Hydrodynamika i hydrostatyka - Zadanie 1

Treść: Ciało zawieszono na haczyku siłomierza. Po zanurzeniu ciała w wodzie wskazanie siłomierza wynosi n=2/3 ciężaru ciała. Oblicz gęstość ciała zakładając, że gęstość wody ρ=10^3kg/m^3.

Dane: n = 2/3 ρ = 10^3 kg/m^3 (gęstość wody)

Szukane: ρ1 = ? (gęstość ciała)

Wzory:

Rozwiązanie:
Na początku policzymy siłę wyporu, jakiej doznaje zanurzone ciało. Nietrudno zauważyć, że bedzie to różnica wskazań siłomierza przed i po włożeniu ciało do wody.

Oczywistym jest też, że F₁=Q, natomiast F₂=nQ. A więc siła wyporu wyrazi się wzorem:

Teraz wyznaczymy siłę wyporu z prawa Archimedesa.

Teraz porównamy te dwie wartości i wyznaczymy gęstość ciała.

Teraz policzymy wartość gęstości.

Gęstość ciała wynosi ρ₁=3^.10³ kg/m³.

Hydrodynamika i hydrostatyka - Zadanie 2

Treść: W wodzie o gęstości ρW=10^3kg/m^3 pływa korek o gęstości ρk=700kg/m^3. Oblicz stosunek części zanurzonej do wynurzonej korka.

Dane: ρw = 10^3 kg/m^3 ρk = 700 kg/m^3

Szukane: Vz / Vw = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Chcemy policzyć stosunek części zanurzonej do wynurzonej tego korka. Skoro mamy ten stosunek policzyć, to znaczy, że się nie zmienia, czyli korek ani nie tonie, ani nie wypływa. Pozostaje więc w równowadze. Z I zasady dynamiki Newtona wiemy, że wszystkie działające siły muszą się równoważyć. Jedynymi siłami, które mogą ten stan zmienić to siła grawitacji i wyporu. Z prawa Archimedesa wiemy, że siła wyporu jest skierowana ku górze, a z prawa ciążenia, że siła grawitacji ku dołowi. A więc równoważyć muszą się siły wyporu i grawitacji.

Teraz korzystając ze wzory na gęstość możemy napisać:

Wiemy, że objętość części zanurzonej w sumie z objętością części wynurzonej dają całą objętość. Możemy wyznaczyć więc objętość części wynurzonej.

No to skoro mamy obie wielkości, możemy przystąpić do policzenia szukanego stosunku.

Teraz policzymy wartość liczbową.

Szukany stosunek części zanurzonej do wynurzonej wynosi:

Hydrodynamika i hydrostatyka - Zadanie 3

Treść: Ile wynosi przybliżony stosunek ciśnień hydrostatycznych słupa wody o wysokości 1m na Księżycu i na Ziemi?

Dane: h = 1m

Szukane: pk / pz = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Najpierw policzymy ciśnienie hydrostatyczne słupa cieczy na Księżycu i na Ziemi. Skorzystamy w tym celu ze wzoru na ciśnienie hydrostatyczne.

A teraz policzymy stosunek tych wartości.

Szukany stosunek ciśnień wynosi p_k / p_z = 1/6.


Dla zainteresowanych...
Oczywiście ktoś mógłby nas zapytać, a skąd wiemy, że stosunek przyspieszenia grawitacyjnego na Księżycu i Ziemi wynosi

Wzięliśmy tę wartość z tablic (a raczej głowy), podpowiemy jednak jak to wyliczyć. Wyobraźmy sobie, że mamy dwa identyczne ciała o masie m - jedno blisko powierchni Ziemi (z), drugie Księżyca (k). Na oba ciała działa siła grawitacji...

...a siła grawitacji, to inaczej siła wynikająca z prawa powszechnego ciążenia:

Ponieważ to są te same siły, możemy je przyrównać i otrzymujemy wzory na przyspieszenia grawitacyjne Ziemi i Księżyca:

Jak widzimy z tablic będą nam potrzebne wartości masy i promienia naszych planet:

Szukany stosunek przyspieszeń wynosi więc rzeczywiście:

Hydrodynamika i hydrostatyka - Zadanie 4

Treść: Sześcienny drewniany klocek o długości krawędzi a=20cm pływa w wodzie o gęstości 1000kg/m^3 zanurzony do połowy. Na jaką wysokość nad powierzchnią będzie on wystawał po zanurzeniu w cieczy o gęstości 800kg/m^3?

