1. O przedmiocie

    Na początku zawsze pojawia się pytanie czym jest automatyka, czym się zajmuje i czego dotyczy, jakie są korzyści z tej nauki.

    Jednym z podstawowych pojęć jest pojęcie obiektu (sterowania). Obiektem nazwiemy zjawisko fizyczne, układ elektryczny, układ mechaniczny lub cokolwiek, co jesteśmy w stanie opisać choćby przybliżonym równaniem. Bardzo dobre przykłady znajdują się w [1] i [2]. Obiekt możemy sobie też wyobrazić jako układ z wejściem i wyjściem. Najprostszym przykładem jest np. silnik wykonawczy¹. Jest to obiekt, którego wejściem jest (może być) napięcie a wyjściem prędkość obrotowa. Intuicyjnie wiemy, że silnik nie osiąga maksymalnej swojej prędkości od razu. Wymaga to nieco czasu. Tu przychodzi nam z pomocą automatyka. Możemy skrócić ten czas, nierzadko znacznie, projektując odpowiedni układ regulacji (korekcji). Poziom skomplikowania układu elektrycznego realizującego takie sterowanie nie będzie większy niż parę elementów (istnieją gotowe regulatory przemysłowe umożliwiające realizację różnych układów sterujących).Korzyści są takie, że oszczędzamy czas i energię zwiększając w sposób oczywisty efektywność. Stosując regulację automatyczną możliwe staje się stworzenie nowych narzędzi i maszyn, które bez automatyki w ogóle nie mogłyby istnieć [8]. Dobrym przykładem jest dźwig windy. Na pewno zadawaliśmy sobie pytanie "czy ta winda nie może jechać szybciej". Otóż podczas gwałtownego zatrzymania kabina windy zostałaby poddana przeciążeniom. Te siły przeniosłyby się na konstrukcję całego dźwigu. Skutki mogłyby okazać się katastrofalne. Dzięki automatyce prędkość silnika poruszającego dźwigiem może być stale kontrolowana i tak regulowana, że zapewni bezpieczne i komfortowe działanie. W konsekwencji możliwe będzie zbudowanie większych dźwigów o większych możliwościach i mniejszym zużyciu mocy.

    Podsumowując powyższe możemy odpowiedzieć na pytanie z początku rozdziału. Otóż automatyka optymalizuje i poprawia wiele wskaźników działania układów. Udoskonala istniejące urządzenia. Zapewnia precyzję i bezpieczeństwo.

¹sztandarowy przykład automatyki ; [1] oraz [2]

2. Reprezentacje obiektu.

    Aby sprawnie poruszać się w temacie, niezbędne jest przyswojenie sobie kilku najczęściej używanych pojęć. Szczegółowe definicje znajdują się w [5], bardziej swobodne w "słowniku" na końcu pracy. Niezbędna jest znajomość przekształcenia Laplace'a [5 Wykład 2].
    Na początku zapoznajmy się z możliwymi reprezentacjami matematycznymi obiektu fizycznego. Istnieje kilka rodzajów modeli matematycznych obiektu lub procesu sterowania. Model taki zawiera wszystkie potrzebne informacje o obiekcie. Podstawowe z nich przedstawiono poniżej na prostym przykładzie.
    Niech poniższy obwód elektryczny będzie obiektem, którym się zajmujemy.

Rysunek 2.1 Układ elektryczny jako przykład obiektu

Na podstawie prawa Kirchoffa mamy

Ri(t) + u₂(t) = u₁(t)

Napięcie na kondensatorze jest związane z prądem płynącym w obwodzie zależnością

Stąd otrzymujemy równanie różniczkowe obwodu, określające zależności czasowe między zmiennymi u₁ oraz u₂ (niech u₂będzie szukanym wyjściem)

które można rozwiązać mając daną funkcję wymuszenia u₁(t)(oraz warunki początkowe ). Dokonując przekształcenia Laplace'a obu stron równania przy założeniu zerowych warunków początkowych otrzymujemy

(sRC + 1)U₂(s) = U₁(s)

Stąd po wprowadzeniu oznaczenia T=RC otrzymujemy transmitancję operatorowąw postaci

    Jest to możliwe, jeśli obiekt jest liniowy, stacjonarny i skończenie wymiarowy, tzn. jest opisany równaniami różniczkowymi liniowymi o stałych współczynnikach.
    Transmitancja operatorowa jest definiowana dla zerowych warunków początkowych. Dokonajmy tym razem transformacji Laplace'a równania różniczkowego z ich uwzględnieniem. Zastosujemy oznaczenia ; y =u₂ oraz u=u₁.

  (2)

    Zauważmy, że w wyniku możemy wyróżnić część zależną wyłącznie od pobudzenia. Nosi ona nazwę odpowiedzi wymuszonej. Druga część wyniku zależy wyłącznie od stanu początkowego y(0) i nosi nazwę odpowiedzi swobodnej. Widzimy, że transmitancja pozwala jedynie określić zachowanie się układu w zależności od pobudzenia a nie uwzględnia warunków, w jakich układ znajdował się w momencie przed podaniem sygnału wejściowego.

    Warunki te zostały wytworzone przez wielkości wejściowe działające wcześniej na układ. Można powiedzieć, że układ dynamiczny posiada swoistą "pamięć", w której przechowuje informację o poprzednich wielkościach wejściowych. Informację tę określamy mianem stanu układu (mówimy, że w momencie przed podaniem sygnału wejściowego układ miał określony stan). Informacja w układach dynamicznych gromadzona jest w postaci energii. W naszym przypadku energię w postaci ładunku elektrycznego gromadzi kondensator. Możemy powiedzieć, że stanem układu jest tu ilość ładunku zgromadzonego na nim. Jako że napięcie jest liniowo związane z ładunkiem (w układach liniowych, stacjonarnych Q=CU gdzie C=const.), możemy również określić mianem stanu napięcie na kondensatorze. Dla obwodów elektrycznych elementami gromadzącymi energię są kondensatory i cewki dlatego za zmienne stanu przyjmuje się najczęściej napięcia na kondensatorach i prądy w cewkach. Omawiany obwód elektryczny posiada jeden element gromadzący energię zatem i jedną zmienną stanu.
    Opisem uwzględniającym stan początkowy jest opis za pomocą równań macierzowych łączących zmienne stanu procesu z sygnałami wejściowymi i wyjściowymi. Równania te mają następującą postać (dla układu opisanego zwyczajnym liniowym równaniem różniczkowym);

  (2.1)

gdzie:
u = wektor wejść,
y = wektor wyjść,
x = wektor zmiennych stanu,

oraz A,B,C,D są macierzami. Jeśli przyjmiemy, że zmienną stanu omawianego układu jest napięcie x=u₂ (jednocześnie jest to wyjście układu) a wejściem u=u₁, możemy przekształcić równanie różniczkowe następująco;

Porównując z równaniem 2.1 możemy zapisać, że

    W tym przypadku są to macierze jednoelementowe a sygnały (y,u) są skalarami. Zauważmy, że przyjęte przez nas za zmienną stanu (x) napięcie u₂ jest zarazem sygnałem wyjściowym dostępnym na zewnątrz obiektu. Dokonajmy transformacji Laplace'a równań stanu i wyznaczmy odpowiedź układu;

    (2.2)

    Widzimy, że aby wyznaczyć odpowiedź układu z uwzględnieniem stanu początkowego wystarczająca jest znajomość czwórki macierzy A,B,C,D (jest to przewaga tego modelu nad modelem transmitancyjnym). Pierwsza część wyniku jest odpowiedzią swobodną układu a druga odpowiedzią wymuszoną (porównaj równanie 2). Po podstawieniu wartości liczbowych w miejsca odpowiednich macierzy otrzymamy dokładnie to samo rozwiązanie co po bezpośredniej transformacji równania różniczkowego.

