1.Zarys jednowymiarowej teorii maszyn przepływowych(hydraulicznych)(wykł 13)

- założenia: stacjonarność przepływu

jednowymiarowość przepływu 

Maszyna hydrauliczna (przepływowa)- urządzenie, w którym zmienia się energia całkowita przepływającego płynu (cieczy) wskutek wykonania przez ten płyn pracy mechanicznej lub wskutek pobrania przez płyn energii mechanicznej. Chodzi tu o bezpośrednie przekazywanie energii do płynu (maszyny robocze, wentylatory, sprężarki, pompy) lub od płynu (turbiny wodne, parowe lub gazowe). Płyn styka się bezpośrednio z elementami maszyn, wywierając na nie siły i momenty.

Teoria maszyny przepływowej - zespół równań (związków) wyrażających oddaną przez maszynę lub dostarczoną do maszyny energię mechaniczną w funkcji parametrów geometrycznych i kinematycznych maszyny oraz parametrów płynu na wlocie do maszyny (funkcji kształtu), wymiarów, liczby obrotów oraz ciśnienia na wlocie prędkości.

 Silniki przepływowe - turbiny wodne, parowe, gazowe, (koło wodne)

 Maszyny robocze - - pompy tłokowe

- pompy wirowe

- wentylatory (osiowe, promieniowe itp.)

- sprężarki

- dmuchawy

 Turbiny wodne - - natryskowa tzw. turbina Peltona

- naporowa, tzw. turbina Francisa (promieniowa)

- turbina Kaplana (osiowa)

Pompy tłokowe

Okresowe przenoszenie określonych objętości cieczy z tzw. Obszaru ssania do tzw. Obszaru tłoczenia. Przemieszczenie to wywołane jest odpowiednim ruchem organu czynnego pompy tj. tłokiem. W pompach tłokowych dostarczona tłokowi energia mechaniczna zamieniana jest bezpośrednio na energię potencjalną cieczy, w szczególności idzie ona na przyrost ciśnienia statycznego.

Pompy wirowe

Składają się z trzech zasadniczych części: wirnika, kierownicy i korpusu.

Kierownica nie zawsze występuje, a jej role odgrywa odpowiednio ukształtowany korpus tzw.Spirala wylotowa. Zasada działania: polega na zwiększeniu energii kinetycznej cieczy przepływającej przez pompę, a nastepnie przekształceniu energii kinetycznej na ciśnienie w kierownicy lub w spirali wylotowej.

Turbina natryskowa-Peltona

Jeśli chcemy uzyskać maximum mocy użytecznej wirnika obliczmy kat (alfa) o jaki odchyla się strumień od kierunku początkowego cieczy oraz prędkość u z jaka oddala się przeszkoda (łopatka). Jednak takie rozwiązanie daje niepożądaną wartość prędkości końcowej (wylotowej). W takiej sytuacji łopatka nadbiegająca uderzałaby swoim grzbietem o strumień wody z poprzedniej łopatki. Lepsze jest zatem inne rozwiązanie, tj. mały dodatni kąt tak, aby prędkość bezwzględna na wylocie v2 była prostopadła do płaszczyzny wirnika.

Teoria wirnika maszyny hydraulicznej - ustalenie związków między geometrycznymi parametrami wirnika i jego liczbą obrotów a zmiana parametrów hydrodynamicznych płynu przepływającego przez wirnik

Założenie: w palisadzie kołowej nieskończenie jest wiele cienkich łopatek.

Przepływ przez wirnik jest jednowymiarowy.

Bezuderzeniowy opływ łopatki tj. stycznie do łopatki. Założenie to jest spełnione tylko dla jednej wartości wydatku. Przy ustalonej prędkości obrotowej.

2.Różnice miedzy przepływem laminarnym a turbulentnym (wykł.18)

Przepływy stabilne względem małych zaburzeń nazywamy laminarnymi (przesuwające się po warstwach, bo lamina- warstwa).

Przepływy niestabilne i nieuporządkowane nazywamy przepływami turbulentnymi. Bardzo dobrze obrazuje to doświadczenie Reynoldsa (dowód niestabilności i przejścia do turbulencji)

 

Szklana rura z zaworem 1 regulacyjnym to woda ze zbiornika A, zbiornik B z zaworem 2 z zabarwioną cieczą o tym samym ciężarze (gęstości). Ciecz tę można wpuszczać do rury szklanej regulując zawór 2.Jeśli wydatek wody jest dostatecznie mały, to smuga zabarwionej cieczy jest prostoliniowa, nie miesza się z wodą i sprawia wrażenie nieruchomej Przy wzroście wydatku wody smuga barwna traci nieruchomość, zaczyna oscylować i falisto wyginać się, nie mieszając się z wodą, granica smugi i otaczającej wody jest ostra i nie rozmyta Zwiększając dalej wydatek wody widzimy, że smuga miesza się z wodą tuż za wylotem rurki doprowadzającej zabarwioną ciecz.(ruch turbulentny).

