II. Semestr Automatyka i Informatyka

Grzegorz Sawicki

POMIARY MOCY W SYSTEMACH TRÓJFAZOWYCH

Wiadomości ogólne

W systemach trójfazowych jest wytwarzana i przesyłana główna część użytkowanej energii elektrycznej. Poprawna praca obiektów trójfazowych wymaga znajomości i kontroli podstawowych parametrów elektrycznych torów przesyłowych: prądów przewodowych I, napięć przewodowych U_p i fazowych U_f, mocy czynnej P, biernej Q, pozornej S oraz współczynnika mocy cosϕ.

Moc całkowita pobierana przez odbiornik trójfazowy jest równa sumie mocy pobieranych z poszczególnych faz. W obwodach o sinusoidalnym przebiegu napięcia i prądu moce fazowe są równe: czynna
[W], bierna
[VAr], pozorna
[VA] oraz współczynnik mocy
.

Ze względów energetycznych najważniejszym parametrem jest moc czynna, informująca o stanie obciążenia układu. Pomiar mocy oddawanej przez źródło (generator) lub pobieranej przez odbiornik jest wykonywany najczęściej metodą polegającą na wyznaczeniu mocy przenoszonej przez sieć łączącą źródło z odbiornikiem energii.

Wskazane jest, aby moc pobierana przez układ pomiarowy była możliwie małą częścią mocy przesyłanej. Gdy straty mocy układu pomiarowego wpływają na dokładność pomiarów, należy w wynikach pomiarów uwzględnić odpowiednie poprawki.

Pomiary mocy odznaczają się dużą różnorodnością metod i układów pomiarowych. Właściwy wybór układu jest uwarunkowany rodzajem sieci systemu trójfazowego (trój - lub czteroprzewodowy), stopniem symetrii obciążenia faz, wartościami napięć i prądów w kontrolowanym obwodzie.

W zależności od parametrów prądowych i napięciowych obwodu rozróżnia się układy pomiarowe mocy:

- bezpośrednie: dla I 6A, U 600 V,

- pośrednie: z przekładnikami prądowymi: dla I 6A, U 600V,

z przekładnikami prądowymi i napięciowymi: dla U 600V, I - dowolne.

Ostatnia z metod stosowana jest w obwodach wysokich napięć. Przekładniki, oprócz dopasowania wartości napięć i prądów mierzonych do zakresów pomiarowych mierników, mają na celu izolowanie układu pomiarowego od obwodów wysokiego napięcia. Układy do pomiarów mocy przy wysokim napięciu są montowane wyłącznie na stałe w rozdzielniach i stacjach zasilających.

Pomiar mocy czynnej

Moc czynna P pobierana przez odbiornik trójfazowy jest równa sumie mocy poszczególnych faz A, B, C:

(1)

gdzie

- skuteczne wartości napięć i prądów fazowych,

- współczynniki mocy kolejnych faz.

Przy symetrycznym zasilaniu sieci trójfazowej (równe moduły napięć fazowych, fazy przesunięte o 120°) oraz symetrycznym obciążeniu, napięcia fazowe, prądy i współczynniki mocy mają jednakowe wartości, a całkowitą moc czynną trzech faz wyraża wzór:

(2)

Pomiar mocy czynnej w układzie bezpośrednim przy symetrii zasilania i odbioru najłatwiej jest wykonać jednym watomierzem (ferrodynamicznym lub elektrodynamicznym) mierząc moc jednej dowolnej fazy i otrzymany wynik mnożąc przez trzy. W sieci czteroprzewodowej stosuje się układ pomiarowy jak na rys.1a, dla sieci trójprzewodowej układ z rys..1b.W obwodzie trójprzewodowym, z niedostępnym punktem zerowym, tworzy się sztuczny punkt zerowy przez połączenie w symetryczną gwiazdę obwodu napięciowego watomierza i dwóch oporników pomocniczych o rezystancjach równych rezystancji obwodu napięciowego watomierza R_w. W obu układach obwód napięciowy watomierza włączony jest na napięcie fazowe.

a) b) c)

Rys.1. Układ bezpośredni do pomiaru mocy czynnej symetrycznego odbiornika trójfazowego jednym watomierzem: a) w sieci czteroprzewodowej (z przewodem neutralnym N), b) w sieci trójprzewodowej, c) wykres wektorowy.