Za stan układu przyjęliśmy napięcie wyjściowe a więc x(0)=y(0).

    Możemy przechodzić z jednego modelu do drugiego np. wyznaczając tylko składową wymuszoną odpowiedzi (wzór 2.2) otrzymamy identyczny wynik, jaki byśmy uzyskali posługując się transmitancją operatorową. Zatem transmitancję możemy wyrazić następująco

G(s)=c^T(sI-A)^-1b+d,

(w przypadku modelu z jednym wejściem i jednym wyjściem b,c,d są wektorami i oznaczamy je małymi, pogrubionymi literami)

jednak przy takiej zamianie modeli tracimy część informacji. Przy przejściu odwrotnym, z transmitancji do równań stanu (istnieją proste procedury wyznaczania modelu stanowego na podstawie transmitancji [1]), zyskujemy informację o wpływie warunków początkowych na sygnał wyjściowy.
    W ten sposób dokonaliśmy pierwszej identyfikacji analitycznej obiektu (wyznaczyliśmy trzy modele matematyczne omawianego obwodu).
    Bardzo często badany proces jest zbyt złożony i mało poznany (np. procesy chemiczne), aby można było efektywnie dokonać identyfikacji analitycznej. Wówczas droga do modelu matematycznego prowadzi przez badania eksperymentalne.
    Badania eksperymentalne w procesie identyfikacji polegają na wyznaczeniu, metodami pomiarowymi, charakterystyk badanego obiektu. Mogą to być np. charakterystyki czasowe lub częstotliwościowe.
    Charakterystykami czasowymi¹ są odpowiedzi obiektów dynamicznych na wymuszenia o określonym kształcie np. na wymuszenie skokowe (tzw. odpowiedź skokowa). W charakterystykach czasowych szczególnie interesujące są stany przejściowe, które zależą od równań różniczkowych procesu identyfikowanego.
    Charakterystyki częstotliwościowe² natomiast określają zachowanie się obiektu dynamicznego w stanach ustalonych przy wymuszeniach harmonicznych (sinusoidalnych).
    Na podstawie charakterystyk czasowych lub częstotliwościowych uzyskanych doświadczalnie, można wyznaczyć transmitancję lub równanie różniczkowe obiektu identyfikowanego.

¹Rozdz. 6.
²Rozdz. 7.

3. Określenia dotyczące układu ze sprzężeniem zwrotnym

    W praktyce nie stosuje się układów regulacji bez sprzężenia (poza wyjątkami). Schemat strukturalny układu regulacji automatycznej przedstawia rys.3.1:

Rysunek 3.1 Schemat strukturalny układu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym

Oznaczenia :

r - wielkość zadana,

r_ps - wielkość faktycznie porównywana ze zmierzoną wielkością regulowaną,

y - wielkość regulowana,

e - uchyb regulacji,

y_p - zmierzona wielkość regulowana,

e_p - uchyb mierzony,

u - sygnał sterujący (obiektem),

z - wielkość zakłócająca,

G_o(s) - transmitancja obiektu regulacji

G_r(s) - transmitancja regulatora

G_p1(s) - transmitancja przetwornika pomiarowego wielkości regulowanej

G_p2(s) - transmitancja przetwornika pomiarowego wielkości zadanej

    G_p1(s) nazywany jest czasem czujnikiem ponieważ przenosi informację o wartości wyjściowej na wejście układu.
    G_p2(s) nazywany jest zadajnikiem, ponieważ często nie podajemy sygnału zadanego bezpośrednio na obiekt.
    Uchyb regulacji jest to różnica między zadaną wielkością wyjściową a faktycznie istniejącą wartością wielkości wyjściowej .
    Zadaniem układu regulacji jest osiągnięcie takiej wartości sygnału na wyjściu, jakiej zażądamy na wejściu. Aby tego dokonać należy mieć możliwość sprawdzenia (porównania) czy sygnał wyjściowy osiągnął zadaną wartość. W uproszczeniu, jeśli na wyjściu sygnał jest większy od zadanego musimy zmniejszyć sygnał wejściowy. W tym celu automatyka wykorzystuje ujemne sprzężenie zwrotne. Z tego powodu powstało ważne pojęcie uchybu regulacji.
    Uchyb regulacji jest to różnica między zadaną wartością wielkości wejściowej r a faktycznie istniejącą wartością wielkości wyjściowej y (e = r - y )^*.
    Dynamika obiektu (równania różniczkowe opisujące obiekt są równaniami ruchu) jest od nas niezależna i aby osiągnąć cel musimy stosować korekcję^**(kształtujemy charakterystyki układu regulacji poprzez dodawanie członów korekcyjnych aż do uzyskania zadowalającego efektu). Typowy uchyb regulacji e(t) na pobudzenie obiektu skokiem jednostkowym wygląda następująco (rys. 3.2):

Rysunek 3.2 Przebieg typowego uchybu regulacji

    Należy zwrócić uwagę, że na rys. 3.1nie występuje uchyb taki jak w definicji, lecz jest to raczej sygnał różnicy e_p = r_ps - y_p. Analizujemy ten sygnał tak jakby był uchybem. Przypatrzmy się rys. 3.1 i przyjmijmy, że obiekt G_o(s) to nasz silnik z rozdziału 1. Sygnałem wyjściowym y jest tu prędkość obrotowa wyrażona w rad/snatomiast sygnałem wejściowym r jest napięcie wyrażone w V (pomijamy G_p2). Czujnik G_p1(s) pełni rolę przetwornika zamieniającego prędkość na napięcie (tachoprądnica). Jeśli w najprostszym przypadku G_p1 = k to można zapisać
. Jak widzimy będzie nam zależało na tym żeby przetwornik (czujnik) miał stałe k dla całego zakresu prędkości (był idealnie liniowy). Łatwo się domyślić, że w rzeczywistości rzadko tak jest.
    Co ważniejsze czujnik występuje zawsze (musimy zamienić np. ciśnienie, temperaturę lub inną wielkość fizyczną na proporcjonalny sygnał, którym może być napięcie lub nawet inna wielkość fizyczna) i od niego zależy czy prawidłowo odbierzemy sygnał wyjściowy (nigdy nie poznamy jego dokładnej, prawdziwej wartości choćby ze względu na zawsze występujące zakłócenia losowe (n(t), z(t) na rys.3.1)).
    Dla uproszczenia przyjmijmy, że przetworniki pomiarowe mają identyczne charakterystyki, zatem możemy przekształcić zgodnie z regułami przekształceń schematów strukturalnych [1 rozdz.4.1 tablica 4.1 Lp.18]

G_p1(s) = G_p2(s) = G_p(s)

i układ regulacji upraszcza się do postaci

Rysunek 3.3 Uproszczony schemat strukturalny układu z rys. 3.1

    W następnej kolejności zostaną zdefiniowane pojęcia związane z analizą układu, którego model jest już znany (nie zawsze jest możliwe uwzględnienie wszystkich cech obiektu w modelu, przeważnie model jest uproszczony).

