PODSTAWY EDUKACJI MATEMATYCZNEJ W KLASACH POCZĄTKOWYCH

Wykład 1.

Kogo i po co uczę?

Czego uczę?

Jak uczę?

Edukacja matematyczna stanowi jedną całość od pierwszej klasy szkoły podstawowej do matury.

4 główne okresy rozwoju matematyki:

1. Narodzin: uporządkowane rzemiosło rachowania i mierzenia, konkretność

2. Matematyki elementarnej (wielkości stałych):

- oderwanie się od konkretności pojęcia liczby i kształtu (abstrahowanie I poziomu)

- wprowadzenie dedukcji jako podstawowej metody myślenia matematycznego oraz aksjomatyzacji jako bazy do uporządkowania wiedzy

3. Wielkości zmiennych: postępująca abstrakcja, uściślenie i porządkowanie wiedzy matematycznej

Historyczny rozwój matematyki:

• Aksjomatyzacja

• Formalizacja

• Strukturalizacja

Początek aksjomatyzacji:

Na początku swego rozwoju matematyka była po prostu zbiorem rozwiązań pojedynczych, konkretnych zadań.

Od czasów Euklidesa zaczęła stawać się zorganizowanym wewnętrznie systemem.

OD PYTANIA JAK? PRZESZŁA DO PYTANIA DLACZEGO?

W nowoczesnej postaci metoda aksjomatyczna znana jest dopiero od XIX w. przyjmując postać metody aksjomatyczno - dedukcyjnej:

Jak jest zbudowana metoda aksjomatyczna?

Pewne pojęcia przyjmuje się bez określenia, są to pojęcia pierwotne.

Każde pojęcie, które nie zostało zaliczone do pojęć pierwotnych musi być zdefiniowane.

Idea metody polega na tym, że zamiast wyjaśniania czym są przedmioty które się bada, należy wyliczyć jedynie wartości tych przedmiotów.

Właściwości te podaje na początku jako aksjomaty rozważanej teorii.

Każda inna własność, która nie została zaliczona do aksjomatów, jest stwierdzeniem, które musi być udowodnione, wydedukowane zgodnie z prawami logiki.

Wykład 2.

Poznawanie matematyki, tworzenie jej pojęć, przebiega przez 5 etapów:

1. WZROKOWY (spostrzeżeniowy)

Rozumowanie bazuje na manipulacji przedmiotami kierując się ich wyglądem i ujęciem całościowym.

2. OPISOWY

Spostrzeganie przedmiotu jest analityczne, ukierunkowane na wyodrębnienie składowych części i ich własności. Struktura rozumowania przejawia się w porządkowaniu przedmiotów według wspólnych cech i prowadzi do tworzenia klas pojęciowych. Opisy przedmiotu są już dokładne, zwięzłe, a język buduje uogólnienia.

3. LOGICZNY

Koncentracja na ujawnianiu relacji, związków między własnościami obiektów i klas obiektów. Rozumowanie oparte na regułach logicznych, a nie na empirycznym doświadczeniu. Struktura rozumowania oparta na dedukcji z przyjętych przesłanek.

ARYTMETYKA I ALGEBRA	GEOMETRIA
KLASA I
Liczba jest nierozłączna ze zbiorem konkretnych przedmiotów, którego dotyczy. Działania wykonuje się bezpośrednio na zbiorach tych przedmiotów.	Figury geometryczne rozważane są jako pewne całości związane z konkretnymi przedmiotami i rozróżniane tylko ze względu na kształt.
KLASA II-III
Liczby oderwane są od konkretnych przedmiotów i zapisywane w określonym systemie numeracji. Własności działań są odkrywane indukcyjnie.	Figury geometryczne są nośnikami swoich własności i są rozpoznawane wg tych własności. Figury nie są definiowane lecz opisywane. Figury i ich własności nie są jeszcze uporządkowane logicznie.

DWA ZASADNICZE SPOSOBY MYŚLENIA O NAUCZANIU

1..Behawiorystyczny (tradycyjny) - istota: bezpośredni przekaz kulturowy.

Wiedza rozumiana jest jako zewnętrzna i jest zbiorem „skończonym”.

Wykład 3.

