- 1-

Liczby naturalne.

_________________________ Liczby naturalne to zbiór , w którym najmniejszą liczbą jest zero, a każda następna jest o jeden większa od poprzedniej.

Cyfry arabskie : 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

System dziesiątkowy - dziesięć jednostek rzędu niższego, tworzy jedną jednostkę rzędu wyższego np. 10 jedności to jedna dziesiątka, 10 dziesiątek to 1 setka itd.

Cyfry rzymskie : I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000 .

Oś liczbowa to linia prosta, na której obrano punkt zerowy , odcinek jednostkowy i zwrot.

Działania na liczbach.

_________________________

Dodawanie:

Składnik + składnik = suma

Składnik = suma - składnik , x + 6 = 15 , x = 15 - 6 , x = 9

Odejmowanie:

Odjemna - odjemnik = różnica

Odjemnik = odjemna - różnica , np. 8 -x = 2 , x = 8 - 2 , x = 6

Odjemna = odjemnik + różnica, np. x - 5 = 6 , x = 5 + 6 , x = 11

Mnożenie :

Czynnik ∙ czynnik = iloczyn

Czynnik = iloczyn : czynnik , 6 ∙ x = 30 , x = 30 : 6 = 5

Dzielenie :

Dzielna : dzielnik = iloraz

Dzielnik = dzielna : iloraz , 14 : x = 2 , x = 14 : 2 , x = 7

Dzielna = iloraz ∙ dzielnik , x : 5 = 3 , x = 3 ∙ 5 , x = 15 .

Potęgowanie :

:wielokrotne mnożenie tej samej liczby przez siebie np. 5 ∙ 5 ∙ 5 = 5 ³ oraz a ¹ = a i a ⁰ = 1np 5 ¹ = 5 , 5 ⁰ = 1

DZIELENIE PRZEZ ZERO JEST NIEWYKONALNE !!!! Aby rozwiązać równanie należy ustalić

-------------------------------------------------

1. jakie to działanie,

2.jak nazywają się liczby w tym działaniu,

3.czego nie znamy,

4.jak to obliczyć,

Np. 8 - x = 2

1. jest to odejmowanie,

2.liczby w tym działaniu to: odjemna (8) , odjemnik (x) i różnica (2) .

3.nie znamy odjemnika (x)

- 2 -

4.aby go obliczyć trzeba od odjemnej odjąć różnicę : x = 8 - 2 .

Kolejność wykonywania działań:

1. Działania w nawiasach,

2. Potęgowanie,

3. Mnożenie lub dzielenie ( jeśli nie ma nawiasów, w kolejności w jakiej są zapisane od lewej do prawej)

4. Dodawanie lub odejmowanie ( jeśli nie ma nawiasów, w kolejności w jakiej są zapisane od lewj do prawej ).

Podzielność liczb naturalnych .

----------------------------------------------------------------------

Jedna liczba jest podzielna przez drugą , gdy po wykonaniu dzielenia otrzymamy resztę zero.

Np. 12 jest podzielna przez 3 , bo 12 : 3 = 4 r 0

Liczbę ,przez którą dana liczba dzieli się bez reszty nazywamy dzielnikiem tej liczby .

Np. liczba 6 jest dzielnikiem liczby 12 ,bo 12 : 6 = 2 r 0 .

Liczby , które mają tylko dwa dzielniki , jedynkę i samą siebie nazywamy liczbami pierwszymi .

Np. liczba 11 jest liczbą pierwszą bo D ₁₁ ={ 1 , 11 }.

Liczby , które mają więcej niż dwa dzielniki , nazywamy liczbami złożonymi .

Np. liczba 24 jest liczbą złożoną bo D ₂₄ = { 1, 2 , 3 , 4 ,6 , 8 , 12 , 24 }.

Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze , ani złożone .

Wielokrotnością liczby nazywamy iloczyn tej liczby przez dowolną liczbę naturalną.