Transmitancja układu otwartego

G(s) = G_p(s)G_r(s)G_o(s)

Jeżeli przedstawimy tę transmitancję w postaci wymiernej właściwej,
to otrzymamy

L(s) - wielomian licznikowy,

M(s) - wielomian mianownikowy,

M(s) = 0 - równanie charakterystyczne układu otwartego,

(transmitancja jest właściwa jeśli stopień wielomianu L(s) jest równy lub mniejszy od stopnia wielomianu M(s) ).

Transmitancja odpowiedniego układu zamkniętego w relacji r → yma postać

gdzie

1+G(s) = 0 - równanie charakterystyczne układu zamkniętego

M(s)+L(s)=0 - wielomian charakterystyczny układu zamkniętego

    Pojęcie równania charakterystycznego układu zamkniętego jest ważne ze względu na to, że określamy za jego pomocą czy układ zamknięty będzie stabilny. Postać wielomianu charakterystycznego jest wykorzystywana np. przy badaniu stabilności w oparciu kryteria algebraiczne, których używamy wtedy, gdy znana jest postać analityczna transmitancji.

^* Więcej w rozdziale 6 pracy
^** Więcej w rozdziale 5 pracy

4. Zera , bieguny i stabilność

    W automatyce chętnie posługujemy się transmitancją operatorową (inaczej funkcja przenoszenia lub przepustowość). Wiążą się z nią takie podstawowe pojęcia jak zero i biegun transmitancji ;

biegun (miejsce zerowe mianownika transmitancji)^*,

zero (miejsce zerowe licznika transmitancji)^*.

Transmitancję każdego układu otwartego (jeżeli zera i bieguny są rzeczywiste) można wyrazić w następujący wygodny sposób (zero, pole, gain; zero, biegun, wzmocnienie) [2 rozdz.3.3]:

, (1)

gdzie:  _i - stałe czasowe mające wymiar [s] sekund (oznaczane też jako T_i),

K - wzmocnienie.

Wartości s (
; przy i parzystym), będące miejscami zerowymi mianownika G(s) nazywamy biegunami. Natomiast wartości s (
; przy i nieparzystym), będące miejscami zerowymi licznika G(s) nazywamy zerami (często w liczniku oraz mianowniku występują trójmiany kwadratowe, wtedy zera i bieguny będą zespolone i nie interpretuje się ich jako stałe czasowe). Istnienie czynnika sⁿ oznacza, że n biegunów transmitancji leży w początku układu współrzędnych.

    Rozmieszczenie zer i biegunów układu zamkniętego na płaszczyźnie zespolonej w prosty sposób mówi nam o jego podstawowych cechach. W szczególności o charakterze odpowiedzi impulsowej, która będąc odwrotnym przekształceniem Laplace'a transmitancji operatorowej układu zależy tylko od jego własności (przekształceniem Laplace'a impulsu jednostkowego jest jedność). Na rys. 4.1 przedstawiono płaszczyznę zmiennej zespolonej 's', na której zaznaczono charakter odpowiedzi impulsowej w zależności od położenia na niej biegunów transmitancji układu zamkniętego (transmitancja drugiego rzędu bez zer [dodatek A]). Jeśli bieguny transmitancji leżą na osi rzeczywistej w lewej półpłaszczyźnie 's', to rozwiązanie równania różniczkowego (czyli znalezienie postaci sygnału wyjściowego (odp. impulsowej)) przyjmuje postać
. Oznacza to przebieg odpowiedzi nieoscylacyjny (aperiodyczny) o wartości dążącej do zera dla t→ . Gdy para pierwiastków zespolonych leży w lewej półpłaszczyźnie, składowa przejściowa będzie w postaci
co oznacza oscylacyjny charakter odpowiedzi impulsowej eksponencjalnie malejącej? Natomiast sprzężona para pierwiastków zespolonych leżąca na osi urojonej, czyli osi Im s powoduje powstanie składowej przejściowej
(drgania harmoniczne o stałej amplitudzie). Jeżeli bieguny omawianej transmitancji znajdą się w prawej półpłaszczyźnie, odpowiedź impulsowa zawsze będzie narastała nieograniczenie. Wnioski te można uogólnić na wszystkie wymierne transmitancje operatorowe.

Rysunek 4.1 Płaszczyzna 's' i ogólna postać odpowiedzi impulsowej w zależności od rozłożenia na niej biegunów transmitancji

Bezpośredni związek z charakterem odpowiedzi impulsowej ma użyte w poprzednim rozdziale pojęcie stabilności. Jest ono jednym z najważniejszych określeń w automatyce.

Definicja stabilności w sensie BIBO (Bounded Input Bounded Output):

Układ jest stabilny, jeżeli dla każdego sygnału wejściowego o ograniczonej amplitudzie, układ odpowiada ograniczonym sygnałem wyjściowym (w sensie amplitudy).

Jest to definicja dla modelu wejściowo-wyjściowego. Aby zbadać stabilność układu posługując się tą definicją należałoby podawać na jego wejście wszystkie ograniczone sygnały (np. skok jednostkowy, sygnał sinusoidalny itd.). Jest to w praktyce niewykonalne mimo, iż wystarczy znaleźć jeden sygnał, na który układ odpowie nieograniczonym sygnałem wyjściowym, aby stwierdzić brak stabilności układu w sensie BIBO.

Powstały jednak praktyczne i silne kryteria stabilności oparte na badaniu rozmieszczenia biegunów transmitancji na płaszczyźnie zmiennej zespolonej 's'. Ich spełnienie jest konieczne i wystarczające do określenia stabilności w sensie BIBO.

Układ jest stabilny, jeśli wszystkie pierwiastki mianownika transmitancji leżą w lewej półpłaszczyźnie.

Układ jest niestabilny, jeżeli jakikolwiek pierwiastek leży w prawej półpłaszczyźnie lub jeżeli jakiekolwiek pary pierwiastków zespolonych wielokrotnych leżą wzdłuż osi urojonej lub kiedy pierwiastki wielokrotne leżą w początku układu współrzędnych.

Układ jest na granicy stabilności, jeżeli jakakolwiek pojedyncza para pierwiastków zespolonych sprzężonych leży wzdłuż osi urojonej (lub pojedynczy w początku), wszystkie pozostałe zaś w lewej.

Układ jest stabilny warunkowo, jeżeli tylko w określonych warunkach wszystkie pierwiastki leżą w lewej półpłaszczyźnie. Często taki układ jest stabilny tylko w pewnym przedziale zależnym od wzmocnienia.

Przykład:

Dla obiektu o transmitancji operatorowej (zwana dalej krótko transmitancją)

zbadajmy stabilność. Patrząc na postać iloczynową transmitancji G(s) widzimy, że nie występują skrócenia między licznikiem a mianownikiem. Można zatem przystąpić do badania rozmieszczenia biegunów transmitancji.

