Ciążenie powszechne (grawitacja)

1. Prawo powszechnego ciążenia

Newton - 1665 spadanie ciał. Skoro istnieje siła przyciągania pomiędzy dowolnym ciałem i Ziemią, to musi istnieć siła między każdymi dwoma masami m₁ i m₂. Skoro siła jest proporcjonalna do masy ciała to musi być proporcjonalna do każdej z mas m₁ i m₂ oddzielnie czyli:

F ∼ m₁m₂

Newton zastanawiał się również, czy siła działająca na ciała będzie malała wraz ze wzrostem odległości. Doszedł do wniosku, że gdyby ciało znalazło się w odległości takiej jak Księżyc to będzie ono miało takie samo przyspieszenie jak Księżyc bowiem natura siły grawitacyjnej pomiędzy Ziemią i Księżycem jest taka sama jak pomiędzy Ziemią i każdym ciałem.

Przykład 1

Obliczmy jakie jest przyspieszenie Księżyca i jaki jest stosunek przyspieszenia Księżyca do przyspieszenia grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi?

Zastosujemy równanie na przyspieszenie dośrodkowe (wykład 3 - ruch jednostajny po okręgu). Wówczas:

gdzie R_K jest odległością od Ziemi do Księżyca. Ta odległość wynosi 3.86·10⁵ km, a okres obiegu Księżyca T = 27.3 dnia. Otrzymujemy więc

a = 2.73·10^-3 m/s²

W pobliżu powierzchni Ziemi przyspieszenie wynosi 9.8 m/s². Stąd stosunek przyspieszeń wynosi:

a/g = 1/3590 ≅ (1/60)²

W granicach błędu a/g =
.

Newton wykonał takie obliczenia i wyciągnął wniosek, że siła przyciągania między dwoma masami maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości między nimi (odległość między środkami mas). Sformułował więc prawo powszechnego ciążenia

Stałą proporcjonalności oznacza się G, więc

(6.1)

Newton oszacował wartość stałej G zakładając średnią gęstość Ziemi ρ = 5·10³ kg/m³ (porównać to z gęstością pierwiastków z układu okresowego np. ρ_Si = 2.8·10³ kg/m³, ρ_Fe = 7.9·10³ kg/m³).

Punktem wyjścia jest równanie:

Jeżeli weźmiemy r = R_Z to otrzymamy:

Zgodnie z II zasadą Newtona F = ma, gdzie a = g.

Stąd

więc

Wiemy, że M_Z = ρV_Z więc

Uwzględniając R_Z = 6.37·10⁶ m otrzymamy G = 7.35·10^-11 Nm²/kg² co jest wartością tylko o 10% większą niż ogólnie przyjęta wartość 6.67·10^-11 Nm²/kg².

Porównując przyspieszenie grawitacyjne na orbicie Księżyca i na powierzchni Ziemi, Newton zakładał, że Ziemia zachowuje się tak jakby jej cała masa była skupiona w środku. Zgadywał, że tak ma być ale dowód matematyczny przeprowadził dopiero 20 lat później (wtedy też sformułował rachunek całkowy).

Równanie (6.1) nazywa się prawem powszechnego ciążenia, ponieważ dokładnie to samo prawo stosuje się do wszystkich sił grawitacyjnych. To samo prawo wyjaśnia spadanie ciał na Ziemię, tłumaczy ruch planet, pozwala obliczyć ich masy i okresy obiegu.

Przykład 2

Jaki był okres obiegu Księżyca przez moduł statku Apollo?

F = ma

gdzie M_K jest masą Księżyca, a R promieniem orbity po jakiej krąży moduł o masie m. Ponieważ przyspieszenie

więc

Podstawiając wartości liczbowe: promień Księżyca R = 1740 km, masę M_K = 7.35·10²² kg i G = 6.67·10^-11 Nm²/kg², otrzymamy T = 6.5·10³ s czyli 108 minut.