Dane: ρw = 1000 kg/m^3 ρc = 800 kg/m^3 a = 20 cm = 0.2 m Vz / Vk = 1/2

Szukane: h = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Na początku wyznaczymy gęstość klocka. Skorzystamy w tym celu z prawa Archimedesa. Ponadto zauważmy, że klocek pozostaje w spoczynku, więc jakieś siły muszą się równoważyć. Są to oczywiście siła wypory i siła grawitacji.

Teraz policzymy, jaka część klocka będzie zanurzona w drugiej cieczy. W tym przypadku również siła grawitacji jest równoważona przez siłę wyporu.

Czyli objętość części wynurzonej jest równa:

Teraz policzymy h.

Klocek będzie wystawał na wysokość h=7.5 cm nad powierzchnią wody.

Hydrodynamika i hydrostatyka - Zadanie 5

Treść: Wodę ze szklanki cylindrycznej przelano w całości do drugiej szklanki cylindrycznej o promieniu podstawy dwukrotnie większym. Jak zmieniło się ciśnienie wody na dno w drugiej szklance, w porównaniu z ciśnieniem na dno w szklance pierwszej?

Dane: r2 = 2 r1

Szukane: p2 / p1 = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Policzmy ciśnienie wywierane na dno pierwszej i drugiej szklanki. Rolę siły F pełni ciężar cieczy i w obu przypadkach jest taki sam (w treści zadania jest napisane, że wodę przelewamy całkowicie).

Uwzględniając fakt, że:

Możemy wzór na ciśnienie wywierane na dno drugiej szklanki zapisać w inny sposób.

Ponieważ w wyrażeniach na ciśnienia wywierane na dno każdej ze szklanek występują te same wielkości, więc możemy przystąpić do policzenia szukanego stosunku. Już teraz widać, że wynosi on 1/4, ale dla pewności to sprawdzimy.

.

W drugiej szklance ciśnienie na dno zmalało czterokrotnie.

Hydrodynamika i hydrostatyka - Zadanie 6

Treść: Na głębokości h=1m poniżej poziomu wody o gęstości ρ1=1000kg/m^3 znajduje się kulka drewniana, której gęstość ρ=600kg/m^3. Kulkę tę puszczono. Na jaką wysokość x wyskoczy kulka ponad poziom wody? Siły tarcia pomijamy.

Dane: h = 1 m ρ1 = 1000 kg/m^3 ρ = 600 kg/m^3

Szukane: x = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Gdy kulka zostanie puszczona, zacznie się poruszać pod wpływem dwóch sił: siły ciężkości Q=mg oraz siły wyporu:

gdzie V to objętość kulki, którą wyliczymy, przekształcając wzór na gęstość ciała:

gdzie m to masa kulki. Stąd siła wyporu wynosi

Siła ciężkości i siła wyporu skierowane są wzdłuż tej samej prostej, lecz zwroty tych sił są przeciwne. Ponieważ kulka unosi się do góry, siła wypadkowa wynosi:

Siła ta jest stała, więc ruch kulki jest ruchem jednostajnie przyspieszonym, z przyspieszeniem wynikającym z drugiej zasady dynamiki Newtona. Zatem

Znając przyspieszenie a i wiedząc, że prędkość początkowa kulki wynosi zero, można obliczyć prędkość w chwili wyjścia kulki z wody, a następnie wysokość, na którą się wzniesie.

Zadanie rozwiążemy w sposób, w który wykorzystuje się zasadę zachowania energii mechanicznej. Możemy ją stosować, bowiem w zadaniu pominięto siły tarcia.
Kulka będąc w wodzie posiada przyspieszenie a. Zatem jej energia potencjalna, gdy jest na głębokości h, jest równa mah. Po osiągnięciu powierzchni energia potencjalna kulki wynosi zero, a energia kinetyczna jest równa mv²/2, gdzie v to prędkość kulki. w chwili wynurzenia. Z zasady zachowania energii wynika, że

Gdy kulka wyleci z wody, będzie wówczas unosiła się, a w kierunku przeciwnym do jej ruchu, będzie działać siła ciężkości. Zatem gdy osiągnie ona szukaną wysokość x, jej całkowita energia w chwili wynurzenia (energia kinetyczna) zamieni się na energię potencjalną mgx. Czyli zapisując powyższe:

Porównując dwa ostatnie wzory, otrzymamy szukaną wysokość x:

Kulka wyskoczy na wysokość 2/3 m ponad poziom wody.

Hydrodynamika i hydrostatyka - Zadanie 7

Treść: W naczyniu o kształcie walca, w którym zrobiono dwa otworki, znajduje się ciecz. Jeżeli poziom cieczy jest utrzymywany stale na wysokości h, to ile wynosi stosunek prędkości wypływu cieczy w otworze górnym do prędkości wypływu cieczy w otworze dolnym?