Transfer function: s Transfer function: s + 5 ------------- s^2 + 5 s + 6 %zero/biegun/wzmocnienie Zero/pole/gain: (s+5) ----------- (s+3) (s+2)	%polecenia Matlaba s=tf('s') H=(s+5)/((2+s)*(3+s)) zero(H) pole(H) zpk(H) pzmap(H) %zera i bieguny na płaszczyźnie "s"
zero -5 bieguny -3.0000 -2.0000	%bieguny w lewej półpłaszczyźnie 

 

Na rysunku 4.2 widzimy wykres wygenerowany funkcją pzmap z Control System Toolbox Matlaba. Znajdują się na nim dwa bieguny(-2, -3) oznaczone 'x' oraz zero(-5) oznaczone 'o'.

 

Rysunek 4.2 Położenie zer i biegunów transmitancji G(s)

 

O przykładzie możemy powiedzieć, że obiekt jest stabilny (bieguny w lewej półpłaszczyźnie zmiennej "s", czyliczęści rzeczywiste pierwiastków mianownika są ujemne) oraz ma nieoscylacyjną (aperiodyczną) odpowiedź impulsową. Na rys. 4.3 widzimy wykres odpowiedzi impulsowej transmitancji G(s) wygenerowany funkcją impulse. Potwierdza on wcześniejsze stwierdzenia.

 

Rysunek 4.3 Odpowiedź impulsowa obiektu o transmitancji G(s)

    Powyższe rozważania dotyczyły pojedynczego obiektu z jednym wejściem oraz z jednym wyjściem. W przypadku typowego układu regulacji, czyli układu ze sprzężeniem zwrotnym, zawierającego bloki obiektu, regulatora i czujnika ocena stabilności jest bardziej skomplikowana. Na rysunku 4.4 znajduje się schemat strukturalny typowego układu regulacji automatycznej.

Rysunek 4.4 Typowy układ regulacji

Można w nim wyróżnić następujące transmitancje:

- transmitancja uchybowa,

- transmitancja uchybowo-zakłóceniowa,

- transmitancja układu zamkniętego (wejściowo-wyjściowa),

- transmitancja wyjściowo-zakłóceniowa.

Mimo iż układ zamknięty będzie BIBO-stabilny (G_y(s)) może się okazać, że jego transmitancje w innych relacjach niż wej-wyj nie są. Dlatego podczas projektowania układów automatycznej regulacji należy zapewnić stabilność totalną.

Definicja:

Układ jest totalnie stabilny, jeżeli dla każdej pary wej-wyj spełniony jest warunek BIBO-stabilności.

W powyższym przypadku oznacza to, że jeżeli nie zapewnimy stabilności którejkolwiek z wymienionych transmitancji to obiekt nie będzie wewnętrznie stabilny. Aby uświadomić skutki braku wewnętrznej stabilności załóżmy że niestabilną transmitancją jest np. G_ez(s) wtedy pojawiające się zakłócenie może wywołać nieograniczony uchyb (nie jesteśmy w stanie sterować).

Przykład:

Niech transmitancje na rys. 4.4 wynoszą odpowiednio
. Wyznaczmy transmitancję układu zamkniętego oraz transmitancję wyjściową zakłóceniową.

Układ zamknięty jest stabilny w relacji wejście-wyjście, natomiast niestabilny w relacji zakłócenie-wyjście (biegun w s=1; prawa półpłaszczyzna). Każdy sygnał pojawiający się bezpośrednio przed obiektem (patrz rys. 4.4 -zakłócenie) wywoła nieograniczony sygnał na wyjściu.

^*o ile między licznikiem i mianownikiem nie zachodzą skrócenia

5. Rodzaje i cele korekcji

    Korekcja układów regulacji obejmuje dwa zagadnienia:

1. poprawę własności dynamicznych,

2. poprawę własności statycznych.

    Oba te cele mogą być osiągane różnymi drogami; bądź przez zmianę wartości parametrów bloków wchodzących w skład układu regulacji, bądź przez wprowadzenie do układu nowych bloków, zwanych członami korekcyjnymi lub regulatorami* i umieszczenie ich w odpowiednim miejscu układu.

    Poprzez poprawę własności statycznych rozumiemy zmniejszenie uchybu ustalonego przy wymuszeniu odpowiedniego typu. Osiąga się to przez wprowadzenie członu korekcyjnego; - często wystarcza człon proporcjonalny (wzmacniacz) włączony szeregowo w tor główny układu. Poprawa własności dynamicznych polega na zapewnieniu żądanego kształtu przebiegu przejściowego reprezentowanego przez takie parametry jak

• przeregulowanie,

• czas regulacji i inne.

    Obliczenia analityczne są jednak skomplikowane zwłaszcza gdy modelem jest równanie różniczkowe wysokiego rzędu. Powstały jednakże metody projektowania które upraszczają proces projektowania. Ze względu na sposób włączenia elementu korekcyjnego w układ regulacji automatycznej można podstawowe rodzaje korekcji zdefiniować jako korekcję:

• szeregową,

• w sprzężeniu zwrotnym,

• równoległą.

Rysunek 5.1 Podstawowe rodzaje korekcji w układach regulacji: a) korekcja szeregowa, b) korekcja w sprzężeniu zwrotnym, c) korekcja równoległa

    Najczęściej stosowana jest korekcja szeregowa. Układy korekcji w sprzężeniu zwrotnym nazywane są również układami z pomocniczą wielkością regulowaną (y₁). Korekcja równoległa nie ma w automatyce znaczenia praktycznego, ponieważ korekcja równoległa wymagałaby budowy korektora w postaci równoprawnego (np. pod względem materiałowym) obiektu technologicznego w dodatku o założonych z góry właściwościach dynamicznych. Gdyby to było możliwe, to należałoby od razu zbudować właściwy obiekt technologiczny, a wtedy korekcja byłaby w ogóle zbędna.

^* Zwykle przyjmuje się , że parametry regulatorów mogą być nastawiane , zaś parametry członów korekcyjnych - nie.

6. Charakterystyki czasowe i wskaźniki jakości

W rozdziale drugim mówiliśmy o reprezentacjach obiektu. Dla przypomnienia powtórzmy, co będziemy nazywali charakterystyką czasową;

-charakterystyka czasowa - graficzne lub analityczne przedstawienie przebiegu czasowego odpowiedzi układu na określony sygnał wejściowy.
    Podstawowymi charakterystykami czasowymi dla układów liniowych są: odpowiedź impulsowa oraz odpowiedź na skok jednostkowy. Znajomość charakterystyk czasowych układu umożliwia ocenę jakości sterowania na podstawie odczytanych wskaźników.

    Z uwagi na to, iż przebieg przejściowy może mieć różny charakter powstała gama wskaźników jakości. Wybór wskaźnika będzie różny w zależności od celów stawianych układowi regulacji. Dlatego należy mówić o układzie regulacji, że jest optymalny (lub najlepszy) ze względu na dany wskaźnik.

Wskaźniki jakości dzielą się na dwie zasadnicze grupy [1 rozdz. 6.3.2]:

1. wskaźniki bezpośrednie,

2. wskaźniki pośrednie.

    Do wskaźników pośrednich zaliczamy te wskaźniki, które na podstawie przebiegu charakterystyk częstotliwościowych pozwalają w przybliżeniu ocenić kształt e(t) przy określonym wymuszeniu (np. zapas stabilności).

