Wykład 26

26. Fale elektromagnetyczne

Maxwell nie tylko wyjaśnił zjawiska elektryczne za pomocą czterech równań, ale wyciągnął z nich wnioski, których nie kojarzono przed nim z elektrycznością. W 1864 r pokazał, że przyspieszony ładunek musi promieniować pole elektryczne i magnetyczne, a następnie, że pola te są do siebie prostopadłe i tworzą kąt prosty z kierunkiem rozchodzenia się fali. Prędkość fal elektromagnetycznych w próżni

(26.1)

Znany nam obecnie zakres widma fal elektromagnetycznych przedstawia rysunek poniżej.

(Omówienie źródeł promieniowania).

1. Równanie falowe

Przypominamy równanie falowe dla struny

Przez analogię równanie falowe dla fali EM (bez wyprowadzenia).

(26.2)

2. Linie transmisyjne

Dotyczy problemu przenoszenia fal EM pomiędzy dwoma punktami.

1. 
   Kabel koncentryczny

Jeżeli przełącznik S (rysunek poniżej) jest połączony z punktem b to przewodniki są na tym samym potencjale.

Jeżeli przełączymy go do pozycji a to między przewodnikami pojawi się różnica potencjałów U. Ta różnica nie wystąpi w całym kablu ale będzie się przenosić wzdłuż kabla ze skończoną prędkością, która dla linii doskonale przewodzącej jest równa prędkości światła c.

Na rysunku obok przedstawiono zależność czasową napięcia między kablami w punkcie odległym o l od źródła.

Impuls w kablu w dowolnej chwili t jest pokazany na rysunku obok.

A tak wygląda kształt fali otrzymanej przy periodycznym przerzucaniu przełącznika między punktami a i b.

Kształt fali po zastąpieniu przełącznika oscylatorem sinusoidalnym.

Oczywiście takie zmiany rejestruje się dopiero dla odpowiednich częstości. Dla częstości np. 50 Hz, λ = c/v = 6·10⁶ m = 6000 km oczywiście nie widać w liniach transmisyjnych sygnałów przypominających fale. Ale już dla częstości mikrofalowych rzędu 10 GHz λ = 3 cm.

2. Pola i prądy w kablu koncentrycznym

Na rysunku ( poniżej) pokazany jest rozkład pola elektrycznego i magnetycznego w kablu koncentrycznym.

Pole elektryczne jest radialne, a pole magnetyczne tworzy współosiowe koła wokół wewnętrznego przewodnika.

Linia transmisyjna ma zerowy opór tzn. pole E nie ma składowej stycznej w dowolnym punkcie powierzchni przewodzącej. To są tzw. warunki brzegowe.

Mamy tu do czynienia z falą bieżącą. Rysunek to tylko jedna z możliwych konfiguracji pól (fali EM) bo ω może się zmieniać w sposób ciągły. Na rysunku dolnym pokazane są prądy (przewodzenia i przesunięcia). Tworzą zamknięte pętle - ciągłość prądu.

3. Falowód

Istnieje możliwość przesyłania fal EM przez pustą rurę metalową (bez przewodnika wewnętrznego). Ściany tej rury (falowodu) mają oporność zerową. Jej przekrój jest prostokątem. Jeżeli do końca falowodu przyłożymy generator mikrofalowy (klistron) to przez falowód przechodzi fala o rozkładzie pól E, B pokazanym na rysunku poniżej.

Falowód z liniami pola E widzianymi z boku (rys. a), liniami B widzianymi z góry (rys. b), i liniami E widzianymi z przodu (rys c). Dla polepszenia czytelności na rysunku (a) pominięto linie B, a na rysunku (b) linie E.

Pole E nie ma składowej stycznej w żadnym punkcie wewnętrznej powierzchni falowodu. Typ transmisji czyli rozkład pól (typ fali) w falowodzie zależy od jego rozmiarów. Ten podstawowy, dla prostokątnego falowodu, rozkład pól będzie przesyłany pod warunkiem, że częstość ω będzie większa od tzw. częstości odcięcia (granicznej) ω₀. Żeby wyeliminować inne rozkłady (nakładanie się ich) wybieramy ω większe od ω₀ dla typu podstawowego, a mniejsze od częstotliwości odcięcia dla innych typów. Wtedy podstawowy typ transmisji jest jedynym. Zwróćmy uwagę, że rozkład nie musi być sinusoidalnie zmienny.