Dane: h

Szukane: v1 / v2 = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
W zadaniu mamy podane założenie, że lustro wody jest utrzymywane na stałej wysokości h. Gdyby tego nie było w treści zadania, to dla poprawności rozwiązania należało by takie założenie poczynić oraz wykorzystać tzw. równanie ciągłości.

Teraz załóżmy, że wysokość naczynia jest na tyle mała, że ciśnienie atmosferyczne u podstawy naczynia, jak i na wysokości h są takie same, no i oczywiście jednorodność ośrodka (stałą gęstość w całej objętości naczynia).

I jeszcze trochę odnośnie oznaczeń, których będę używał w dalszej części:
1 będą parametryzowane wielkości charakteryzujące górny otwór,
2 - otworu u podstawy naczynia,
3 - lustra wody.
No to teraz możemy przystąpić do właściwego rozwiązania.

Równanie Bernoulliego przepiszemy w nieco innej formie :

oraz

Teraz napiszę parę słów komentarza odnośnie powyższego wzoru. Pierwszy składnik sumy to tzw. ciśnienie dynamiczne związane z ruchem płynu, drugi, jak się pewnie domyślacie, ciśnienie hydrostatyczne, a trzeci ciśnienie zewnętrzne (w naszym przypadku tylko atmosferyczne).
Ponieważ gęstość jest stała, ciśnienie zewnętrzne na obu poziomach takie samo, prędkość opadania lustra wody równa zero, więc powyższe równania możemy dalej przekształcić.

i

Z rysunku widzimy, że:
h₁=h-h/4=3h/4
h₂=0
h₃=h
Uwzględniając te prawidłowości możemy powyższe wzory trochę uprościć.

Ponieważ obie prędkości są uzależnione od tych samych wielkości, możemy więc stronami podzielić dwa ostatnie równania w celu policzenie szukanego stosunku.

A wię stosunek tych prędkości to 1/2.

CIEKAWOSTKI
W ramach obliczeń prędkości wypływu wody z otworu, znajdującego się u podstawy naczynia, wyszła nam taka sama wartość, jak w przypadku obliczania prędkości końcowej w spadku swobodny z wysokości h. Ta własność nosi nazwę prawa Torricellego.

Hydrodynamika i hydrostatyka - Zadanie 8

Treść: Ciężar pewnego ciała wynosi 400N. Po zanurzeniu w wodzie (ρ=1000kg/m^3) ciało to waży 300N. Ile wynosi objętość tego ciała?

Dane: ρ = 1000 kg/m^3 Q1 = 400 N Q2 = 300 N

Szukane: ρc = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Z treści zadania wnioskować należy, że ciało zostało całkowicie zanurzone, więc objętość tego ciała policzymy wprost z prawa Archimedesa. Najpierw jednak trzeba wyznaczyć wartość siły wyporu F_W. A jest to po prostu różnica wskazań siłomierza między tym co pokazuje w powietrzu i tym co w wodzie.

Porównujemy powyższy wzór z prawem Archimedesa:

Czyli po podstawieniu wartości liczbowych:

Objętość tego ciała wynosi V=10 litrów.

n

Hydrodynamika i hydrostatyka - Zadanie 9

Treść: Klocek z drewna o gęstości 600kg/m^3 pływa w cieczy, przy czym 25% objętości klocka wystaje nad jej powierzchnię. Ile wynosi gęstość cieczy?

Dane: ρkl = 600 kg/m^3 Vwyn = 25% V

Szukane: ρc = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Klocek jest zanurzony w cieczy częściowo. Ponadto nie przemieszcza się w cieczy. Na mocy I zasady dynamiki Newtona wiemy, że aby ciało pozostało w spoczynku, siły nań działające muszą się równoważyć. Na klocek działa siła przyciągania grawitacyjnego oraz siła wyporu. To właśnie te dwie siły muszą być w równowadze.

Wiemy jaka część klocka wystaje, a więc pośrednio jaka jest zanurzona. Przekształćmy dalej powyższe równanie

Teraz wykorzystując wzór na gęstość, możemy znaleźć masę klocka. Zauważ, że ρ_kl to gęstość klocka, a nie cieczy!

Przekształcamy dalej nasze równanie:

Gęstość cieczy jest równa 800 kg/m³.

Hydrodynamika i hydrostatyka - Zadanie 10

Treść: Piłka o masie 2kg położona na wodzie pływa zanurzona do połowy. Jaką najmniejszą siłę należy przyłożyć, aby całą piłkę zanurzyć w wodzie?