    Do wskaźników bezpośrednich zaliczamy te wskaźniki, które są bezpośrednią miarą określonej cechy przebiegu uchybu e(t) wywołanego standardowym wymuszeniem (np. skokiem jednostkowym).

    Wskaźnik jakości powinien być tak zdefiniowany, aby mierzył żądane cechy przebiegu przejściowego e(t) z dostateczną dokładnością. Nie może nim być sam uchyb e(t) ponieważ jest on funkcją czasu.

    Uwzględniając powyższe możemy powiedzieć, że celem układu regulacji automatycznej (układu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym) jest minimalizacja uchybu regulacji powstającego na skutek działania zakłóceń na obiekt regulacji lub na skutek zmian sygnału zadanego. Chodzi tutaj o minimalizację uchybu zarówno w stanach ustalonych (uchyb ustalony), jak i przejściowych (przeregulowanie, czas ustalania). Uchyb e(t) zależy od sygnału zadanego r(t), od sygnału zakłóceń z(t), od struktury i parametrów regulatora oraz obiektu regulacji.

    Badanie jakości regulacji w stanach przejściowych często sprowadza się do badania kształtu e(t) wywołanego standardowym wymuszeniem np. w postaci skoku jednostkowego.

    Wartość graniczną
nazywa się uchybem statycznym lub ustalonym (pozycyjnym; ponieważ zmieniamy sygnał zadany z jednej 'pozycji' równej 0, do drugiej równej '1' ). Wielkość ta stanowi miarę dokładności statycznej układu.

Przy pobudzeniu jednostkowym zachodzi e(t) = 1(t) - h(t) gdzie:

y(t) = h(t) -odpowiedź skokowa,

r(t) = 1(t) -skok jednostkowy,

dlatego parametry odpowiedzi skokowej możemy traktować tak samo jak parametry uchybu (przy sprzężeniu jednostkowym). Stąd możemy ocenić jakość regulacji badając odpowiedź skokową. Dla odpowiedzi skokowej h(t) definiuje się wskaźniki jak na rys. 7.1:

Rysunek 7.1 Definicje wskaźników jakości dla charakterystyk czasowych

- czas narastania - praktycznie przyjmuje się, że jest to czas potrzebny do wzrostu amplitudy sygnału wyjściowego od 0,1 do 0,9 wartości ustalonej h( ).

- przeregulowanie - maksymalna odchyłka h_maxwielkości regulowanej od jej wartości ustalonej h( ) wyrażona w jednostkach względnych:

Najczęściej rozpatruje się przeregulowanie w układach stabilnych analizując odpowiedź układu na wymuszenie skokowe.

- czas osiągnięcia maksimum (czas piku, czas maksimum)

T = { t:h(t) = h_max },

- czas ustalania dla strefy kontrolnej 2 i 5 - czas, po upływie którego uchyb przejściowy wielkości regulowanej jest stale mniejszy od dopuszczalnego uchybu ustalonego.

.

    W procedurze projektowania wielokrotnie przeprowadza się symulacje odpowiedzi skokowej. Pomocna w odczytywaniu z niej wskaźników jest funkcja "wskjakg.m" pakietu PDA. Nie należy jednak przeceniać znaczenia akurat tych wskaźników. W jednych projektach jakiekolwiek przeregulowanie będzie niedopuszczalne a w innych  =40% nie będzie złym parametrem. Dlatego też inne kryteria mogą być rozstrzygające.

7. Charakterystyki częstotliwościowe

Rozpatrzmy układ liniowy stacjonarny pobudzany wymuszeniem sinusoidalnym u(t)=Usin t. Składowa wymuszona tego układu y(t) jest również wielkością sinusoidalnie zmienną (rys 7.1).

Rysunek 7.1 Reprezentacja obiektu przez transmitancję widmową

Definicja [7]: Transmitancją widmową T(j) liniowego układu stacjonarnego nazywać będziemy wielkość określoną jako stosunek wartości zespolonej składowej wymuszonej odpowiedzi Y(j) wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym do wartości tego wymuszenia U(j):

Transmitancja widmowa T(j) z transmitancją operatorową układu ciągłego jest związana zależnością

T(j) = T(s)|_s=j         (7.1)

co wynika bezpośrednio z definicji transmitancji operatorowej oraz transmitancji widmowej.

Wartość funkcji T(j ) jest wielkością zespoloną zależną od parametrów układu oraz od pulsacji wymuszenia :

T(j )=P( )+jQ( ).         (7.2)

Przy czym

P( ) := Re T(j ), Q( ) := Im T(j ),

gdzie:

P( ) - charakterystyka rzeczywista,

Q( ) - charakterystyka urojona,

A( ) - moduł transmitancji widmowej - charakterystyka amplitudowa,

 ( ) - argument transmitancji widmowej - charakterystyka fazowa.

Charakterystykami częstotliwościowymi nazywamy krzywe przedstawiające transmitancję widmową T(j ) w funkcji pulsacji [7 rozdz. 3.1.5].

Między charakterystykami zachodzą związki jak między liczbami zespolonymi, a więc:

Oraz można wykazać, że część rzeczywista P( ) transmitancji widmowej T(j ) jest funkcją parzystą  , a część urojona Q( ) - funkcją nieparzystą tej pulsacji  :

P(- ) = P( ), Q(- ) = -Q( ).

Najczęściej spotykane rodzaje charakterystyk to:

• charakterystyka amplitudowo-fazowa (charakterystyka Nyquista),

• logarytmiczne; charakterystyka częstotliwościowa amplitudowa oraz charakterystyka częstotliwościowa fazowa zwane charakterystykami Bodego.

7.1 Charakterystyki Nyquista

Charakterystyka Nyquista jest wykresem transmitancji widmowej T(j)=P()+jQ() we współrzędnych zespolonych (P,Q).

Przykład:

Weźmy transmitancję obiektu z rozdziału drugiego
Transmitancja widmowa tego układu zgodnie z zależnością (7.1) wynosi
W celu wyrysowania charakterystyki Nyquista użyjemy funkcji nyquist Matlaba. Po wykonaniu poleceń:

s=tf('s');

H=3/(1+2*s); niech RC = 2, K=3

nyquist(H);

otrzymamy (rys 7.2):

Rysunek 7.2 Charakterystyka amplitudowo-fazowa G(jw)

Wykonując polecenie [P,Q]=nyquist(H,{0.001,70}); uzyskamy funkcje P( ) oraz Q( ). Parametry w nawiasach oznaczają zakres pulsacji w rad/sek.

W praktyce interesuje nas jedynie część wykresu charakterystyki dla pulsacji dodatnich. Strzałka na charakterystyce (7.2) określa wzrost pulsacji  . Z wykresu można odczytać maksimum charakterystyki amplitudowej A()=K dla pulsacji  =0 (równanie 7.3, P( )=K, Q( )=0 ) oraz pulsację  ₁ przy której
. Dla  _T odczytujemy że  = - 45 . Przy  dążącej do nieskończoności amplituda zmierza do zera a faza do -90 . Z wykresu Nyquista możemy odczytać, że  =0 gdy punkt charakterystyki leży na dodatniej półosi rzeczywistej ( P( )>0 ,Q( )=0),  = - 90 dla ( P( )=0 ,Q( )<0) itd. Amplitudę odczytujemy jako odległość danego punktu charakterystyki od środka układu współrzędnych. Charakterystyki typowych, prostych transmitancji można znaleźć w [7 str.82-85].