Np. Liczba 15 jest wielokrotnością liczby 5 , bo 3 ∙ 5 = 15 .

Największym wspólnym dzielnikiem ( NWD ) kilku liczb , nazywamy największą liczbę, przez którą te liczby dzielą się bez reszty.

Np. NWD_{( 12 i 18 )} = 6 , bo wspólnymi dzielnikami tych liczb są : 1, 2, 3 i 6 ,a największym z nich jest 6 .

Najmniejszą wspólną wielokrotnością ( NWW ) kilku liczb nazywamy najmniejszą liczbę, która dzieli się bez reszty przez te liczby.

Np. NWW _{( 6 i 9 )} = 18 , bo 18 jest najmniejszą liczbą , która dzieli się bez reszty przez 6 i przez 9 .

Jeżeli liczbę napiszemy w postaci iloczynu liczb pierwszych , to mówimy, że rozłożyliśmy liczbę na czynniki pierwsze.

Np. 36 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3

36 | 2

18 | 2

9 | 3

3 | 3

1

- 3 -

Liczby , których wspólnym dzielnikiem jest tylko liczba jeden nazywamy liczbami względnie pierwszymi .

Np. liczby 9 i 8 są liczbami względnie pierwszymi, ponieważ NWD _{( 9 i 8 )} = 1 .

Aby obliczyć NWD lub NWW liczb , rozkładamy liczby na czynniki pierwsze:

Np. oblicz NWD_{(32 i 24)} i NWW_{(32 i 24)}

32 , 24 | 2

16 , 12 | 2

8 , 6 | 2

4 , 3 |

NWD_{(32 i 24)} = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 NWW_{(32 i 24)} = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 96

Cechy podzielności liczb :

Liczba jest podzielna przez 2 , 5 , 10 , gdy w rzędzie jedności tej liczby jest cyfra podzielna przez 2 , 5 , 10 .

Przez 2 -- jedna z cyfr :0, 2, 4, 6 lub 8 .

Przez 5 -- jedna z cyfr : 0 lub 5

Przez 10 - cyfra 0

Liczba jest podzielna przez : 4 , 25 i 100 , gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 , 25 , 100 .

Przez 4 -- 00, 04 , 08 , 12 ,16, 20…….

Przez 25 --- 00, 25 , 50 , 75 .

Przez 100 --- 00 .

Liczba jest podzielna przez 3 i 9 , gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3 i 9 .

Np. liczba 4152 jest podzielna przez 3, bo 4+ 1+5+2 = 12 jest podzielna przez 3.

Aby obliczyć średnią arytmetyczną liczb,dodajemy te liczby , sumę dzielimy przez ich ilość

Np. średnia arytmetyczna liczb: 4 , 6 ,7 i 3 wynosi ( 4+6+7+3 ) : 4 = 20 : 4 = 5

UŁAMKI ZWYKŁE

Dzielenie dwóch liczb można zapisać w postaci ułamka ,w którym dzielna jest licznikiem , dzielnik mianownikiem , kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia .

3 ----- licznik

Np. 3 : 4 = --- ---- kreska ułamkowa

4 ------mianownik

Mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera , gdyż dzielenie przez zero jest niewykonalne .

Ułamek wyraża również część jakiejś wielkości.

Np.
ze 100 złotych, oznacza , że 100 zł muszę podzielić na 4 równe części i wziąć 3 takie części . ( 100 zł : 4 ) ∙ 3 = 25 zł ∙ 3 = 75 zł.

- 4 -

Ułamek , w którym licznik jest mniejszy od mianownika nazywamy ułamkiem właściwym.

Np.
jest ułamkiem właściwym, bo 2 < 3 .

Ułamek , w którym licznik jest większy lub równy mianownikowi nazywamy ułamkiem niewłaściwym.

Np.
to ułamki niewłaściwe ,bo 4 > 3 i 5 = 5 .

Liczba składająca się z liczby całkowitej i ułamka to liczba mieszana .

