Nazwisko i imię	Numer grupy	Numer ćwiczenia	Temat ćwiczenia
Katarzyna Detyna	VII	40	- Wpływ oporu, indukcyjności i pojemności na natężenie prądu zmiennego

Prądem zmiennym (przemiennym) nazywa się taki prąd, którego natężenie I oraz siła elektromotoryczna ε lub napięcie U są okresowymi funkcjami czasu

gdzie:
,
częstotliwość prądu (dla prądu sieciowego

Zmiany ε i I w czasie, czyli wykresy funkcji ε(t) i I(t) w czasie okresu T przedstawia rysunek.

Przyrządy używane w tym ćwiczeniu, jak amperomierz i woltomierz nie rejestrują okresowych zmian natężenia i napięcia w czasie, mierzą natomiast natężenie i napięcie skuteczne.

W dowolnym obwodzie prądu zmiennego można wyróżnić trzy podstawowe grupy elementów o charakterystycznych parametrach elektrycznych. Są to:

• oporność- elementy obwodu, których charakterystycznym parametrem elektrycznym jest rezystancja R, czyli opór omowy ( rezystory, cewki, przewody );

• indukcyjność- elementy obwodu o współczynniki indukcji własnej L, w których zachodzi zjawisko indukcji elektromagnetycznej (zwojnice, cewki );

• pojemność- kondensatory i inne elementy o pojemności C

Jako modelowy obwód prądu zmiennego można traktować obwód składający się z oporu, indukcyjności i pojemności, połączonych szeregowo, czyli obwód RLC.

Celem ćwiczenia jest wykonanie pomiarów napięcia i natężenia skutecznego w obwodach RLC, wyliczenie kilku parametrów charakteryzujących te obwody oraz wykazanie, że natężenie prądu zmiennego zależy zarówno od oporu omowego jak i oporu indukcyjnego oraz oporu pojemnościowego elementów obwodu.

Wpływ rezystancji na przepływ prądu stałego i zmiennego

Związek między napięciem U, bądź siła elektromotoryczną ε a natężeniem prądu I wyraża prawo Ohma

gdzie : R- rezystancja

Prawo Ohma opisuje przepływ prądu zarówno stałego jak i zmiennego.

Podczas przepływu przez rezystor prądu zostaje wykonana praca W. Zgodnie z zasada zachowania energii układ przekazuje otoczeniu energię na sposób ciepła w ilości Q, równej wykonanej pracy.

Q=W

Ciepło wydzielone w czasie t, oblicza się ze wzoru Joule'a Lenza

W ten sposób część energii źródła prądu zostaje rozproszona na rezystorze w ilości zależnej od oporu omowego R, natomiast
, czyli
stąd w obwodzie prądu stałego
oraz w obwodzie prądu zmiennego

Stąd wniosek, że rezystancja R w obwodzie powoduje rozpraszanie energii elektrycznej, a więc wpływa na zmniejszanie natężenia prądu I.

Wpływ indukcyjności i pojemności na natężenia prądu zmiennego

Prostym modelem stymulującym obwody RLC jest obwód składający się z cewki (solenoidu) o współczynniku indukcji własnej L i kondensatora o pojemności C, zasilany źródłem o sile elektromotorycznej
. Cewka indukcyjna wykazuje opór omowy R, ponieważ włączona do obwodu prądu stałego zachowuje się jak rezystor. Stąd wniosek, że obwód zamknięty składający się z cewki i kondensatora jest obwodem RLC.

Istotną rolę w takim obwodzie odgrywa zjawisko indukcji elektromagnetycznej. Zgodnie z podstawowymi prawami elektromagnetyzmu (prawa Maxwell'a) zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na powstaniu w przewodniku siły elektromagnetycznej ε wywołanej przez zmienne w czasie pole magnetyczne.

Wartość indukowanej siły elektromagnetycznej ε w obwodzie jest proporcjonalna do szybkości zmian strumienia pola magnetycznego

gdzie:
- strumień pola magnetycznego

Wzór ten jest ogólnym opisem matematycznym zjawiska indukcji elektromagnetycznej. Pozwala wyjaśnić zjawisko i obliczyć indukowaną w obwodzie siłę elektromagnetyczną w różnych przypadkach. Za pomocą tego wzoru można na przykład opisać zjawisko indukcji elektromagnetycznej wzajemnej i własnej oraz wyjaśnić zasadę działania prądnicy i innych urządzeń, w których zachodzi zjawisko indukcji elektromagnetycznej.