O ROZWOJU DZIECKA

Wg Piageta:

Rozwój umysłowy:

- przebiega na kontinuum w ustalonym porządku

- każda struktura i każda zmiana wnikają logicznie ze stanów poprzednich i są z nimi zintegrowane

- zmiany w rozwoju są stopniowe i nigdy nie są gwałtowne, schematy poznawcze sa krok po kroku konstruowane i rekonstruowane

- każdy postęp, każdą nową konstrukcje cechuje jakość, odmienne rozumienie

Stadia rozwoju struktur poznawczych:

wiek 2 6, 7 11, 12

• Inteligencja sensoryczno - motoryczna

• Inteligencja przedoperacyjna

• Operacje konkretne

• Operacje formalne ( myślenie hipotetyczno - dedukcyjne)

Rozwój opiera się na współdziałaniu dwóch procesów:

1. ASYMILACJA - kiedy nowe treści są włączane do istniejących schematów (zmiany ilościowe)

• Nowy przedmiot lub idea zostaje zrozumiany w kategoriach pojęć lub czynności jakie dziecko już zna

(przekształcenie otoczenia by dopasować go do własnej struktury)

2. AKOMODACJA - tworzenie nowych schematów lub modyfikacja starych (zmiany jakościowe)

• Przekształcenie własnej struktury zgodnie z obiektywnymi własnościami zewnętrznej sytuacji i wymaganiami otoczenia

OKRES PRZEDOPERACYJNY

W tym stadium rozwija się przede wszystkim myślenie konkretno - wyobrażeniowe, oparte na mechanizmie interioryzacji.

• Interioryzacja - to przekształcenie się działań zewnętrznych w czynności dokonywane w myśli,
  w wyobraźni.

Rozwija się funkcja symboliczna.

1. Cechy:

- Rozumowanie zdominowane przez percepcję. Myślenie dokonuje się za pomocą obrazów, z przewagą sytuacji statycznych nad przekształceniami.

- W konflikcie: percepcja a rozumowanie, zwycięża percepcja.

- Czynności są nieodwracalne.

2. Centracja - czyli skupienie dziecka na jednym tylko aspekcie problemu.

3. Egocentryzm myślenia - poznawanie świata wyłącznie z własnej perspektywy.

Konsekwencje:

• Brak zrozumienia, że inni mogą dochodzić do wniosków różniących się od tych, do których ono doszło.

• Brak potrzeby sprawdzania trafności swojego myślenia.

OKRES OPERACJI KONKRETNYCH

Najważniejsze osiągnięcie: konstrukcja operacji.

Operacja to czynność:

• Zinterioryzowana (wykonywana w myśli)

• Odwracalna (może przebiegać w danym kierunki lub w przeciwnym)

Umożliwia łączenie przeciwstawnych czynności w jedną całość

Może łączyć się w całościowe systemy.

1. Cechy:

- Zachowanie stałości (niezmiennika) mimo obserwowanych zmian.

Tę zdolność uważa się za dowód pojawienia się operacji na poziomie struktur konkretnych.

- Procesy rozumowania staja się logiczne: w sytuacji konfliktu między percepcją, a rozumowaniem, sądy opierają się na rozumowaniu.

- Odwracalność pozwala na korygowanie myślenia

• Nabywaniu odwracalności towarzyszy narastająca zdolność dziecka do decentracji, a także zmniejszający się egocentryzm myślenia.

• Oprócz sytuacji statycznych, dziecko jest zdolne do rozumienia sensu przekształceń, a zinterioryzowane czynności umysłowe mogą już tworzyć całościowe systemy, dając się skladac, odwracać i ujmować z różnych punktów widzenia.

Badanie operacyjności rozumowania w innym zakresie:

1. Badanie operacyjności rozumowania w zakresie stałości długości.

2. Badanie operacyjności rozumowania w zakresie stałości ilości tworzenia.

3. Badanie operacyjności rozumowania w zakresie stałości cieczy.

W systemie operacji konkretnych tworzą się dwie ważne dla matematyki struktury logiczne:

1. SZEREGOWANIE - podstawa: dostrzeganie różnic i umiejętność rozmieszczania zestawu elementów na jakimś wymiarze.

2. KLASYFIKACJA - podstawa: dostrzeganie podobieństw i umiejętność grupowania przedmiotów według nich.

STADIUM OPERACJI FORMALNYCH: rozumowanie hipotetyczno - dedukcyjne.

Najważniejsze cechy charakteryzujące przejście do operacji formalnych:

• Podporzadkowanie tego co rzeczywiste temu co możliwe.

