Temat

Wytrzymałość materiałów

• Rozciąganie i ściskanie

1. Konstrukcje statycznie wyznaczalne

Układy statycznie wyznaczalne charakteryzują się tym, że siły wewnętrzne występujące w poszczególnych elementach tych układów mogą być wyznaczone z równań równowagi.

Obliczenia wytrzymałościowe elementu rozciąganego lub ściskanego wykonuje się w celu sprawdzenia czy są spełnione warunki wytrzymałościowe

                 


gdzie P - siła rozciągająca (ściskająca), A - pole przekroju poprzecznego elementu rozciąganego (ściskanego), k_r - naprężenie dopuszczalne przy rozciąganiu, k_c - naprężenie dopuszczalne przy ściskaniu.

Naprężenie dopuszczalne na rozciąganie i ściskanie k_r  i k_c

                 


gdzie R_c, R_m, R_e - wytrzymałość na ściskanie i rozciąganie, n - współczynnik bezpieczeństwa.

Często spełnienie powyższych warunków wytrzymałościowych  nie wystarcza do właściwego zaprojektowania konstrukcji. Z tego względu musi być jeszcze spełniony warunek sztywności

                 


Według tego warunku odkształcenie lub przemieszczenie punktów projektowanego elementu nie powinno przekroczyć wartości odkształcenia lub przemieszczenia, przyjętego dla danej konstrukcji jako dopuszczalne.

2. Konstrukcje statycznie niewyznaczalne

W przypadku, kiedy liczba równań równowagi jest mniejsza od liczby sił wewnętrznych, to konstrukcje takie są nierozwiązywalne przy zastosowaniu równań statyki ciał doskonale sztywnych i noszą nazwę układów statycznie niewyznaczalnych.

Do obliczenia niewiadomych sił należy wtedy uwzględnić odkształcenia i przemieszczenia prętów. Uzyskane w ten sposób dodatkowe równania współzależności odkształceń stanowią zależności o charakterze geometrycznym.

W celu połączenia równań równowagi z równaniami geometrycznymi należy posłużyć się związkami fizycznymi uzależniającymi wzajemnie siły wewnętrzne i przemieszczenia.

W przypadku materiałów liniowosprężystych związki te wynikają bezpośrednio z prawa Hooke'a.

• Ścinanie

3. Ścinanie czyste i technologiczne

Stan naprężenia w przekrojach, w których występują tylko naprężenia styczne, nazywamy czystym ścinaniem.

      Prawo Hooke'a dla czystego ścinania:
Naprężenie styczne  jest proporcjonalne do odkształcenia postaciowego γ.

                 


gdzie G - moduł sprężystości postaciowej.

      W elementach konstrukcyjnych spotykanych w technice można znaleźć takie przekroje, w których występuje czyste ścinanie, np. podczas czystego skręcania. W przeważającej liczbie przypadków w przekrojach elementów konstrukcyjnych występują jednocześnie naprężenia normalne i styczne.

Ścinaniem technologicznym nazywamy naprężenia i odkształcenia materiału spowodowane dwiema siłami tworzącymi parę o bardzo małym ramieniu.

4. Konstrukcje ścinane

Nominalne naprężenia styczne w przekroju ścinanym wyraża się wzorem

                 


w którym P - siła ścinająca, styczna do przekroju ścinanego, A - pole przekroju poprzecznego elementu ścinanego.

Naprężenie to nie musi spełniać warunek

                 


gdzie k_t - naprężenie dopuszczalne przy ścinaniu i wynosi  k_t = (0,5 ÷ 0,8)k_r 

Podstawowe przykłady elementów ścinanych to: połączenia nitowe, spawane, sworzniowe i wpustowe.

• Momenty bezwładności

5. Wiadomości wstępne

Momentem bezwładności układu mechanicznego względem nieruchomej osi a nazywamy wielkość fizyczną I_a równą sumie iloczynów mas wszystkich n punktów materialnych układu i kwadratów ich odległości od osi:

                 


gdzie m_i jest masą i-tego punktu, a r_i - jego odległością od osi.

Moment bezwładności ciała jest równy

                 


gdzie dm = r dV  jest masą małego elementu objętości bryły dV,
ρ - gęstością, a r - odległością elementu dV od osi a.

Moment bezwładności danej bryły względem dowolnej osi zależy od masy, kształtu i rozmiarów bryły oraz położenia bryły względem tej osi.

