Aksjomaty oddzielania

W rozdziale tym omówimy pewne warunki, zwane aksjomatami oddzielania, jakie można nakładać na badane przestrzenie topologiczne. Dotyczą one możliwości "oddzielania od siebie" w pewien sposób niektórych podzbiorów przestrzeni. Przedstawimy aksjomaty T₀,T₁,T₂,T₃,T_3,5,T₄,T₅,T₆ wraz z przykładami i podstawowymi własnościami przestrzeni je spełniających.

Przestrzenie T₀

Definicja

Mówimy, że przestrzeń topologiczna X spełnia aksjomat T₀ (lub: X jest przestrzenią Kołmogorowa), o ile dla każdych
takich, że
, istnieje zbiór otwarty
taki, że
lub
.

Zamiast pisać "X spełnia aksjomat T_i" będziemy również pisali: "X jest przestrzenią T_i" lub krócej "X jest T_i".

Własności

1. Spełnianie aksjomatu T₀ jest własnością topologiczną.

2. Przestrzeń X jest T₀ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary punktów
   takich, że
   , zachodzi
   .

Dowód:

[
] Weźmy
takie, że
. Z założenia istnieje zbiór otwarty
taki, że
lub
. Przypomnijmy, że dla dowolnych
,
warunek
jest równoważny warunkowi
. W pierwszym przypadku mamy zatem
, zaś w drugim
. Ponieważ
, otrzymujemy tezę.

[
] Jeśli
, to istnieje punkt
taki, że
lub
. Z przypomnianej w dowodzie implikacji w drugą stronę charakteryzacji domknięcia wynika, że istnieje otwarte otoczenie
punktu z takie, że
lub
, co kończy dowód twierdzenia.

3. Podprzestrzeń przestrzeni T₀ jest przestrzenią T₀.

Dowód:

Niech X będzie T₀ i
. Przypuśćmy, że
są takie, że
. Wówczas, ponieważ X jest T₀ istnieje
otwarty i taki, że należy do niego dokładnie jeden spośród punktów x,y. Wówczas
jest otwarty w A i również należy do niego dokładnie jeden spośród punktów x,y.

4. Produkt rodziny
   niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią T₀ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
   przestrzeń X_i jest T₀.

Dowód:

[
] Przypuśćmy, że
oraz
. Istnieje zatem
takie, że
. Ponieważ
jest przestrzenią T₀ istnieje otwarte
takie, że do U należy dokładnie jeden z punktów
. Stąd
, gdzie
, jest otwartym otoczeniem dokładnie jednego z punktów
.

[
] Ustalmy
oraz dla każdego
wybierzmy element
. Wówczas przestrzeń
, gdzie
jest, co nietrudno sprawdzić, homeomorficzna z
. Ponadto przestrzeń ta jest T₀ jako podprzestrzeń
. Fakt, że własność T₀ jest topologiczna kończy dowód.

Przykłady

Przykłady przestrzeni, które są T₀ pojawią się w dalszej części tekstu. Tu podamy przykłady przestrzeni, które aksjomatu T₀ nie spełniają. Podobna zasada obowiązywać będzie również w dalszych sekcjach z przykładami w tym rozdziale.

Przestrzeniami T₀ nie są:

1. co najmniej dwuelementowa przestrzeń antydyskretna;

2. zbiór
   liczb całkowitych z topologią
   ;

3. zbiór liczb rzeczywistych z topologią generowaną przez bazę
   .

• Ćwiczenie: Sprawdzić, że wymienione wyżej przestrzenie faktycznie nie są T₀.

Przestrzenie T₁

Definicja

Przestrzeń topologiczna X jest przestrzenią T₁ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej pary punktów
takich, że
, istnieje zbiór otwarty
taki, że
.

Przestrzenie T₁ bywają nazywane przestrzeniami Frécheta. Nazwa ta jest jednak zdecydowanie częściej używana w zupełnie innym znaczeniu, wobec czego bezpieczniej pozostać przy określeniu "przestrzeń T₁".

Własności

1. Spełnianie aksjomatu T₁ jest własnością topologiczną.

2. Podprzestrzeń przestrzeni T₁ jest przestrzenią T₁.

3. Produkt rodziny niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią T₁ wtedy i tylko wtedy, gdy każda z przestrzeni należących do tej rodziny jest T₁.