Podstawową strukturą wprowadzającą w świat tego co „możliwe” jest kombinatoryka

Przedmiotem poznawania staje się nie tylko to co jest lub było, ale także to, co „może być”.

• Dziecko nabywa zdolność do przeprowadzenia logicznego rozumowania, w którym świadomie dochodzi się do założeń i przesłanek, a następnie wyciąga wnioski z nich wypływające.

Następuje:

- Uwolnienie myślenia od bezpośredniego doświadczenia.

- Zdolność do rozwiązywania problemów hipotetycznych oraz słowno-pojęciowych:

Dzieci potrafią rozwiązywać problemy w umyśle z pomocą systematycznego testowania zbioru hipotez i równocześnie badania ich wzajemnych zależności.

- Uzależnienie się formy rozumowania od jego treści (jeżeli znam operację, to mogę ją przeprowadzić na dowolnych treściach).

Podstawowe schematy operacyjne tego okresu to:

• Kombinatoryka

• Proporcje

• Prawdopodobieństwo

JEROME S. BRUNER

• Podobnie jak Piaget, wyznaje pogląd, że rozwój poznawczy człowieka przebiega według pewnej sekwencji stadiów.

• Kluczowym pojęciem, w tej teorii, jest reprezentacja, czyli sposób kodowania i przedstawiana świata i zdarzeń.

• Zdefiniował 3 formy takich reprezentacji. Mają one charakter kolejnych faz, przez które przechodzi człowiek w swym rozwoju poznawczym.

3 SYSTEMY REPREZENTACJI

ENAKTYWNA (przez działanie) Wykonywanie konkretnych czynności na przedmiotach Wiedza o czymś zawarta w konkretnym działaniu

IKONICZNA (przez obraz) Przedmioty wyobrażone i ich własności przedstawione są w postaci rysunku, schematu.

SYMBOLICZNA (przez słowo i symbole matematyczne) Ustalony kod symboliczny, opis słowny i formuły matematyczne

Typy reprezentacji maja charakter preferencyjny: z żadnej z nich nie wychodzimy na zawsze.

Rozwój polega na opanowaniu kolejno tych 3 form reprezentacji wraz z umiejętnością przekładu każdego z nich na pozostałe.

Wykład 4.

Piaget: 2 rodzaje pojęć

Wiedza:

1. Fizyczna

2. Logiczno- matematyczna

Pojęcie:

1. Fizyczne ( przyrodnicze) - statyczne pojęcia, odzwierciedlające cechy samych przedmiotów

2. Logiczno - matematyczne - powstają w wyniku zinternalizowania własnych działań wykonanych na przedmiotach

Pojęcia matematyczne powstają nie w wyniku abstrakcji od cech przedmiotów, ale w wyniku abstrakcji do cech ludzkiego działania z tymi przedmiotami.

Poznanie jest tu wyprowadzone z czynności, a nie z samych przedmiotów.

• Pojęcia matematyczne mają wyraźnie operatywny charakter.

Stanowią raczej schematy aktywności, schematy wykonywania pewnych operacji wg określonego przepisu, schematy przekształcania przedmiotów i stosunków między nimi.

• Operatywny charakter pojęć matematycznych wyznacza drogę ich kształtowania.

• Drogę tę nazywa się nauczaniem czynnościowym.

Nauczanie czynnościowe

„Czynnościowe nauczanie matematyki to takie postępowanie dydaktyczne, które stale i konsekwentnie uwzględnia operatywny charakter matematyki równolegle z psychologicznym procesem interioryzacji prowadzącym do czynności konkretnych poprzez wyobrażenie do operacji abstrakcyjnych.”

Czynnościowe nauczanie wymaga od nauczyciela:

1. Świadomości matematycznej istoty związków i operacji tkwiących w kształtowanych pojęciu, umiejętności.

2. Zaplanowanie różnego rodzaju sytuacji, które pozwolą uczniowi przebyć drogę oparta na interioryzacji, prowadzącą do czynności konkretnych, poprzez wyobrażone do abstrakcyjnych.