7.2 Charakterystyki Bodego

Charakterystyki Bodego są charakterystykami logarytmicznymi. Tą nazwą obejmujemy dwie charakterystyki [1 rozdz.7.3.2]:

Logarytmiczna charakterystyka modułu - krzywa we współrzędnych prostokątnych, gdzie na osi odciętych odkładamy pulsację w skali logarytmicznej, a na osi rzędnych moduł M( ) transmitancji widmowej G(j ) wyrażony w decybelach odkładamy na skali liniowej

M( )|_[dB] = 20 log ( |G(j )| ) = 20 log A( )

Logarytmiczna charakterystyka fazy - krzywa we współrzędnych prostokątnych, gdzie na osi odciętych odkładamy również pulsację w skali logarytmicznej, a na osi rzędnych faza  ( ) w skali liniowej wyrażoną w stopniach

 ( ) = arg [G(j )].

Charakterystyki te łącznie w pełni opisują liniowy układ dynamiczny. Charakterystyki Bodego mają tę zaletę, iż można je łatwo przedstawić za pomocą asymptot. Taka przybliżona charakterystyka zwana charakterystyką asymptotyczną jest linią łamaną składającą się z odcinków asymptot charakterystyki rzeczywistej. Prostota polega na tym, że w transmitancjach widmowych występuje kilka typowych wyrażeń o charakterystycznym rozłożeniu zer i biegunów i można do nich stosować kilka prostych reguł.

Przykład1:

Niech za przykład posłuży nam transmitancja z poprzedniego rozdziału. Wykres Bodego uzyskamy wydając następujące polecenia:

s=tf('s');

H=3/(1+2*s); niech T=RC = 2, K=3

bode(G);

Nasza transmitancja ma postać
. W ogólnym przypadku najczęściej możemy zapisać transmitancję w postaci:

,

co w naszym konkretnym przypadku mamy
.

Rysunek 7.3 Wykres Bodego z przykładem charakterystyki asymptotycznej

Aproksymację zaczynamy dla pulsacji  → 0.

Dla charakterystyki amplitudowej zasady są następujące:

• dla czynnika niezależnego od częstotliwości (wzmocnienie) asymptota jest płaska i ma wartość 20log(L), L=3 stąd amplituda A( )| ₌₀=20log(3) = 9.54dB.

• dla bieguna w punkcie  _T = 1/T ( 1/2 = 0.5[rad/sek]) asymptotą jest prosta o nachyleniu -20dB/dek zaczynająca się w tym punkcie jak pokazano na (rys 8.3).

• dla zera postępujemy odwrotnie niż dla bieguna (w badanym przykładzie brak jest skończonych zer) mianowicie dla  ₁ = 1/T₁ (zero w punkcie  ₁) asymptotą jest prosta lecz o nachyleniu +20dB/dek.

Dla charakterystyki częstotliwościowej fazowej zasady są następujące:

• czynnik niezależny (wzmocnienie) nie wpływa na charakterystykę fazową,

• w punkcie występowania bieguna odejmujemy od bieżącej fazy 90 i szkicujemy krzywą przechodzącą przez środek (jak pokazuje wzór (8.4) jest to funkcja arcustangensa),

• w punkcie występowania zera natomiast dodajemy 90 .

Przykład2:

Wyznaczmy aproksymowaną charakterystykę modułu oraz fazy dla transmitancji

.

W pierwszej kolejności znajdujemy miejsca w których występują osobliwości:

• zero -  =1/0.1=10 [rad/sek]

• bieguny -  =1/0.01=100[rad/sek] oraz podwójny biegun  =1/0.001=1000[rad/sek]

• dla charakterystyki modułu zaczynamy od wzmocnienia rysując prostą na poziomie 20log(10)=20dB.

• w dalszym kroku postępując zgodnie z regułami (od częstotliwości najmniejszych) rysujemy asymptotę +20dB/dek dla zera, rozpoczynającą się w  =10[rad/sek].

• przy pulsacji  =100[rad/sek] występuje biegun zmieniający nachylenie charakterystyki o –20dB/dek. Ponieważ wcześniej charakterystyka wznosiła się o +20dB/dek otrzymamy wynikowe nachylenie 0dB/dek.

• następną częstotliwością przy której występuje osobliwość jest  =1000[rad/sek]. Znajduje się tu podwójny biegun. Otrzymujemy zmianę nachylenia charakterystyki od każdego bieguna po –20dB/dek. W związku z tym, iż w poprzednim punkcie charakterystyka była płaska (0dB/dek) rysujemy od tego punktu asymptotę o nachyleniu –40dB/dek (w przypadku fazy w tym punkcie wyniesie ona -180 ). Aby wygenerować charakterystykę amplitudową w Matlabie wykonujemy poniższe polecenia:

s=tf('s');

G=10*(0.1*s+1)/((0.01*s+1)*(0.001*s+1)^2);

bodemag(G);

Rysunek 7.4 Porównanie wykresu modułu transmitancji G(s) wykonanego techniką aproksymacji asymptotami z wykresem rzeczywistym

Sposób aproksymacji charakterystyki fazowej pokazano na rys. 8.5

Rysunek 7.5 Porównanie wykresu fazy transmitancji G(s) wykonanego techniką aproksymacji asymptotami z wykresem rzeczywistym

7.3 Zapas modułu i zapas fazy

Określanie stabilności układu regulacji automatycznej przy zastosowaniu częstotliwościowej metody analizy opiera się na kryterium Nyquista. Dotyczy ono badania stabilności układu zamkniętego G_z(s) na podstawie charakterystyk częstotliwościowych układu otwartego G(s). Formalne wyprowadzenie tego kryterium [2] opiera się na teorii funkcji zmiennej zespolonej.

    Stabilność względna systemu jest określona przez parametry takie jak zapas wzmocnienia i zapas fazy, które pozwalają na określenie "jak daleko" system znajduje się od granicy stabilności wyznaczonej przez punkt (-1, j0) (kryterium Nyquista). Parametry te łatwo wyznaczyć metodą graficzną na podstawie wykresów Bodego lub Nyquista układu otwartego.

Parametry te są jednoznacznie zdefiniowane jedynie dla przypadku gdy układ otwarty jest stabilny.

Zapas wzmocnienia (gain margin) - wartość Gm=1/G gdzie G jest wzmocnieniem przy pulsacji _cg , dla której faza osiąga -180 (faza wyrażona w stopniach). Zapas wzmocnienia w dB jest wyrażony zależnością Gm_dB = 20*log10(Gm). Jego wartość oznacza o ile dB można zwiększyć lub zmniejszyć wzmocnienie zanim stracimy stabilność.

Zapas fazy (phase margin) - jest to wartość fazy dla pulsacji  _cp , przy której wzmocnienie wynosi 1 (0dB). Oznacza o ile stopni można zmniejszyć przesunięcie fazowe zanim utracimy stabilność.