Reynolds wprowadził podział na dwa rodzaje ruchów:

 1)      Laminarny (lamina - łuska (łac.)) „warstwy” cieczy nie mieszają się ze sobą, ślizgają się po sobie na kształt łusek

 2)      Turbulentny (burzliwy) - niestacjonarność, przypadkowość i chaotyczność to główne cechy toru elementów płynu całkowicie różne od siebie, nie można wyróżnić tu niezależnych warstw, występuje silne mieszanie oprócz ruchu głównego.

Różnice ruchów cieczy:

Turbulentny_ charakteryzuje się dużym chaosem, mieszaniem się warstw płynu.

_ruch turbulentny płynu opisuje się równaniami Reynoldsa,

otrzymanymi w procesie uśredniania równań Naviera - Stokes'a.

  _ jest zawsze trójwymiarowy i niestacjonarny

Tensor naprężeń turbulentnych wprowadza do równań Reynoldsa sześć dodatkowych niewiadomych, równania te są zatem otwarte tj. więcej niewiadomych niż równań.

 Problem zamknięcia równań Reynoldsa

- uzupełnienie układu równań ruchu

- podstawowa trudność w teorii przepływów turbulentnych.

Rozwiązanie problemu, to kreowanie modeli turbulencji:

 Konstruowanie modeli turbulencji

- hipotezy łączące tensor naprężeń turbulentnych z uśrednionymi charakterystykami pola prędkości, zwykle charakter empiryczny- uśrednianie przekształconych równań Naviera - Stokes'a i analiza związków korelacyjnych pomiędzy nimi, są to modele analityczne

 Modele eksperymentalne są łatwiejsze, bo można po prostu odpowiednie korelacje prędkości pomierzyć.

3.Podobieństwo i analogie (wykł.17)

Większość badań doświadczalnych o bezpośrednim zastosowaniu technicznym stanowią w mechanice płynów tzw. Badania modelowe

 -         okrętownictwo,-         lotnictwo,-         turbiny parowe i gazowe- inne działy

Gdy potrzebna informacja dotycząca zjawisk przepływowych dotyczy dopiero projektowanej konstrukcji, np. maszyny przepływowe, okręt, jego opór i układ fal,

samolot i jego opór oraz dobór kształtu.

Zjawisko podstawowe (zjawisko w pełnej skali)Zjawisko bezpośrednio nas interesujące. Zjawisko modelowe - obraz zjawiska podstawowegoOkręt w pełnej skali i jego model.

Teoria podobieństwa zjawisk - ustanawia kryteria podobieństwa zjawisk (warunki podobieństwa) i ustalanie metod przenoszenia wyników pomiarów uzyskanych dla zjawiska modelowego na zjawiska w pełnej skali. Jest to ogólna teoria o szerszym zastosowaniu niż tylko mechanika płynów.Jeśli dwa różne zjawiska w przyrodzie lub w technice są opisane równaniami identycznymi pod względem formalnym, to takie zjawiska nazywamy analogicznymi względem siebie, np. analogia elektrohydrodynamiczna.

Potrzeba i tutaj ustalić pewne kryteria analogii zjawisk.Analogia zjawisk jest rozszerzeniem podobieństwa zjawisk.Również w teoretycznej mechanice płynów można wykorzystać rezultaty teorii podobieństwa celem zmniejszenia ilości parametrów stałych, zmiennych niezależnych bądź też funkcji występujących w równaniach opisujących zjawisko.

Podobieństwo geometryczne - dwa obiekty geometryczne są podobne, gdy można dobrać tak układy współrzędnych dla obu obiektów aby każdemu punktowi jednego obiektu odpowiadał jeden i tylko jeden punkt drugiego obiektu.

Inaczej mówiąc stosunek współrzędnych odpowiadających sobie punktów jest stały.