Np. liczba
to liczba mieszana , bo składa się z liczby 3 i ułamka
.

Ułamki niewłaściwe można zapisać w postaci liczby mieszanej lub liczby całkowitej czyli wyłączyć całości.

Np.
bo 7 : 5 = 1 r 2 ,
bo 18 : 3 = 6 ,
bo 4 : 4 = 1 .

Liczby mieszane można zapisać w postaci ułamka niewłaściwego zamienić na ułamek niewłaściwy .

Np.
.

Ułamki można skracać i rozszerzać,nie zmieniają one wtedy swej wartości.

Aby rozszerzyć ułamek należy jego licznik i mianownik pomnożyć przez tę samą liczbę naturalną różną od zera i jedynki .

Np.
- rozszerzyliśmy ułamek
przez 5 .

Aby skrócić ułamek należy jego licznik i mianownik podzielić przez tę samą liczbę naturalną różną od zera i jedynki .

Np.
- skróciliśmy ułamek
przez 6 .

Ułamki skracamy przez największy wspólny dzielnik licznika i mianownika .

Np. NWD_{( 18 i 24 )} = 6 ,dlatego ułamek
skróciliśmy przez 6 i otrzymaliśmy ułamek nieskracalny.

Jeżeli licznik i mianownik ułamka są liczbami względnie pierwszymi to ułamek jest nieskracalny .

- 5 -

Np. Ułamek
jest nieskracalny, bo NWD_{(5 i 7)} = 1 .

W dodawaniu , odejmowaniu i porównywaniu ułamków zwykłych , należy je sprowadzić do wspólnego mianownika

Wspólnym mianownikiem ułamków jest najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników.

Sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika to znaczy przedstawić je tak , aby mianownikami tych ułamków była ich najmniejsza wspólna wielokrotność .

Np. Wspólnym mianownikiem ułamków
jest liczba 12 , bo NWW _{( 4 i 6 )} =12 .

Np.
, bo ( 12 : 4 ) ∙ 3 =9

, bo ( 12 : 6 ) ∙ 5 = 10

Jak szukać wspólnego mianownika ?

1.Jeżeli mianowniki są liczbami względnie pierwszymi to mnożymy je przez siebie .

Np. wspólnym mianownikiem
jest 5 ∙ 7 czyli 35 ponieważ 5 i 7 są liczbami względnie pierwszymi .

2. Jeżeli mianowniki nie są liczbami względnie pierwszymi, to sprawdzamy czy największy z nich jest podzielny przez pozostałe , jeśli tak to on jest wspólnym mianownikiem.

Np. wspólnym mianownikiem ułamków
jest liczba 12 , bo jest ona podzielna przez pozostałe czyli przez 4 i 6 .

3. Jeśli mianowniki nie są względnie pierwsze i największy z nich nie jest podzielny przez pozostałe , to sprawdzamy czy wielokrotność największego ( dwukrotność , trzykrotność , czterokrotność …. ) największego jest podzielna przez pozostałe , jeśli tak to ona jest wspólnym mianownikiem .

Np. wspólnym mianownikem ułamków
jest 48 ,bo 2 ∙ 16 = 32 nie jest podzielne przez 12 ,ale 3 ∙ 16 = 48 jest podzielne przez 12 .

4. W trudniejszych przypadkach ,rozkładamy mianowniki na czynniki pierwsze i obliczamy NWW ,która jest wspólnym mianownikiem .

- 6 -

Np. wspólnym mianownikiem ułamków
jest 72 , bo :

24 , 18 | 2

12 , 9 | 3

4 , 3 | NWW _{( 24 , 18 )} = 4 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 2 = 72

Aby porównać ułamki zwykłe należy je doprowadzić do do wspólnego mianownika lub wspólnego licznika .

Jeżeli ułamki mają jednakowe liczniki to ten jest większy , który ma mniejszy mianownik.

Np.
.

Jeżeli ułamki mają jednakowe mianowniki to ten jest większy, który ma większy licznik .

