WYKŁAD 1a.

Liczby zespolone.

1. Pojęcie liczby zespolonej.

Def. 1. Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowaną postaci:

,

gdzie
oraz
są dowolnymi liczbami rzeczywistymi
.

Liczbę zespoloną oznaczamy przez
, natomiast zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy
. Mamy zatem
.

UWAGA 1. Liczbę zespoloną
przedstawiamy na płaszczyźnie w postaci punktu o współrzędnych
lub w postaci wektora o początku w punkcie
i końcu
. W tej interpretacji zbiór liczb zespolonych nazywamy płaszczyzną zespoloną

Y

O X

Niech
,
będą liczbami zespolonymi.

Def. 2.

1. Dwie liczby zespolone
   i
   nazywamy równymi wtedy i tylko wtedy, gdy
   oraz
   .

2. Sumę liczb zespolonych określamy wzorem:
   .

3. Iloczyn liczb zespolonych określamy wzorem:
   .

PRZYKŁAD 1. Niech
,
oraz
. Obliczyć

a)

; b)
,
.

WŁASNOŚCI DZIAŁAŃ W ZBIORZE LICZB ZESPOLONYCH.

Niech
,
,
będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy:

1. Dodawanie liczb zespolonych jest przemienne:
   .

2. Dodawanie liczb zespolonych jest łączne:
   .

3. Dla każdej liczby zespolonej
   liczba
   spełnia równość
   .

4. Dla każdej liczby zespolonej
   liczba
   spełnia równość
   .

5. Mnożenie liczb zespolonych jest przemienne:
   .

6. Mnożenie liczb zespolonych jest łączne:
   .

7. Dla każdej liczby zespolonej
   liczba
   spełnia równość:
   .

8. Dla każdej liczby zespolonej
   liczba
   spełnia równość
   .

9. Mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania, tzn.:

.

PRZYKŁAD 2. Obliczyć:

a)
; b)
; c)
.

1. Postać algebraiczna i sprzężenie liczby zespolonej.

Def. 3. Liczbę zespoloną
nazywamy jednostką urojoną lub inaczej
.

Innymi słowy jednostka urojona jest rozwiązaniem równania
.

Każdą liczbę zespoloną można jednoznacznie przedstawić w postaci algebraicznej:

, gdzie
.

Def. 4. Niech
będzie postacią algebraiczną liczby zespolonej
. Wówczas:

1. liczbę
   nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej
   , co zapisujemy
   ;

2. podobnie liczbę
   nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej
   , co zapisujemy
   .

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy tak jak dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów zmiennej
, przy warunku
. Przy dzieleniu przez liczbę zespoloną
, gdzie
, należy dzielną i dzielnik pomnożyć przez liczbę
, aby w mianowniku uzyskać liczbę rzeczywistą.

PRZYKŁAD 3. Obliczyć:

a)
; b)
; c)
; d)
;

f)
; g)
.

Def. 5. Sprzężeniem liczby zespolonej
, gdzie
, nazywamy liczbę
określoną wzorem:

.

Liczba sprzężona do liczby zespolonej jest jej obrazem w symetrii względem osi

PRZYKŁAD 5. Rozwiązać równania:

a)
; b)
; c)
; d)
.

1. Moduł i argument liczby zespolonej.

Def. 6. Modułem liczby zespolonej
, gdzie
, nazywamy liczbę rzeczywistą
określoną wzorem:

.

UWAGA 2. Moduł liczby zespolonej jest uogólnieniem wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej. Geometrycznie moduł liczby zespolonej
jest odległością punktu
od początku układu współrzędnych. Moduł różnicy liczb zespolonych jest
jest długością odcinka łączącego te dwa punkty płaszczyzny zespolonej.

Def. 7. Moduł liczby zespolone ma takie własności:

1.
; 2.
;

3.
; 4.
, o ile
;

5.
; 6.
;

7.
,
; 7.
.

PRZYKŁAD 6. Obliczyć moduły podanych liczb zespolonych:

a)
; b)
; c)
.