Oba układy muszą być ponadto jednakowe pod względem formalnym (tzn. prawo- lub lewoskrętne jednocześnie)

Definicja podobieństwa zjawisk - dwa zjawiska będziemy uważali za podobne, jeżeli wszystkie opisujące je pola wielkości fizykalnych będą podobne, albo inaczej bezwymiarowe funkcje ၆k (X, Y, Z, T) (k = 1, ..., n) określające każde spośród n pól składających się na całe zjawisko, muszą być identyczne dla zjawisk podobnych, zaś bezwymiarowe funkcje, współrzędne przestrzenne i czasy zostały utworzone w oparciu o odpowiadające sobie wielkości fizyczne, parametry geometryczne i odcinki czasu.

Twierdzenie o podobieństwie zjawisk_ Jeżeli dwa porównywalne zjawiska można opisać przy pomocy bezwymiarowego identycznego układu równań z identycznymi warunkami brzegowymi i początkowymi, to zjawiska te są podobne, a więc na podstawie układu równań i warunków brzegowych lub/i początkowych można wnioskować o podobieństwie zjawisk, a nie trzeba do tego znajdować rozwiązania w postaci całkowej.

Bezwymiarowe kombinacje wielkości fizycznych stanowiące o podobieństwie nazywamy parametrami podobieństwa. Kryterium podobieństwa oznacza zatem równość odpowiednich parametrów podobieństwa porównywanych zjawisk. Parametry te noszą zwykle nazwy od nazwisk uczonych, którzy pierwsi je wprowadzili i używali

Re- liczba Reynoldsa

Eu - liczba Eklera

liczba Froude'a

liczba Strouhala

liczba Prandtla

wykładnik adiabatyczny Poissona

liczba Stantona

 

Jeżeli w dwóch porównywanych zjawiskach występuje równość wszystkich parametrów podobieństwa to mówimy o podobieństwie zupełnym. W badaniach modelowych nie udaje się zwykle osiągnąć podobieństwa zupełnego.O podobieństwie częściowym mówimy, gdy nie udaje się zachować podobieństwa względem jednego z parametrów, a jednocześnie funkcja, która ma być wyznaczona w badaniach modelowych słabo zależy od tego parametru. Wtedy należy zachować podobieństwo względem parametru decydującego o charakterze zjawiska.

Dwa przepływy stacjonarne cieczy lepkiej będą podobne, gdy

1)      Powierzchnie graniczne będą geometrycznie podobne

2)      Bezwymiarowe stałe parametry utworzone ze stałych i charakterystycznych dla przepływu wielkości po, Vo, ၲ, ၮ, l , i będą jednakowe dla obu przepływów

3)      Kierunki prędkości względem powierzchni brzegowych w dwu odpowiadających sobie punktach będą jednakowe

Ruch płynów, kryteria podobieństwa

Ruch płynów określony następującymi stałymi:l - charakterystyczna długośćVo - prędkość ၭo - lepkość po - ciśnienie ၬ - przewodność ၲo - gęstość Cp - ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu To - temperatura Cv­ - ciepło właściwe przy stałej objętości g - przyspieszenie ziemskie to - czas charakterystyczny qo - ciepło produkowane przez jednostkę masy gazu w jednostce czasu

 

4.Przepływ przez dysze zbieżną (wykł.22)

Dysza De Lavala_ W dyszy zbieżnej można rozpędzić gaz najwyżej do prędkości dźwięku odpowiadającej parametrom na wylocie z dyszy. Czy można rozpędzić gaz do prędkości naddźwiękowej?

1 W poddźwiękowym przepływie gazu ze wzrostem średnicy przewodu prędkość maleje i odwrotnie, a więc tak samo jak dla cieczy.

2 W przepływie naddźwiękowym prędkość gazu w przewodzie zwężającym się maleje, a w rozszerzającym się wzrasta z odległością od wlotu podczas ekspansji gęstość gazu tak szybko maleje, że iloczyn ၲ S też maleje (mimo wzrostu S) co tłumaczy wzrost prędkości przepływu

Możliwe jest zatem rozpędzenie gazu do prędkości naddźwiękowej w dyszy zbieżno-rozbieżnej, najpierw do prędkości dźwięku w dyszy zbieżnej a później do naddźwiękowej w dyszy rozbieżnej.

Trzy przypadki przepływu przez dyszę:

1. Przeciwciśnienie jest większe od ciśnienia krytycznego p2 > p* i nieznacznie mniejsze od ciśnienia po,. Przepływ w całej dyszy jest poddźwiękowy, (Krzywa 1 na wykresie)

2. Prędkość gazu w konfuzorze jest poddźwiękowa p2 < p* , w gardzieli równa prędkości dźwięku, a w dyfuzorze naddźwiękowa (krzywa 2').