Szeregowanie i klasyfikowanie przedmiotów

SZEREGOWANIE:

- podstawowa czynność umysłowa: porównywanie

- podporządkowanie jednorodnych obiektów na podstawie różnic między nimi

- jego istotą jest umiejętność umysłowego rozmieszczania zestawu elementów na jakimś przysługującym im wymiarze (długość, objętość, ciężar)

- rozwój umiejętności szeregowania związany jest ze zdolnością wyobrażenia sobie czynności, do uszeregowania elementów całej serii w myśli

- w szeregowaniu operacyjnym dziecko potrafi wyobrazić sobie przewidywane miejsce każdego elementu w szeregu

Etapy rozwoju:

• Brak uporządkowania (przed 4 r.ż.)

• Uporządkowanie w parach ( ok. 4 r.ż.)

• Poziom pośredni oparty na uporządkowaniu częściowym

• Uporządkowanie całkowite metodą empiryczną prób i błędów (ok. 5 r.ż.)

• Uporządkowanie systematyczne, z rozumieniem przechodniości (ok.6-7 r.ż.)

2. Klasyfikacja i klasyfikowanie.

KLASYFIKACJA (podział zbioru) - logiczny podział pewnego zbioru elementów na podzbiory, spełniający warunki:

1. Sumą (mnogością) wyróżnionych podzbiorów jest dany zbiór

2. Każde 2 podzbiory są rozłączne

3. Wyróżnione podzbiory są niepuste

KLASYFIKOWANIE (podział zbioru na klasy) - opiera się na łączeniu elementów w klasy na podstawie związków zachodzących między nimi (podobieństw, wspólnych cech, warunków)

• Tak nazywane podzbiory nazywamy klasami abstrakcji lub krótko klasami.

• Z punktu widzenia wyraźnej cechy przedmioty należące do tej samej klasy uważamy za „równoważne”.

• Klasyfikacja dwudzielna (dychotomiczna)

Podstawa: cechy sprzeczne

• Klasyfikacja wieloczłonowa (wielodzielna)

Podstawa: cecha ogólna i jej odmiany

• Mając dwa podziały pewnego podzbioru - każdy według innej zasady - możemy utworzyć podział zwielokrotniony krzyżując ze sobą człony uzyskane w tych podziałach.

• Łącząc podział jakiegoś zbioru przedmiotów na podzbiory z dalszym podziałem wszystkich lub niektórych z otrzymanych członów podziału, otrzymuje klasyfikację wielopoziomową.

Etapy rozwoju:

- tworzenie „zbiorów figuratywnych”

- etap przejściowy: tworzenie par, ciągów, kompleksów (4-5 r.ż.)

- klasyfikacja empiryczna: tworzenie kolekcji, klasyfikacja według jednego kryterium (wyczerpująca, ale bez rozumienia zawiązania się klas - wiek ok. 6-7 r.ż.)

- klasyfikacja operacyjna: klasyfikacja hierarchiczna - rozumienie relacji między klasami oraz podklasami, zdolność przewidywania kryteriów klasyfikacyjnych, dostrzeganie możliwości zmiany kryterium, zdolność do budowanie klasyfikacji hierarchicznych (ok. 8 r.ż.)

Po co dziecku zdolność klasyfikowania?

• Wprowadzenie ładu w świecie.

• Tworzenie klasy pojęciowej.

zbiór klasyfikowanie

klasyfikacja pojęcie

Tworzenie klasy pojęciowej to jeden ze sposobów wprowadzania (konstruowania) pojęcia.

Klasę pojęciowa otrzymujemy tworząc zbiory elementów spełniających określony warunek (jeden lub więcej) i nadając jego elementom nazwę.

Z punktu widzenia tego warunku (wyróżnionej cechy) przedmioty klasy uważamy za równoważne.

Elementy zbioru - klasy pojęciowej- wybiera się z pewnego z góry ustalonego zbioru (nawet jeśli występuje on niejawnie).

Uświadomienie sobie istnienia zbioru, z którego wybiera się elementy konstruowanego zbiory - klasy- pozwala na włączenie utworzonej klasy do klasy nadrzędnej.

Klasyfikowanie przedmiotów

Umiejętności przygotowujące: postrzeganie i nazywanie cech przedmiotów.

• Spostrzeganie, wyodrębnienie i nazywanie cech ważnych (charakterystycznych, widocznych) dla różnych przedmiotów z otoczenia dziecka

• Porównywanie przedmiotów z dostrzeganiem cech będących podstawą różnic i podobieństw

• Umiejętność rozpoznawania przedmiotów na podstawie opisu jego istotnych cech (przygotowywanie do definiowania)

Klasyfikowanie - klasyfikacja jednostopniowa, typ zagadnień i używanych pojęć

Założenie: dane jest podstawowe uniwersum obiektów do klasyfikowania

• Grupowanie - wyodrębnienie, wyróżnienie

Wyodrębnienie zbioru bez zwracania uwagi na jego dopełnienie.