Np.
.

DZIAŁANIA NA UŁAMKACH ZWYKŁYCH .

Dodawanie i Odejmowanie .

Aby dodać ułamki o jednakowych mianownikach , dodajemy liczniki , a mianownik przepisujemy.

Np.

Aby odjąć ułamki o jednakowych mianownikach , odejmujemy liczniki , mianownik przepisujemy .

Np.

; od ułamka
nie da się odjąć ułamka
, trzeba jedną całość zapisać w postaci ułamka o mianowniku 4 .

1 =
zatem
=

Aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach , należy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika.

Np.

=

- 7 -

Po wykonaniu dodawania lub odejmowania należy wyłączyć całości i skrócić ułamek .

Mnożenie i dzielenie .

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną , mnożymy licznik przez tę liczbę , a mianownik przepisujemy .

Przed wykonaniem mnożenia sprawdzamy czy nie da się skrócić. Skracamy liczbę naturalną z mianownikiem.

Aby pomnożyć ułamek przez ułamek mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik.

Np.

Przed wykonaniem mnożenia, jeśli się da skracamy na krzyż ( licznik pierwszego z mianownikiem drugiego , a licznik drugiego mianownikiem pierwszego ) .

W mnożeniu liczby mieszane zamieniamy na na ułamki niewłaściwe .

Np.

Aby obliczyć ułamek danej wielkości , należy pomnożyć ułamek przez tę wielkość.

Np. Ile minut stanowi
godziny ?

z 1 godziny =

Lub
.

Jedna liczba jest odwrotnością drugiej , jeżeli ich iloczyn jest równy liczbie 1 .

Np.
jest odwrotnością liczby
, bo

jest odwrotnością 2 , bo 2=

Aby podać odwrotność liczby mieszanej, trzeba ją najpierw zamienić na ułamek niewłaściwy.

Np. odwrotnością liczby
jest liczba
, bo

- 8 -

Aby podzielić liczbę przez ułamek , należy tę liczbę pomnożyć przez odwrotność tego ułamka.

Np.

W dzieleniu liczby mieszane zamieniamy na ułamki niewłaściwe.

Dzielenie przez zero jest niewykonalne !!!!!!!!!!

Aby obliczyć liczbę z danego jej ułamka , dzielimy tę liczbe przez ten ułamek.

Np. Ala i Ola zjadły 18 cukierków ,co stanowiło
wszystkich cukierków. Ile było wszystkich cukierków ?

18 :

UŁAMKI DZIESIĘTNE .

Ułamki , których mianowniki są liczbami 10 ,100, 1000 ….. nazywamy ułamkami dziesiętnymi .

Np.
to ułamki dziesiętne .

Ułamki dziesiętne możemy zapisać w postaci dziesiętnej ( bez kreski ułamkowej ) .

Np.

Ułamek dziesiętny można rozszerzyć , dopisując zera za ostatnią cyfrą ułamka .

Np. 4 = 4,0 = 4,00 = 4,000

Ułamek dziesiętny można skrócić odrzucając końcowe zera tego ułamka .

Np. 0,12000 = 0,1200 = 0,120 = 0,12

Działania na ułamkach dziesiętnych .

Dodając ułamki dziesiętne sposobem pisemnym, podpisujemy je tak , aby przecinek był pod przecinkiem i zaczynamy dodawanie od najniższego rzędu . W wyniku przecinek stawiamy pod przecinkami .

- 9 -

Np. 3 5 , 7 0 8

1 2 , 0 9 5

7 , 3 5 9

+ ___________

5 5 , 1 6 2

Odejmując ułamki dziesiętne sposobem pisemnym postępujemy podobnie .

Np. 1 2 5 , 0 5 2

- 9 5 , 3 6 5

_________________

2 9 , 6 8 7

Aby pomnożyć ułamek dziesiętny przez 10 , 100 , 1000 itd. wystarczy przesunąć przecinek w tej liczbie o jedno , dwa , trzy itd. miejsca w prawą stronę.