    Na rysunku 8.6 znajduje się wykres przykładowej transmitancji układu otwartego. Została ona wygenerowana poleceniem rmodel Matlaba. Dodatnie zapasy modułu i fazy oznaczają, że układ po zamknięciu pętli sprzężenia będzie stabilny. Im większe wartości tych parametrów tym lepiej, jakkolwiek w praktyce zakłada się pewne wystarczające ich wartości. Przyjmuje się ponadto, że poprawnie zaprojektowany układ powinien posiadać zapas modułu około 8-12dB oraz fazy około 40-60[1].

Aby uzyskać charakterystykę Bodego układu otwartego G(s) z zaznaczonym zapasem modułu (wzmocnienia) i fazy należy posłużyć się funkcją margin:

margin(G); %rysuje charakterystykę

[Gm,Gp,wcg,wcp]=margin(G) ; %tylko zwraca wartości

Aby odczytać zapas wzmocnienia odczytujemy z charakterystyki fazowej pulsację  _cg. Na poniższym wykresie jest to  _cg=1.9[rad/sek]. Dla niej na charakterystyce amplitudowej odczytujemy wzmocnienie. Wynosi ono -11.6 dB. Oznacza to, że po zamknięciu pętli sprzężenia możemy zwiększyć wzmocnienie (patrz wzór 1) o 11.6 dB zanim układ zamknięty utraci stabilność. Ta wartość jest zapasem wzmocnienia ( _g lub Gm).

Rysunek 7.6 Charakterystyka Bodego układu otwartego wygenerowana funkcją "margin"

Aby odczytać zapas fazy odczytujemy na charakterystyce wzmocnienia pulsację  _cp. W rozpatrywanym przykładzie jest to  _cp=0.24[rad/sek]. Dla niej odszukujemy na charakterystyce fazowej wartość fazy. Wartość ta wynosi -48 . Odległość do -180 jest zapasem fazy tzn. ( _p lub Pm)..

Parametry zapasu wzmocnienia i fazy mogą być traktowane jako wytyczne podczas projektowania. Podczas projektowania układu regulacji automatycznej ocenia się zarówno wskaźniki jakości w dziedzinie czasu jak i zapas stabilności.

8. Przykład korekcji szeregowej członem proporcjonalnym

 Jeżeli znany jest nam model obiektu możemy posłużyć się symulacją utworzoną w SIMULINKU. Użycie tego składnika programu MATLAB pozwala w krótkim czasie przeprowadzić wiele symulacji. Jest to narzędzie bardzo wygodne, posiadające ogromne możliwości. Jest również atrakcyjne pod względem wizualnym. Daje intuicyjny obraz złożonego układu regulacji. Posiada znaczny zasób źródeł sygnałów oraz innych bloków funkcjonalnych pozwalających budować ogromną ilość modeli. Aby przybliżyć działanie programu SIMULINK pakiet PDA został zaopatrzony w różne przykładowe symulacje. Aby uruchomić przykładową symulację wpisujemy symulacja z linii poleceń Matlaba (pliki simulink mają postać *.mdl). Edytując pola obiektu, zadajnika i czujnika wprowadzamy parametry modelu (najpierw należy uruchomić pda ). Niech

- transmitancja zadajnika ,

- transmitancja obiektu głównego,

- transmitancja czujnika ,

Rysunek 8.6 Schemat symulacji korekcji proporcjonalnej w Simulinku.

    Zmieniając wzmocnienie członu proporcjonalnego możemy szybko sprawdzić eksperymentalnie kiedy system przestanie być stabilny . W naszym przypadku zachodzi to dla k=0.37 . Po każdej symulacji można uruchomić wsk , który pokaże aktualne parametry odpowiedzi skokowej . wynik symulacji jest również zapisywany do pliku którego nazwę wybieramy edytując pole "To file" . Dane z powyższej symulacji zapisane są w plikach prop.mat prop1.mat itd. Aby je przeanalizować wpisujemy polecenie wsk z podaną po nim nazwą pliku np. : wsk prop1 itd. W celu przyspieszonej analizy możemy posłużyć się skryptem regp1 . Musimy wprowadzić do Matlaba transmitancję naszych obiektów . Pomocniczy skrypt do tego celu to trans , edytując go wprowadzamy w odpowiednie miejsca transmitancje i opóźnienia odpowiednich członów .

Rysunek 8.7 Wykresy przeregulowania oraz czasów regulacji w funkcji wzmocnienia

    Wykonując to polecenie a następnie uruchamiając skrypt regp1 otrzymamy wykresy przeregulowania oraz czasów ustalania w funkcji wzmocnienia w torze głównym .

    Widzimy tu optymalny czas regulacji T5% dla wzmocnienia k=0.07 . Możemy edytować skrypt trans wstawiając w odpowiednie miejsce k=0.07 i w przestrzeni roboczej Matlaba znajdzie się transmitancja układu zamkniętego H(s) . Aby poznać parametry odpowiedzi skokowej należy wykonać sgen ; wsk; . Czas regulacji wynosi T5=0.86 s. Wykonaliśmy w ten sposób pierwszy projekt regulatora proporcjonalnego .

    W przypadku tego typu regulacji możemy wyciągnąć następujący wniosek; - zwiększanie wzmocnienia w torze głównym powoduje zwiększenie przeregulowania, w konsekwencji doprowadzi do destabilizacji obiektu.

9. Przykład korekcji szeregowej członem całkującym

Dla układu jak na rys. 9.1 przy parametrach T₀=60s, T_i=120s oraz k₀=0.7 mamy:
Rysunek 9.1 Układ przykładowy

Transmitancje obiektu i regulatora są następujące:

.

    Sprawdźmy najpierw odpowiedź skokową układu zamkniętego bez regulatora. Transmitancja układu zamkniętego wynosi;

    Wyznaczmy parametry tej odpowiedzi. Możemy tego dokonać wykonując poniższy ciąg poleceń matlabowych;

s=tf('s'); % to polecenie wystarczy wykonać tylko raz

H=1/(60*s+1.7); sgen; wsk;

    Należy pamiętać, że funkcje *wsk normalizują odpowiedź tak, aby wartość końcowa wynosiła 1. Dlatego wyznaczymy wartość ustaloną odpowiedzi skokowej. Układ zamknięty jest stabilny zatem możemy skorzystać z twierdzenia o wartości granicznej:

Zatem uchyb położeniowy (na pobudzenie skokiem jednostkowym) wynosi 1-0.58=0.42. Czas ustalania T5%=105s.

Rysunek 9.2 Odpowiedź skokowa układu zamkniętego bez regulatora

    Zbadajmy teraz układ z regulatorem. Zauważmy, że układ otwarty jest niestabilny (biegun wnoszony przez niestabilny człon G_R leży w początku układu współrzędnych na płaszczyźnie 's'). Transmitancja układu zamkniętego:

co po podstawieniu daje

Układ zamknięty jest stabilny (polecenie pole(G(s) pokaże wartości biegunów). Możemy skorzystać z twierdzenia o wartości granicznej transformaty:

,

co oznacza, że pobudzenie skokiem o wysokości '1' (R(s)=1/s) otrzymamy (w granicy) sygnał wyjściowy o wartości '1'. Z definicji uchybu ( e = r - y ) otrzymamy uchyb pozycyjny równy '0' (zapewniają go równe sobie współczynniki wielomianów licznika i mianownika przy s⁰).