• Segregowanie - rozdzielenie

Wyodrębnienie zbioru i jego dopełnienia w sposób symetryczny.

Podział uniwersum na podzbiory rozłączne.

Klasyfikowanie umiejętności wstępne:

Tworzenie grup (zbiorów) przedmiotów według wybranego kryterium

Ważne ćwiczenia:

• Tworzenie grup przy ustalonym warunku

• Utworzenie warunku dla utworzonej grupy

• Wyłączenie z grupy tego, który do pozostałych nie pasuje

Klasyfikacja - umiejętności podstawowe

1. Klasyfikowanie (podział) dowolnego zbioru przedmiotów:

- klasyfikacja dwudzielna

- podział na dowolną liczbę podzbiorów

- zauważanie związków między zbiorem a podzbiorem (klasa a podklasą)

2. Budowanie umiejętności:

- samodzielnego dostrzegania możliwości podziału

- dostrzeganie istnienia kilku kryteriów klasyfikacji

- próby klasyfikacji wielostopniowej

Dalszy rozwój klasyfikowania:

• Klasyfikacja multiplikacyjna - stosowania co najmniej 2 kryteriów podziału

• Klasyfikacja hierarchiczna - swobodne łączenie metody zstępującej i wstępującej, porównanie podzbioru ze zbiorem, kwantyfikacja inkluzji - czyli treściowe i logiczne porównywanie zbiorów i podzbiorów.

Wykład 5.

LICZBY NATURALNE - wieloaspektowość pojęcia

Liczby naturalne

N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…

Liczby naturalne można ustawić w ciąg nieskończony, po kolei jedna za drugą. Dysponują jedynką, można otrzymać wszystkie liczby naturalne.

Zbiór liczb naturalnych jest najmniejszym zbiorem spełniającym warunki:

1. 0 ∈ N

2. Jeśli n ∈ N to n+1 ∈ N

Matematycy różnie definiują liczby naturalne. Przez wiele wieków aż do końca XIXw., w ogóle obywano się bez definicji.

Pierwszą aksjomatyczna definicję zbioru liczb naturalnych zaproponował G. Peano, formułując listę postulatów:

• Istnieje liczba naturalna 0

• Każda liczba naturalna ma swój następnik

• Zero nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej

• Różne liczby naturalne maja różne następniki

• Jeśli 0 ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej ma tą własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej)

Aspekty liczby naturalnej

W edukacji wczesnoszkolnej korzystając z sytuacji rzeczywistych kształtujemy pojęcie liczby naturalnej jako syntezę 3 zasadniczych aspektów (sposobów użycia) tego pojęcia:

• Liczby kardynalnej - określa ile elementów ma dany zbiór

• Liczby porządkowej - określa który z kolei element danego zbioru rozpatrujemy

• Liczby będącej wynikiem mierzenia wielkości ciągłych - w aspekcie porządkowym liczba jest miara pewnej wielkości ciągłej: długości, pola, objętości, czasu, temperatury itp.

ASPEKT KARDYNALNY (MNOGOŚCIOWY)

U podstaw pojęcia liczby naturalnej jako liczby kardynalnej leży pojęcie równoliczności zbiorów.

• Zbiór A i B nazywamy równolicznymi, gdy istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między elementami tych zbiorów.

• Różne zbiory skończone możemy pogrupować w klasy zbiorów równolicznych.

• O zbiorach tej samej klasy mówimy, że mają tę sama liczność ( moc), tą samą liczbę kardynalną.

• W tym aspekcie każda z klas może być utożsamiana z pewną liczba kardynalną (mówimy, ze w tym aspekcie liczba naturalna jest wspólna cechą klasy zbiorów równolicznych).

ASPEKT PORZĄDKOWY

Liczba porządkowa - w sensie rozpatrywanym w klasach początkowych to:

Liczba naturalna i określająca miejsce elementu a₁ przy pewnym ustawieniu elementów danego zbioru A w ciągu:

a₁, a₂, …, a_n.