Np. 0 , 8 2 5 ∙ 1 0 0 = 8 2 , 5

Aby podzielić ułamek dziesiętny przez 10 , 100 ,1000 itd. wystarczy przesunąć przecinek w tej liczbie o jedno , dwa , trzy itd. miejsca w lewa stronę .

Np. 2 5 4 , 7 : 1 0 0 0 = 0 , 2 5 4 7

Mnożąc ułamki dziesiętne sposobem pisemnym, podpisujemy i mnożymy je tak jak liczby naturalne (przecinek nie musi być pod przecinkiem ) , a w końcowym iloczynie odzielamy przecinkiem (od lewej strony w prawą) tyle cyfr , ile jest w obu czynnikach razem .

Np. 1 2 , 7 5 2 miejsca 2 3 4 5

∙ 0 ,4 1 miejsce
^{razem 3 miejsca} ∙ 0, 1 2 3 3 miejsca

_________ __________

5 , 1 0 0 3 miejsca po przecinku 7 0 3 5

4 6 9 0

+ 2 3 4 5

___________

2 8 8,4 3 5 3 miejsca po

przecinku

Aby podzielić pisemnie ułamek dziesiętny przez liczbe naturalną , dzielimy tak jak liczby naturalne , stawiając przecinek nad przecinkiem .

- 10 -

Np. 0 , 1 4

^{_________________}

1 , 9 6 : 1 4

- 1 4

^___________

5 6

- 5 6

^_________

0

Aby podzielić liczbę przez ułamek dziesiętny, przesuwamy przecinek w dzielnej i w dzielniku o tyle miejsc w prawo,aby dzielnik stał się liczbą naturalną i dopiero wtedy wykonujemy dzielenie.

- 10 -

Np. _{___} 0 , 5 5_{__________}

0 , 1 3 7 5 : 0 , 2 5 = 1 3 , 7 5 : 2 5 przesuwamy przecinek w dzielnej

- 0 i dzielniku o dwa miejsca w prawo

^{_____________}

1 3 7

- 1 2 5

^{________________}

1 2 5

- 1 2 5

^{________________}

0

Aby znaleźć rozwinięcie dziesiętne ułamka zwykłego należy :

1.rozszerzyć , albo skrócić ułamek tak , aby w mianowniku otrzymać potęgę liczby 10 , a następnie zapisać go w postaci dziesiętnej.

Np.

Lub

2. podzielić licznik przez mianownik :

-11-

np
, bo _{______}0 _, 7 5_{___________}

3 : 4

- 0

^{_______________}

3 0

- 2 8

^____________

2 0

- 2 0

________

0

Ułamek dziesiętny ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe.

Np. ułamek
ma rozwinięcie skończone ( bo dzielenie licznika przez mianownik się kończy

Więc

.

Ułamek
ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe , bo dzielenie licznika przez mianownik się nie kończy, a pewne cyfry się powtarzają ( są w okresie ).

- 11 -

Np. 0 , 3 3 3 3 3 ….

^{_______________________________--}

1 : 3

^{__________________}

1 0

- 9

^{________________}

1 0

- 9

^{_____________}

1

Liczby dziesiętne możemy zaokrąglać w górę lub w dół .W dół zaokrąglamy,gdy pierwszą odrzucaną cyfrą jest : 0 , 1 , 2 ,3 lub 4 .

Np. 5,2384 ≈ 5,2

W górę zaokrąglamy, gdy pierwszą odrzucaną cyfrą jest :5 6 7 8 lub 9 .

Np. 5,2384 ≈ 5,24

- 12 -

PROCENTY .

Procent , to inny zapis ułamka o mianowniku 100 ,
np.
; 0, 17 = 17 % i oznacza setne części jakiejś wielkości .

Liczbę można przedstawić w postaci procentu mnożąc ją przez przez 100% .

Np.
,
, 2 = 2 ∙ 100 % = 200% .

