równania różniczkowe i niektóre ich zastosowania ekonomiczne, Ekonometria


Ekonomia Matematyczna

Równania różniczkowe i niektóre ich zastosowania ekonomiczne

W równaniach tych poszukujemy funkcji:

1. Równania różniczkowe zwyczajne w równaniach tych poszukujemy funkcji jednej zmiennej. Ogólna postać takiego równania (równanie nr.1) 0x01 graphic
gdzie F jest daną funkcją n+1 argumentów. Poszukujemy funkcji y= f(x). Liczbę n nazywamy rzędem równania.

    1. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. Postać 0x01 graphic
      (równanie nr 2) Poszukujemy różniczkowej funkcji y= f(x) .Każdą taką funkcję spełniającą równanie ( nr 2) nazywamy rozwiązaniem lub całką równania. Jeżeli z równania (nr 2) można wyznaczyć y' tzn. y'= f (x,y) ( równanie nr 3) a funkcja f(x,y):0x01 graphic
      są ciągłe w pewnym płaskim otoczeniu punktu (x0,y0) to przez ten punkt przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa y=f(x) y0=f(x0)

0x01 graphic

1.1.1 Równanie o zmiennych rozdzielonych

0x01 graphic
lub 0x01 graphic

Równanie „zakażenia „

B - liczba osób w populacji

Y(t) - funkcji różniczkowej ( dla 0x01 graphic
) której wartości całkowite dodatnie oznaczają liczbę osób „zakażonych „ w chwili+ 0x01 graphic
0x01 graphic
- ( równanie nr 4) ay - zakażeni

( b-y) liczba osób nie zakażonych

0x01 graphic
a - stała dodatnia po całkowaniu

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
(B-A)=0

0x01 graphic
b=0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Równanie ( nr 4) jest przykładem pewnego nieliniowego równania zwyczajnego rzędu pierwszego.

    1. Równania różniczkowe liniowe

0x01 graphic

Podstawowe metody całkowania

  1. Metoda przewidywań

  2. metoda uzmienniania stałej

  3. metoda czynnika całkującego prowadząca do wzoru 0x01 graphic

przykład : y - funkcja „ dochód „ y0x01 graphic
0x01 graphic

I - funkcja inwestycji ( stały udział inwestycji w dochodzie ).

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
- zwany stopą wzrostu dochodu w rachunku Kaleckiego np. gdy λ=0,2 , k=3 0x01 graphic

Poziomy stacjonarne procesów.

Jeżeli proces może być opisany za pomocą równania różniczkowego rzędu i-go o stałych współczynnikach to stacjonarne poziomy procesu znajdujemy z równania 0x01 graphic
jeżeli opis procesu 0x01 graphic
równanie y˚=0 oznacza że poszukujemy rozwiązań równania f(y)=0

Przykład : załóżmy, że proces opisuje równanie y˚=y2-5y+6=0 są dwa poziomy stacjonarne y'1=3,y2=2

0x01 graphic

Przykład 2: Proces zakażenia :y˚=ay(b-y)=0

Y=0 interpretujemy że nikt się nie zarazi

Y=b wszyscy się zakażą

Model eskalacji wydatków budżetowych ( np. na zbrojenia )

X=x(t) - funkcja wydatków budżetowych na zbrojenia w systemie I

Y=y(t) - funkcja wydatków na zbrojenia w systemie II

0x01 graphic

jest to układ dwóch równań różniczkowych różniczkowych z dwiema niewiadomymi funkcjami

0x01 graphic
podstawiając do równania I-go równania otrzymamy równanie różniczkowe rzędu II-go względem Y.

Metoda rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych rzędu II-go o stałych współczynnikach. Rozważania ograniczamy do rozważań liniowych postaci 0x01 graphic

0x01 graphic

Rozwiązania poszukujemy w postaci 0x01 graphic

Równanie charakterystyczne jest następujące 0x01 graphic
jest to równanie kwadratowe jeśli Δ>0 to są dwa rzeczywiste rozwiązania r1,r2 . Znaleziona funkcja 0x01 graphic
gdzie stałe c1,c2 wyliczamy mając dwa warunki początkowe.

