Znaleźć ekstrema warunkowe funkcji, różne, różne zadania


Znaleźć ekstrema warunkowe funkcji

a) 0x01 graphic
pod warunkiem 0x01 graphic

b) 0x01 graphic
pod warunkiem 0x01 graphic

c) 0x01 graphic
pod warunkiem 0x01 graphic

d) 0x01 graphic
pod warunkiem 0x01 graphic

Wskazówka

Wykorzystać metodę mnożników Lagrange'a. Określoność formy kwadratowej

0x01 graphic

wystarczy badać na podprzestrzeni 0x01 graphic
.

c) Rozwiązując układ równań, rozważyć najpierw przypadek 0x01 graphic
, później 0x01 graphic
, wreszcie jeśli 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, wyliczyć 0x01 graphic
(wstawiając odpowiednio z pierwszego równania do drugiego 0x01 graphic
) i wstawić do pierwszego równania, uzyskując zależność między 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

d) Rozwiązując układ równań, zauważyć, że dla punktów spełniających go, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
i 0x01 graphic
i skorzystać ze wskazówki do punktu c).

Rozwiązanie

a) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję

0x01 graphic

Rozwiązując układ równań

0x01 graphic

otrzymujemy punkty 0x01 graphic
(0x01 graphic
), 0x01 graphic
(0x01 graphic
) i 0x01 graphic
(0x01 graphic
).

Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji 0x01 graphic
w punktach

krytycznych. Mamy

0x01 graphic

W punkcie 0x01 graphic
macierz drugiej różniczki ma postać

0x01 graphic

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów 0x01 graphic
spełniających warunek

0x01 graphic

a stąd 0x01 graphic
, 0x01 graphic
-dowolne. Mamy

0x01 graphic

czyli macierz jest dodatnio określona na wektorach postaci 0x01 graphic
. Dlatego funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
minimum warunkowe równe 0x01 graphic
.

W punkcie 0x01 graphic
macierz drugiej różniczki ma

postać

0x01 graphic

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów 0x01 graphic
spełniających warunek

0x01 graphic

a stąd 0x01 graphic
, 0x01 graphic
-dowolne. Mamy

0x01 graphic

czyli macierz jest dodatnio określona na wektorach postaci 0x01 graphic
. Dlatego funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
minimum warunkowe równe 0x01 graphic
.

W punkcie 0x01 graphic
macierz drugiej różniczki ma postać

0x01 graphic

jest więc ujemnie określona, czyli funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
maksimum warunkowe równe 0x01 graphic
.

b) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję

0x01 graphic

Rozwiązaniem układu równań

0x01 graphic

jest punkt 0x01 graphic
(0x01 graphic
).

Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji 0x01 graphic
. Mamy

0x01 graphic

W punkcie 0x01 graphic
macierz drugiej różniczki ma postać

0x01 graphic

jest więc dodatnio określona, czyli funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
minimum warunkowe równe 0x01 graphic
.

c) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję

0x01 graphic

Rozwiązując układ równań

0x01 graphic

otrzymujemy punkty 0x01 graphic
(0x01 graphic
), 0x01 graphic
(0x01 graphic
), 0x01 graphic
(0x01 graphic
), 0x01 graphic
(0x01 graphic
), 0x01 graphic
(0x01 graphic
), 0x01 graphic
(0x01 graphic
), 0x01 graphic
(0x01 graphic
), 0x01 graphic
(0x01 graphic
).

Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji 0x01 graphic
. Mamy

0x01 graphic

W punkcie 0x01 graphic
macierz drugiej różniczki ma postać

0x01 graphic

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów 0x01 graphic
spełniających warunek

0x01 graphic

a stąd 0x01 graphic
, 0x01 graphic
-dowolne. Mamy

0x01 graphic

czyli macierz jest dodatnio określona na wektorach postaci 0x01 graphic
. Dlatego funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
minimum warunkowe równe 0x01 graphic
. Analogicznie badamy punkt 0x01 graphic
i stwierdzamy, że funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
minimum warunkowe równe 0x01 graphic
.