3. Gaz wpływa do dyszy już z prędkością naddźwiękową p2 < p* w konfuzorze

zostaje nieco przyhamowany, jednak nadal v > a, a w dyfuzorze znowu się rozpędza, a więc w całej dyszy jest naddźwiękowy (krzywa 3)

Poddźwiękowych przepływów przez dyszę można zrealizować nieskończenie wiele, stosownie do przeciwciśnienia. Naddźwiękowy jest możliwy tylko dla jednej wartości przeciwciśnienia zależnej zresztą od po. Jeżeli p Ⴙ p2(prim)w dyszy lub poza nią powstają złożone zjawiska nieciągłości.

Gaz może się rozpędzić w dyszy zbieżnej do lokalnej prędkości dźwięku.

Zadławienie dyszy - dalsza redukcja przeciwciśnienia nie może zwiększyć prędkości wypływu, ponieważ wnętrze dyszy jest niedostępne dla zaburzeń ciśnienia, które propagują się z tą samą prędkością, co gaz będący ich nośnikiem

5.Fala uderzeniowa (wykł.22)

Rozchodzenie się zaburzeń w gazie ruchomym

a)    prędkość poddźwiękowa

b)    prędkość naddźwiękowa

a)  przepływ poddźwiękowy

 Zaburzenia (fale) dźwiękowe rozprzestrzeniają się po całej przestrzeni

b)    przepływ naddźwiękowy

Fale dźwiękowe (kuliste) wypełniają stożek o wierzchołku O i nie wydostają się poza stożek Macha

Powstawanie prostopadłej fali uderzeniowej w rurze z tłokiem. Gaz idealny, doskonały jest początkowo w spoczynku. Tłok zaczyna się przemieszczać z prędkością v, to powoduje zaburzenie (zgęszczenie) gazu przed tłokiem i jego ruch (gazu) z pełną prędkością. Obszar zaburzeń powiększa się z czasem, czoło fali propaguje się z pewną prędkością u(t), poza tym obszarem gaz dalej nieruchomy.

W obszarze zaburzeń parametry gazu zmieniają się tzn. są funkcją współrzędnej x i czasu t. Prędkość propagacji zaburzeń w każdym przekroju x i w różnych chwilach czasu jest inna i równa lokalnej prędkości dźwięku a. Zmiana parametrów dokonuje się adiabatycznie, izentropowo. Sprężaniu się gazu towarzyszy nagrzewanie się gazu. Ponieważ a ~ , a więc każda następna fala przemieszcza się względem gazu z nieco większą prędkością, zatem jedna fala dogania drugą i nakłada się na nią. W rezultacie po pewnym czasie od uruchomienia tłoka tworzy się powierzchnia silnej nieciągłości parametrów (nie tylko skokowa zmiana pochodnych ale i samej funkcji).

Przejście fali uderzeniowej powoduje wzrost ciśnienia, gęstości i temperatury, natomiast prędkość maleje. Proces sprężania nie jest izentropowy, zachodzi nieodwracalna przemiana energii mechanicznej w ciepło, nawet dla gazu idealnego a zatem i przyrost entropii

6.Przepływy w kanałach otwartych (wykł.23)

Kanały otwarte dzieli się na naturalne i sztuczne

Naturalne - rzeki, strumienie, potoki

Sztuczne - kanały kanalizacyjne, melioracyjne (nawadniające, odwadniające), komunikacyjne

Różnice między przepływem w przewodach a kanałach otwartych:

W przewodzie płyn wypełnia cały przekrój poprzeczny przewodu, w kanale otwartym ciecz wypełnia tylko część tego przekroju niezależnie, czy jest to rurociąg czy odkryty kanał. Zatem w kanale istnieje swobodna powierzchnia cieczy, na powierzchni cieczy jest zwykle pewne ciśnienie, najczęściej ciśnienie atmosferyczne

Przepływ w kanale otwartym odbywa się wyłącznie pod działaniem siły grawitacji, bezwładności i tarcia, musi też wystąpić spadek dna wzdłuż jego długości .

W kanałach otwartych trudne jest analityczne ujęcie ruchu, natomiast w kanałach naturalnych niemożliwe jest ze względu na nieregularność koryta kanału i nieznaną chropowatość.

 

Rozważania ograniczymy do kanałów sztucznych.