      Twierdzenie Steinera
Moment bezwładności I dowolnego ciała względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności I_o względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy ciała oraz iloczynu masy tego ciała i kwadratu odległości a obu osi: 

                 

6. Momenty bezwładności figur płaskich

Moment bezwładności ciała płaskiego względem osi prostopadłej do jego płaszczyzny równa się sumie momentów bezwładności względem dwóch osi wzajemnie prostopadłych, leżących w jego płaszczyźnie.

                 


      Biegunowy moment bezwładności jest sumą osiowych momentów  bezwładności względem dwóch prostopadłych osi przechodzących przez ten biegun.

                 


      Twierdzenia Steinera dla figury płaskiej
Moment bezwładności figury płaskiej względem osi równoległej do osi środkowej jest równy momentowi bezwładności tej figury względem jej osi środkowej, zwiększonemu o iloczyn pola figury i kwadratu odległości pomiędzy osiami.

                 

7. Momenty bezwładności ciał sztywnych

W przypadku bryły o ciągłym rozkładzie masy (gęstość jest stała w całej objętości), jej moment bezwładności wynosi

                 


gdzie ρ - gęstość, r - odległość elementu dV od osi a.

Moment bezwładności bryły jest miarą jej bezwładności w ruchu obrotowym wokół nieruchomej osi a.

Biegunowy moment bezwładności jest równy sumie momentów bezwładności względem trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyzn przecinających się w biegunie O.

                 


Moment bezwładności względem osi jest równy sumie momentów bezwładności względem dowolnych dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn, przecinających się wzdłuż tej osi.

• Zginanie

8. Wiadomości wstępne

Zginanie zachodzące pod wpływem dowolnych sił działających na belkę nazywamy zginaniem złożonym.

      Belkami nazywamy elementy zginane. Na belkę może działać obciążenie w postaci sił skupionych lub obciążenia ciągłego.

      Siła skupiona jest to obciążenie przyłożone w jednym punkcie lub rozłożone na bardzo małym odcinku.

      Równomierne obciążenie ciągłe jest to obciążenie rozłożone na znacznej długości. Oznaczamy je literą q i podajemy w N/m.

      Jeżeli długość belki obciążonej w sposób ciągły wynosi l, to całkowita siła działająca na belkę, pochodząca od tego obciążenia ciągłego, wynosić będzie Q = q · l.


      Możliwe jest jeszcze nierównomierne obciążenie ciągłe belek (trójkątne, trapezowe. półkoliste).

9. Moment gnący i siła gnąca

Momentem gnącym w danym przekroju belki nazywamy sumę momentów (względem środka ciężkości tego przekroju) wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem.

      Moment zginający uważamy za dodatni, jeśli wygina on belkę wypukłością ku dołowi. Momenty zginające wyginające belkę wypukłością do góry uważamy za ujemne.

      Siłą normalną w danym przekroju poprzecznym belki nazywamy rzut na kierunek normalnej wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem.

      Siłą tnącą w danym przekroju poprzecznym belki nazywamy rzut na płaszczyznę tego przekroju wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem.

      Obliczając siłę tnącą przez sumowanie sił zewnętrznych po lewej stronie przekroju, należy siły zewnętrzne zwrócone do góry uważać za dodatnie, a siły zwrócone w dół - za ujemne. Obliczając natomiast siłę tnącą przez sumowanie sił po prawej stronie przekroju, należy siły zewnętrzne zwrócone do góry uważać za ujemne, a siły zwrócone w dół za dodatnie.

   


      Wykresy momentów gnących i sił tnących ilustrują przebieg obciążenia belki wzdłuż jej osi.

10. Czyste zginanie

Czystym zginaniem nazywamy odkształcenie belki pomiędzy dwiema parami sił o równych momentach.

        


      Przy czystym zginaniu w przekrojach poprzecznych belki nie ma naprężeń stycznych.

      Obraz naprężeń normalnych przy czystym zginaniu

      


      Największe naprężenie normalne występuje we włóknach najdalej położonych od osi obojętnej przekroju poprzecznego

                 


gdzie M - moment gnący, y_max - odległość najdalej położonych włókien od osi obojętnej, I_z - moment bezwładności względem osi obojętnej.

Wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na zginanie względem osi obojętnej nazywamy stosunek momentu bezwładności tego przekroju względem osi obojętnej do odległości włókien skrajnych od tej osi

                 


gdzie I - moment bezwładności względem osi obojętnej, e - odległość włókien skrajnych od tej osi.

      Obliczenia wytrzymałościowe belek zginanych sprowadzają się do określenia największego naprężenia normalnego, występującego w przekroju poprzecznym belki.

Warunek wytrzymałościowy przedstawia się następująco

                  


gdzie k_g - naprężenie dopuszczalne przy zginaniu.