Dane: m = 2kg Vzan = 1/2 V

Szukane: F = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Piłka jest zanurzona do połowy i pływa. Siła wyporu równoważy ciężar piłki (ponieważ nie tonie). Gdy zadziałamy dodatkową siłą F, to siła wyporu musi zrównoważyć ciężar i tę dodatkową siłę. Jeżeli ta dodatkowa siła będzie miała odpowiednią wartość, to piłka w całości się zanurzy (jednak ciągle siła wyporu będzie równoważyć ciężar i siłę F). Możemy więc napisać:

gdzie:
V - objętość zanurzonej części piłki (czyli objętość całej piłki),
ρ_w - gęstość wody,
ρ_p - gęstość piłki.

Musimy jeszcze policzyć gęstość piłki. Teraz również skorzystamy z równowagi sił. Na początku, gdy piłka wystawała połową swojej objętości, siła wyporu równoważyła ciężar piłki

Nasze równanie na siłę, którą musimy zadziałać na piłkę, możemy dalej przekształcać, uwzględniając, to co przed chwilą policzyłem.

A więc siła, jaką musimy przyłożyć w celu zanurzenia piłki, jest równa ciężarowi tej piłki i wynosi F = mg = 20 N.

Hydrodynamika i hydrostatyka - Zadanie 11

Treść: Ciało pływa zanurzone do 4/5 swojej objętości w cieczy o ciężarze właściwym 750N/m^3. Ile wynosi ciężar właściwy ciała?

Dane: γ1 = 750 N/m^3 Vzan = 4/5 V

Szukane: γ2 = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Ciało jest zanurzone do 4/5 swej objętości. Ponieważ nic szczególnego się z nim nie dzieje (nie wypływa i nie tonie), więc siła wyporu całkowicie równoważy ciężar tego ciała.

Jeżeli uwzględnimy wzory na ciężar właściwy i gęstość...

...możemy powyższe równanie trochę przekształcić:

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:

Ciężar właściwy tego ciała jest równy 600N/m³.

Hydrodynamika i hydrostatyka - Zadanie 12

Treść: Kra lodowa o gęstości 900kg/m^3 i objętości 1m^3 pływa po wodzie (rys. 1). Ile wynosi ciężar, jaki można położyć na tej krze, aby zanurzyła się całkowicie (rys. 2)?

Dane: ρl = 900 kg/m^3 ρw = 1000 kg/m^3 Vzan = V V = 1 m^3

Szukane: Q = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Chcemy policzyć, jaki ciężar możemy położyć na krę, aby ta była całkowicie zanurzona, a jej górna część pokrywała się z lustrem wody. W tym przypadku siła wyporu F_W równoważy ciężar kry Q_l i ten dodatkowy Q, który chcemy wyznaczyć.

Po uwzględnieniu wzoru na gęstość oraz faktu, że kra jest całkowicie zanurzona, możemy powyższe równanie trochę przekształcić.

Teraz możemy podstawić dane liczbowe i policzyć wartość tego ciężaru.

Dodatkowy ciężar, jaki możemy przyłożyć, ma wartość 1000N.

Hydrodynamika i hydrostatyka - Zadanie 13

Treść: Kulka o gęstości 500kg/m^3 wypływa z wody. Ile wynosi jej przyspieszenie, jeżeli opory ruchu pominiemy?

Dane: ρw = 1000 kg/m^3 ρk = 500 kg/m^3 Vzan = V

Szukane: a = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Kulka wypływa z wody. Działa więc na nią, zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona, stała niezrównoważona siła F, która nadaje kulce przyspieszenie a. Siła ta jest wektorową sumą ciężaru kulki i siły wyporu.

Możemy to zapisać skalarnie:

Na pewno w tym momencie pojawi się pytanie dlaczego w zapisie skalarnym jest znak minus. Otóż siła F jest skierowana ku górze (kulka wypływa), czyli zgodnie ze zwrotem siły wyporu, a ciężar w dół. Wartość siły F jest różnicą wartości siły wyporu i ciężaru.

Teraz rozpiszemy poszczególne siły

Po uwzględnieniu warunków naszego zadania oraz wzoru na gęstość, powyższe równanie możemy zapisać w nieco innej formie

Po podstawieniu do wzoru na przyspieszenie i ponownym uwzględnieniu wzoru na gęstość otrzymujemy:

Po podstawieniu wartości liczbowych:

Czyli przyspieszenie, jakie uzyska kulka, jest równe przyspieszeniu grawitacyjnemu (ziemskiemu) g.

