Przekształcenia ciągłe

W tym rozdziale wprowadzamy definicje funkcji ciągłej, otwartej, domkniętej, homeomorfizmu; podajemy podstawowe własności takich przekształceń. Korzystając z pojęcia ciągłości konstruujemy produkt przestrzeni topologicznych oraz przestrzeń ilorazową.

Funkcje ciągłe

Definicja

Niech:
,
będą przestrzeniami topologicznymi.

Funkcję
nazywamy funkcją ciągłą, o ile
.

Innymi słowy funkcja
jest ciągła, jeśli przeciwobrazy zbiorów otwartych poprzez tę funkcję są zbiorami otwartymi.

Zauważmy, że ta sama funkcja
, w zależności od topologii na zbiorach X i Y może być lub nie być ciągła. O ile na zbiorach X,Y są z góry ustalone pewne wybrane topologie, mówienie o ciągłości funkcji
nie prowadzi do nieporozumień. Kiedy jednak na przykład rozważamy dwie różne topologie
na zbiorze X, zapis
przestaje być jednoznaczny. W związku z tym zamiast mówić o funkcjach ciągłych działających między zbiorami, będziemy mówili raczej o odwzorowaniach ciągłych działających między przestrzeniami topologicznymi. Tam gdzie to konieczne będziemy pisali:
zamiast
.

Własności

Niech
będą przestrzeniami topologicznymi.

1. Jak wykazaliśmy w rozdziale 1. (podrozdział "funkcje ciągłe", własność 3.), w przypadku gdy X,Y są przestrzeniami metrycznymi, powyższa definicja jest pewne orównoważna definicji wyrażonej w języku ε-δ (a zatem i definicji ciągowej) ciągłości.

2. Jeśli
   i
   są funkcjami ciągłymi, to funkcja
   jest ciągła.

Dowód:

Weźmy dowolny zbiór
. Musimy pokazać, że
. Zauważmy, że
. Z ciągłości g mamy
. Zatem, z ciągłości f,
.

3. Definicję ciągłości można równoważnie sformułować na wiele sposobów. W szczególności, równoważne są następujące warunki:

1. 
   jest ciągła,

2. 
   ,

3. Dla pewnej podbazy otwartej
   w Y:
   ,

4. Dla pewnej bazy otwartej
   w Y:
   ,

5. Dla pewnych systemów otoczeń
   ,
   odpowiednio w X i Y:
   .

Dowód:

[1.]
[2.]

[1.]
[3.] Oczywiste, bo
.

[3.]
[4.] Elementy bazy
są skończonymi przekrojami elementów podbazy
. Zatem ich przeciwobrazy są skończonymi przekrojami przeciwobrazów elementów
, więc z 3. są otwarte.

[4.]
[5.] Weźmy dowolne
i
. Zauważmy, że ponieważ
jest bazą w Y, to
dla pewnej rodziny
. Zatem
. Ponadto
, zatem
.
jest bazą otoczeń x, zatem istnieje
takie, że
. Ponadto
.

[5.]
[1.] Weźmy
dowolne. Dla dowolnego
istnieje (z otwartości U i definicji systemu otoczeń)
takie, że
. Z 5. istnieje zatem otoczenie otwarte
punktu x takie, że
. Stąd
, więc x jest punktem wewnętrznyn f ^{− 1}(U). Z dowolności x otrzymujemy, że f ^{− 1}(U) jest zbiorem otwartym.

W zadaniach do tego rozdziału Czytelnik odnajdzie inne charakteryzacje ciągłości.

Przykłady

1. Jeśli
   są przestrzeniami topologicznymi i ustalimy pewien element
   , to funkcja stała
   zadana:
   jest ciągła. Istotnie,
   , ale
   .

2. Ćwiczenie: Przestrzeń topologiczna
   jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej przestrzeni topologicznej
   i każdej funkcji
   funkcja f jest ciągła.