3. Wnęki rezonansowe

Omawialiśmy fale EM bieżące w liniach transmisyjnych. Możliwe jest, podobnie jak dla fal akustycznych, wytworzenie fal EM stojących. Taka fala czyli zespół doscylujących pól B i E może powstać np. w zamkniętym cylindrze wykonanym z dobrego przewodnika. Doprowadzenie fali (z generatora), czyli sprzężenie z linią transmisyjną może być zrealizowane przez mały otwór lub antenę (mały pręt). Podobnie jak dla rezonatora akustycznego (piszczałka organowa, struna) możliwe jest wiele rodzajów drgań z różnymi częstotliwościami.

Formalne potraktowanie drgań we wnęce powinno wyjść od równań Maxwella i kończyć na wzorach opisujących rozkłady pól we wnęce w zależności od czasu i miejsca we wnęce. My ograniczymy się do drgań podstawowych (rysunek poniżej) i pokażemy, że są one zgodne z równaniami Maxwella.

Przerywany okrąg przedstawia drogę całkowania przy obliczaniu B z prawa Ampera, a przerywany prostokąt drogę całkowania przy wyliczaniu E z prawa Faradaya.

Na rysunku widać pole E oraz B. W tej sytuacji załóżmy, że pole B maleje, a pole E rośnie. Zastosujmy, do prostokąta na rysunku, prawo Faradaya.

E równa się zeru dla górnej drogi całkowania (w ścianie wnęki) oraz dla dróg bocznych bo tam E jest prostopadłe do dl. Tak więc

Łącząc równania otrzymujemy:

E jest więc maksymalne gdy strumień magnetyczny zmienia się najszybciej.

W przypadku zmian sinusoidalnych odpowiada to przejściu przez zero (zmianie znaku) B. Więc E ma wartość maksymalną gdy B ma wartość zero w całej wnęce.

Teraz zastosujemy prawo Ampera dla linii pola B widocznych na przekroju (a) wnęki rezonansowej (dla konturu o promieniu r).

Ponieważ żaden ładunek nie przepływa przez kontur więc prąd przewodzenia I = 0. Całka po lewej stronie równania wynosi B2πr więc

Pole B zależy od szybkości zmian strumienia pola E. Tak jak poprzednio dla sinusoidalnych zmian E maksimum B otrzymamy gdy E zmienia znak.

Widać, że pola E i B podtrzymują się wzajemnie. Raz wzbudzone drgania trwają przy nieobecności strat.

4. Promieniowanie

Elektromagnetyczna linia transmisyjna może być zakończona na różne sposoby np. wnęką rezonansową. Może też być zakończona w sposób umożliwiający wypromieniowanie energii elektromagnetycznej do otaczającej przestrzeni. Przykładem takiego zakończenia jest elektryczna antena dipolowa pokazana na rysunku obok.

Różnica potencjałów pomiędzy między drutami zmienia się sinusoidalnie i efekt jest taki jak w przypadku dipola elektrycznego o momencie dipolowym p zmieniającym się co do wielkości jak i kierunku. Na rysunku poniżej pokazane jest pole E i B wytwarzane przez taki dipol czyli też przez taka antenę. Fale rozchodzą się z prędkością c (w próżni). Przedstawione są pola w dużej odległości od dipola.

Fala elektromagnetyczna emitowana przez drgający dipol elektryczny przechodząc przez odległy punkt P jest falą płaską.

Przypomnijmy, że prędkość fali jest dana przez znany wzór c = λv, lub inaczej
c = ω / k, gdzie ω = 2πv oraz k = 2π/λ.

5. Wektor Poyntinga

Jedną z ważnych właściwości fali elektromagnetycznej jest zdolność do przenoszenia energii od punktu do punktu. Szybkość przepływu energii przez jednostkową powierzchnię płaskiej fali elektromagnetycznej można opisać wektorem S zwanym wektorem Poyntinga. Wektor S definiujemy za pomocą iloczynu wektorowego

(26.3)

W układzie SI jest on wyrażony w W/m², kierunek S pokazuje kierunek przenoszenia energii. Wektory E i B są chwilowymi wartościami pola elektromagnetycznego w rozpatrywanym punkcie.

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

25-9

26-6

---