Podczas łączenia obwodu pomiarowego należy zwrócić uwagę na początki obwodów prądowego i napięciowego watomierza - na rys.1. oznaczone są kropką.

Wyniki pomiarów odbiornika oblicza się z zależności:

a) dla układu z rys. 1a:

- moc czynna:
(3)

- moc pozorna:
(4)

- współczynnik mocy:
(5)

b) dla układu z rys.1b:

- moc czynna:
(6)

- moc pozorna:
(7)

- współczynnik mocy:
(8)

gdzie

- stała watomierza i jego wychylenie,

U_f, U_p - napięcie fazowe i przewodowe,

I - prąd fazy odbiornika

W metodzie pomiaru mocy jednym watomierzem nie wprowadza się poprawek na pobór mocy przez obwody napięciowe mierników (watomierza i woltomierza), oraz nie uwzględnia się w wyniku pomiaru błędów wynikających z klasy watomierza. Głównym źródłem błędu pomiaru mocy tą metodą jest upraszczające założenie równego poboru mocy przez poszczególne fazy odbiornika, podczas gdy w praktyce warunek ten jest spełniony jedynie w przybliżeniu.

Dla wyznaczenia mocy odbiornika trójfazowego niesymetrycznego konieczny jest pomiar mocy we wszystkich fazach. W sieci czteroprzewodowej pomiar realizuje się trzema watomierzami w układzie jak na rys.2.

a) b)

Rys. 2. Układ bezpośredni do pomiaru mocy czynnej niesymetrycznego odbiornika trójfazowego w sieci czteroprzewodowej: a) układ pomiarowy, b) wykres wektorowy.

Moc czynna odbiornika jest równa sumie algebraicznej mocy wskazywanych przez watomierze. W przypadku watomierzy o jednakowych stałych
, moc wynosi:

(9)

Ze względu na asymetrię obciążenia nie oblicza się współczynnika mocy
odbiornika, można natomiast wyznaczyć współczynniki mocy indywidualnie dla każdej fazy zgodnie z zależnością:

(10)

Względny błąd pomiaru mocy wynikający z niedokładności (klas) watomierzy wyraża wzór:

(11)

lub w przypadku jednakowych watomierzy o równych klasach
i zakresach znamionowych
:

(12)

W sieci trójprzewodowej pomiar mocy czynnej wykonuje się w układzie dwóch watomierzy, tzw układzie Arona. Jest to układ stosowany najczęściej w praktyce, który umożliwia poprawny pomiar mocy czynnej przy symetrii jak i asymetrii zasilania i odbioru. Zasada pracy układu wykorzystuje fakt, że suma wartości chwilowych prądów fazowych w sieci trójprzewodowej jest równa zero:

(13)

Ponieważ wartość chwilowa mocy czynnej odbiornika jest równa sumie wartości chwilowych mocy fazowych:

(14)

to po uwzględnieniu z zal.(13), że
otrzymuje się moc chwilową:

(15)

Stąd moc czynna odbiornika wynosi:

(16)

Układ pomiaru mocy czynnej dwoma watomierzami, realizujący pomiar zgodnie z (16) przedstawia rys. 3.

Rys.3. Układ bezpośredni do pomiaru mocy czynnej odbiornika dwoma watomierzami (układ Arona) w sieci trójprzewodowej: a) układ pomiarowy, b) wykres wektorowy dla obwodu symetrycznego.

Moc czynna odbiornika jest równa sumie mocy wskazywanych przez watomierze:

(17)

Przy asymetrii systemu trójfazowego nie oblicza się współczynnika mocy odbiornika cos, gdyż kąty przesunięć fazowych prądów i napięć kolejnych faz są różne. W przypadku natomiast symetrii zasilania i obciążenia można z różnicy wskazań watomierzy oraz zależności (24) i (28) wyznaczyć moc bierną:

(18)

Stąd moc pozorna S oraz współczynnik mocy odbiornika cosϕ:

(19)

W pomiarach dokładnych, szczególnie przy niewielkich mocach odbiornika, należy uwzględniać poprawkę związaną z poborem mocy przez obwody napięciowe układu pomiarowego
. W przypadku zastosowania dwóch jednakowych watomierzy i woltomierzy poprawka wynosi:

(20)

gdzie

- rezystancje obwodów napięciowych watomierza i woltomierza.