Ruch wody w kanałach- zmienny (nierównomierny)- jednostajny (równomierny)

Gdy przekrój strugi ulega zmianie - ruch zmienny

Gdy przekrój strugi stały - ruch jednostajny

Ruch zmienny - ustalony lub nieustalony (zmienny w czasie).

Najkrótszy obwód z wszystkich figur o tej samej powierzchni ma koło. Najczęściej stosujemy jednak przekroje prostokątne lub trapezowe.

Rozpatrujemy dalej tylko ruch jednostajny, ma on najczęściej charakter turbulentny.

Odcinek początkowy Lp - na takim odcinku formuje się ruch. v2 = const h = const

Analiza długości odcinka początkowego możliwa tylko na podstawie rozwiązania równań Naviera - Stokes'a.

7.Odskok hydrauliczny (wykł.23)

Przejście ruchu spokojnego w rwący. Przejście ruchu rwącego w spokojny.

Odskok - duża strata energii płynącej strugi

Nie może być przyrostu energii mechanicznej, a ta energia ulega rozproszeniu w w odskoku hydraulicznym. Aby obliczyć odskok hydrauliczny musimy znać:

1. Głebokość krytyczną hkr

2. Różnicę wzniesień c1-c2 górnego i dolnego zbiornika

h1 - głębokość przed odskokiem

h2 - głębokość za odskokiem

8.Opór tarcia i opór ciśnienia (wykł.17)

Rozważamy elementarną powierzchnię dၳ w płynie poruszającym się z prędkością VႥ

i siły działające na nią dR=(dN, dT)

Opór całkowity X jest sumą dwóch składników X = Xc + Xt

W cieczy nielepkiej opór tarcia Xt = 0, bo nie występują naprężenia styczne, zaś opór ciśnienia na mocy paradoksu d'Alamberta jest też równy zeru.

W cieczy lepkiej oba składniki oporu są różne od zera.

opór ciśnienia opór tarcia

Różnica pomiędzy oporem całkowitym ciała X opływanego cieczą lepką a oporem Xid jakiego doznawałoby ciało opływane cieczą doskonałą bez obszaru zastoju X = Xp + Xid

W przepływie płaskim opór całkowity ciała o wymiarach ograniczonych jest równy oporowi profilowemu bowiem opór Xid jest równy zeru na mocy paradoksu d'Alamberta.

Podobnie jest dla ciał płaskich półnieskończonych.

Rozwiązując układ równań z warunkami brzegowymi dla kuli można określić pole prędkości i ciśnień oraz dalej wzór na siłę oporu dla opływu kuli oraz współczynnik oporu Wzór słuszny dla bardzo małych liczb Reynoldsa Re Ⴛ 0,3

Sprzeczność: gdyż jednak w odległości dostatecznie dużej siły masowe stają się większe od sił lepkości. Odrzucenie sił masowych jest zatem usprawiedliwione tylko w obszarach blisko ciała.

Paradoks Stokes'a - równania Stokes'a dla opływu cylindra nie można w ogóle rozwiązać, bo nie można spełnić jednocześnie warunków brzegowych na powierzchni ciała i w nieskończoności.

Wzór Oseena na współczynnik oporu

Współczynnik oporu walca kołowego (cylindra) wzór Lamba

9.Warstwa przyścienna_Teorie warstwy przyściennej (wykł.18)

Koncepcja Prantla _W całkowitym obszarze przepływu wyróżnił dwa podobszary:

- sąsiedztwo ścianek ciała - 1-warstwa przyścienna (graniczna), siły lepkości w tym obszarze są co najmniej tego rzędu co siły masowe, wpływają istotnie na ruch płynu-2-obszar poza warstwą przyścienną, w którym siły lepkości są pomijalnie małe w porównaniu z siłami masowymi, płyn w tym obszarze może być traktowany jako nielekki.

Ciśnienie w warstwie przyściennej jest stałe wzdłuż normalnej do ścianki, co oznacza, że ciśnienie w warstwie przyściennej jest równe wartości ciśnienia przepływu „nielepkiego” na granicy warstwy. W podsumowaniu można powiedzieć:

 

Opływ zadanego ciała cieczą lepką można podzielić na dwa następujące zagadnienia (w oparciu o koncepcję warstwy przyściennej i równania Prandtla)

1.      Wyznaczenie przepływu nielepkiego wokół ciała (np. przepływ potencjalny) a w szczególności wyznaczenie rozkładu prędkości u wzdłuż ciała lub ciśnienia.