Hydrodynamika i hydrostatyka - Zadanie 14

Treść: Sprawdzano dokładność dwóch termometrów rtęciowych. Promień przekroju rurki w pierwszym termometrze wynosił R, a objętość zbiorniczka V, zaś w drugim odpowiednio 2R i 3V. Który termometr jest dokładniejszy i o ile?

Dane: R1 = R R2 = 2 R V1 = V V2 = 2 V

Szukane: x / y = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Zagadnienie to związane jest z rozszerzalnością cieplną (objętościową) cieczy. Otóż każdy z Was miał na pewno do czynienia z termometrem rtęciowym (alkoholowym). Jeżeli taki termometr znajdzie się w obrębie wyższej temperatury, zauważymy, że rtęci przybywa. I z tym właśnie związana jest rozszerzalność objętościowa.

Mamy dwa termometry. Załóżmy, że na rysunku powyższym termometry znajdują się w jakiejś wyższej temperaturze t (nieistotne jakiej), wskutek czego w zbiorniczkach obu przybyło rtęci, która zaczęła wypełniać słupki. I tak w termometrze pierwszym rtęć wypełniła słupek do wysokości x od zbiorniczka (patrz rysunek), a w termometrze drugim do wysokości y.
Zakładamy również, że termometry mają identyczne podziałki. Różnica wskazań wynika z tego, że termometry mają różne zbiorniczki i różne słupki.

Przed podgrzaniem środowiska, w którym są termometry objętość rtęci zajmowała całe zbiorniczki i wynosiła

stosunek objętości wynosił więc:

Gdy termometry umieściliśmy w wyższej temperaturze, rtęci przybyło. Stosunek objętości przybyłej rtęci V'₁ w pierwszym termometrze do objętości przybyłej rtęci V'₂ w drugim nie zmieni się, ponieważ w obu termometrach znajduje się ta sama ciecz, jej przyrost będzie więc zależny od objętości, ale mimo to:

W takim razie policzmy, ile rtęci przybyło w poszczególnych termometrach. Będzie to objętość słupków rtęci do wysokości x i y. Słupki to oczywiście walce, a ich podstawami są koła, zatem:

Skorzystajmy więc z naszego wyliczonego stosunku objętości:

A więc termometr pierwszy wskazuje 4/3 temperatury drugiego. Czy to oznacza, że jest dokładniejszy? Tak, termometr pierwszy jest dokładniejszy, ponieważ można nim wskazać wyższą temperaturę, zużywając przy tym mniej rtęci (jeżeli drugi termometr wskazuje np. 9 stopni, to ten pierwszy wskazuje 12 stopni).


Dla zainteresowanych
Rozszerzalność objętościowa wiąże się z wzorem

gdzie:
V - objętość cieczy po zmianie temperatury,
V₀ - objętość cieczy przed zmianą temperatury,
λ - współczynnik rozszerzalności objętościowej (dla każdej cieczy stała - wartość do pobrania z tablic),
Δt - zmiana temperatury.

Hydrodynamika i hydrostatyka - Zadanie 15

Treść: Do jednego z ramion pionowo ustawionej rurki w kształcie litery U nalano rtęci o gęstości ρ1=13600kg/m^3, a następnie nafty o gęstości ρ2=800kg/m^3, przy czym wysokość słupka nafty wynosiła h2=10cm. Jaka będzie wysokość h3 słupka wody, o gęstości ρ3=1000kg/m^3, którą trzeba dolać do drugiego z ramion, aby poziomy górne były na tej samej wysokości?

Dane: ρ1 = 13600 kg/m^3 ρ2 = 800 kg/m^3 ρ3 = 1000 kg/m^3 h2 = 10 cm = 0.1 m

Szukane: h3 = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Ciśnienie na poziomie A-A' w obu ramionach U-rurki jest takie samo, ponieważ poniżej tego poziomu znajduje się tylko rtęć. W lewym ramieniu (ponad poziomem A) ciśnienie jest wywierane na ten poziom tylko przez słup wody o wysokości h₃, a w prawym przez słup nafty o wysokości h₂ oraz słup rtęci o wysokości h₁=h₃-h₂.
Ponieważ układ jest w równowadze, więc ciśnienie wywierane na poziom A-A' w obu ramionach U-rurki jest takie samo. Oznaczmy przez p₁ ciśnienie wywierane na ten poziom przez słup rtęci, przez p₂ wywierane przez słup nafty, a p₃ przez słup wody. Możemy napisać:

Wiemy, że jest to ciśnienie hydrostatyczne, wobec czego powyższą równość możemy zapisać w następującej postaci

:

Teraz możemy podstawić wartości liczbowe i policzyć wysokość słupa wody.

Wysokość słupka wody wynosi h₃ = 10.2 cm.

---