Poprawkę należy uwzględniać, gdy jej wartość jest możliwa do odczytania na watomierzu. Wówczas poprawna moc odbiornika
wynosi:

(21)

Względny błąd pomiaru mocy wynikający z klas watomierzy wyraża wzór:

(22)

lub dla watomierzy o równych klasach
i takich samych zakresach znamionowych

(23)

W symetrycznym obwodzie pomiarowym, tj. gdy U_AB = U_CB = U_p oraz
na podstawie (16) i wykresu wektorowego z rys.10.3b, otrzymuje się, że moce czynne mierzone przez watomierze w układzie Arona wynoszą:

(24)

Widać stąd, że w zależności od charakteru obciążenia wskazania watomierzy w układzie Arona mogą być dodatnie jak i ujemne. Np. gdy współczynnik mocy odbiornika
, czyli jeśli ϕ = 0°, to wskazania obu watomierzy są jednakowe, przy
watomierz
wskaże zero, a przy
jego wskazania będą ujemne. W celu dokonania odczytu należy zmienić kierunek prądu w cewce napięciowej watomierza, a przy obliczaniu mocy odbiornika P (17) uwzględnić odczytaną moc ze znakiem minus. Suma wskazań obu watomierzy jest jednak zawsze nieujemna, ale liczyć się należy z dużym błędem pomiaru mocy (23) szczególnie wówczas, gdy wskazania obu watomierzy mają przybliżone wartości różniące się znakiem.

Moc odbiorników trójfazowych o dużych prądach przewodowych I > 6A i niskich napięciach U < 600V jest mierzona w układach pośrednich, najczęściej w układzie Arona przedstawionym na rys.10.4. Amperomierze i cewki prądowe watomierzy łączy się wówczas do sieci za pośrednictwem przekładników prądowych.

Moc czynną oraz w przypadku symetrycznego obwodu współczynnik mocy, oblicza się z zależności:

(25)

gdzie

ϑ_I - przekładnia prądowa przekładnika,

Q =
) - moc bierna.

Rys.4. Układ pośredni z przekładnikami prądowymi do pomiaru mocy czynnej odbiornika trójfazowego dwoma watomierzami (układ Arona).

Ze względu na duże wartości mierzonych mocy pomija się w wyniku pomiaru poprawki na moc pobieraną przez układ pomiarowy.

Przy obliczaniu błędu pomiaru mocy, obok błędu wynikającego z klas watomierzy należy dodatkowo uwzględnić błędy modułu
[%] i fazy
[min] przekładników prądowych. W przypadku, gdy system trójfazowy jest symetryczny, względny błąd pomiaru mocy wyraża wzór:

(26)

Wartości błędów przekładników, zgodnie z PN-84/E-06552 (Przekładniki prądowe. Ogólne wymagania i badania), zależą od stopnia ich obciążenia prądowego - tab. 1.

Tabela 1

Dopuszczalne błędy przekładników pomiarowych prądowych

Klasa dokładności	Błąd prądowy δI (%)				Błąd kątowy γI (min)
		prąd pierwotny w % prądu znamionowego
		10	20	100	120	10	20	100	120
0,1 0,2 0,5 1	0,25 0,5 1,0 2	0,2 0,35 0,75 1,5	0,1 0,2 0,5 1	0,1 0,2 0,5 1	10 20 60 120	8 15 45 90	5 10 30 60	5 10 30 60

Pomiar mocy biernej

Moc bierna w sieci trójfazowej o napięciu sinusoidalnym jest sumą mocy biernych trzech faz:

(27)

Przy pełnej symetrii zasilania i obciążenia faz, moc bierną określa wzór:

(28)