Def. 8. Argumentem liczby zespolonej
, gdzie
, nazywamy każdą liczbę
spełniającą układ równań:

Przyjmujemy, że argumentem liczby zespolonej
jest każda liczba
. Argumentem głównym liczby zespolonej
nazywamy argument
tej liczby spełniający nierówności
. Przyjmujemy, że argumentem głównym liczby zespolonej
jest 0. Argument główny liczby zespolonej
oznaczamy
. Każdy argument
liczby zespolonej
ma postać

, gdzie
.

UWAGA 3. Argumenty liczby zespolonej są miarami kąta zorientowanego utworzonego przez dodatnią część osi rzeczywistej i wektor wodzący tej liczby. Argumenty główny liczby zespolonej jest najmniejszą nieujemną miarą kąta zorientowanego utworzonego przez dodatnią część osi rzeczywistej i wektor wodzący tej liczby.

PRZYKŁAD 7. Znaleźć argumenty główne podanych liczb zespolonych:

a)
; b)
; c)
.

Niech
będzie dowolną liczbą zespoloną. Wtedy dla liczby sprzężonej do danej spełnione są następujące własności:

1. 
   ;

2. 
   

3. 
   .

1. Postać trygonometryczna liczby zespolonej.

Tw. 1. Każdą liczbę zespoloną
można przedstawić w postaci trygonometrycznej:

,

gdzie
oraz
. Liczba
jest wówczas modułem liczby zespolonej
, a
jednym z jej argumentów.

PRZYKŁAD 8. Każdą liczbę zespoloną przedstawić w postaci trygonometrycznej:

a)
, b)
.

Tw. 2. Liczby zespolone
,
, gdzie
oraz
, są równe wtedy i tylko wtedy, gdy:

albo
oraz
dla pewnego
.

Tw. 3. Niech
,
, gdzie
oraz
, będą liczbami zespolonymi. Wtedy:

,

, o ile
.

Inaczej mówiąc, przy mnożeniu liczb zespolonych ich moduły mnożymy, a argumenty dodajemy. Podobnie, przy dzieleniu liczb zespolonych ich moduły dzielimy, a argumenty odejmujemy.

PRZYKŁAD 9. Korzystając z postaci trygonometrycznej obliczyć:

a)
; b)
.

Tw. 4. (działania na liczbach zespolonych):

Niech
, gdzie
oraz
. Wówczas:

1. 
   ,

2. 
   o ile
   ,

3. 
   ,

4. 
   , gdzie
   
   - wzór de Moivre,a. Wzór ten jest prawdziwy, gdy
   jest liczbą całkowitą.

PRZYKŁAD 10. Korzystając ze wzoru na potęgowanie obliczyć

a)
; b)
.

Tw. 5. (o argumentach iloczynu, potęgi oraz ilorazu)

Niech
oraz
. Wtedy

1. 
   dla
   lub
   ;

2. 
   dla
   ;

3. 
   dla
   lub
   , o ile
   .

Liczbę
dobieramy tak aby argument główny należał do przedziału
.

PRZYKŁAD 11.

Znaleźć zbiory liczb zespolonych:

a)
, b)
, c)
.

1. Pierwiastkowanie liczb zespolonych.

Def. 9. Pierwiastkiem stopnia
z liczby zespolonej
nazywamy każdą liczbę zespoloną
spełniającą równość:

.

Zbiór pierwiastków stopnia
z liczby zespolonej
oznaczamy przez
.

Tw. 6. (wzór na pierwiastki liczby zespolonej)

Każda liczba zespolona
gdzie
oraz
, ma dokładnie
pierwiastków stopnia
. Zbiór tych pierwiastków ma postać:

,

gdzie
dla

Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków

Zbiór pierwiastków stopnia
z liczby zespolonej
gdzie
oraz
, pokrywa się ze zbiorem wierzchołków n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu
i środku w początku układu współrzędnych. Jeden z wierzchołków tego wielokątów jest w punkcie
, a kąty między promieniami wodzącymi sąsiednich wierzchołków są równe
.

PRZYKŁAD 12.

Obliczyć i narysować pierwiastki liczb zespolonych:

a)
; b)
.

Rozwiązać podane równania:

a)
, b)
.