11. Konstrukcje statycznie wyznaczalne

Belki statycznie wyznaczalne są to belki, dla których liczba niewiadomych podporowych jest równa liczbie równań równowagi.

Metodyka rozwiązywania belek statycznie wyznaczalnych:
1. Wyznaczenie wartości reakcji podpór pisząc trzy równania równowagi
2. Wyznaczenie momentów gnących w miejscach przyłożenia sił skupionych
3. Obliczenie sił tnących w poszczególnych przedziałach belki
4. Przyjęcie podziałki dla momentów gnących i sił tnących
5. Sporządzenie wykresów momentów gnących i sił tnących z zachowaniem znaków.

Przykłady belek statycznie wyznaczalnych:





      Przy wyznaczaniu momentów gnących należy wiedzieć, że na jej końcach moment gnący jest zawsze równy zeru, chyba że jest tam przyłożona parz sił zewnętrznych o określonej wartości momentu.

      Wykres sił tnących dla belki obciążonej siłami skupionymi będzie się składać z odcinków równoległych do osi belki.

      Przy obliczaniu momentu obciążenie równomierne ciągłe skupiamy w jego środku ciężkości.

      Przy obciążeniu ciągłym wykresem momentów gnących jest część paraboli. Natomiast wykresem sił tnących jest linia prosta nachylona pod pewnym kątem do osi belki.

12. Konstrukcje statycznie niewyznaczalne

Belki, w których liczba niewiadomych jest większa od liczby równań równowagi nazywamy statycznie niewyznaczalnymi.

      Przykłady takich belek to: belki wieloprzęsłowe (o trzech lub więcej podporach), belki dwustronnie utwierdzone, belki jednym końcem utwierdzone, a na drugim podparte etc.

                


      W tych belkach określenie reakcji bądź sił wewnętrznych tylko na podstawie równań równowagi nie jest możliwe. Do ich wyznaczenia należy uwzględnić odkształcenie tych konstrukcji.

Niektóre metody rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych:
1. Metoda sił
2. Metoda przemieszczeń
3. Metoda superpozycji
4. Metoda trzech momentów
5. Metoda Menabrei

13. Linia ugięcia i strzałka ugięcia belki

W czasie pracy belka ulega odkształceniu. Początkowo prostoliniowa oś belki zmienia się na krzywoliniową. Krzywa ta nazywa się linią ugięcia osi belki.

     Przemieszczenie środka ciężkości przekroju w kierunku prostopadłym do osi belki nazywamy ugięciem belki, a największe ugięcie - strzałką ugięcia belki.

       


Niektóre metody wyznaczania ugięć belki:
1. Metoda analityczna przy zastosowaniu wzoru

                 


2. Metoda Clebscha
3. Metoda Maxwella-Mohra
4. Metoda momentów wtórnych
5. Metoda wykreślno-analityczna.

• Skręcanie

14. Moment skręcający

Skręcanie statyczne występuje podczas przyłożenia pary sił o tych samych wartościach, różnych zwrotach w płaszczyźnie przekroju normalnego. Moment tej pary sił nazywamy momentem skręcającym i oznaczamy M_s. Wartość tego momentu jest równa momentowi pary sił zewnętrznych

                 


        


Momenty skręcające przekazywane na wał (za pomocą pasa czy kół zębatych) można obliczyć, jeżeli znamy moc P przekazywaną i prędkość obrotową wału n

                 


gdzie P - moc w kW, n - prędkość obrotowa wału w obr/min,
  M_s - moment skręcający w N · m.

15. Konstrukcje skręcane

W wyniku skręcania pręta w jego przekrojach występują tylko naprężenia styczne. Naprężenia styczne podczas skręcania zmieniają się proporcjonalnie do ich odległości od środka przekroju.

       


Na zewnętrznej powierzchni elementu skręcanego naprężenia są największe, i wynosi

                 


gdzie I_o - biegunowy moment przekroju względem środka tego przekroju, M_s - moment skręcający, r - odległość od warstwy zewnętrznej pręta.

Stosunek biegunowego momentu bezwładności do promienia przekroju kołowego nazywamy wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na skręcanie.

                 


Obliczenia prętów poddanych skręcaniu sprowadzają się do warunku wytrzymałościowego i warunku sztywności.

Maksymalne naprężenia styczne w przekroju poprzecznym określamy ze wzoru

                 


gdzie k_s - naprężenie dopuszczalne przy skręcaniu k_s = (0,5 ÷ 0,6)k_r, W_o = 0,2 d³ (dla pręta o przekroju kołowym o średnicy d).