Po wykonaniu poleceń Matlabowych

s=tf('s');

H=1/(7200*s*s+84*s+1);

sgen;

wsk;

otrzymamy wykres 9.3 ( bez czerwonej linii, uchyb=1-odp.skokowa):

Rysunek 9.3 Wykres odpowiedzi skokowej i uchybu układu bez korekty

Zauważmy, że wykres uchybu i wykres odpowiedzi skokowej są komplementarne.

    Do wyznaczania wskaźników odpowiedzi skokowej służy funkcja "wskjakg.m" (wskaźniki jakości + wykres) z pakietu dydaktycznego PDA. Informacje na temat jej działania można uzyskać z linii poleceń Matlaba wpisując "help wskjakg". Funkcja ta rysuje odpowiedź skokową oraz podaje wartość czasów regulacji T5% i T2% (czas, po którym wartość odpowiedzi nie przekroczy 5% wartości ustalonej) oraz przeregulowanie. Zakładamy, że wartość uchybu ustalonego jest skończona. Funkcja normalizuje odpowiedź tak, aby dla t = Ą było h(t)=1, czyli e(t)=0.

    Na rysunku 9.3 zaznaczono, iż po czasie T5 =464s (dana podana przez funkcję 'wskjakg') odpowiedź skokowa znalazła się w obszarze ± 5% od wartości 1 a uchyb znalazł się w obszarze ± 5% od zera (czerwone okręgi znaczą kolejne ekstrema). Jeżeli czas regulacji nas satysfakcjonuje projekt jest ukończony. W przeciwnym wypadku musimy dobrać parametr regulatora, którym w tym przypadku jest T_i. Możemy tu zdradzić, że nasz regulator nosi nazwę regulatora całkującego. Aby znaleźć minimalny czas regulacji należałoby zmieniać T_i i badać jak zmienia się odpowiedź skokowa. W tym celu posłużymy się m-plikiem (skryptem) Matlabowym "regp.m'. Wykorzystuje on do wyznaczania parametrów odpowiedzi skokowej funkcję "wskjak.m" (wskaźniki jakości bez rysowania wykresu).

Rysunek 9.4 Wykresy przeregulowania oraz czasów regulacji w funkcji stałej Ti

    Wykresy przedstawiają zależność przeregulowania k oraz czasów regulacji TD w funkcji stałej całkowania T_i regulatora. Minimum T5% uzyskujemy dla T_i =240s. Podstawiając tę wartość do transmitancji otrzymamy:

.

Wpisując sekwencję jak poprzednio z tą różnicą że

H=1/(14400*s*s+168*s+1);

otrzymamy poniższy wykres

Rysunek 9.5 Wykres odp. skokowej po zmianie Ti

    Udało nam się uzyskać czas regulacji T5 =350s, co w porównaniu z poprzednim wynikiem 464s można nazwać znacznym osiągnięciem. Zwróćmy uwagę na to, że stosowaliśmy bardzo prosty regulator w postaci członu całkującego (można szukać regulatora bardziej złożonego). Ważne jest również to, że nawet w tak prostym obiekcie widać nieliniowy przebieg wskaźników jakości w funkcji nastawianej wartości. Oznacza to, że nie jest łatwo znaleźć w prosty sposób ("na oko") nastawę regulatora, która spełni nasze wymagania. Zwróćmy uwagę, że uchyb pozycyjny pozostał zerowy.

Zbadajmy uchyb pozycyjny układu otwartego G₀(s) bez korekcji;

    Widzimy, że wartość ustalona odpowiedzi nie osiąga 1. Układ posiada niezerowy uchyb pozycyjny. Wprowadźmy do licznika wzmocnienie
(wzmocnienie może być parametrem samego obiektu lub wzmacniacza), którego wartość może fluktuować wokół pewnej wartości średniej (rzeczywisty obiekt).

Odpowiedź układu na skok jednostkowy dąży do jedności wtedy, kiedy
. Widzimy, że uchyb pozycyjny będzie zawsze niezerowy. Jeśli zamkniemy pętlę sprzężenia otrzymamy

Uchyb układu będzie również niezerowy, ale jeśli zapewnimy dużą wartość
, będzie malał (niestety praktyka nie pozwala na stosowanie dowolnie dużych wzmocnień). Jeśli natomiast do układu wprowadzimy człon całkujący G_R otrzymamy

Niezależnie czy 
jest parametrem obiektu czy dodanego wzmacniacza otrzymaliśmy układ kompensujący niepewność modelu. Wprowadzenie niestabilnego członu do układu spowodowało, iż uchyb pozycyjny jest zerowy bez względu na wzmocnienie układu otwartego.

W ten oto sposób wykonaliśmy pierwszy projekt regulatora a w zasadzie korektora (używamy jednej nastawy stałej całkowania) poprawiającego dokładność (zapewnia zerowy uchyb pozycyjny).

Pominąłem omówienie programu Zerpol

Dodatek A. Transmitancja drugiego rzędu

Rozpatrzmy obiekt o transmitancji

.

Jest to transmitancja drugiego rzędu ze stałym licznikiem. Posiada ona dwa bieguny i nie posiada zer. Jej bieguny to

gdzie stałe:

•  współczynnik tłumienia,

•  _n pulsacja naturalna (pulsacja drgań nietłumionych),

• σ tłumienie,

•  _d pulsacja drgań tłumionych.

Na rysunku 10.1 jest pokazane rozmieszczenie biegunów transmitancji na płaszczyźnie 's'.

Rysunek 10.1 Położenie biegunów transmitancji drugiego rzędu na płaszczyźnie 's'

    Pulsacja drgań nietłumionych  _d jest odległością biegunów od osi rzeczywistej. Od niej zależy pulsacja oscylacji odpowiedzi skokowej (rys. 10.2). Gdy  _d 0 a  =1 (bieguny leżą na osi rzeczywistej) odpowiedź skokowa układu będzie miała charakter nieoscylacyjny. Pulsacja naturalna  _n jest odległością biegunów od początku układu współrzędnych. W przypadku gdy  =0 (bieguny leżą na osi urojonej), układ znajduje się na granicy stabilności a jego odpowiedź skokowa ma charakter oscylacji o stałej pulsacji  _n. Szybkość zanikania drgań zależy od tłumienia σ . Na wykresie 10.1 jest to odległość biegunów od osi urojonej.

    Na wykresach 10.2 znajdują się odpowiedzi skokowe układu drugiego rzędu dla różnych współczynników tłumienia  .

Rysunek 10.2 Wykres odpowiedzi skokowych układu 2. rzędu dla różnych współczynników tłumienia

    Na wykresach 10.3 znajdują się rozmieszczenia biegunów układu drugiego rzędu na płaszczyźnie zespolonej 's' dla różnych współczynników tłumienia  .

Rysunek 10.3 Położenie biegunów transmitancji 2. stopnia dla różnych wartości współczynnika tłumienia

    Widzimy, że przy wzroście współczynnika tłumienia  maleje przeregulowanie ale rośnie czas narastania oraz czas ustalania. Układ staje się wolniejszy. Kompromisowym rozwiązaniem może być układ o współczynniku tłumienia  =0.7. W celu wygenerowania rozkładu biegunów używamy funkcji pzmap.

System drugiego rzędu możemy wygenerować w prosty sposób poleceniem Matlaba ord2;

[NUM,DEN] = ord2( _n, ); .

---