Procenty możemy zamienić na ułamek , pisząc liczbę procentów w liczniku, a w mianowniku ułamka liczbę 100 , następnie skracamy ułamek . ( zamiast znaku % piszemy mianowniku ułamka 100 ) .

Np. 25% =
, 0,8% =
.

Obliczenia procentowe :

Obliczanie procentu danej liczby ( wiemy ile procent ,wiemy z jakiej liczby ,nie wiemy ile to wynosi ) -procenty wyrażamy wpostaci ułamka i mnożymy przez daną liczbę .

Np. Książka kosztuje 30zł . Cenę obniżono o 20 % . O ile złotych obniżono cenę ?

ile procent - 20%

z jakiej liczby - 30zł

ile to wynosi - ?

20 % z 30zł =
.

Obliczanie liczby z danego jej procentu (wiemy ile procent , wiemy ile to wynosi , nie wiemy z jakiej liczby liczono ) - dzielimy daną liczbę przez liczbę procentów lub układamy równanie .

Np. Cenę książki obniżono o 6zł co stanowi 20 % pierwotnej ceny . Jaka była pierwotna cena tej książki ?

ile procent - 20%

z jakiej liczby - ?

ile to wynosi - 6zł

6zł : 20 % = 6zł :

Lub x - pierwotna cena, 20% z x = 6zł

Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba (wiemy ile , wiemy z jakiej liczby, nie wiemy ile to procent ) - dzielimy jedną liczbę przez drugą i mnożymy przez 100%.

- 13 -

Ile

^_________ ∙ 100 %

Z ilu

Np. Książka kosztowała 30zł .Cenę obniżono o 6zł . Ilu procentowa była obniżka ?

Ile - 6zł

Z ilu - z 30zł

Ile to procent - ?

Podwyżki i oniżki cen (znamy cenę przed podwyżką lub obniżką ,znamy cenę po podwyżce lub obniżce, nie wiemy ilu procentowa była podwyżka lub obniżka.Obliczamy w następujący sposób: o ile podwyższono ( obniżono )

^{_________________________________________} ∙ 100 %

Z jakiej kwoty podwyższano(obnizano)

Np.a) Książka kosztowała 30zł , obecnie kosztuje 24zł . O ile procent obniżono cenę ?

O ile zł obniżono cenę - 30zł - 24zł = 6zł

Z jakiej kwoty obniżano - z 30 zł

b) Książka kosztowała 30zł, obecnie kosztuje 33zł . O ile procent podwyższono cenę ?

O ile zł podwyższono cenę - 33zł - 30zł = 3zł

Z jakiej kwoty podwyższano - 30zł

∙ 100% =

LICZBY UJEMNE

Wartość bezwzględna liczy to jej odległość od zera na osi liczbowej.

Np. | 6 | = 6, bo jej odległość od zera wynosi 6 jedostek.

| - 6 | = 6 , bo jejodległośc od zera wynosi 6 jednostek.

Liczby, które mają te same wartości bezwzględne , lecz różnią się znakami nazywamy liczbami przeciwnymi .

Np. liczby - 6 i + 6 to lczby przeciwne .

Suma liczb przeciwnych jest zawsze równa zero.

Np. 6 + ( - 6 ) = 0

Uwaga : znak „+” stojący przed liczbą dodatnią zazwyczaj pomijamy.

-14-

Aby dodać dwie liczby o tych samych znakach,dodajemy ich wartości bezwzględne , a przed wynikiem stawiamy taki znak , jaki mają te liczby .

Np. ( + 4 ) + ( + 5 ) = ( + 9 )

( - 4 ) + ( - 5 ) = ( - 9 )

Aby dodać dwie liczby o różnych znakach , odejmujemy ich wartości bezwzględne (od większej mniejszą), a przed wynikiem stawiamy znak tej , która ma większą wartość bezwzględną.