Drugi warunek sprowadza się do określenia wartości kąta skręcenia  pręta i porównania tej wartości z wartością dopuszczalnego kąta skręcenia _dop.

                 


gdzie l - długość pręta, G - moduł sprężystości postaciowej materiału

      Obliczanie sprężyn śrubowych.
Przyjmuje się, że materiał sprężyny "pracuje" na skręcanie, chociaż sprężyna jest rozciągana i ściskana.
 
                  


     Maksymalne naprężenia spełniają warunek

                 

• Wytrzymałość złożona

16. Zginanie ukośne

Zginanie ukośne zachodzi wtedy, gdy płaszczyzna obciążenia nie jest płaszczyzną głównych środkowych osi bezwładności. Ślad płaszczyzny obciążenia na poprzecznym przekroju belki nie pokrywa się wtedy z główną środkową osią bezwładności tego przekroju.

        


      Zginanie ukośne można uważać za rezultat zginania belki w dwóch płaszczyznach wzajemnie prostopadłych przechodzących przez główne środkowe osie bezwładności przekroju.

      Warunek wytrzymałości ma postać

                 


gdzie  - kąt nachylenia płaszczyzny obciążenia, W_z, W_y - wskaźniki wytrzymałości przekroju.

17. Zginanie ze skręcaniem

Podczas zginania z równoczesnym skręcaniem występują jednocześnie naprężenia styczne (pochodzące od skręcania) oraz naprężenia normalne (wywołane zginaniem).

      Według hipotezy maksymalnych naprężeń stycznych

                 


      Przy zastosowaniu hipotezy energii odkształcenia postaciowego naprężenia zredukowane wyrażają się następującym wzorem

                 

18. Zginanie z rozciąganiem lub ściskaniem

Zginanie połączone z rozciąganiem lub ściskaniem jest najprostszym przypadkiem wytrzymałości złożonej. Każde z wymienionych obciążeń wywołuje naprężenia normalne (prostopadłe do przekroju poprzecznego).

    


      Naprężenie całkowite przy tym obciążeniu złożonym jest - zgodnie z zasadą superpozycji - sumą naprężeń wywołanych przez poszczególne obciążenia.

      Maksymalne naprężenia normalne dodatnie występują w skrajnych włóknach przekroju niebezpiecznego w przypadku rozciągania i zginania ma wartość

                 


      Maksymalne naprężenia normalne ujemne występują w skrajnych włóknach przekroju niebezpiecznego w przypadku ściskania i zginania ma wartość

                 

• Wyboczenia

19. Wyboczenia sprężyste

Wyboczeniem nazywamy zjawisko wyginania się pręta ściskanego siłami osiowymi.

      Siłą krytyczną nazywamy graniczną wartość siły, po przekroczeniu której następuje utrata stateczności pręta (nagłej zmiany kształtu konstrukcji). Wartość tej siły zależy od długości pręta, od wielkości i kształtu jego przekroju, od rodzaju materiału i sposobu zamocowania końców pręta.

                 

gdzie l_r - długość zredukowana pręta, E - moduł sprężystości wzdłużnej materiału, I_z - najmniejszy główny środkowy moment bezwładności przekroju pręta.

       


      Promień bezwładności przekroju pręta nazywamy wielkość

                 


gdzie S - pole przekroju.

      Smukłość pręta obliczamy ze wzoru

                 


      Wartość smukłości granicznej oblicza się ze wzoru

                 


gdzie R_H - granica proporcjonalności materiału pręta.

      W przypadku wyboczenia sprężystego, tj. dla wartości smukłości
 > _gr naprężenia krytyczne wyznaczamy ze wzoru

                 


zakładając, że σ_kr  R_H .

20. Wyboczenia niesprężyste

Wyboczenie niesprężyste występuje dla smukłości   _gr .

Naprężenia krytyczne obliczamy najczęściej ze wzorów empirycznych:
1. Tetmajera-Jasińskiego
2. Johnsona-Ostenfelda

Wzór Tetmajera-Jasińskiego można przedstawić ogólną zależnością:

                 

gdzie a i b są to stałe wyznaczane doświadczalnie charakteryzujące własności materiału i wyrażające się następująco

                 

Wzór empiryczny Johnsona-Ostenfelda ma postać

                 


gdzie a i b oznaczają stałe materiałowe obliczane ze wzorów

                 

Wzór ten może być stosowany przy   _o, gdzie

                 

Szukasz gotowej pracy ?

To pewna droga do poważnych kłopotów.

Plagiat jest przestępstwem !

Nie ryzykuj ! Nie warto !

Powierz swoje sprawy profesjonalistom.

---