Część 1

PRZEPISZ STARANNIE - ZWRACA NA TO UWAGE, PRZEPISZ TAK ŻEBY PRACA NIE BYŁA PODOBNA - INNI MOGĄ MIEC TAKIE SAME I CO WTEDY?

Część I - zadanie 1 - wyprowadzenie równań równowagi płynu.

Rozważamy dowolną przestrzeń
wypełnioną płynem idealnym

- wnętrze obszaru

- powierzchnia ograniczająca obszar

ds - elementarny wycinek powierzchni dV - elementarny wycinek wnętrza obszaru

ΔFp - jednostkowa siła powierzchniowa

ΔFv - jednostkowa siła objętościowa

- wektor normalny do wycinka ds.

- gęstość sił objętościowych

- gęstość sił powierzchniowych

Siły powierzchniowe zależą od usytuowania rozpatrywanej powierzchni, nie są zatem wielkością stałą i niezależną. Niezależnie od doboru powierzchni opisywał będzie stan cieczy tensor napręzeń- charakteryzujący naprężenia w danym punkcie. Na jego wartości nie ma wpływu sposób doboru powierzchni.

- tensor naprężeń

Ze względu na równości odpowiednich naprężeń stycznych, macierz ta jest macierzą symetryczną, czyli:
, ponieważ
.

Rysunki przedstawiają elementarny wycinek obszaru Ω- czyli d Ω, oraz jego naprężenia i współrzędne wektora

Są to makroskopowe ujęcia punktu obszaru. Można spostrzec ze na jego powierzchnię działają siły powierzchniowe zależne od doboru powierzchni. Ściana powierzchni opisywana jest przez wektor

Ogólny stan naprężenia w danym punkcie przedstawia tensor naprężeń σ Siła powierzchniowa będzie zatem równa:

- jest to wektor [N/m] = [Pa]

(R³) (R^3x3) (R³)

Znalezienie siły wypadkowej wymaga scałkowania po powierzchni:

; [N]

Analizując budowę tensora σ zauważymy, że:

Tensor σ tensor kulisty tensor dewiatorowi - σ_D

Gdzie:
; oraz
- ślad macierzy σ

Tensor kulisty to

Czyli ostatecznie:

Tensor kulisty odpowiedzialny jest za opis matematyczny wszechstronnego ściskania/rozciągania. Dewiator jest wyrażeniem związanym ze zmianą postaci ciala - ścinaniem. Ponieważ przy rozpatrywaniu płynu nie możemy mowić o rozciąganiu, a σ₀ ma kierunek naprężeń rozciągających, to ma on zawsze wartość ujemna. Wartość tę nazywamy ciśnieniem.

;
;

Po uwzględnieniu założenia, że siła powierzchniowa w każdym kierunku jest jednakowa i skierowana prostopadle do powierzchni, to dla danej chwili:

Jest to całka wektoru

Rozważając kolejno siły objętościowe:

[N/m³] - gęstość siły objętościowej.

Są to siły wewnętrzne, wzajemne. Obliczamy ich wypadkową dla danej chwili:

Siła wypadkowa w całym obszarze to
:

Na mocy Twierdzenia Gaussa-Ostrogradskij-ego możemy zastąpić całkę powierzchniową całka objętosciową w poniższy sposób:

Aby zachowana była równowaga to:
dla każdego obszaru Ω czyli:

Musi tak być dla każdego obszaru Ω 0 (ponieważ równie dobrze wymagać można zachowania równowagi i tego obszaru). Zależność
= 0 nazywamy równaniem równowagi ośrodka ciągłego, lub równaniem Eulera. Obowiązuje ono dla płynu nielekkiego.

, a wtedy:

Możemy zatem napisać równanie równowagi dla płynu:

Ponieważ:
, oraz
to ostatecznie:

Dla zachowania pełnej równowagi spełnione musi być też równanie momentów.

Po przekształceniach analogicznych do tych z warunku na równowagę sił, możemy zauważyć że jeżeli siłą wypadkowa będzie równa zeru, to niezależnie od tego na jakim ramieniu będzie działała, również da moment równy zeru. A zatem warunkiem wystarczającym do spełnienia aby ośrodek był w równowadze, jest zależność:

Jest to warunek równowagi płynu doskonałego.

Zadanie 2 - cysterna

α%=	10	%		α=	5,7	°
L=	6,7	[m]
D=	1,8	[m]
d=	1	[m]
ρoleju=	830	[kg/m^3]
a=	-0,22	g		Współrzędne klapy:
g=	9,81	[ms^2]		Xk=	3,35	klapa gorna
Pa=	101325	[Pa]		Yk=	1,8

Znajduję siły objętościowe działające na ciecz w poruszającej się cysternie:

Siła ciężkości: fg =ρ g

Sila bezwładności fb = - ρ a ( skierowane przeciwnie do przyspieszenia cysterny - ale ponieważ przyspieszenie ma wartość ujemną, to sila bezwładności ma zwrot taki jak na rysunku - przeciwnie do osi ox)

[N/m³] - jest to wektor wypadkowy sił objętościowych, obliczam jego współrzędne (podstawiam tylko wartości bezwzględne składowych, ich zwrot jest uwzględniony w znakach minus i plus):

fx=	-981
fy=	-8102
fz=	0

Mając współrzędne możemy usytuować wektor w płaszczyźnie cysterny. Wektor wskazuje kierunek najszybszego wzrostu cisnienia, po przeciwnej stronie jest kierunek spadku. W rogu, wskazywanym przez kierunek spadku ciśnienia znajduje się pęcherzyk powietrza, panuje w nim ciśnienie atmosferyczne.