2.      Wyznaczenie rozwinięcia u(x, y) i v(x, y) równań Pradtla przy stosownych warunkach brzegowych.

Laminarna warstwa przyscienna ( wykł.18-19)

Metody wyznaczania laminarnej warstwy przyściennej - analityczne, - numeryczne,

- przybliżone - badania nad statecznością laminarnej warstwy przyściennej.

Jeśli prędkość przepływu nielepkiego (na zewnątrz warstwy) zależy potęgowo od x (długość łuku opływanej ścianki), to dla takiego przepływu istnieje samopodobne rozwiązanie równań Prandtla.

 Stateczność laminarnej warstwy przyściennej: ၡ - liczba falowa (stała rzeczywista, dodatnia)

c = cR + i cI prędkość zespolona fali zaburzenia.

x- ct - wskazuje, że mówimy tu o fali płaskiej propagującej się w kierunku przepływu lub przeciwnie do niego. Bezwymiarowe prędkości, ciśnienie, współrzędne odniesione są do charakterystycznych prędkości i długości, np. liczba falowa ၡ/ၤ, czas fizyczny tၤ/v. Bezwymiarowe amplitudy są też wielkościami zespolonymi.

Najpierw wyznaczono numerycznie rozwiązanie równania Orra - Sommerfelda dla laminarnej warstwy przyściennej. Następnie rozpoczęto ich poszukiwania eksperymentalne.

Przejście laminarno - turbulentne w warstwie przyściennej.(eksperyment)(wykł19)

- proces silnie nieliniowy rozpoczynający się etapem liniowego wzrostu zaburzeń tzw. fal Tollmiena - Schlichtina. Następnie tworzenie się trójwymiarowych zaburzeń aby skończyć pojawieniem się tzw. plamek turbulencji, które wreszcie „zlewają się” w przepływ turbulentny.

Typy przejścia laminarno-turbulentnego

1) Naturalne (przepływ zewnętrzny z bardzo małym poziomem zaburzeń)

2) by-pass zależne od poziomu zaburzeń w strumieniu zewnętrznym w stosunku do warstwy przyściennej.

Turbulentna warstwa przyscienna(wykł.19)

Teraz równania turbulentnej warstwy przyściennej mają postać identyczną z równaniami Prandtla laminarnej warstwy przyściennej.

Hipoteza drogi mieszania Prandtla_Wymiana pędu między sąsiednimi powierzchniami prądu odpowiadającymi ruchowi uśrednionemu odbywa się podobnie jak w ruchu cząsteczkowym

Załóżmy, że przepływ nie zależy od x  czyli u = u(y), v = 0

Wtedy z równania pędu zostaje tylko ၴ (y) = const = ၴ o

ၴ o - naprężenie na ściance

Ale ၴ(y) = suma naprężenia stycznego „laminarnego” i „turbulentnego”

Lewa strona zmienia się w zależności od odległości y od ścianki.

Ścianka tłumi fluktuacje turbulentne. Odwrotnie w dużej odległości od ścianki, tam naprężenia laminarne są małe w porównaniu z turbulentnymi. Stąd też pomysł rozbicia równania na dwa równania asymptotyczne. w pobliżu ścianki (podwarstwa lepka)

daleko od ścianki (rdzeń turbulentny)

Warstwa przyścienna na płaskiej płycie (Blasius, 1908) , m = 0

Lokalny współczynnik tarcia

Oderwanie warstwy przyściennej (laminarnej, stacjonarnej)(wykł.19)

 Wynika bezpośrednio z równań Prandtla i warunków brzegowych.

Interpretacja, dwie siły działają na element płynu poruszający się wzdłuż ścianki

-  siły tarcia o ściankę

-  siły normalnej do ścianki ciała stałego wynikającej z różnicy ciśnień na przedniej i tylnej ściance elementu płynu

 W przypadku dp/dx > 0 obie te siły są przeciwne do zwrotu prędkości elementu płynu. Element traci swą energię kinetyczną i zatrzymuje się, a elementy podążające za nią (i on sam) odrywają się od ścianki.

Dla dp/dx < 0 siła wynikająca z różnicy ciśnień na przedniej i tylnej ściance elementu jest zgodna z prędkością tego elementu i oderwanie nie następuje.

Turbulentna warstwa przyscienna na płaskiej płycie

1)      Turbulentna warstwa przyścienna rozpoczyna się na krawędzi natarcia płyty

2)      Rozkład prędkości w warstwie przyściennej jest identyczny z rozkładem prędkości w rurze

Turbulentna warstwa przyścienna narasta szybciej

Turbulentna struga swobodna- Wypływ z otworu (dowolnego kształtu) do dużej przestrzeni również wypełnionej płynem.