ASPEKT MIAROWY

W aspekcie miarowym liczba jest miarą pewnej wielkości ciągłej czyli takiej, która może się zmieniać w sposób ciągły poprzez wszystkie wartości pośrednie.

Trudności:

1. Pomiar jest zawsze tylko przybliżony.

2. Wynik pomiaru może być liczbą naturalną, ale może też być liczbą wymierną, a nawet niewymierną.

3. Wynik pomiar zależy od wyboru jednostki.

Ta sama wielkość przy różnych jednostkach ma różne miary.

INNE ASPEKTY LICZBY NARURALNEJ

• Algebraiczny - związany z działaniami i ich własnościami

Np. 5 = 3 + 2, 5 = 2 +3, 5 = (2 + 2) + 1 itp.

• Kodowy - liczba jest jedynie wykorzystywana do kodowania informacji

Np. numery telefonów

• Operatorowy - liczba jest tu nakazem zmiany

Np. dodaj 2, odejmij 3 (np. diagramy strzałkowe)

• Liczba jako wartość - występuje tam, gdzie przypisuje się czemukolwiek umowną wartość mierzoną ustaloną jednostką

Np. pieniądze, różne systemy punktacji na konkursach

Zasady liczenia (zliczania)

1. Zasada jednoznacznej odpowiedzialności, nazywana zasadą „jeden do jednego”

2. Zasada ustalonej kolejności: zawsze podawaj nazwy liczb w tej samej kolejności

3. Zasada kardynalności - ostatni wypowiadany liczebnik ma podwójne znaczenie

- oznacza ostatni liczony przedmiot

- oznacza liczbę policzonych przedmiotów

4. Zasada abstrakcji - wymienione powyżej zasady zliczania mogą być zastosowane wg każdego zestawu elementów, nawet niejednorodnych

5. Zasada niezależności porządkowej - elementy z dowolnego zestawu mogą być zliczane w dowolnym porządku

LICZBY NATURALNE - dodawanie i odejmowanie.

Działanie

Jeżeli każdej parze uporządkowanej (a, b) elementów należących do tego zbioru A przypiszemy jeden i tylko jeden element c tego zbioru, to mówimy, ze określimy w zbiorze A działanie.

Element c nazywamy wynikiem działania na elementach a i b.

- W klasach początkowych interesują nas 4 działania (arytmetyczne): dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, rozpatrywane w zbiorze liczb naturalnych.

- Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie są definiowane jako działania dwuargumentowe, każde z nich według pewnych zasad dwóm danym liczbom przyporządkowuje trzecią liczbę, nazywaną wynikiem działania.

DODAWANIE

Jest działaniem, której parze liczb (a, b) przyporządkowujemy liczbę:

c = a + b

wynik dodawania nazywa się sumą, dodawane liczby składnikami sumy

suma

a + b = c suma

składnik składnik

suma każdych 2 liczb naturalnych jest liczbą naturalną

Dodawanie i odejmowanie liczb możemy scharakteryzować w każdym z 3 aspektów: mnogościowym, porządkowym i miarowym.

DODAWANIE -suma liczb

Aspekt mnogościowy występuje na bazie aspektu kardynalnego liczby:

• Mamy 2 zbiory A i B rozłączne i takie, że zbiór A składa się z a elementów, a zbiór B z b elementów.

• Tworzymy sumę (złączenie) tych zbiorów. Liczba elementów złączenia tych zbiorów jest właśnie suma liczb a i b.

L(A) = 5

L(B) = 3

L(AUB) = 5 + 3

Aspekt porządkowy sumy liczb jest widoczny w tych zadaniach w których do liczby elementów zbioru pierwszego doliczamy elementy zbioru drugiego, numerując je.

(Jaś stoi w kolejce jako piąty. Zosia stoi trzecia za Jasiem. Która w kolejce stoi Zosia?)

Aspekt miarowy np. wykorzystując długości

Biorąc klocek o długości a i dołączając do niego klocek o długości b uzyskamy „pociąg” o długości a +b.

Na osi liczbowej

Wychodząc z punktu 0 przesuwamy się o a jednostek, a następnie przesuwamy się o b jednostek i dochodzimy do punktu a +b.

Odpowiada to dodawaniu odcinków, dodawaniu wektorów.

ODEJMOWANIE

Jest działaniem, której parze licz (a, b) przyporządkowuje liczbę c taką, że b + c = a.