3. Ćwiczenie: Przestrzeń topologiczna
   jest antydyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej przestrzeni topologicznej
   i każdej funkcji
   funkcja f jest ciągła.

4. Jeśli
   jest przestrzenią topologiczną,
   i na A ustalimy topologię podprzestrzeni, to naturalne włożenie
   (tzn. funkcja zadana f(a) = a dla każdego
   ) jest ciągłe. Przeciwobrazem dowolnego zbioru otwartego jest jego przekrój ze zbiorem A, a zatem zbiór otwarty w A.

Funkcje otwarte i domknięte

Definicje

Niech:
,
będą przestrzeniami topologicznymi.

Funkcję
nazywamy otwartą, o ile
.

Funkcję
nazywamy domkniętą, o ile
.

Zatem funkcje otwarte są to te odwzorowania, które przeprowadzają zbiory otwarte na zbiory otwarte. Podobnie, odwzorowania domknięte to te, które przeprowadzają zbiory domknięte na zbiory domknięte.

Zauważmy, że w powyższej definicji nie zakładamy, że f jest odwzorowaniem ciągłym. Część jednak autorów żąda od odwzorowania otwartego (domkniętego) by było ciągłe.

Własności

Niech
będą przestrzeniami topologicznymi.

1. Jeśli
   ,
   są przekształceniami otwartymi (domkniętymi), to
   jest przekształceniem otwartym (domkniętym).

2. Jeśli
   jest bijekcją, to funkcja f jest otwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięta.

3. Jeśli
   jest ciągłą bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja
   odwrotna do f jest otwartą (domkniętą) bijekcją.

4. Funkcja
   jest otwarta wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza
   przestrzeni X taka, że
   .

• Ćwiczenie: Przeprowadzić dowody powyższych faktów.

Przykłady

1. Jeśli X jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś Y jest przestrzenią dyskretną, to każda funkcja
   jest otwarta i jest domknięta. Oczywiście funkcja ta na ogół nie jest ciągła.

2. Naturalne włożenie odcinka domkniętego
   w przestrzeń
   jest odwzorowaniem ciągłym, domkniętym, ale nie otwartym.

Homeomorfizmy

Definicje

Niech
będą przestrzeniami topologicznymi.

Homeomorfizmem z przestrzeni X do przestrzeni Y nazywamy każdą funkcję ciągłą
, odwracalną i taką, że funkcja
odwrotna do f jest ciągła.

Zauważmy, że jeśli
jest homeomorfizmem, to
jest również homeomorfizmem.

Przestrzenie X,Y nazywamy homeomorficznymi, o ile istnieje homeomorfizm z X do Y (lub równoważnie, co wynika z powyższej uwagi, homeomorfizm z Y do X). Fakt, że przestrzenie X,Y są homeomorficzne, oznaczamy symbolem
.

Własnością topologiczną nazywamy każdą taką własność przestrzeni topologicznych, że dana przestrzeń posiada ją wtedy i tylko wtedy, gdy posiada ją każda przestrzeń z nią homeomorficzna. Topologia jako nauka zajmuje się badaniem własności topologicznych przestrzeni. Z topologicznego punktu widzenia przestrzenie homeomorficzne są nierozróżnialne.

Włożeniem nazywamy funkcję ciągłą
będącą homeomorfizmem na obraz (tzn. f traktowana jako funkcja
, gdzie na f(X) ustalona jest topologia podprzestrzeni względem Y, jest homeomorfizmem).

Własności

Niech
będą przestrzeniami topologicznymi.

1. Jeśli
   i
   są homeomorfizmami, to
   jest homeomorfizmem.

Dowód:

Funkcja
jest ciągłą bijekcją jako złożenie ciągłych bijekcji. Ponadto,
. Ponieważ f ^{− 1},g ^{− 1} są funkcjami ciągłymi,
jest ciągła jako ich złożenie.