Struga zatopiona - gdy struga i otoczenie takie same płyny (powietrze do atmosfery, woda do zbiornika wodnego)

Struga niezatopiona - różne media strugi i otoczenia

Wypływ najczęściej z dyszy lub otworu zaokrąglonego

Przepływ zwykle traktuje się jako turbulentny, gdyż tylko takie mają zastosowanie techniczne

Zastosowania: wentylacja, klimatyzacja hal sportowych, sal teatralnych, hal produkcyjnych itp.

Rozszerzanie się strugi - proces wciągania (medium) płynu z otoczenia, tzw. indukcja strumienia.

Ciśnienie w strudze można z dobrym przybliżeniem przyjąć równe ciśnieniu otoczenia; stałe

10.Równania Prandtla (wykł.18)

Warunki brzegowe dla równań Prandtla u(x, 0) = v(x, 0) = 0 u(x, ၤ) = u(x) 

Drugi warunek jest uzgodnieniem prędkości na granicy warstwy przyściennej i przepływu zewnętrznego.

Ponadto należy uzupełnić warunkiem u(xo, y) = uo(y) określającym rozkład prędkości na pewnej linii łączącej ściankę z granicą warstwy.

Rozkład prędkości musi być zatem zadany w pewnym przekroju x = xo warstwy, a rozwiązania dają przedłużenie tego rozkładu na inne wartości x.

11.Nieciagłość przepływów w rurociągu (niestacjonarne przepływy) (wykł.22)

Metoda przepływów jednowymiarowych - chętnie stosowana w hydraulice, jako uproszczenie modelu trójwymiarowego. Dokładność tego modelu zależy od precyzji definicji wartości średnich stosowanych w metodzie jednowymiarowej.

Zalety:

- prostsze równania + łatwo uzyskiwane rozwiązania obarczone jednak często bliżej nieznanym błędem

- syntetyczność informacji i rezultatów

W hydraulice wiele modeli jest jednowymiarowych, gdyż dokładność rezultatów jest wystarczająco dobra.

Przepływ niestacjonarny dla rurociągu

 

Konieczne są poza tym warunki początkowe: p = p(l) u = u(l)

i warunek brzegowy: określenie na każdym z dwóch końców rurociągu jednej z funkcji p = p(t) i u = u(t)

W zasadzie należy ten układ równań rozwiązać numerycznie.

12.Uderzenie hydrauliczne (wykł.22)

Jeden przypadek tzw. uderzenie hydrauliczne można rozwiązać analitycznie. 

Uderzenie hydrauliczne tj. nagłe zamknięcie zaworu na rurociągu.

Wówczas mamy do czynienia z gwałtownym przyrostem ciśnienia w miejscach zamknięcia rurociągu i rozprzestrzenianiem się fali ciśnienia w górę rurociągu

Jeśli w rurociągu w chwili to nastąpi nagłe jego zamknięcie, to w chwili zamknięcia

p = po, i u = 0, co oznacza, że wartość c2 = 0 rozprzestrzenia się w górę przepływu,

a c1 = 0 z prędkością u + a zgodnie c2 = 0 oznacza skąd p = po + ၲo u a

p = po + ၲo u a - fala ciśnienia tzw. uderzenie hydrauliczne

Natomiast w dół przepływu rozprzestrzenia się fala rozrzedzeniowa, c1 = 0, a zatem p = po - ၲo u a

Groźniejsza z obu fal jest fala ciśnieniowa, bo może zniszczyć rurociąg, natomiast fala rozrzedzeniowa może spowodować co najwyżej kawitację. 

Z uwzględnieniem lepkości fala ciśnieniowa będzie słabsza, bo lepkość doprowadzi do pewnej dyssypacji energii.

Środki zabezpieczające przed konsekwencjami uderzenia hydraulicznego - zbiorniki powietrzne - wieże wyrównawcze - zawory bezpieczeństwa , ale też przedłużenie czasu zamykania (otwierania) zaworu skrócenie długości przewodu.

Zawór bezpieczeństwa - otwiera się podczas uderzenia hydraulicznego i wypuszcza część wody z rurociągu, a więc obniża ciśnienie w rurociągu.