2. Doświadczenie Cavendisha

Newton obliczył wartość stałej G na podstawie przyjętego założenia o średniej wartości gęstości Ziemi. Gdyby Ziemia miała tak jak gwiazdy jądro o super wielkiej gęstości to wynik uzyskany przez Newtona byłby obarczony dużym błędem. Czy można wyznaczyć stałą G w laboratorium niezależnie od masy Ziemi i tym samym uniknąć błędu związanego z szacowaniem gęstości Ziemi?

W tym celu trzeba zmierzyć siłę oddziaływania dwóch mas m₁ i m₂ umieszczonych w odległości x (rysunek). Wówczas siła

F = Gm₁m₂/x²

czyli

Zauważmy, że dla mas każda po 1 kg oddalonych od siebie o 10 cm siła F ma wartość F = 6.67·10^-9 N tj. 10⁹ razy mniej niż ciężar 1 kg i jest za mała by ją wykryć (dokładnie) zwykłymi metodami.

Problem ten rozwiązał Henry Cavendish w 1797 r. Wykorzystał on fakt, że siła potrzebna do skręcenia długiego, cienkiego włókna kwarcowego o kilka stopni jest bardzo mała. Cavendish najpierw wykalibrował włókna, a następnie zawiesił na nich pręt z dwiema małymi kulkami ołowianymi na końcach (rysunek a). Następnie w pobliżu każdej z kulek umieścił większą kulę ołowianą i zmierzył precyzyjnie kąt o jaki obrócił się pręt (rysunek b). Pomiar wykonane metodą Cavendisha dają wartość G = 6.67·10^-11 Nm²/kg².

1. Ważenie Ziemi

Mając już godną zaufania wartość G, Cavendish wyznaczył M_Z z równania:

Wynik pomiaru jest równie dokładny jak wyznaczenia stałej G. Cavendish wyznaczył też masę Słońca, Jowisza i innych planet, których satelity zostały zaobserwowane. Np. na rysunku obok niech M będzie masą Słońca, a m masą planety krążącej wokół Słońca np. Ziemi. Wtedy

F = GMm/R²

Ponieważ przyspieszenie

a = 4π²R/T

to z równania F = ma otrzymujemy

czyli

Jeżeli R jest odległością Ziemia - Słońce, T = 1 rok, to M jest masą Słońca. Podobne obliczenia można przeprowadzić dla innych planet.

3. Prawa Keplera ruchu planet

Zanim Newton zapostulował prawo powszechnego ciążenia, Johannes Kepler stwierdził, że ruch planet stosuje się do trzech prostych praw. Prawa Keplera wzmocniły hipotezę Kopernika. Praca Keplera (1609 - 1619) była wielkim odkryciem i aktem odwagi zwłaszcza po tym jak w 1600 roku spalono na stosie Giordana Bruno zwolennika systemu heliocentrycznego. Przypomnijmy, że nawet Galileusz został zmuszony do publicznego odwołania swoich poglądów (1633 r) mimo, że papież był jego przyjacielem.

Dogmatem wtedy był pogląd, że planety poruszają się wokół Ziemi po skomplikowanych torach, które są złożeniem pewnej liczby okręgów. Np. do opisania orbity Marsa trzeba było około 12 okręgów różnej wielkości.

Kepler poszukiwał nieskomplikowanej geometrycznie orbity, żeby udowodnić że Mars i Ziemia muszą obracać się wokół Słońca. Po latach pracy odkrył trzy proste prawa, które zgadzały się z wynikami pomiarowymi pozycji planet z bardzo dużą dokładnością. Te prawa stosują się też do satelitów okrążających jakąś planetę.

• Pierwsze prawo Keplera

Każda planeta krąży po orbicie eliptycznej, ze Słońcem w jednym z ognisk tej elipsy.

• Drugie prawo Keplera (prawo równych pól)

Linia łącząca Słońce i planetę zakreśla równe pola w równych odstępach czasu.

• Trzecie prawo Keplera

Sześciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet mają się do siebie jak kwadraty ich okresów obiegu. (Półoś wielka jest połową najdłuższej cięciwy elipsy).