2. Ciągła bijekcja
   jest homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją otwartą (funkcją domkniętą).

Dowód:

Dowód przeprowadzimy dla wersji twierdzenia mówiącej o funkcji otwartej. Dowód drugiej wersji jest analogiczny. Wprowadźmy oznaczenie:
.

[
] Weźmy dowolny zbiór
. Ponieważ f jest bijekcją oraz g jest ciągłe, to
.

[
] Musimy pokazać, że g jest ciągłe. Weźmy
. Mamy:
z otwartości f.

3. Jeśli
   jest ciągłą injekcją i jest otwarta lub jest domknięta, to f jest włożeniem.

Dowód:

Dowód przeprowadzimy dla odwzorowania otwartego. Oczywiście f jest bijekcją na obraz. Ponieważ dla każdego
z otwartości f mamy
oraz
, to
. Wobec tego
jest otwartą bijekcją. Z ostatniego twierdzenia otrzymujemy, że
jest homeomorfizmem.

Ćwiczenie: Wykazać, że otwartość (domkniętość) ciągłej injekcji jest warunkiem dostatecznym, ale nie koniecznym na to, żeby injekcja ta była włożeniem.

Przykłady

1. Istnieją ciągłe bijekcje, które nie są homeomorfizmami. Rozważmy funkcję identycznościową
   , gdzie
   oznacza topologię dyskretną na
   . Jest ona oczywiście ciągłą bijekcją. Jednak
   nie jest ciągła, gdyż np.
   , ale
   .

2. Homeomorficzne są dowolne dwa odcinki otwarte
   z topologiami standardowymi.

Dowód:

Nietrudno sprawdzić (ćwiczenie), że jest homeomorfizmem przekształcenie
zadane
dla każdego
.

3. Homeomorficzne są odcinek otwarty (a;b) z topologią standardową i
   .

Dowód:

Odcinek (a;b) jest homeomorficzny z odcinkiem
. Funkcja tangens
jest homeomorfizmem. Z faktu, że złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem, otrzymujemy tezę.

4. Ćwiczenie: Przestrzenie dyskretne (antydyskretne) X,Y są homoeomorficzne dokładnie wtedy, gdy | X | = | Y | .

5. Ćwiczenie: Wykazać, że bycie przestrzenią: dyskretną (antydyskretną, skończoną, nieskończoną) jest własnością topologiczną.

Wprowadzanie topologii przez funkcje ciągłe

Minimalna topologia na dziedzinie

Niech
będzie przestrzenią topologiczną, X zbiorem, zaś
funkcją.

Wprowadzimy na zbiorze X pewną topologię
, przy której funkcja
będzie ciągła. Oczywiście, znalezienie jakiejkolwiek topologii na X o tej własności nie jest trudne - wystarczy przyjąć
. Nas jednak będzie interesowała najmniejsza topologia o tej własności. Zachodzi następujące twierdzenie:

jest najmniejszą topologią na X przy której
jest funkcją ciągłą.

Dowód:

Wykażemy najpierw, że
jest topologią na X. Zauważmy, że
. Dalej, przypuśćmy że rodzina
(gdzie
). Wówczas, z własności przeciwobrazu i definicji topologii na Y:
. Z podobnych przyczyn dla
(gdzie
mamy:
. Zatem
jest topologią na X.

Jest jasne, że
jest ciągła.

Zauważmy teraz, że jeśli
jest topologią na X taką, że
jest ciągła, to z definicji ciągłości
, zatem
.

Rozważmy teraz ogólniejszą wersję powyższego problemu.

Niech
będzie rodziną przestrzeni topologicznych, X zbiorem, zaś
rodziną funkcji.

Wówczas
jest podbazą najmniejszej topologii
na X takiej, że dla każdego
funkcja
jest ciągła.