4. Każda przestrzeń T₁ jest przestrzenią T₀.

5. Przestrzeń X jest T₁ wtedy i tylko wtedy, gdy
   dla każdego punktu
   .

Dowód:

[
] Przypuśćmy, że X jest przestrzenią T₁ i
. Dla każdego punktu
istnieje zbiór otwarty
taki, że
. Określmy
. Zbiór F_y jest domknięty oraz
. Mamy
.

[
] Przypuśćmy, że w przestrzeni X wszystkie zbiory jednoelementowe są domknięte oraz
,
. Ponieważ zbiór {y} jest domknięty, zbiór
jest otwartym otoczeniem x nie zawierającym y.

• Ćwiczenie: Udowodnić własności podane wyżej bez dowodów.

• Ćwiczenie: Wykazać, że przestrzeń topologiczna jest T₁ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jej skończony podzbiór jest domknięty. Jako wniosek wykazać, że każda skończona przestrzeń T₁ jest dyskretna.

Przykłady

Podamy teraz przykłady przestrzeni T₀ nie będących przestrzeniami T₁:

1. przestrzeń Sierpińskiego (patrz: rozdział 3., podrozdział "topologia Tichonowa", przykład 4.);

2. odcinek [ − 1,1] z topologią generowaną przez podbazę
   .

• Ćwiczenie: Wykazać, że wyżej podane przestrzenie faktycznie są T₀ i nie są T₁.

Przestrzenie T₂

Definicja

Przestrzeń topologiczną X nazywamy przestrzenią T₂ (lub przestrzenią Hausdorffa) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary punktów
takiej, że
, istnieją rozłączne zbiory otwarte
takie, że
.

Własności

1. Spełnianie aksjomatu T₂ jest własnością topologiczną.

2. Spełnianie aksjomatu T₂ jest własnością dziedziczną.

3. Produkt rodziny niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią T₂ wtedy i tylko wtedy, gdy każda z przestrzeni należących do tej rodziny jest T₂.

4. Każda przestrzeń T₂ jest przestrzenią T₁.

5. Przestrzeń X jest T₂ wtedy i tylko wtedy, gdy przekątna
   jest domkniętym podzbiorem przestrzeni
   .

Dowód:

Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Zauważmy, że Delta(X) jest domknięty w
wtedy i tylko wtedy, gdy
jest otwarty w
.

[
] Załóżmy, że X jest T₂. Niech
będzie dowolne. Pokażemy, że istnieje otoczenie otwarte (x,y) zawarte w
(stąd wynika już otwartość
). Istotnie, istnieją otwarte, rozłączne podzbiory U,V przestrzeni X takie, że
. Stąd
jest otwartym podzbiorem
zawierającym punkt (x,y), a ponieważ
, to
.

[
] Załóżmy, że Δ(X) jest zbiorem domkniętym i weźmy
takie, że
. Wówczas
. Ale
jest zbiorem otwartym. Wobec tego istnieje zbiór bazowy
(gdzie U,V są otwartymi podzbiorami X) taki, że
. Stąd zbiory U,V są rozłącznymi, otwartymi otoczeniami odpowiednio x i y.

6. Przestrzeń X jest T₂ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu
   przekrój domknięć wszystkich zbiorów otwartych zawierających x jest zbiorem jednoelementowym {x}.

Dowód:

Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Dla
przez
oznaczmy rodzinę domknięć zbiorów otwartych zawierających x, tzn.
.

[
] Niech X będzie T₂ i
. Oczywiście
. Z drugiej strony, dla każdego
istnieją rozłączne zbiory otwarte U,V takie, że
. Gdyby
, to
, zatem
i w konsekwencji
.

[
] Rozważmy dowolne
takie, że
. Ponieważ
, to istnieje otoczenie otwarte U punktu x takie, że
. To z kolei oznacza, że istnieje otoczenie otwarte V punktu y takie, że
.

7. Jeśli X jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś Y jest przestrzenią T₂, to dla dowolnych funkcji ciągłych
   zbiór
   jest domknięty w X.

Dowód:

Pokażemy, że dopełnienie zbioru
jest otwarte w X. Weźmy
takie, że
. Ponieważ Y jest T₂, istnieją rozłączne zbiory otwarte
takie, że
. Niech
. Oczywiście, A jest otwartym otoczeniem y. Ponadto,
, gdyż
.

8. Jeśli X jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś Y jest przestrzenią T₂, to dla dowolnej funkcji ciągłej
   jej wykres
   jest domknięty w
   .