Dla orbit kołowych

Newton rozwijając swoją teorię potrafił dowieść, że tylko wtedy, gdy siła jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości, orbita dowolnej planety jest elipsą ze Słońcem w jednym z ognisk oraz, że
. Newton wyprowadził prawa Keplera z zasad dynamiki. Przykładowo wyprowadźmy III prawo Keplera dla planet poruszających się po orbitach kołowych.

Korzystając z otrzymanego uprzednio wzoru na masę Słońca otrzymamy dla pierwszej planety:

a dla drugiej

Porównując otrzymamy

Drugie prawo Keplera wynika z zasady zachowania pędu (dowód można pominąć).

1. Ciężar

Ciężar zazwyczaj definiujemy jako siłę ciążenia działającą na ciało. W pobliżu powierzchni Ziemi dla ciała o masie m będzie ona równa mg. Na Księżycu ciężar jest mniejszy w porównaniu z ciężarem na Ziemi około sześć razy.

Definicja ciężaru może być myląca. Np. astronauta pomimo, że działa na niego jeszcze siła ciążenia uważa, że jest w stanie nieważkości. Fizjologiczne odczucie ciężaru czyli ile siły trzeba włożyć np. do podniesienia ręki.

1. Ciężar pozorny, masa bezwładna i masa grawitacyjna

Ważną konsekwencją tego, że siła grawitacyjna działająca na ciało jest proporcjonalna do jego masy, jest możliwość pomiaru masy za pomocą mierzenia siły grawitacyjnej. Można to zrobić używając wagi sprężynowej albo porównując siły grawitacyjne działające na masę znaną (wzorzec) i na masę nieznaną innymi słowy ważąc ciało na wadze. Powstaje pytanie czy w obu metodach mierzymy tę samą właściwość. Np. gdy spróbujemy pchnąć klocek po idealnie gładkiej poziomej powierzchni to wymaga to pewnego wysiłku, a przecież ciążenie nie pojawia się tu w ogóle. Konieczność przyłożenia siły jest związana z masą. Ta masa występuje we wzorze F = ma. Nazywamy ją masą bezwładną m. W innej sytuacji utrzymujemy ten klocek uniesiony w górę w stanie spoczynku. Bezwładność nie odgrywa tu żadnej roli bo ciało nie przyspiesza, jest w spoczynku. Ale musimy używać siły o wartości równej przyciąganiu grawitacyjnemu między ciałem i Ziemią, żeby ciało nie spadło. Odgrywa tu rolę ta właściwość ciała, która powoduje jego przyciąganie przez inne obiekty takie jak Ziemia i siła jest tu dana wzorem

gdzie m' jest masą grawitacyjną. Czy m i m' ciała są sobie równe?

Masa bezwładna m₁ spadając swobodnie w pobliżu powierzchni Ziemi ma przyspieszenie a₁, przy czym

jeżeli inna masa m₂ uzyskuje inne przyspieszenie a₂ to

Dzieląc te równania przez siebie otrzymamy

Widzimy, że jeżeli wszystkie ciała spadają z tym samym przyspieszeniem a₁ = a₂ = g to stosunek mas bezwładnych jest równy stosunkowi mas grawitacyjnych. Jeżeli dla jednej substancji ustalimy, że masa bezwładna jest równa masie grawitacyjnej to prawdziwe to będzie dla wszystkich substancji. Aktualnie jesteśmy w stanie stwierdzić, że a₁ = a₂ z dokładnością 10^-10. Te wyniki sugerują, że masa bezwładna jest równa masie grawitacyjnej. To stwierdzenie nazywa się zasadą równoważności.

Konsekwencją jest to, że nie można rozróżnić między przyspieszeniem układu (laboratorium), a przyspieszeniem grawitacyjnym. Ta zasada jest punktem wyjścia ogólnej teorii względności Einsteina.