Dowód:

Wykażemy najpierw, że
jest podbazą pewnej topologii na X. Oznaczmy przez
rodzinę skończonych przekrojów elementów rodziny
. Musimy pokazać, że
spełnia aksjomaty bazy. Zauważmy, że X = f ^{− 1}(Y_i) dla dowolnego
, zatem
. Zatem
. Weźmy teraz dowolne dwa elementy
. Z definicji
istnieją
takie, że
i
. Stąd
. Zatem
jest bazą pewnej topologii na X.

Wystarczy teraz zauważyć, że jeśli
jest topologią na X taką, że dla każdego
funkcja
jest ciągła, to
. Stąd
, gdyż
jest najmniejszą topologią na X zawierającą
.

• Ćwiczenie: Wykazać, że przy oznaczeniach powyższego twierdzenia zbiór
  , gdzie
  jest podbazą przestrzeni
  dla każdego
  , jest podbazą topologii
  .

Maksymalna topologia na przeciwdziedzinie

Rozważymy teraz sytuację w pewnym sensie odwrotną do opisanej w poprzednim podrozdziale. Będziemy bowiem przy ustalonej topologii na dziedzinie funkcji wprowadzali topologię na jej przeciwdziedzinie tak, aby dana funkcja była ciągła. Chcemy ponadto, aby wprowadzona topologia była największa z możliwych.

Niech
będzie przestrzenią topologiczną, Y zbiorem, zaś
funkcją.

Wówczas
jest największą topologią na Y taką, że
jest funkcją ciągłą.

Dowód:

Łatwo sprawdzamy, korzystając z własności przeciwobrazu, że
jest topologią na Y

Oczywiście
jest ciągła.

Nietrudno też wykazać, że
jest największą topologią o żądanej własności. Jeśli bowiem
i
, to
.

• Ćwiczenie: Uzupełnić szczegóły dowodu.

• Ćwiczenie: Wykazać, że jeśli
  jest rodziną przestrzeni topologicznych, Y zbiorem, zaś
  rodziną funkcji, to istnieje maksymalna topologia
  na Y przy której każda z funkcji
  jest ciągła.

Suma rozłączna przestrzeni topologicznych

Korzystając z ostatniego ćwiczenia zdefiniujemy koprodukt (lub inaczej: sumę rozłączną) rodziny przestrzeni topologicznych
. Dla uproszczenia załóżmy, że przestrzenie należące do tej rodziny są parami rozłączne (w przeciwnym wypadku możemy dokonać urozłącznienia, dla każdego
biorąc zamiast przestrzeni X_i jej homeomorficzną kopię, której elementy są parami
). Koproduktem rodziny
nazywamy wówczas przestrzeń
z najbogatszą topologią taką, że włożenia
, j_i(x) = x są ciągłe dla wszystkich
. Przestrzeń tą oznaczamy symbolem
.

• Ćwiczenie: Wykazać, że zbiór
  jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
  zbiór
  jest otwarty w X_i.

Topologia Tichonowa

Definicja

W tym podrozdziale wprowadzimy pojęcie produktu rodziny przestrzeni topologicznych. Przypomnijmy najpierw pewne pojęcia teoriomnogościowe:

Produktem kartezjańskim rodziny zbiorów
nazywamy zbiór
.

Przy powyższych oznaczeniach rzutem na j-tą współrzędną (gdzie
) nazywamy funkcję
zadaną p_j(f) = f(j) dla każdego
.

Przejdziemy teraz do właściwej definicji, korzystającej z twierdzenia o istnieniu minimalnej topologii na dziedzinie rodziny funkcji.

Produktem rodziny przestrzeni topologicznych
nazywamy przestrzeń topologiczną
, gdzie
jest produktem kartezjańskim rodziny zbiorów
, zaś
jest minimalną topologią na
, przy której dla każdego
rzutowanie
jest funkcją ciągłą.

Powyżej zdefiniowaną topologię
nazywamy topologią Tichonowa lub topologią produktową.