Np. ( - 4 ) + ( + 7 ) = ( + 3 )

( + 4 ) + ( - 7 ) = ( - 3 )

Odejmowanie zastępujemy dodawaniem liczby przeciwnej.( Do odjemnej dodajemy liczbę przeciwną odjemnikowi ) .

Np. 3 - 7 = 3 + ( - 7 ) = - 4 ( od 3 odjąć 7 , to to samo co do 3 dodać -7 )

-7 - (- 6 ) = - 7 + 6 = - 1 ( od -7 odjąć - 6 , to to samo co do -7 dodać 6 ) .

Aby pomnożyć ( podzielić ) liczby o tych samych znakach ,mnożymy (dzielimy ) ich wartości bezwzględne , a przed wynikiem stawiamy znak plus .

Np. ( + 3 ) ∙ ( + 4 ) = ( + 12 )

( - 24 ) : ( - 6 ) = ( + 4 )

Aby pomnożyć ( podzielić) liczby o różnych znakach , mnożymy (dzielimy) ich wartości bezwzględne , a przed wynikiem stawiamy znak minus .

Np. ( - 4 ) ∙ ( + 3 ) = ( - 12 )

( + 15 ) : ( - 5 ) = ( - 3 ) .

PROPORCJE.

Proporcją nazywamy równość dwóch ułamków

Np.
proporcję możemy zapisać w innej postaci : 3 : 4 = 6 : 8 , liczby 3 i 8 to wyrazy skrajne , a liczby 4 i 6 to wyrazy środkowe proporcji .

W proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych:

3 ∙ 8 = 4 ∙ 6.

Korzystając z proporcji można rozwiązywać równania postaci :

, 4 ∙ x = 3 ∙ 8 , 4 ∙ x = 24 , x = 24 : 4 , x = 6

RÓWNANIA

1. W równaniu wolno usunąć nawiasy (korzystając z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania lub odejmowania ), dodac wyrazy podobne.

2. W równaniu wolno przenieść dowolny wyraz z jednej strony równania na drugą , zmieniając znak wyrazowi przenoszonemu na przeciwny.

-15-

3.Obie strony równania wolno pmnożyć lub podzielić przez taką samą liczbę różną od zera.

Np. 2 ( 2x - 4 ) = x + 1

2 ∙ 2x - 2 ∙ 4 = x + 1

4x - 8 = x + 1

4x - x = 1 + 8

3x = 9 / : 3

X = 3

NIERÓWNOŚCI

1.W nierówności wolno usunąć nawiasy( korzystając z rozdzielności mnożenia względem dodawania lub odejmowania) , dodać wyrazy podobne .

2. W nierówności wolno przenieść dowolny wyraz z jednej stronna drugą ze zmienionym znakiem.

3. Obie strony nierówności wolno pomnożyć lub podzielić przez taką samą liczbę dodatnią.

Obie strony nierówności wolno pomnożyć lub podzielić przez taką samą liczbę ujemną, zmieniając zwrot nierówności na przeciwny.

Np. 3 ( 2x + 1 ) > 2 ( 4x + 3 )

3 ∙ 2x + 3 ∙ 1 > 2 ∙ 4x + 2 ∙ 3

6x + 3 > 8x + 6

6x - 8x > 6 - 3

- 2x > 3 / : ( - 2 )

x < - 1,5

W ZADANIACH TEKSTOWYCH :

Wartość = ilość ∙ cena droga = prędkość ∙ czas

Cena = wartość : ilość prędkość = droga : czas

Ilość = wartość : cena czas = droga : prędkość

Próba złota ( srebra ) = ilość czystego złota(srebra) : ilość stopu

Ilość czystego złota(srebra) = próba ∙ ilość stopu

Ilość stopu = ilość czystego złota(srebra) : próba

- 16 -

POLA I OBWODY

Prostokąt

Pole prostokąta = długość ∙ szerokość

Szerokość

Obwód = 2 ∙ długość + 2 ∙ szerokość

lub

Długość Obwód = 2 ∙ ( długość + szerokość )

Kwadrat

Pole kwadratu = długość ∙ szerokość = (długość boku) ²

szerokość Pole kwadratu =
jedna przekątna ∙ druga przekątna =

=
(długość przekątnej ) ²

długość Obwód = 4 ∙ długość boku

Przekątne kwadratu są równe i przecinają się pod kątem prostym.