2. Pole grawitacyjne

Na przykładzie sił grawitacyjnych omówimy ważne w fizyce pojęcie pola. Nasze rozważania rozpoczynamy od umieszczenia masy M w początku układu. W punkcie przestrzeni opisanym wektorem r znajduje się natomiast masa m. Wektor r opisuje położenie masy m względem masy M więc siłę oddziaływania grawitacyjnego między tymi masami (równanie 6.1) możemy zapisać w postaci wektorowej

(6.2)

Zwróćmy uwagę, że siłę tę możemy potraktować jako iloczyn masy m i wektora γ(r) przy czym

(6.3)

Jeżeli w punkcie r umieścilibyśmy inną masę np. m' to ponownie moglibyśmy zapisać siłę jako iloczyn masy m' i tego samego wektora γ(r)

Widzimy, że wektor γ(r) nie zależy od obiektu na który działa siła (masy m) ale zależy od źródła siły (masa M) i charakteryzuje przestrzeń otaczającą źródło (wektor r). Oznacza to, że masa M stwarza w punkcie r takie warunki, że umieszczona w nim masa m odczuje działanie siły. Inaczej mówiąc masie M przypisujemy obszar wpływu (działania), czyli pole.

Zwróćmy uwagę, że rozdzieliliśmy siłę na dwie części. Stwierdzamy, że jedna masa wytwarza pole, a następnie to pole działa na drugą masę. Taki opis pozwala uniezależnić się od obiektu (masy m) wprowadzanego do pola.

Z pojęcia pola korzysta się nie tylko w związku z grawitacją. Jest ono bardzo użyteczne również przy opisie zjawisk elektrycznych i magnetycznych. Źródłami i obiektami działania pola elektrycznego są ładunki w spoczynku, a pola magnetycznego ładunki w ruchu. Właściwości pól wytwarzanych przez ładunki elektryczne omówimy w dalszych rozdziałach.

Chociaż pole jest pojęciem abstrakcyjnym jest bardzo użyteczne i znacznie upraszcza opis wielu zjawisk. Na przykład gdy mamy do czynienia z wieloma masami, możemy najpierw obliczyć w punkcie r pole pochodzące od tych mas, a dopiero potem siłę działającą na masę umieszczoną w tym punkcie.

Z polem sił wiąże się nie tylko przestrzenny rozkład wektora natężenia pola, ale również przestrzenny rozkład energii. Właśnie zagadnieniom dotyczącym pracy i energii są poświecone następne rozdziały.

1. Pole grawitacyjne wewnątrz kuli

Rozpatrzmy teraz pole czaszy kulistej o masie m i promieniu R. Dla r > R pole jest równe Gm/r² tj. tak jakby cała masa była skupiona w środku kuli (przykład z satelitą). Jakie jest jednak pole wewnątrz czaszy?

Rozważmy przyczynki od dwóch leżących naprzeciwko siebie powierzchni A₁ i A₂ w punkcie P wewnątrz czaszy. Fragment A₁ czaszy jest źródłem siły F₁ ~ A₁/(r₁)² ciągnącej w lewo. Powierzchnia A₂ jest źródłem siły ciągnącej w prawo F₂ ~ A₂/(r₂)² . Mamy więc

Z rozważań geometrycznych widać, że

(pola powierzchni stożków ~ do kwadratu wymiarów liniowych)

Po podstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy

Tak więc wkłady wnoszone przez A₁ i A₂ znoszą się. Można w ten sposób podzielić całą czaszę i uzyskać siłę wypadkową równą zero. Tak więc wewnątrz czaszy pole grawitacyjne jest równe zeru.
Pole wewnątrz czaszy mającej skorupę dowolnej grubości też jest zero bo możemy podzielić tę skorupę na szereg cienkich warstw koncentrycznych.

Na rysunku obok przedstawiono pełną kulę o promieniu R i masie M. W punkcie P pole pochodzące od zewnętrznej warstwy jest zerem. Pole pochodzi więc tylko od kuli o promieniu r czyli

a = Gm/r² lub a = GρV/r²

Dla kuli V = 4πr³/3. Gęstość
więc pole w punkcie P wynosi

Widzimy, że pole zmienia się liniowo z r.

12-13

1

Szukasz gotowej pracy ?

To pewna droga do poważnych kłopotów.

Plagiat jest przestępstwem !

Nie ryzykuj ! Nie warto !

Powierz swoje sprawy profesjonalistom.

---