W tym ćwiczeniu zjawisko indukcji elektromagnetycznej występuje w cewce (zwojnicy) gdy w obwodzie RLC płynie prąd zmienny. Strumień
pola magnetycznego w zwojnicy jest proporcjonalny do natężenia prądu zmiennego I

I czyli
gdzie: L- współczynnik indukcji własnej

Można więc zapisać:

Siła elektromotoryczna indukcji własnej jest więc proporcjonalna do szybkości zmian w czasie natężenia prądu płynącego przez zwojnicę. Współczynnik L jest charakterystyczny dla danej zwojnicy i zależy od jej parametrów geometrycznych. Zależność tę określa się wzorem:
gdzie: n- liczba zwojów, l- długość cewki, r- promień poprzecznego przekroju cewki,
- względna przenikalność magnetyczna ośrodka,
- przenikalność magnetyczna próżni.

W układzie SI przenikalność magnetyczna próżni
gdzie: H- henr

stąd

Weźmy pod uwagę obwód RLC zasilany siła elektromotoryczną
przedstawiony na rysunku

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, zwanym też uogólnionym prawem Ohma, w obwodzie suma spadków potencjałów równa się sumie sił elektromotorycznych .

gdzie: n- liczba połączonych szeregowo elementów elektrycznych, na których występuje spadek potencjału;

m- liczba sił elektromotorycznych w obwodzie;

W rozpatrywanym obwodzie obserwuje się spadek potencjału na kondensatorze
i na rezystorze
. Występują dwie siły elektromotoryczne: ε(t) oraz siła elektromotoryczna indukcji własnej
powstała w cewce.

Uogólnione prawo Ohma można zapisać:
+
=
+ ε(t)

Jak wiadomo
;
;
;

Po podstawieniu tych wartości do równania otrzymujemy:

lub

Jest to równanie, które opisuje drgania elektryczne wymuszone, czyli okresowo zmienny przepływ ładunku Q(t) pod wpływem siły elektromotorycznej ε(t). Obwód, w którym zachodzi taki przepływ ładunku nazywamy elektrycznym obwodem drgającym.

Rozpatrzmy prądem zmienny, który w obwodzie przedstawionym na rysunku. Rozwiązanie równania dla prądu elektrycznego ma postać
.

Należy znaleźć taką wartość amplitudy I₀ oraz fazy początkowej φ, aby równanie
było rozwiązaniem równania
, czyli lewa strona równania równała się prawej.

Zapiszmy składniki sumy lewej strony równania
tak, by szukaną wielkością było określone równanie
.

Poprawny zapis ostatniego wyrażenia łatwo sprawdzić: należy wyznaczyć z tego równania Q i obliczyć jego pochodną względem czasu

zgodnie z równaniem
.

Trzy wyrazy z lewej strony równania, to trzy spadki potencjałów wynikające z istnienia w obwodzie cewki indukcyjnej o współczynniku indukcji L, rezystora o oporze R i kondensatora o pojemności C. Z porównania części sinusoidalne zmiennej tych trzech składników wynika, że spadek potencjału na cewce o fazie początkowej
wyprzedza spadek potencjału na oporze R o
, natomiast spadek potencjału na kondensatorze ( faza początkowa
) jest spóźniony w fazie o
.

Prostą metodą wyznaczenia I₀ oraz
w równaniu
są obliczenia trygonometryczne przeprowadzone za pomocą wykresów wektorowych. Spadki potencjałów przedstawia się jako wektory, których kierunki są określone różnicą faz początkowych poszczególnych spadków potencjałów bądź sił elektromotorycznych . Należy pamiętać, że potencjał jest skalarem. Możemy przypisywać tej wielkości fizycznej pewien kierunek tylko wtedy, gdy chcemy korzystać z wykresów wektorowych.

Z danych przedstawionych na wykresie wektorowym można wyliczyć, że

oraz
.

Wyrażanie ostatnie można zapisać inaczej
gdzie:
- impedancja

( zawada)

stąd

Zawadę Z można wyznaczyć doświadczalnie przez pomiar napięcia U i natężenia I prądu zmiennego w obwodzie. Zgodnie z prawem Ohma

Z porównania związku
ze wzorem na natężenie prądu stałego (prawo Ohma)
wynika, że wyrażenie Z pełni rolę oporu. Wielkość Z nazywa się zawadą (impedancją) obwodu prądu zmiennego. Jak wynika z wykresu wektorowego zawada jest sumą wektorową oporu omowego, oporu indukcyjnego
- induktancja oraz oporu pojemnościowego
- kapacitancja.

Należy wziąć pod uwagę fakt, że wartość oporu omowego R przewodnika zależy od parametrów charakterystycznych dla danego przewodnika: jego długości, pola przekroju poprzecznego i oporu właściwego. Natomiast wartość oporu indukcyjnego i oporu pojemnościowego tzw. oporów biernych oprócz parametrów charakteryzujących cewkę (L) i kondensator (C) , zależy również od częstotliwości
siły elektromotorycznej wymuszającej przepływ prądu zmiennego w obwodzie.

Z przedstawionej wyżej dyskusji przepływu prądu zmiennego w obwodzie RLC wynika, że włączenie w obwód elementów o indukcyjności L i pojemności C powoduje zmniejszenie natężenia prądu zmiennego.

