 | Pobierz cały dokument 13.trygonometria.zarzadzanie.studia.doc Rozmiar 948 KB |
13. Trygonometria
13.1. Kąt płaski i jego miara
Przypomnijmy na wstępie, że jeżeli dane są dwie półproste p, q o wspólnym początku A leżące w ustalonej płaszczyźnie Π, to każdą z części, na jakie dzielą one tę płaszczyznę, wziętą wraz z tymi półprostymi, nazywa się kątem płaskim o ramionach p, q i wierzchołku A. Używając języka współczesnej matematyki, można powiedzieć, że kąt płaski jest trójką postaci 
gdzie p, q są półprostymi o wspólnym początku A, K jest podzbiorem płaszczyzny Π, w której zawarte są półproste p oraz q. Ponadto 
oraz brzeg zbioru K równa się zbiorowi 
Ilustruje to poniższy rysunek:
Aby zdefiniować miarę kąta płaskiego, ustalmy odcinek jednostkowy i naszkicujmy okrąg o środku A i promieniu 1. Częścią wspólną tego okręgu i kąta K jest łuk L (patrz rysunek powyżej). Idea mierzenia kąta K polega na porównaniu długości 
łuku L z długością analogicznego łuku dla ustalonego kąta wzorcowego, np. kąta półpełnego, i przyjęciu jako miary kąta K liczby równej proporcjonalnej części miary kąta wzorcowego. W matematyce stosuje się głównie dwie miary:
a) miarę w stopniach, w której kąt półpełny ma 180 stopni, w zapisie 
b) miarę łukową, w której kąt półpełny ma π tzw. radianów, w zapisie π.
Formalnie w obu powyższych przypadkach miary 
kąta K wyrażają się wzorami:
ad a) 
ad b) 
Drugi z podanych wzorów uzasadnia, dlaczego zdefiniowana przez niego miara nazywa się łukową. Dodajmy, że stosuje się również następujące jednostki do mierzenia kątów: gradusy w geodezji, rumby w żegludze i żeglarstwie, tysięczne w wojsku. Poniższa tabela podaje miary przykładowego kąta pełnego w poszczególnych jednostkach:
stopnie |
radiany |
gradusy |
rumby |
tysięczne |
360 |
2 π |
400 |
32 |
6400 |
Mówiąc o różnych jednostkach miary kąta musimy dodać, że 
dzieli się na 60 minut, w zapisie 
a 1 minuta kątowa to z kolei 60 sekund kątowych, w zapisie 
Przykładowo, zapis 
oznacza miarę kąta równą 37 stopni + 51 minut + 28 sekund.
W dalszym ciągu skupimy się na kwestii przeliczania jednostek między miarą stopniową a miarą łukową zwaną także miarą naturalną. W pewnych przypadkach szczególnych możemy skorzystać z tabeli:
stopnie |
|
|
|
|
|
|
|
radiany |
0 |
|
|
|
|
|
|
Przykład. Wyrazimy w radianach miarę kątów równe 
Rozwiązanie. Mamy
Przykład. Przeliczymy na stopnie następujące ilości radianów: 
Rozwiązanie. Mamy
 | Pobierz cały dokument 13.trygonometria.zarzadzanie.studia.doc rozmiar 948 KB |