• W zbiorze liczb naturalnych działanie to jest określone przy założeniu że a ≥ b

• Wynik odejmowanie liczb a i b nazywamy różnicą i oznaczamy a - b

(liczbę a nazywamy odjemną, liczbę b odjemnikiem)

Odejmowanie różnica liczb

Odejmowanie liczb występuje w edukacji dziecka w trzech sytuacjach:

1. Ujmowania (ubywania, zabierania, zmniejszania)

2. Dopełniania

3. Porównywania

Pierwsza sytuacja jest dla dziecka najłatwiejsza o od niej zaczynamy wprowadzania odejmowania.

Odejmowanie, jako ujmowanie

Korzystając z aspektu mnogościowego, różnicę liczb a, b gdzie a>b, tworzymy tak:

• Mamy dwa zbiory A, B takie, że zbiór A ma a elementów, zbiór B ma b elementów i zbiór B jest zawarty w zbiorze A

• 
  Tworzymy różnicę A/B zbiorów A, B. Liczba elementów zbioru A/B jest różnicą liczb a, b.

np.

L (A) = 8 L (B) = 3 L (A\B) = 8-3

Aspekt porządkowy:

Przykład: Marek stoi w kolejce, jako dziewiąty. Ala stoi trzecia przed Markiem. Która w kolejce stoi Ala?

W aspekcie miarowym: ujmowanie można zinterpretować, jako skracanie Tomek miał 8 m linki i odciął z niej 3 m. Ile ma jeszcze linki?

Oś liczbowa:

Możemy mówić np. o „skokach”. Najpierw zaczynamy na osi pierwszy „skok” z punktu zerowego, o a jednostek. Miejsce lądowania odpowiada różnicy a - b.

np.

0 5 6 7 8

Miejsce lądowania to 8-3

Odejmowanie - dopełnienie

Odejmowanie związanie z dopełnieniem jest dla dzieci znacznie trudniejsze.

Np. Adam dostał 8 zł na zakupy. Zapomniał, ile wydał, ale przeliczył resztę i zostało mu 3 zł. Ile wydał Adam?

W języku zbiorów: 8

zbiór wyjściowy - 8 elementów

podzbiór - 3 elementy

Ile elementów liczy zbiór dopełniający?

Zbiór poszukiwany jest różnicą 8 elementowego zbioru wyjściowego i jego 3 elementowego podzbioru. Wobec tego liczba jego elementów wynosi 8 - 3

Z dopełnieniem mamy także do czynienia w zadaniu:

Wojtek miał 3 znaczki, Adam dał mu jeszcze kilka znaczków, tak, że Wojtek ma teraz 8 znaczków. Ile znaczków dał Wojtkowi Adam?

W aspekcie miarowym, posługując się pojęciem odcinka zadanie na dopełnienie sprowadza się do odpowiedzi na pytanie: Jaki odcinek (klocek) dołączony do odcinka (klocka) o długości 3 da nam odcinek (klocek) o długości 8?

8

3 ?

Zadania na dopełnienie, jako równania

Zadanie na dopełnienie można zapisywać za pomocą równań. W naszym przykładzie jest równanie 3 + ..... = 8

Można go rozwiązać rozumując:

I sposób - Chcę wiedzieć, ile trzeba dodać do liczby 3, aby otrzymać 8.

Przecież 8 = 3 + 5! Więc szukaną liczbą jest 5

II sposób - Wymaga uświadomienia sobie, że brakujący składnik może być znaleziony przez zmniejszenie liczby 8 o szukany składnik 3, co prowadzi do zapisu 8 - 3 = 5

Prawa działań dają rozmaite możliwości ułatwiania rachunków, prostszego i szybszego uzyskania wyniku!

Jednoczesne stosowanie prawa łączności i prawa przemienności pozwala nam na sformułowanie: Przy dodawaniu można rozmaicie przedstawiać i grupować liczby np.

