RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH. Obszar domknięty D określony nierównościami a≤x≤b, g(x)≤y≤h(x), gdzie g(x) i h(x) są funkcjami ciągłymi dla każdego x ჎<a,b> nazywamy obszarem normalnym względem osi OX. Obszar domknięty D określony nierównościami c≤y≤d, p(y)≤x≤q(y), gdzie p(y) i q(y) są funkcjami ciągłymi dla każdego y ჎ <c,d> nazywamy obszarem normalnym względem osi OY. Mówimy, że obszar domknięty D jest obszarem regularnym względem osi OX (osi OY), jeżeli obszar ten można podzielić prostymi równoległymi do osi OY (osi OX) na obszary normalne względem osi OX (osi OY). Obszary w przestrzeni R² nazywamy obszarami płaskimi i oznaczamy literą D. Obszary w przestrzeni R³ nazywamy obszarami przestrzennymi i oznaczamy literą ၗ. Obszar w przestrzeni R³ o podstawie D ograniczony powierzchnią będącą wykresem funkcji z=f(x,y) oraz powierzchnią utworzoną z prostych równoległych do osi OZ i przechodzących przez brzeg obszaru D nazywamy bryłą cylindryczną. Średnicą obszaru nazywamy kres górny zbioru odległości dwóch dowolnych punktów tego obszaru. Niech f(x,y) będzie funkcją dwóch zmiennych określoną w obszarze domkniętym i ograniczonym D w polu S. Obszar D dzielimy w dowolny sposób na n podobszarów D_i odpowiednio o polach ၄ s_i (i=1,2,...,n). Podział ten oznaczamy symbolem ၄_n. W każdym podobszarze D_i obieramy dowolny punkt P_i = (ၸ_i, ၨ_i). Tworzymy sumę.
Sumę tę nazywamy sumą całkową funkcji f(x,y) w obszarze D. Przez d_i (i=1,2,...,n) oznaczamy średnicę podobszaru D_i. Liczbę
nazywamy średnicą podziału ၄_n. Ciąg {၄_n} podziałów obszaru D na podobszary nazywamy ciągiem normalnym podziałów, jeżeli odpowiadający mu ciąg średnic {d_n} dąży do 0, tj.
. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów obszaru D ciąg sum całkowych {s_n} dąży do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów P_i, to tę granicę nazywamy całką podwójną funkcji f(x,y) w obszarze D i oznaczamy symbolem
. Definicję powyższą można zapisać następująco:
. Jeżeli całka istnieje, to mówimy, że funkcja dwóch zmiennych f(x,y) jest całkowalna w sensie Riemanna w obszarze D lub krótko, że jest całkowalna w obszarze D. Zamiast ds piszemy też dxdy. wyrażenie f(x,y)ds lub f(x,y)dxdy nazywamy wyrażeniem podcałkowym, f(x,y) nazywamy funkcją podcałkową, D nazywamy obszarem całkowania, zmienne x i y nazywamy zmiennymi całkowania. Twierdzenie o całkowalności funkcji dwóch zmiennych Jeżeli funkcja f(x,y) jest ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym D, to jest całkowalna w tym obszarze. Jeżeli dla każdego (x,y)eD: f(x,y)≥0 oraz istnieje całka ∫∫_(D) f(x,y) dxdy to jest ona równa objętości V bryły cylindrycznej o podstawie D i ograniczonej powierzchnią będącą wykresem funkcji z=f(x,y). Więc: V=∫∫_(D) f(x,y)dxdy, Z def. Całki wynika, że ∫∫_(D) ldxdy=∫∫_(D) dxdy jest równa polu S obszaru D. Jeżeli dla każdego (x,y)eD: f(x,y)≤0,to z definicji wynika, że całka podwójna jest równa objętości bryły ze znakiem ujemnym. W szczególności, jeżeli funkcja (f(x,y) jest stała w prostokącie D={(x,y)eR^2:(a≤x≤b)/\(c≤y≤d)], przy czym dla każdego (x,y)eD: f(x,y)= k(k>0), to: ∫∫_(D) f(x,y)ds.=k(b-a)(d-c) (*). Całka podwójna (*) jest więc równa objętości prostopadłościanu, którego podstawą jest prostokąt D, a wysokość jest równa k. Własności całki podwójnej: 1. Jeżeli funkcja f(x,y) jest całkowalna w obszarze D, a c jest dowolną stałą to: ∫∫_(D) c*f(x,y)dxdy=c*∫∫_(D) f(x,y)dxdy. 2. Jeżeli funkcje f(x,y) oraz g(x,y) są całkowalne w obszarze D, to: ∫∫_(D) [f(x,y)+g(x,y)]dxdy=∫∫_(D) f(x,y)dxdy+∫∫_(D) g(x,y)dxdy. 3. Jeżeli obszar D podzielimy na dwa obszary D₁ i D₂, gdzie D₁ i D₂ są obszarami mającymi tylko wspólny brzeg, to: ∫∫_(D) f(x,y)dxdy=∫∫_(D1) f(x,y)dxdy+∫∫_(D2) f(x,y)dxdy. 4. Jeżeli dla każdego (x,y)eD: f(x,y)≤g(x,y), to: ∫∫_(D) f(x,y)dxdy≤∫∫_(D) g(x,y)dxdy. 5. Jeżeli f(x,y) jest funkcją całkowalną w obszerze D, to: m*S≤∫∫_(D) f(x,y)dxdy≤M*S, gdzie: S pole obszaru D, m= inf _(x,y)eD f(x,y), M= sup _(x,y)eD f(x,y). Ostatnią nierówność można zapisać nastepująco:
. Liczbę z_śr. Naz. wartością średnią funkcji z=f(x,y) w obszarze D. TWIERDZENIE O WARTOŚCI ŚREDNIEJ DLA CAŁKI PODWÓJNEJ: Jeżeli funkcja f(x,y) jest ciągła w obszarze domkniętym D, to
w obszarze tym istnieje taki punkt P₀ należący do D, że ∫∫_(D) f(x,y)dxdy=f(P₀)*S. OBLICZANIE CAŁKI PODWÓJNEJ W OBSZARZE NORMALNYM ZA POMOCĄ CAŁKI ITEROWANEJ: Całkę postaci
naz. całką iterowaną w obszarze: D={(x,y)eR^2: (a≤x≤b) /\(g(x)≤y≤h(x))} normalnym względem osi OX. Całkę postaci
naz. całką iterowaną w obszarze: D={(x,y)eR^2: (p(y)≤x≤q(y)) /\(c≤y≤d)} normalnym względem osi OY. TWIERDZENIE O ZAMIANIE CAŁKI PODWÓJNEJ NA CAŁKĘ ITEROWANĄ: Jeżeli funkcja f(x,y) jest ciągła i ograniczona w obszarze normalnym względem osi OX: D={(x,y)eR^2: (a≤x≤b) /\(g(x)≤y≤h(x))} to:
. Jeżeli funkcja f(x,y) jest ciągła i ograniczona w obszarze normalnym względem osi OY: D={(x,y)eR^2: (p(y)≤x≤q(y)) /\(c≤y≤d)} to:
. Z twierdzenia tego wynika, że jeżeli obszar D jest normalny względem obu osi układu współrzędnych OX i OY, to wartość całki podwójnej nie zależy od kolejności całkowania.
.

---