Równoległobok

||||

Pole równoległoboku = podstawa ∙ wysokość

II bok

WWW Wywwwwww Obwód = 2 ∙ podstawa + 2 ∙ drugi bok

podstawa

Romb

Pole rombu = podstawa ∙ wysokość

Pole rombu =
krótsza przekątna ∙ dłuższa przekątna

podstawa Obwód rombu = 4 ∙ długość boku

W rombie wszystkie boki są równe , przekątne dzielą się na połowy i przecinają się pod kątem prostym..

- 17 -

Trójkąt

Pole trójkąta =
podstawa ∙ wysokość

Obwód = suma długości wszystkich boków

Podestawa

W trójkącie suma kątów wewnętrznych jest równa 180 ^o.

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe , a w równobocznym wszystkie są równe i każdy ma po 60 ^o.

Trapez

Podstawa górna

Pole trapezu =
( podstawa dolna + podstawa górna)∙ wysokość

Podstawa dolna

JEDNOSTKI DŁUGOŚCI JEDNOSTKI POLA

1mm 1mm ²

1cm = 10mm 1cm ² = 100mm²

1dm = 10cm = 100mm 1dm² = 100cm² = 1000mm²

1m = 10dm = 100cm = 1000mm 1m² = 100dm² = 1000cm² = 1 000 000mm²

1km = 1000m = 10 000dm = 100 000cm 1km² = 1 000 000m²

GRUNTOWE JEDNOSTKI POLA

1 ar — 1a

1a = 100 m²

1 hektar — 1ha

1ha = 100a = 10 000m²

- 18 -

Sześcian

Objętość = długość ∙ szerokość ∙ wysokość

wysokość

Pole powierzchni = 6 ∙ pole powierzchni jednej ściany

szerokość

długość Sześcian ma wszystkie krawędzie równe ( długość = szerokość =wysokość)

Każda ściana jest kwadratem .

Prostopadłościan

Objętość = długość ∙ szerokość ∙ wysokość

wysokość

Pole powierzchni = sumie pól wszystkich ścian

szerokość

długość

JEDNOSTKI OBJĘTOŚCI

1mililitr — 1 ml 1mm³

1litr — 1 l = 1000ml 1cm³ = 1000mm³

1 hektolitr — 1 hl = 100 l 1dm³ = 1000cm³ = 1000 000mm³

1m³ = 1000dm³ = 1000 000cm³

1dm³ = 1 litr

1 litr wody = 1kg

-19-

JEDNOSTKI MASY

1gram — 1g 1kwintal — 1q = 100kg

1dekagram — 1dag = 10g 1tona — 1t = 10q =1000kg

1kilogram — 1kg = 100dag = 1000g

SKALA

Skala 1 : 50 — ( pomniejszająca) oznacza,że rzeczywiste wymiary zmniejszono 5 0 razy .

Np. rzeczywisty wymiar — 100cm │wymiar wskali — 3cm

sala 1 : 5 0 │skala 1 : 5 0

wymiar w skali — 100cm : 50 = 2cm │wymiar rzeczywisty — 3cm ∙ 50 = 150cm

Skala 20 : 1— ( powiększająca ) oznacza , że rzeczywiste wymiary powiększono 20 razy.

Np. rzeczywisty wymiar — 3cm │wymiar w skali — 80cm

Skala 20 : 1 │skala 20 : 1

Wymiar w skali — 3cm ∙ 20 = 60cm │wymiar rzeczywisty — 80cm : 20 = 4cm

Pole trapezu =
( podstawa dolna + podstawa górna )

podstawa

wysokość

---