8 +4 +6 = 8 +10 =18

2 +7 +8 +3 = 10 +10 = 20

67 + 6 + 1 4+ 3 = 70 + 20 = 90

MNOŻENIE I DZIELENIE

Mnożenie:

• jest działaniem, które parze liczb (a, b) przyporządkowuje liczbę c = a * b

• wynik mnożenia nazywa się iloczynem, a mnożone liczby czynnikami

• iloczyn, każdych dwóch liczb naturalnych jest liczba naturalną

Trzy podstawowe sposoby określania i przedstawiania iloczynu w klasach początkowych

1. 
   poprzez sumę jednakowych składników. Iloczyn a * b, to wynik a-krotnego dodawania liczby b

a * b = b +b +b + …. + b dla a>1

a razy

dla a = 0, 0 * b = 0

a = 1, 1 * b = b

Zalety:

-Oparcie się na znanym działaniu

-Tradycja

Wady:

-Nie można uogólnić na liczby wymierne

-Nie widać natychmiast przemienności

-Dla a = 0 i a = 1 iloczyn trzeba wprowadzać oddzielnie

2.Poprzez interpretację geometryczną - wykorzystując pole prostokąta.

Iloczyn liczb a * b jest liczbą kwadratów o długości a jednostek i szerokości b jednostek

3 + 3 + 3 + 3 + 3

5+ 5 + 5

3.W oparciu o pojęcie iloczynu kartezjańskiego. Jeżeli mamy dwa skończone zbiory

A i B mające odpowiednio a i b elementów, to iloczyn a * b jest liczbą elementów iloczynu kartezjańskiego A x B

Rozdzielność mnożenia względem dodawania

a * (b + c) = a * b + a * c

6 * (10 + 4) = 6 * 10 + 6 * 4

Praktyczne stosowanie rozdzielności mnożenia, czyli kawałek po kawałku:

6 * 7 =???

3 * 7 = 21

3 * 7 = 21

6 * 7 = 42

Dzielenie:

-Jest działaniem, które parze liczb (a, b), z których druga jest różna od 0, przyporządkowuje liczbę c taką, że b * c = a

-czyli: podzielenie liczby a przez b to znalezienia takiej liczby, że b * c = a

lub c * b = a np., 15: 3 = 5 bo 3 * 5 = 15 lub 5 * 3 = 15

Liczbę a nazywamy dzielną, b dzielnikiem, c ilorazem

-dzielenie jest działaniem pozwalającym znaleźć drugi czynnik, gdy dany jest iloczyn i jeden z czynników

-z zbiorze liczb naturalnych dzielenia nie zawsze jest wykonalne

Podział i mieszczenie

Przykład 1

15 sadzonek bratków trzeba posadzić do trzech skrzynek, po tyle samo do każdej. Po ile sadzonek będzie w każdej skrzynce?

-Arytmetycznie „3 razy po ile jest 15?”

-W postaci równania 3 * x = 15

Rozwiązaniem jest iloraz 15: 3, czyli liczba 5.

Jest to typowe zadanie na podział.

W języku zbiorów:

Zbiór mający a elementów dzielimy na b podzbiorów o tej samej liczbie elementów. Pytamy: po ile elementów tego zadania sprowadza się do rozwiązania równania b * x = a

Równanie to może nie mieć rozwiązania w zbiorze liczb naturalnych

( np., gdy a = 11, b =?) Wtedy żądany rozkład danego zbioru nie jest możliwy. Jeżeli ma rozwiązanie to jest nim iloraz a : b ( przy założeniu że b nie jest równe zero)

Przykład 2

15 bratków trzeba posadzić do skrzynek tak, by w każdej były 3 bratki. Ile skrzynek trzeba przygotować?

-Arytmetycznie - ile razy po 3 jest 15?

-W postaci równania x * 3 = 15

Rozwiązaniem tego zadana jest również iloraz 15: 3, czyli liczba 5

Jest to typowe zadania na mieszczenie.

W języku zbiorów:

Zbiór mający a elementów, dzielimy na podzbiory po b elementów każdy.

Pytamy: ile będzie takich podzbiorów?

Rozwiązanie tego zadania sprowadza się do rozwiązania równania: x * b = a

Równanie to może nie mieć rozwiązania w zbiorze liczb naturalnych, wtedy żądany rozkład danego zbioru nie jest możliwy. Jeżeli ma rozwiązanie, to jest nim iloraz a : b

Czy podkreślać odrębność tych dwóch interpretacji dzielenia?

W matematyce równania b * x = a i x * b = a są równoważne, ponieważ mnożenie jest przemienne, to jeśli te równania mają rozwiązania, to mają je dokładnie to samo.

Nie mamy dwóch rodzajów ilorazu. Jest tylko jedno działanie arytmetyczne nazywamy je dzieleniem, które w praktyce może mieć dwie interpretacje konkretne.

B

A

A

B

?

---