Własności

Przyjmijmy oznaczenia z powyższej definicji.

Uwaga: W poniższych rozważaniach, w celu ich uproszczenia, utożsamiamy funkcję
ze zbiorem par uporządkowanych
(to znaczy "zapominamy" o dziedzinie i przeciwdziedzinie).

1. Z twierdzenia o minimalnej topologii na dziedzinie wynika, że podbazą topologii produktowej
   jest zbiór
   .

2. Zauważmy, że dla każdych
   zachodzi
   , gdzie
   dla każdego
   .
   Intuicyjnie,
   jest produktem kartezjańskim rodziny zbiorów powstałej przez zastąpienie w rodzinie
   i-go zbioru przez zbiór U (otwarty w X_i).

3. Z powyższych rozważań wynika, że elementami bazy topologii produktowej są skończone iloczyny zbiorów postaci
   . Jak nietrudno zauważyć, są to produkty kartezjańskie rodzin zbiorów powstałych przez zastąpienie w rodzinie
   skończonej liczby przestrzeni
   przez ich podzbiory otwarte
   .

4. Zauważmy jeszcze, że w przypadku gdy rozważana rodzina przestrzeni
   jest skończona (przyjmijmy np.
   ), to bazą topologii produktowej jest rodzina
   .
   Ćwiczenie: Wykazać, że w powyższym, skończonym przypadku bazą topologii Tichonowa jest zbiór
   , gdzie
   jest bazą
   dla każdego
   .

5. Dla każdego
   rzutowanie
   jest odwzorowaniem otwartym.

Dowód:

Wystarczy wykazać (z własności odwzorwań otwartych), że
dla zbiorów B należących do bazy topologii produktowej. Z postaci zbiorów bazowych opisanej w 2. oraz definicji rzutowania wynika, że p_j(B) = X_j lub p_j(B) = U dla pewnego
. Dowód jest zakończony.

Przykłady

1. Produkt dowolnej rodziny przestrzeni antydyskretnych jest przestrzenią antydyskretną.

2. Produkt rodziny przestrzeni dyskretnych o mocy większej niż 1 jest przestrzenią dyskretną wtedy i tylko wtedy, gdy jest to rodzina skończona.

3. Rozważmy przestrzenie skończone:
   i
   . Wówczas na
   topologią Tichonowa jest zbiór:
   .

4. Przez X^κ, gdzie κ jest liczbą kardynalną zaś X przestrzenią topologiczną, rozumiemy przestrzeń
   (to znaczy produkt κ kopii przestrzeni X) z topologią produktową.

Niech
.

• Dla X = {0,1} z topologią dyskretną przestrzeń X^κ nazywamy kostką Cantora o ciężarze κ.

• Dla X = {0,1} z topologią
  przestrzeń X^κ nazywamy kostką Aleskandrowa o ciężarze κ. Przestrzeń X z tego przykładu nazywamy przestrzenią Sierpińskiego.

• Dla
  przestrzeń X^κ nazywamy kostką Tichonowa o ciężarze κ.

Topologia ilorazowa

Definicja

Niech będą dane przestrzeń topologiczna
i relacja równoważności
.

Funkcją ilorazową nazywamy funkcję
zadaną:
dla każdego
, gdzie
oznacza zbiór ilorazowy, zaś
klasę abstrakcji elementu
względem relacji
.

Topologią ilorazową na zbiorze ilorazowym
nazywamy najbogatszą topologię
na tym zbiorze, przy której funkcja ilorazowa
jest ciągła. Przestrzeń
nazywamy przestrzenią ilorazową przestrzeni X względem relacji
.

Jeżeli
, to istnieje najmniejsza relacja równoważności
taka, że
dla każdych
. Przestrzeń ilorazową względem tej relacji oznaczać będziemy przez
. Intuicyjnie, przestrzeń ta powstaje poprzez "sklejenie" wszystkich punktów zbioru A w jeden punkt.

