Znaleźć ekstrema warunkowe funkcji
a)
pod warunkiem
b)
pod warunkiem
c)
pod warunkiem
d)
pod warunkiem
Wskazówka
Wykorzystać metodę mnożników Lagrange'a. Określoność formy kwadratowej
wystarczy badać na podprzestrzeni
.
c) Rozwiązując układ równań, rozważyć najpierw przypadek
, później
, wreszcie jeśli
i
, wyliczyć
(wstawiając odpowiednio z pierwszego równania do drugiego
) i wstawić do pierwszego równania, uzyskując zależność między
i
.
d) Rozwiązując układ równań, zauważyć, że dla punktów spełniających go,
,
i
i skorzystać ze wskazówki do punktu c).
Rozwiązanie
a) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję
Rozwiązując układ równań
otrzymujemy punkty
(
),
(
) i
(
).
Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji
w punktach
krytycznych. Mamy
W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać
Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek
a stąd
,
-dowolne. Mamy
czyli macierz jest dodatnio określona na wektorach postaci
. Dlatego funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
.
W punkcie
macierz drugiej różniczki ma
postać
Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek
a stąd
,
-dowolne. Mamy
czyli macierz jest dodatnio określona na wektorach postaci
. Dlatego funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
.
W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać
jest więc ujemnie określona, czyli funkcja
ma w punkcie
maksimum warunkowe równe
.
b) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję
Rozwiązaniem układu równań
jest punkt
(
).
Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji
. Mamy
W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać
jest więc dodatnio określona, czyli funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
.
c) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję
Rozwiązując układ równań
otrzymujemy punkty
(
),
(
),
(
),
(
),
(
),
(
),
(
),
(
).
Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji
. Mamy
W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać
Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek
a stąd
,
-dowolne. Mamy
czyli macierz jest dodatnio określona na wektorach postaci
. Dlatego funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
. Analogicznie badamy punkt
i stwierdzamy, że funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
.
W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać
Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek
a stąd
,
-dowolne. Mamy
czyli macierz jest dodatnio określona na wektorach postaci
. Dlatego funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
. Analogicznie badamy punkt
i stwierdzamy, że funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
.
W punkcie
macierz
drugiej różniczki ma postać
Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek
a stąd
. Mamy
czyli macierz jest ujemnie określona na wektorach postaci
. Dlatego funkcja
ma w punkcie
maksimum warunkowe równe
. Analogicznie badamy punkt
i stwierdzamy, że funkcja
ma w punkcie
maksimum warunkowe równe
.
W punkcie
macierz
drugiej różniczki ma postać
Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek
a stąd
. Mamy
czyli macierz jest ujemnie określona na wektorach postaci
. Dlatego funkcja
ma w punkcie
maksimum warunkowe równe
. Analogicznie badamy punkt
i stwierdzamy, że funkcja
ma w punkcie
maksimum warunkowe równe
.
d) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję
Rozwiązując układu równań
otrzymujemy punkty
(
),
(
),
(
) i
(
).
Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji
. Mamy
W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać
Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek
a stąd
. Mamy
czyli macierz jest dodatnio określona na wektorach postaci
. Dlatego funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
. Analogicznie badamy punkt
i stwierdzamy, że funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
.
W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać
Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek
a stąd
. Mamy
czyli macierz jest dodatnio określona na wektorach postaci
. Dlatego funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
. Analogicznie badamy punkt
i stwierdzamy, że funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
.
Znaleźć ekstrema warunkowe funkcji
a)
pod warunkiem
b)
pod warunkiem
c)
pod warunkiem
.
Wykorzystać metodę mnożników Lagrange'a. Określoność formy kwadratowej
wystarczy badać na podprzestrzeni
.
Rozwiązanie
a) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję
Punkty krytyczne dostajemy rozwiązując układ równań
Rozwiązaniem tego układu równań jest punkt
(
).
Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji
. Mamy
W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać
jest więc dodatnio określona, czyli funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
.
b) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję
Rozwiązując układ równań
otrzymujemy punkty
(
),
(
),
(
) i
(
).
Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji
. Mamy
W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać
jest więc dodatnio określona, czyli funkcja
ma w punkcie
minimum warunkowe równe
.
W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać
Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek
a stąd
. Mamy
czyli macierz jest nieokreślona. Dlatego funkcja
nie ma w punkcie
ekstremum. Podobnie badamy punkty
i
i stwierdzamy, że funkcja
nie ma ekstremów w tych punktach.
c) Stosujemy metodę mnożników Lagrange'a. Tworzymy nową funkcję
Rozwiązując układ równań
otrzymujemy punkty
(
),
(
),
(
) i
(
).
Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji
. Mamy
W punkcie
macierz drugiej różniczki ma postać
Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek
a stąd
. Mamy
czyli macierz jest nieokreślona. Dlatego funkcja
nie ma w punkcie
ekstremum. Podobnie badamy punkty
i
i stwierdzamy, że funkcja
nie ma ekstremów w tych punktach.
W punkcie
macierz drugiej
różniczki ma postać
Badamy określoność tej macierzy dla wektorów
spełniających warunek
a stąd
.Mamy
czyli macierz jest ujemnie określona. Dlatego funkcja
ma w punkcie
maksimum warunkowe równe
.
2