INWESTYCJE KAPITAŁOWE

MODEL MARKOWITZA - PROJEKT 1

Rp - stopa zwrotu

Ri - średnia stopa zwrotu spółki

Sp^2 - wariancja portfela

Sp - odchylenie standardowe (miara ryzyka)

Xi - udział każdej spółki w portfelu

X(-) - udziały ujemne, oznaczają krótką sprzedaż, czyli sprzedaż papierów pożyczonych

∑Xi=1 WARUNEK

Dane: stopy zwrotu 15 spółek giełdowych z 35 okresów historycznych

Cel: optymalizacja udziałów w portfelu

1. MACIERZ KOWARIANCJI [S]

Określamy kowariancje między poszczególnymi parami spółek wg formuły:

=KOWARIANCJA(Stopy ZwrotuSpółkiX ; StopyZwrotuSpółkiY)*35/34

2. STOPA ZWROTU PORTFELA

=SUMA.ILOCZYNÓW(udziałów Xi ; średnich stóp zwrotu Ri)

3. WARIANCJA PORTFELA

Sp^2 = [X]*[S]*[X']

Sp^2 = [udziałyXi]*[macierz kowariancji]*[transponowane udziałyXi]

(transponowane udziały Xi => odwrócony wiersz z udziałami na kolumnę)

4. SOLVER

I WARUNEK: ∑Xi=1

Optymalizujemy (minimalizujemy) Sp^2 dla Rp od -0,2 do 0,2 i ustalamy optymalne wielkości udziałów

Występuje krótka sprzedaż (czyli udziały ujemne), która daje większe możliwości inwestorom, ale która nie jest dostępna dla wszystkich.

II WARUNEK: ∑Xi=1 ; ∑X(-) ≥ -2

Optymalizujemy (minimalizujemy) Sp^2 dla Rp od -0,15 do 0,2 bo poniżej -0,15 jest niemożliwe spełnienie warunków i ustalamy optymalne wielkości udziałów.

Ograniczenie udziałów ujemnych zmniejsza możliwości krótkiej sprzedaży.

III WARUNEK: ∑Xi=1 ; Xi≥0

Optymalizujemy (minimalizujemy) Sp^2 dla Rp od -0,0039 do 0,1123 bo poniżej -0,0039 i powyżej 0,01123 jest niemożliwe spełnienie warunków i ustalamy optymalne wielkości udziałów.

Wyeliminowanie krótkiej sprzedaży (czyli udziałów ujemnych) ograniczyło zbiór dopuszczalny (zbiór możliwości).

IV WARUNEK: ∑Xi=1 ; 0≤Xi≤0,1

Optymalizujemy (minimalizujemy) Sp^2 dla Rp od 0,033 do 0,074 bo poniżej 0,033 i powyżej 0,074 jest niemożliwe spełnienie warunków i ustalamy optymalne wielkości udziałów.

V WARUNEK: ∑Xi=1

Optymalizujemy (maksymalizujemy) funkcje użyteczności:

UŻYTECZNOŚĆ = stopa zwrotu - (lambda * wariancja)

Współczynnik zmienności = Sp^2 / Rp^2

Interpretacja lambdy:

Lambda oznacza liczbę składników portfela, natomiast Sp^2 przeciętne ryzyko portfeli o danej liczbie składników. W miarę wzrostu liczby składników portfela spada ryzyko portfela i tempo tego spadku. Po przekroczeniu pewnej liczby składników następuje tzw. Przedywersyfikowanie, czyli korzyści z prowadzenia nowych składników i spadku ryzyka są niższe niż koszty ( koszty transakcji, analizy spółek itp.).

Specjaliści twierdzą, że zwiększanie liczby spółek do 20 może prowadzić do przedywersyfikowania..

Wykres obrazuje jak dywersyfikacja portfela wpływa na ryzyko całkowite, które składa się z ryzyka systematycznego (związanego z wariancją stopy zwrotu portfela) i ryzyka specyficznego ( związanego z wariancją czynnika losowego). Ryzyko specyficzne jest minimalne, natomiast ryzyko systematyczne znacząco oddziałuje na ryzyko całkowite.

Wnioski: Przez dobór odpowiednich proporcji między wagami aktywów w portfelu możemy zredukować ryzyko portfela mierzone wariancją, czy odchyleniem standardowym.

Wykorzystanie udziałów ujemnych daje możliwości uzyskania większej stopy zwrotu, jednak wiąże się z większym ryzykiem. Wyeliminowanie sprzedaży krótkiej zmniejsza zbiór możliwości portfela. Dla inwestora, który stara się maksymalizować oczekiwaną stopę zwrotu i minimalizować ryzyko racjonalny jest wybór jednego z portfeli efektywnych.

MVP - portfel o najmniejszej możliwej wariancji (najmniejszym ryzyku)

Zbiór efektywny to ten po prawej od paraboli wyznacza on portfele o najniższej możliwej wariancji dla danej wysokości oczekiwanej stopy zwrotu. Portfele powyżej MPV są portfelami efektywnymi, z poniżej MPV portfelami nieefektywnymi.

Portfele efektywne to takie, które przy danym poziomie wariancji charakteryzują się możliwie najwyższą stopą zwrotu, czyli zyskownością.

Portfele nieefektywne, przy danej wariancji maja najniższą stopę zwrotu.

---