Ogólniej, odwzorowaniem ilorazowym nazywamy każdą ciągłą surjekcję
taką, że topologia na Y jest najbogatszą topologią, przy której q jest ciągła.

Własności

1. Niech będą dane przestrzeń X i relacja równoważności
   na tej przestrzeni.
   niech będzie odwzorowaniem ilorazowym. Wówczas dla każdej przestrzeni Y i funkcji ciągłej
   takiej, że g(x) = g(y) o ile
   , istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła
   taka, że
   .

Dowód:

Przyjmijmy g'([x]) = g(x) dla
. Definicja ta jest niezależna od wyboru reprezentanta klasy [x], gdyż z założenia g(x) = g(y) dla każdego
. Funkcja g' jest zatem dobrze określona. Spełnia ona warunek
i nietrudno zauważyć, że jest jedyną funkcją go spełniającą. Wykażmy ciągłość g'. Niech
będzie zbiorem otwartym. Z definicji g' wynika, że η ^{− 1}g' ^{− 1}(U) = g ^{− 1}(U). Zbiór g ^{− 1}(U) jest otwarty z ciągłości funkcji g. Wystarczy teraz zauważyć, że z definicji topologii na
wynika, że
jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy η ^{− 1}(V) jest otwarty w X. Wobec tego g' ^{− 1}(U) jest otwarty, zatem g' jest funkcją ciągłą.

2. Niech
   będzie ciągłą surjekcją. Jeśli q jest odwzorowaniem otwartym lub odwzorowaniem domkniętym, to jest odwzorowaniem ilorazowym.

Dowód:

Musimy wykazać, że dowolny podzbiór
jest otwarty o ile p ^{− 1}(U) jest otwarty. Przypuśćmy zatem, że p ^{− 1}(U) jest otwarty. Jeśli p jest odwzorowaniem otwartym, to p(p ^{− 1}(U)) jest również otwarty. Ale p jest surjekcją, więc p(p ^{− 1}(U)) = U. Jeśli p jest odwzorowaniem domkniętym, to
jest zbiorem domkniętym. Ale
.

3. Niech
   będzie odwzorowaniem ilorazowym. Na X określmy relację równoważności:
   wtedy i tylko wtedy, gdy q(x) = q(y). Wówczas przestrzenie Y i
   są homeomorficzne.

Dowód:

Przez
oznaczmy odwzorowanie ilorazowe. Zdefiniujmy funkcję
wzorem h([x]) = p(x). Z definicji relacji
wynika, że jest ona dobrze określona. Ponadto h jest surjekcją, gdyż p jest surjekcją. Wykażmy różnowartościowość h. Przypuśćmy, że h([x]) = h([y]), to znaczy p(x) = p(y), co z kolei z definicji
oznacza, że
, czyli [x] = [y]. Pozostaje wykazać ciągłość i otwartość h. Nietrudno zauważyć, że dla
mamy η ^{− 1}(h ^{− 1}(U)) = p ^{− 1}(U). Z ciągłości p zbiór ten jest otwarty, o ile U jest zbiorem otwartym, zatem z definicji topologii ilorazowej zbiór h ^{− 1}(U) jest otwarty. Analogicznie, korzystając z faktu, że p ^{− 1}(h(V)) = η ^{− 1}(V) dla
otrzymujemy, że h jest otwarte, co kończy dowód.

4. Surjekcja
   jest odwzorowaniem ilorazowym wtedy i tylko wtedy, gdy posiada następującą własność: dla każdej przestrzeni topologicznej Z i odwzorowania
   odwzorowanie h jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie
   jest ciągłe.