Y(0)=y0 - konkretna liczba

Y(1)=y1

0x01 graphic

0x01 graphic

istnieje wtedy jeden dwukrotny pierwiastek r1,2 rozwiązanie y=(c1+c2)e

3˚ Δ=a2-4b<0

wtedy równanie charakterystyczne posiada dwa pierwiastki nierzeczywiste

r1=ά-iβ r2=α+iβ gdzie αβ zależą od stałych a i b

0x01 graphic

W analizie numerycznej do obliczeń stosuje się właśnie ten wzór przybliżony

0x01 graphic

Podobnie konstruuje się wzory zwrotne wyrażające 0x01 graphic
za pomocą pochodnych.

Y=Y(t) - różniczkowa funkcja zmiennej t> 0

0x01 graphic

W analizie różniczkowej posługujemy się wielkościami Y(t),Y(t-1), Y(t-2). Rozważmy równanie różniczkowe I rzędu o stałych współczynnikach 0x01 graphic
sosunek ten nazywa się dynamiką Y pomiędzy chwila t-1 a t . Natomiast 0x01 graphic
tempo wzrostu Y (analogiem tego pojęcia jest 0x01 graphic
- stopa wzrostu ).

Analityczne pojęcie problemu stanów stacjonarnych procesów dających się opisać za pomocą równań różnicowych G(Yt,Yt-1)=0 to stan stacjonarny jeśli istnieje znajdujemy z równania G(g,g…)=0

0x01 graphic

0x01 graphic
nie ma stanów stacjonarnych

0x01 graphic

  1. Geg yt jest rosnący powód załóżmy że y1>y0 gdyż0x01 graphic
    załóżmy że dla pewnego t>1 yt>yt-1 wtedy yt+1=0x01 graphic

  2. ciąg yt jest ograniczony z góry ( przez liczbę 2) 0x01 graphic
    załóżmy że dla pewnego t>1 yt<2 wtedy 0x01 graphic
    ciąg yt jest więc bieżny ( jako rosnący i ograniczony )

Niech 0x01 graphic
do rozwiązania 0x01 graphic

Dla równania różniczkowego liniowego rzędu I postaci yt+ay-1=0 yt=Ar+ gdzie A dowolna stała

r- pierwiastek równania charakterystycznego powstałego z rozwiązania znajdujemy

0x01 graphic

Równanie postaci Yt=A(-a)t

Równanie różniczkowe rzędu II

0x01 graphic
otrzymujemy równanie charakterystyczne

r2+ar+b=0

0x01 graphic

Postać trygonometryczna liczb zespolonych

0x01 graphic

Model Samuelana Hiltera

0x01 graphic
( y- produkcja, zt - popyt globalny)

Zt=It+ Ct ( I- inwestycje, Ct- konsumpcje )

0x01 graphic

0x01 graphic

współczynnik kapitałowości inwestycji

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
równania różniczkowe i niektóre ich zastosowania ekonomiczne, Ekonomia,Zarządzanie,Marketing oraz Pr
Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych
Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych e 0e72
Zarządzanie konfliktami w organizacji i ich rozwiązywanie, EKONOMIA, Zarządzanie, Zarządzanie(1)
Potrzeby ludzkie i ich zaspokajanie, Ekonomia Menedzerska
rownania, studia, pomoce naukowe - repetytoria, ekonomia, Nowy folder
podaż dóbr i usług oraz czynniki określające ich wielkości (, Ekonomia, ekonomia
Mikroekonomia - Potrzeby ludzi i ich zaspokajanie, Ekonomia, ekonomia
Zastosowania równań różniczkowych, Analiza Matematyczna
Podaż dóbr i usług oraz czynniki określające ich wielkości, Ekonomia
Zastosowania równań różniczkowych
Zarządzanie konfliktami w organizacji i ich rozwiązywanie, EKONOMIA, Zarządzanie, Zarządzanie(1)
Potrzeby ludzkie i ich zaspokajanie, Ekonomia Menedzerska
Pewne zastosowania teorii dystrybucji i rachunku operatorowego w teorii równań różniczkowych Władysł
Niejednorodne liniowe rownania rozniczkowe
04 Rozdział 03 Efektywne rozwiązywanie pewnych typów równań różniczkowych

więcej podobnych podstron