13.Dynamika cieczy lepkiej (wykł.16)

Ciecz lepka - - płyn nieściśliwy, stała gęstość - lepki i przewodzący ciepło - liniowa zależność pomiędzy tensorem naprężeń a tensorem prędkości odkształcenia

 ၭ = const ၬ = const q = 0 ciepło od reakcji chemicznych

F Ⴚ 0 pole sił masowych jednostkowych

Układ równań jest zamknięty, pięć równań i pięć niewiadomych 

W pierwszych dwóch równaniach nie ma temperatury ၱ, tj. prędkość i ciśnienie cieczy lepkiej nieściśliwej nie zależą od temperatury, a więc można układ dwóch pierwszych równań rozwiązać niezależnie od trzeciego, tj. rozwiązać i wyznaczyć pole prędkości v i ciśnienia p, a potem dopiero z ostatniego równania wyznaczyć temperaturę ၱ traktując v i p jako funkcje znane.

 Od równań dla cieczy idealnej różnią się te równania tylko składnikiem ၄ၮ v po prawej stronie. Jednakże w konsekwencji rząd równania jest o jeden wyższy niż dla równań dla cieczy idealnej, wobec czego ilość warunków brzegowych musi być odpowiednio większa. Tym dodatkowym warunkiem jest warunek znikania na ściankach ciał stałych również stycznej do ścianki składowej prędkości vs = 0 zaś inne warunki pozostają bez zmian.

Ze względu na podrzędną rolę temperatury w tych równaniach można ograniczyć się do analizy dwóch pierwszych równań (4 równania skalarne).

Jest to zatem szczególna postać równań Naviera - Stokesa.

Dwa zagadnienia: ważne z technicznego punktu widzenia

1)      opór ciał poruszających się w cieczy lepkiej

2)      ruch cieczy lepkiej w rurach.

14.Hipotezy w ruchu turbulentnym (tensor naprężeń)

Zamknięcie tego układu równań wymaga wprowadzenia dodatkowych hipotez zamykających określających składowe tensora naprężeń turbulentnych, np.:

-         hipoteza Boussinesqa

-         hipoteza drogi mieszania Prandtla

-         hipoteza drogi mieszania Karmana

-         model K - ၥ, itp. ...

Hipotezy zamykające wnoszą do układu równań nowe równania będące wyrazem zastosowanych modeli turbulencji, ponieważ opisują one własności płynu - podobnie jak hipoteza Newtona lepkości płynu, to równania te można zaliczyć do równań konstytutywnych charakteryzujących przepływ turbulentny.

Hipoteza Bussinequa_

ၭB - lepkość turbulentna, wg Boussinesqa wielkość skalarna

Pole turbulencji jest jednak trójwymiarowe, stąd ၭB - tensor

Hipotez ta postuluje zatem istnienie „płynu turbulentnego”

Droga mieszania Prantla_ Dotyczy w zasadzie jednowymiarowego przepływu ścinającego.

Wiry turbulentne zderzają się ze sobą na podobieństwo zderzeń międzycząsteczkowych, droga mieszania jest zatem analogiem drogi swobodnej ruchu cząsteczek.

Prandtl postulował lp = ၫ y ၫ - stała wyznaczana empirycznie

Wtedy, w modelu Prandtla współczynnik lepkości zależy od gradientu prędkości

Model Von Karmana_Dotyczy przepływu ścinającego daleko od ściany

Droga mieszania

 

Model Kołmogorowa - za pomocą analizy wymiarowej dla turbulencji izotropowej i jednorodnej. Są one jednak niezależne od równań Naviera - Stokes'a, stanowią więc pewien empiryczny model turbulencji.

l - skala dużych wirów, skala zewnętrzna turbulencji

ၨ - skala małych wirów ulegających dyssypacji

lo - skala molekularna, określająca lepkość molekularną.

 

Proces przekazywania energii z ruchu głównego do poziomu dysypacji następuje z

Intensywnością określoną intensywnością dysypacji ၥ

Model K - ၥ (Spalding - Launder) inaczej model dwurównaniowy

Szeroko stosowany w obliczeniach numerycznych.

k - energia kinetyczna ruchu fluktuacyjnego płynu

ogólnie lepkość turbulentna ၮt = ၮt (k, ၥ) , a wiec ၥ - prędkość dyssypacji

Stałe są wyznaczane przez porównanie z wynikami eksperymentu w stosunkowo prostych geometriach, jak ślad aerodynamiczny lub prosty kanał. Są to więc równania transportu ၥ i k, energii dysypacji i energii kinetycznej fluktuacji.

 

---