Dowód:

[
] Pokażmy, że jeśli q jest odwzorowaniem ilorazowym, to własność powyższa zachodzi. Weźmy dowolne odwzorowanie
. Przypuśćmy, że
jest ciągłe. Niech
będzie zbiorem otwartym. Z ciągłości
zbiór
jest otwarty, ale
. Ponieważ q jest odwzorowaniem ilorazowym, oznacza to, że zbiór h ^{− 1}(U) jest otwarty. Stąd h jest ciągłe. Z drugiej strony, jeśli h jest ciągłe, to
jest ciągłe jako złożenie odwzorowań ciągłych.

[
] Wykażmy teraz, że jeśli własność powyższa zachodzi, to q jest odwzorowaniem ilorazowym. Wykażmy najpierw ciągłość q. Gdyby istniało
otwarte i takie, że q ^{− 1}(U) nie byłoby otwarte, to dla odwzorowania identycznościowego
otrzymalibyśmy sprzeczność z założeniem, bowiem tak zdefiniowane h jest ciągłe, zaś
nie jest ciągłe. Przypuśćmy teraz, że topologia na Y nie jest maksymalną topologią, przy której q jest ciągłe. Oznacza to, że istnieje zbiór
taki, że p ^{− 1}(A) jest otwarty, zaś A nie jest otwarty. Niech Z będzie przestrzenią dwupunktową Sierpińskiego (tzn.
). Zdefiniujmy
wzorem:
. Wówczas
jest funkcją ciągłą, zaś h nie jest ciągłe.

• Ćwiczenie: Wykazać, że ostatnie z powyższych twierdzeń nie zachodzi, jeśli o q nie założymy, że jest surjekcją.

Przykłady

1. Przestrzeń
   jest homeomorficzna z przestrzenią
   .
   Wykażmy prawdziwość tego stwierdzenia. Ponieważ
   , zaś
   jest w naturalny sposób homeomorficzne z
   , możemy utożsamiać
   ze zbiorem
   . Rozważmy odwzorowanie ciągłe
   zadane wzorem
   . Ponieważ
   , indukuje ono odwzorowanie ciągłe
   . Nietrudno sprawdzić, że
   jest bijekcją. Weźmy zbiór
   otwarty w topologii ilorazowej na
   . Mamy:
   , gdzie
   jest odwzorowaniem ilorazowym. Pokażemy, że dla każdego punktu
   istnieje jego otoczenie otwarte
   . Będzie to oznaczało, że zbiór
   jest otwarty, co wobec dowolności U wykaże otwartość odwzorowania
   . Niech zatem
   oraz
   . Ponieważ η jest ciągłe, η ^{− 1}(U) jest otwarte w
   . Jeśli zatem
   , to
   i istnieje ε takie, że
   . Jeśli zaś [t] = [1], to
   oraz istnieje ε takie, że
   . W obu wypadkach nietrudno pokazać, że
   jest otwarte w
   .

2. Przestrzeń
   jest homeomorficzna z przestrzenią
   . Intuicyjnie fakt ten nie jest trudny do przyjęcia, formalny dowód pozostawiamy jako ćwiczenie dla Czytelnika. Jego wykonanie może okazać się łatwiejsze po ukończeniu lektury dalszych rozdziałów.

3. Rozważmy przestrzeń
   oraz najmniejsze relacje równoważności
   takie, że:

• 
  oraz
  ,

• 
  oraz
  ,

• 
  dla każdego
  .

Przestrzeń
nazywamy torusem 2-wymiarowym,
butelką Kleina, zaś
wstęgą Mōbiusa.

4. Niech będzie dana przestrzeń topologiczna X. Stożkiem nad tą przestrzenią nazywamy przestrzeń
   , zaś zawieszeniem X nazywamy przestrzeń
   , gdzie
   jest najmniejszą relacją równoważności na
   taką, że
   oraz
   dla każdych
   .

5. W przestrzeni
   rozważmy relację
   taką, że
   wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
   takie, że s_i = λt_i dla każdego
   . Przestrzeń
   nazywamy n − 1-wymiarową rzeczywistą przestrzenią rzutową i oznaczamy
   .

---