W punkcie 0x01 graphic
macierz drugiej różniczki ma postać

0x01 graphic

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów 0x01 graphic
spełniających warunek

0x01 graphic

a stąd 0x01 graphic
, 0x01 graphic
-dowolne. Mamy

0x01 graphic

czyli macierz jest dodatnio określona na wektorach postaci 0x01 graphic
. Dlatego funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
minimum warunkowe równe 0x01 graphic
. Analogicznie badamy punkt 0x01 graphic
i stwierdzamy, że funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
minimum warunkowe równe 0x01 graphic
.

W punkcie 0x01 graphic
macierz

drugiej różniczki ma postać

0x01 graphic

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów 0x01 graphic
spełniających warunek

0x01 graphic

a stąd 0x01 graphic
. Mamy

0x01 graphic

czyli macierz jest ujemnie określona na wektorach postaci 0x01 graphic
. Dlatego funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
maksimum warunkowe równe 0x01 graphic
. Analogicznie badamy punkt 0x01 graphic
i stwierdzamy, że funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
maksimum warunkowe równe 0x01 graphic
.

W punkcie 0x01 graphic
macierz

drugiej różniczki ma postać

0x01 graphic

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów 0x01 graphic
spełniających warunek

0x01 graphic

a stąd 0x01 graphic
. Mamy

0x01 graphic

czyli macierz jest ujemnie określona na wektorach postaci 0x01 graphic
. Dlatego funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
maksimum warunkowe równe 0x01 graphic
. Analogicznie badamy punkt 0x01 graphic
i stwierdzamy, że funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
maksimum warunkowe równe 0x01 graphic
.

d) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję

0x01 graphic

Rozwiązując układu równań

0x01 graphic

otrzymujemy punkty 0x01 graphic
(0x01 graphic
), 0x01 graphic
(0x01 graphic
), 0x01 graphic
(0x01 graphic
) i 0x01 graphic
(0x01 graphic
).

Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji 0x01 graphic
. Mamy

0x01 graphic

W punkcie 0x01 graphic
macierz drugiej różniczki ma postać

0x01 graphic

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów 0x01 graphic
spełniających warunek

0x01 graphic

a stąd 0x01 graphic
. Mamy

0x01 graphic

czyli macierz jest dodatnio określona na wektorach postaci 0x01 graphic
. Dlatego funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
minimum warunkowe równe 0x01 graphic
. Analogicznie badamy punkt 0x01 graphic
i stwierdzamy, że funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
minimum warunkowe równe 0x01 graphic
.

W punkcie 0x01 graphic
macierz drugiej różniczki ma postać

0x01 graphic

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów 0x01 graphic
spełniających warunek

0x01 graphic

a stąd 0x01 graphic
. Mamy

0x01 graphic

czyli macierz jest dodatnio określona na wektorach postaci 0x01 graphic
. Dlatego funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
minimum warunkowe równe 0x01 graphic
. Analogicznie badamy punkt 0x01 graphic
i stwierdzamy, że funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
minimum warunkowe równe 0x01 graphic
.

Znaleźć ekstrema warunkowe funkcji

a) 0x01 graphic
pod warunkiem 0x01 graphic

b) 0x01 graphic
pod warunkiem 0x01 graphic

c) 0x01 graphic
pod warunkiem 0x01 graphic
.

Wykorzystać metodę mnożników Lagrange'a. Określoność formy kwadratowej

0x01 graphic

wystarczy badać na podprzestrzeni 0x01 graphic
.

0x01 graphic
Rozwiązanie

a) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję

0x01 graphic

Punkty krytyczne dostajemy rozwiązując układ równań

0x01 graphic

Rozwiązaniem tego układu równań jest punkt 0x01 graphic
(0x01 graphic
).

Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji 0x01 graphic
. Mamy

0x01 graphic

W punkcie 0x01 graphic
macierz drugiej różniczki ma postać

0x01 graphic

jest więc dodatnio określona, czyli funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
minimum warunkowe równe 0x01 graphic
.

b) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję

0x01 graphic

Rozwiązując układ równań

0x01 graphic

otrzymujemy punkty 0x01 graphic
(0x01 graphic
), 0x01 graphic
(0x01 graphic
), 0x01 graphic
(0x01 graphic
) i 0x01 graphic
(0x01 graphic
).

Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji 0x01 graphic
. Mamy

0x01 graphic

W punkcie 0x01 graphic
macierz drugiej różniczki ma postać

0x01 graphic

jest więc dodatnio określona, czyli funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
minimum warunkowe równe 0x01 graphic
.

W punkcie 0x01 graphic
macierz drugiej różniczki ma postać

0x01 graphic

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów 0x01 graphic
spełniających warunek

0x01 graphic

a stąd 0x01 graphic
. Mamy

0x01 graphic

czyli macierz jest nieokreślona. Dlatego funkcja 0x01 graphic
nie ma w punkcie 0x01 graphic
ekstremum. Podobnie badamy punkty 0x01 graphic
i 0x01 graphic
i stwierdzamy, że funkcja 0x01 graphic
nie ma ekstremów w tych punktach.

c) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję

0x01 graphic

Rozwiązując układ równań

0x01 graphic

otrzymujemy punkty 0x01 graphic
(0x01 graphic
), 0x01 graphic
(0x01 graphic
), 0x01 graphic
(0x01 graphic
) i 0x01 graphic
(0x01 graphic
).

Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji 0x01 graphic
. Mamy

0x01 graphic

W punkcie 0x01 graphic
macierz drugiej różniczki ma postać

0x01 graphic

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów 0x01 graphic
spełniających warunek

0x01 graphic

a stąd 0x01 graphic
. Mamy

0x01 graphic

czyli macierz jest nieokreślona. Dlatego funkcja 0x01 graphic
nie ma w punkcie 0x01 graphic
ekstremum. Podobnie badamy punkty 0x01 graphic
i 0x01 graphic
i stwierdzamy, że funkcja 0x01 graphic
nie ma ekstremów w tych punktach.

W punkcie 0x01 graphic
macierz drugiej

różniczki ma postać

0x01 graphic

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów 0x01 graphic
spełniających warunek

0x01 graphic

a stąd 0x01 graphic
.Mamy

0x01 graphic

czyli macierz jest ujemnie określona. Dlatego funkcja 0x01 graphic
ma w punkcie 0x01 graphic
maksimum warunkowe równe 0x01 graphic
.

2



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
09 rozne zadania funkcja jezeli v3
Ekstrema warunkowe Zadanie do Rozwiazanie zadania domowego id
Matematyka III (Ćw) Lista 06 Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych Zadania
Zadania geograficzne z elementami matematyki, Edukacja wczesnoszkolna, ED.PRZYRODNICZA, różne zadani
Różne zadania
Ekstrema warunkowe Zadanie do Zadanie domowe id 683495
Różne zadania z kolokwiów
suma różnica, ● Szkoła, NAUCZANIE ZINTEGROWANE, różne zadania matematyczne(1)
liczby trzycyfrowe, ● Szkoła, NAUCZANIE ZINTEGROWANE, różne zadania matematyczne
konspekty, rozne, zadanie domowe - klasa 6 (rzeczpospolita obojga narodow)
Czesc-I, różne, różne zadania
zima różne zadania, Dla dzieci
INFORMACJA o podstawowych warunkach pracy, Różne Dokumenty, KADROWE
Aminy, MATURA !!!, CHEMIA, Chemia R, Różne zadania i testy
Dullabha sutta; AN 2.119 Trudno znaleźć, Kanon pali -TEKST (różne zbiory)
Czesc-I, różne, różne zadania
TP różne zadania
dodawanie i odejmowanie w zakr 100, ● Szkoła, NAUCZANIE ZINTEGROWANE, różne zadania matematyczne
Matematyka III (Ćw) - Lista 06 - Ekstrema lokalne i globalne funkcji wielu zmiennych, Zadania

więcej podobnych podstron