiast przy produkcji jednostki stali zużywane są 0,32 jednostki węgla, 0,18 jednostki energii elektrycznej oraz 0,04 jednostki stali.

Popyt sektora otwartego (popyt końcowy zgłaszany np. przez gospodarstwa domowe) jest równy:

Węgiel - 20 jednostek Energia elektryczna - 130 jednostek Stal - 55 jednostek

Ile powinna wynosić produkcja każdej z tych gałęzi, tak aby na rynku nie występowały nadwyżki lub niedobory produktów tych gałęzi?

Rozwiązanie

Pierwszym etapem rozwiązania tego przykładu przy pomocy metody eliminacji Gauss'a jest jego przedstawienie w postaci układu równań liniowych:

Aby móc wykorzystać metodę eliminacji Gauss'a należy przekształcić ten układ równań do postaci, w której elementy równań powiązane z niewiadomymi x1, x2 i x3 umieszczone są po lewej stronie znaków równości. Elementy bez niewiadomych przenieść należy na prawą stronę równań:

Uzyskany wynik stanowi szukane rozwiązanie. Aby zachowana była równowaga produkcja węgla powinna wynieść w przybliżeniu 157 jednostek, energii elektrycznej 216 jednostek i stali 93 jednostek.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadania z wykorzystaniem algebry macierzy

1. Powiązania pomiędzy gałęziami pewnej gospodarki przedstawione zostały na poniższym schemacie:

Ponadto popyt zgłaszany przez sektor otwarty wynosi 120, 85, 105.

Polecenia:

a. Zapisz model w postaci układu równań

b. Utwórz w oparciu o podane współczynniki nakładów macierz współczynników nakładów

c. Zapisz model w postaci macierzowej

d. Podaj interpretację każdego ze współczynników

e. Wyznacz wektor produkcji globalnej.

f. Jaka część produkcji każdego z tych dóbr jest zużywana w procesie produkcyjnym?

g. Ile procent całkowitej produkcji tych dóbr jest konsumowane przez sektor gospodarstw domowych?

h. Ile jednostek dobra I zostanie zużyte do wyprodukowania całkowitej produkcji dobra II i III?

i. Ile jednostek dobra III zostałoby zużyte do wyprodukowania 300 jednostek tego dobra?

j. Ile jednostek dobra II zostałoby zużyte do wyprodukowania 200 jednostek dobra I?

k. O ile procent zmieni się produkcja globalna każdego z tych dóbr, jeżeli popyt zgłaszany przez sektor otwarty na pierwsze dobro wzrośnie do poziomu równego 140?

l. Jak zmieni się produkcja globalna każdego z tych dóbr, jeżeli współczynnik a 32 zmaleje do poziomu 0,1 j.?

2. Prymitywna gospodarka pewnego kraju składa się z dwóch sektorów wytwarzających olej i ziarno. Wyprodukowanie jednostki oleju wymaga zużycia 0,14 jednostki oleju i 0,13 jednostki ziarna. Z kolei do produkcji jednostki ziarna wymagane jest zużycie 0,31 jednostki ziarna i 0,21 jednostki oleju. Ile powinna wynosić produkcja każdej gałęzi, aby potrzeby były zaspokojone, jeżeli w tym kraju istnieje zapotrzebowanie na 130 jednostek oleju i 210 jednostek ziarna?

Polecenia:

a. Narysuj diagram przepływów międzygałęziowych

b. Zapisz model w postaci układu równań

c. Utwórz macierz współczynników nakładów

d. Zapisz model w postaci macierzowej

e. Rozwiąż ten model /rozwiązując układ równań liniowych lub wykorzystując działania na macierzach.

f. Jaka część produkcji każdego z tych dóbr jest zużywana w procesie produkcyjnym?

g. Ile procent całkowitej produkcji tych dóbr jest konsumowane przez sektor gospodarstw domowych?

h. Ile jednostek oleju zostanie zużyte do wyprodukowania całkowitej produkcji ziarna?

i. Ile jednostek ziarna zostałoby zużyte do wyprodukowania 300 jednostek tego ziarna?

j. Ile jednostek oleju zostałoby zużyte do wyprodukowania 200 jednostek ziarna?

3. Macierz współczynników nakładów pewnej 4 sektorowej gospodarki jest równa:

Planowane spożycie każdego z tych dóbr jest natomiast równe kolejno: 120 j., 85 j., 150 j. i 75 j.

Polecenia:

a. Narysuj diagram przepływów międzygałęziowych

b. Polecenia od a. do j. z zadania pierwszego

c. Ile jednostek/procent całkowitej produkcji dobra czwartego zostanie zużyte w procesie produkcyjnym?

d. W jaki sposób zmieni się produkcja globalna każdego z tych dóbr, jeżeli popyt sektora gospodarstw domowych na każde z tych dóbr wzrośnie o 10%.

4. Pewna prymitywna gospodarka składa się z trzech sektorów wytwarzających dobra I, II, i III. Wyprodukowanie jednostki dobra I, wymaga zużycia 0,13 jednostki dobra I, 0,24 jednostki dobra II i 0,31 jednostki dobra III. Wyprodukowanie jednostki dobra II, wymaga zużycia 0,32 jednostki dobra I oraz 0,18 jednostki dobra II. Do wytworzenia jednostki dobra III niezbędny jest nakład w wysokości 0,23 jednostki dobra I oraz 0,43 jednostki dobra II. Planujemy, aby docelowo sektor gospodarstw domowych zużywał 30 jednostek dobra I, 50 jednostek dobra II oraz 25 jednostek dobra III.

a. Narysuj diagram przepływów międzygałęziowych.

b. Zapisz model przepływów międzygałęziowych w postaci układu równań liniowych.

c. Zapisz macierz współczynników nakładów, podaj interpretację wchodzących w jej skład elementów oraz przekształć ją do tzw. macierzy Leontiewa.

d. Zapisz model przepływów międzygałęziowych w postaci macierzowej.

e. Odpowiedz na pytanie ile powinna wynosić produkcja całkowita każdego z dóbr? (miejsce w którym pomocne staje się użycie arkusza Excel)

f. Odpowiedz na pytanie, jaka część produkcji całkowitej dóbr I, II, III jest zużywana w procesie produkcyjnym.

g. Ile jednostek dobra I/II/III jest zużywane do produkcji dobra I/II/III?

h. Jeżeli gospodarstwa domowe zwiększą konsumpcję II dobra o 10 % jak wpłynie to na produkcję globalną każdej z gałęzi przemysłu.

i. Jak zmieni się produkcja globalna każdej z gałęzi przemysłu, jeżeli na skutek wprowadzenia nowej technologii produkcji pierwszego dobra, niezbędny nakład drugiego dobra spadnie do 0,18 jednostki na jednostkę pierwszego dobra?

Macierze odwrotne

• Przykładowo, obliczając dwuwierszową, dwukolumnową macierz zakres A1:B2 zawiera litery a, b, c i d, reprezentujące dowolne liczby. Poniższa tablica pokazuje odwrotność macierzy A1:B2:

	Kolumna A	Kolumna B
Wiersz 1	d/(a*d-b*c)	b/(b*c-a*d)
Wiersz 2	c/(b*c-a*d)	a/(a*d-b*c)

Ekonomia matematyczna I mgr inż. Piotr Betlej

Strona 12/12

---