Znaleźć ekstrema warunkowe funkcji

a)
pod warunkiem

b)
pod warunkiem

c)
pod warunkiem

d)
pod warunkiem

Wskazówka

Wykorzystać metodę mnożników Lagrange'a. Określoność formy kwadratowej

wystarczy badać na podprzestrzeni
.

c) Rozwiązując układ równań, rozważyć najpierw przypadek
, później
, wreszcie jeśli
i
, wyliczyć
(wstawiając odpowiednio z pierwszego równania do drugiego
) i wstawić do pierwszego równania, uzyskując zależność między
i
.

d) Rozwiązując układ równań, zauważyć, że dla punktów spełniających go,
,
i
i skorzystać ze wskazówki do punktu c).

Rozwiązanie

a) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję

Rozwiązując układ równań

otrzymujemy punkty
(
),
(
) i
(
).

Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji
w punktach

krytycznych. Mamy

W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek

a stąd
,
-dowolne. Mamy

czyli macierz jest dodatnio określona na wektorach postaci
. Dlatego funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
.

W punkcie
macierz drugiej różniczki ma

postać

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek

a stąd
,
-dowolne. Mamy

czyli macierz jest dodatnio określona na wektorach postaci
. Dlatego funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
.

W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać

jest więc ujemnie określona, czyli funkcja
ma w punkcie
maksimum warunkowe równe
.

b) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję

Rozwiązaniem układu równań

jest punkt
(
).

Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji
. Mamy

W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać

jest więc dodatnio określona, czyli funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
.

c) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję

Rozwiązując układ równań

otrzymujemy punkty
(
),
(
),
(
),
(
),
(
),
(
),
(
),
(
).

Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji
. Mamy

W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek

a stąd
,
-dowolne. Mamy

czyli macierz jest dodatnio określona na wektorach postaci
. Dlatego funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
. Analogicznie badamy punkt
i stwierdzamy, że funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
.

W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek

a stąd
,
-dowolne. Mamy

czyli macierz jest dodatnio określona na wektorach postaci
. Dlatego funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
. Analogicznie badamy punkt
i stwierdzamy, że funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
.

W punkcie
macierz

drugiej różniczki ma postać

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek

a stąd
. Mamy

czyli macierz jest ujemnie określona na wektorach postaci
. Dlatego funkcja
ma w punkcie
maksimum warunkowe równe
. Analogicznie badamy punkt
i stwierdzamy, że funkcja
ma w punkcie
maksimum warunkowe równe
.

W punkcie
macierz

drugiej różniczki ma postać

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek

a stąd
. Mamy

czyli macierz jest ujemnie określona na wektorach postaci
. Dlatego funkcja
ma w punkcie
maksimum warunkowe równe
. Analogicznie badamy punkt
i stwierdzamy, że funkcja
ma w punkcie
maksimum warunkowe równe
.

d) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję

Rozwiązując układu równań

otrzymujemy punkty
(
),
(
),
(
) i
(
).

Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji
. Mamy

W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek

a stąd
. Mamy

czyli macierz jest dodatnio określona na wektorach postaci
. Dlatego funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
. Analogicznie badamy punkt
i stwierdzamy, że funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
.

W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek

a stąd
. Mamy

czyli macierz jest dodatnio określona na wektorach postaci
. Dlatego funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
. Analogicznie badamy punkt
i stwierdzamy, że funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
.

Znaleźć ekstrema warunkowe funkcji

a)
pod warunkiem

b)
pod warunkiem

c)
pod warunkiem
.

Wykorzystać metodę mnożników Lagrange'a. Określoność formy kwadratowej

wystarczy badać na podprzestrzeni
.

Rozwiązanie

a) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję

Punkty krytyczne dostajemy rozwiązując układ równań

Rozwiązaniem tego układu równań jest punkt
(
).

Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji
. Mamy

W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać

jest więc dodatnio określona, czyli funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
.

b) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję

Rozwiązując układ równań

otrzymujemy punkty
(
),
(
),
(
) i
(
).

Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji
. Mamy

W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać

jest więc dodatnio określona, czyli funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
.

W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek

a stąd
. Mamy

czyli macierz jest nieokreślona. Dlatego funkcja
nie ma w punkcie
ekstremum. Podobnie badamy punkty
i
i stwierdzamy, że funkcja
nie ma ekstremów w tych punktach.

c) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję

Rozwiązując układ równań

otrzymujemy punkty
(
),
(
),
(
) i
(
).

Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji
. Mamy

W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek

a stąd
. Mamy

czyli macierz jest nieokreślona. Dlatego funkcja
nie ma w punkcie
ekstremum. Podobnie badamy punkty
i
i stwierdzamy, że funkcja
nie ma ekstremów w tych punktach.

W punkcie
macierz drugiej

różniczki ma postać

Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek

a stąd
.Mamy

czyli macierz jest ujemnie określona. Dlatego funkcja
ma w punkcie
maksimum warunkowe równe
.

2