Pomiar mocy biernej watomierzami w układzie trójfazowym jest poprawny tylko wtedy, gdy zachowana jest symetria napięć zasilających i kolejność faz. Zasady pomiaru są takie same jak przy pomiarach mocy czynnej. Aby watomierz mierzył moc bierną, musi mieć obwód napięciowy włączony na napięcie opóźnione w fazie o 90 względem napięcia, jakie było doprowadzane do watomierza podczas pomiaru mocy czynnej, przy niezmienionej wartości skutecznej tego napięcia. W systemach trójfazowych o zachowanej symetrii napięć, przesunięcia fazowe o kąt 90 występują między napięciami fazowymi i przewodowymi.

Dla symetrycznego obciążenia sieci, pomiar mocy biernej odbiornika przeprowadza się w układzie jednego watomierza przez wyznaczenie mocy jednej fazy i pomnożenie uzyskanego wyniku przez trzy. Zasadę pomiaru przedstawia rys.5.

a) b)

Rys. 5. Układ bezpośredni do pomiaru mocy biernej symetrycznego odbiornika trójfazowego jednym watomierzem: a) układ pomiarowy, b) wykres wektorowy

Watomierz, którego cewka napięciowa włączona jest na napięcie przewodowe wskazuje moc bierną:

(29)

Ponieważ napięcie przewodowe
jest
razy większe od napięcia fazowego (porównaj z rys.10.1.), to aby spełnić warunek o niezmienionej wartości skutecznej napięcia, wskazanie watomierza należy podzielić przez
.

Stąd moc bierna fazy:

(30)

i moc bierna odbiornika symetrycznego:

(31)

Podstawowym układem do pomiaru mocy biernej w sieciach trójprzewodowych obciążonych niesymetrycznie, jest układ z dwoma watomierzami przedstawiony na rys. 6.

Cewki napięciowe obu watomierzy wraz z opornikiem pomocniczym o rezystancji
połączone są w symetryczną gwiazdę - tworzą sztuczny punkt zerowy. Dzięki temu, cewki napięciowe watomierzy zasilane są napięciami fazowymi
i
, które są przesunięte wstecz o 90 względem napięć przewodowych
i
podawanych na watomierze w układzie Arona przy pomiarze mocy czynnej (porównaj z rys.3). Na watomierzach występują więc napięcia
razy mniejsze - fazowe, a nie przewodowe. Aby zachować warunek niezmienionej wartości skutecznej napięcia, wskazania watomierzy należy pomnożyć przez
. Stąd moc bierna odbiornika:

a) b)

Rys. 6. Układ bezpośredni do pomiaru mocy biernej odbiornika dwoma watomierzami w sieci trójprzewodowej: a) układ pomiarowy, b) wykres wektorowy.

(32)

W pomiarach mocy biernej odbiorników trójfazowych niskiego napięcia, ale dużej mocy stosuje się przekładniki prądowe z odpowiednio dobraną przekładnią prądową
. Analizę dokładności pomiarów mocy biernej przeprowadza się podobnie jak dla mocy czynnej.

A

A

B

C

W

V

P₁

U_p

R_w

R_w

R_w

„0”

U_C

U_B

U_A

I_A

φ

P₁

A

A

B

C

W

V

U_f

N

U_C

U_B

U_A

I_A

φ_A

φ_C

φ_B

I_C

I_B

A

A

B

C

N

W

P₁

W

P₂

W

P₃

A

A

V

V

V

U_C

U_B

U_A

I_A

φ

φ

I_C

I_B

U_CB

30°

30°

U_AB

b)

A

B

C

A

W

P₁

V

V

A

W

P₂

a)

A

B

C

A

A

k

l

P₁

W

V

W

V

P₂

K

L

k

l

ϑ_I

ϑ_I

L

K

A

A

B

C

W

Q_w

V

U_C

U_B

U_A

I_A

φ

U_BC

90-ϕ

U_C

U_B

U_A

I_A

φ

-U_C

60-ϕ

U_AB

U_CB

I_C

φ

⋅

A

A

B

C

W

Q₁

W

V

V

A

Q₂

R_w

R_w

„0”

R_w

---