Linie prostopadłe do wektora wypadkowego to izobary - linie stałego ciśnienia.

Wiemy, że:

Jest tak ze względu na to ze pochodne czastkowe dp/dx; dp/dy i dp/dz maja stale wartości

Dzieki temu możemy zastąpić przyrosty dx dy i dz wartościami x y i z.

I wtedy: p(x,y,z) =

p(x,y,z) =

-981

x +

-8102

y +

0

z + c

C - obliczamy z warunku brzegowego na ciśnienie atmosferyczne w punkcie gdzie znajduje się pęcherzyk powietrza.

Współrzędne punktu pęcherzyka to:

Xp=	6,7
Yp=	1,8

Czyli p( x_p, y_p) = 101325 = -981 x_p - 8102y_p + c

Po obliczeniu:

c=

122482

[Pa]

Równanie ciśnienia ma następującą postać:

p(x,y,z) =

-981

x +

-8102

y +

122482

Aby znaleźć siłę naporu oleju na klapę należy obliczyc ciśnienie w punkcie środka ciężkości tej klapy, a następnie pomnożyc je przez pole powierzchni tej klapy:

Współrzędne klapy:
Xk=	3,35	klapa gorna	p(xk, yk)=	104612	[Pa]
Yk=	1,8
Aklapy=πd^2/4=		0,79	[m^2]
F=A*p(xk, yk)=		81597,16	[N]	-odpowiedź

Zadanie 3 - pława

H0=	1,5	[m]
m0=	195	[kg]
δ=	0,003	[m]
ρstali=	7400	[kg/m^3]
ρwody=	1000	[kg/m^3]
g=	9,81	[m/s^2]

Najpierw obliczam objętość zanurzoną, masę i siłę wyporu pontonu, i to samo dla zestawu pontonów:

V_z = 3 V_z1 = 1,95 a³

M = 3 M₁ = 417 a²

F_w = V_z g ρ_wody = 19130 a³

19130	a3	=	4091	a2+	1913
19130	a3	-	4091	a2-	1913	=0

Za pomocą Excela obliczam wartości dla kolejnych wartości parametru a i znajduję pierwsze dodatnie rozwiązanie. Dokładne rozwiązanie to a=0,547 m, zatem przyjmuję do dalszych obliczeń wartość a = 0,55 [m]

Następnie trzeba obliczyc położenie środka ciężkości pontonów, zestawu pontonów i płąwy oraz położenie srodka wyporu. Pontony są symetryczne względem płaszczyzny poziomej, więc ich środek ciężkości jest w połowie wysokości pontonu

xc pont=	-0,275
M=	126
xc plawy=Ho=	1,5
m0=	195

xc=

0,803

[m]

Obliczam położenie srodka wyporu, jako współrzędną środka ciężkości objętości zanurzonej:

Część walcowa

wg. schematu:

Część półkulista

(pełna kula):

-0,385 [m]

Odległość pomiędzy środkiem wyporu i środkiem ciężkości:

lm=|xcxw|=

1,188

[m]

Obliczam momenty bezwładności przekroju względem jego głównych centralnych osi bezwładności.

A - pole powierzchni przekroju zanurzeniowego: a² + pi a²/4

6,28* 10^-4 [m⁴]

2,25* 10^-3 [m⁴]

0,0188 [m⁴]

0,0076 [m⁴]

Momenty całego pontonu:

0,0453 [m⁴]

0,0121 [m⁴]

Obliczam momenty bezwładności układu pontonów względem głownej centralnej osi bezwładności (ze względu na symetrię promienista układu momenty względem innych osi przechodzących przez środek symetrii będą takie same)

Przyjmuję promień rozstawu pław r = 2 m

Moment pontonu obróconego i odsuniętego od osi Y obliczam następująco;

ex = r cos 30^o = 1,73 [m]

A = a² + pi a²/4 = 0,54[m²]

I_y1 = I_cxc cos² 30^o + I_cyc sin² 30^o = 0,0343 [m⁴]

I_Y = I_y1 + Ae² = 0,0343 + 0,54*1,73 ² = 1,65[m⁴]

(na rysunku narysuj sobie oczywiście

Swoje PÓŁOKRĄGŁE kształty pontonów

Albo jak chcesz to prostokąty

jako uproszczenie.

NIE RYSUJ trójkątnych - takich

jak te.

Moment całego zestawu pontonów:

I_cY = I_cyc + 2 I _Y = 3,31 [m⁴]

Momenty względem pozostałych osi będą równe,

Więc jest to zarazem jedyny i najmniejszy moment

bezwładności tej pławy.

Możemy teraz obliczyć wysokość metacentryczną:

= 3,31 [m⁴]/ 1,95 a³ - 1,188 [m] = 10,202 - 1,188 = 9,014 [m] >>2 [m] - warunek stateczności pławy postawiony w zadaniu jest spełniony

1

---