Dowód:

Niech odwzorowania ciągłe
będą zadane wzorami: f₁(x,y) = x, f₂(x,y) = f(y). Zauważmy, że
, zatem z Własności 7. zbiór Γ(f) jest domknięty.

• Ćwiczenie: Udowodnić własności podane wyżej bez dowodów.

Przykłady

Niżej podane przestrzenie są T₁ i nie są T₂:

1. dowolny zbiór nieskończony z topologią dopełnień zbiorów skończonych (patrz: rozdział 1., podrozdział "Przestrzeń topologiczna", przykład 4.);

2. zbiór mocy λ z topologią dopełnień zbiorów mocy ostro mniejszej niż κ, gdzie κ,λ są liczbami kardynalnymi takimi, że
   .

• Ćwiczenie: Wykazać, że wyżej podane przestrzenie faktycznie są T₁ i nie są T₂.

Przestrzenie T₃

Definicja

Przestrzeń topologiczna X jest przestrzenią T₃ (lub przestrzenią regularną) wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenią T₁ oraz dla każdego zbioru domkniętego
oraz punktu
istnieją rozłączne zbiory otwarte
takie, że
,
.

Część autorów rozróżnia pojęcia "przestrzeń regularna" i "przestrzeń T₃". Przestrzeniami regularnymi nazywa się czasem przestrzenie, w których można oddzielać zbiorami otwartymi punkty od zbiorów domkniętych, ale które nie muszą być T₁ (przykład takiej przestrzeni podamy poniżej), zaś przestrzeniami T₃ przestrzenie zdefiniowane powyżej. Zdarza się też sytuacja odwrotna.

Własności

1. Spełnianie aksjomatu T₃ jest własnością topologiczną.

2. Spełnianie aksjomatu T₃ jest własnością dziedziczną.

3. Produkt rodziny niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią T₃ wtedy i tylko wtedy, gdy każda z przestrzeni należących do tej rodziny jest T₃.

4. Każda przestrzeń T₃ jest przestrzenią T₂.

5. Przestrzeń topologiczna X spełniająca warunek T₁ jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu
   i jego otoczenia otwartego
   istnieje otoczenie otwarte
   punktu x takie, że
   .

Dowód:

[
] Ustalmy
i otwarte otoczenie U punktu x. Zbiór
jest domknięty oraz
, wobec czego istnieją rozłączne zbiory otwarte
takie, że
,
. Przyjmijmy V = A. Zauważmy, że
, ale
jest domknięty, wobec czego
.

[
] Ustalmy zbiór domknięty
oraz punkt
. Zbiór
jest otwartym otoczeniem x, wobec czego istnieje zbiór otwarty
taki, że
. Wobec tego
jest otwarty, rozłączny z V oraz
.

• Ćwiczenie: Udowodnić własności podane wyżej bez dowodów.

Przykłady

(dopisać)

Przestrzenie T_3,5

Definicja

Przestrzeń topologiczna X jest przestrzenią T_3,5 (lub przestrzenią całkowicie regularną, przestrzenią Tichonowa) wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenią T₁ oraz dla każdego zbioru domkniętego
oraz punktu
istnieje funkcja ciągła
taka, że f(x) = 0 i
.

Mówimy, że funkcja f z powyższej definicji oddziela zbiór F od punktu x.

Część autorów rozróżnia pojęcia "przestrzeń całkowicie regularna" i "przestrzeń T_3,5". Przestrzeniami całkowicie regularnymi nazywa się czasem przestrzenie, w których można oddzielać funkcjami punkty od zbiorów domkniętych, ale które nie muszą być T₁ (przykład takiej przestrzeni podamy poniżej), zaś przestrzeniami T₃,5 przestrzenie zdefiniowane powyżej. Zdarza się też sytuacja odwrotna.

Własności

1. Spełnianie aksjomatu T_3,5 jest własnością topologiczną.

2. Spełnianie aksjomatu T_3,5 jest własnością dziedziczną.

3. Produkt rodziny niepustych przestrzeni topologicznych jest przestrzenią T_3,5 wtedy i tylko wtedy, gdy każda z przestrzeni należących do tej rodziny jest T_3,5.

4. Każda przestrzeń T_3,5 jest przestrzenią T₃.

5. (dopisać)

• Ćwiczenie: Udowodnić własności podane wyżej bez dowodów.

---