Jak wynika ze wzoru
amplituda prądu w obwodzie RLC jest mniejsza niż amplituda prądu zmiennego płynącego w obwodzie, w którym jest tylko opór R. Jest to spowodowane powstawaniem pola elektrycznego w kondensatorze i pola magnetycznego w cewce. Energia źródła prądu, dzięki której są przemieszczane nośniki prądu w obwodzie, jest pomniejszona o straty energii przy powstawaniu pola elektrycznego w kondensatorze i pola magnetycznego w cewce indukowanej.

Z wyrażenia wcześniejszego wynika, że natężenie prądu w obwodzie zależy w decydujący sposób od różnicy między oporem indukcyjnym i oporem pojemnościowym. Jeżeli
, to obwód ma charakter indukcyjny. Występuje wtedy przewaga kumulacji energii źródła prądu w polu magnetycznym cewki. Gdy
wówczas obwód ma charakter pojemnościowy, tzn. że energia źródła prądu gromadzi się głównie w polu elektrycznym kondensatora.

Szczególny przypadek zachodzi gdy wymuszająca przepływ prądu siła elektromotoryczna jest w rezonansie z obwodem RLC, czyli amplituda I₀ natężenia prądu osiąga wartość maksymalną. Jak wynika ze wzoru będzie to miało miejsce gdy wyrażenie w nawisie, pod pierwiastkiem, będzie równe zero, czyli
;
stąd
gdzie:
- częstotliwość rezonansowa,
- częstotliwość drgań własnych obwodu

Zjawisko rezonansu dla natężenia prądu zachodzi więc wtedy, gdy częstotliwość siły elektromotorycznej, powodującej przepływ prądu równa się częstotliwości drgań własnych obwodu RLC. Są to najkorzystniejsze warunki przepływu prądu ze względu na wartość natężenia prądu. Możemy ją uzyskać zmieniają odpowiednio parametry L i C obwodu bądź dobierając siłę elektromotoryczną
o odpowiedniej częstotliwości

Indukcyjność w obwodzie prądu zmiennego

Jeżeli do obwodu prądu zmiennego włączyć cewkę o indukcyjności L i rezystancji R to można przyjąć, że opór pojemnościowy takiego obwodu równa się zero. Zgodnie z równaniem
zawada takiego obwodu wyrazi się wzorem
- zawada indukcyjna. Wystarczy tylko zmierzyć napięcie skuteczne U na cewce oraz natężenie skuteczne I prądu płynącego w obwodzie aby obliczyć wartość zawady indukcyjnej ze wzoru
.

Tak zmierzoną wartość zawady indukcyjnej można wykorzystując do wyznaczenia współczynnika indukcji własnej L cewki. Po przekształceniu wzoru otrzymuje się
stąd

Pojemność w obwodzie prądu zmiennego

Obwód prądu zmiennego, w którym znajduje się kondensator o pojemności C jest przedstawiony na rysunku.

Opór indukcyjny obwodu można przyjąć za równy zero. Wzór na zawadę takiego obwodu przyjmuje postać
- zawada pojemnościowa gdzie R_l - opór przewodników łączących elementy obwodu

W tym ćwiczeniu oraz w wielu innych przypadkach, opór R_l jest znacznie mniejszy od oporu pojemnościowego, stąd można zapisać:
. Zawadę pojemnościową wyznacza się ze wzoru
gdzie: U oraz I to napięcie i natężenie skuteczne prądu zmiennego w obwodzie z kondensatorem.

Zawada obwodu RLC

Aby wyznaczyć zawadę obwodu RLC należy elementy obwodu połączyć ze źródłem prądu zmiennego wg. schematu przedstawionego na rysunku.

Zmierzyć napięcie i natężenie skuteczne prądu zmiennego płynącego w tym obwodzie oraz obliczyć zawadę Z ze wzoru

Lp.	U [V]	I [A]	R [Ω]	ZL [Ω]	RL [Ω]	L [H]	ZC [Ω]	Z [Ω]
I	Zakres 1,5	Zakres 0,06
		0,75	0,06	12,5
		0,65	0,05	13,00
		0,525	0,04	13,125
		0,64	0,05	12,875
	II	Zakres 6	Zakres 0,15
		4,1	0,075		54,67	53,38	0,171
		3,8	0,067		56,72
		3,2	0,06		53,33
		3,7	0,067		54,91
	III	Zakres 15	Zakres 0,15
		8	0,085					94,12
		10,5	0,11					95,45
		6	0,063					95,24
		8,17	0,086					94,94
	IV	Zakres 15	Zakres 0,15
		6	0,065						92,31
		8,5	0,09						94,44
		11	0,115						95,65
		8,5	0,09						94,13

DYSKUSJA BŁĘDU:

---