O4. Badanie zjawiska dyfrakcji i interferencji światła laserowego

Gdy fala świetlna napotyka na swej drodze przeszkodę, w której znajduje się szczelina lub otwór o rozmiarach zbliżonych do długości fali, to poza przeszkodą rozprzestrzenia się w całym dostępnym obszarze. Światło ulega dyfrakcji i dociera do miejsc, które powinny leżeć w obszarze cienia gdyby, jak przewiduje optyka geometryczna, światło rozchodziło się po liniach prostych. W wyniku dyfrakcji zmienia się kształt czoła fali. Gdy rozmiary szczeliny lub otworu są nieco większe, to światło ugięte w różnych częściach otworu będzie interferować ze sobą dając charakterystyczne obrazy dyfrakcyjne.

Cel

Celem ćwiczenia jest pomiar szerokości szczeliny, odległości między szczelinami, wyznaczenie stałej siatki dyfrakcyjnej oraz długości fali lasera półprzewodnikowego, a także obserwacja obrazów dyfrakcyjnych otworów o różnych kształtach i obrazów interferencyjno-dyfrakcyjnych różnych układów szczelin.

Wymagania

Zjawisko dyfrakcji i interferencji światła, spójność światła, dyfrakcja na pojedynczej szczelinie, dyfrakcja na dwóch i większej ilości szczelin, siatka dyfrakcyjna, rozszczepienie światła.

Literatura

B. Janowska-Dmoch, Zjawiska dyfrakcji i interferencji światła laserowego, część II instrukcji

R. Resnick, D. Halliday, Fizyka, tom II, PWN

J. Orear, Fizyka, tom II, WNT.

D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, tom IV, PWN

Opis przyrządu

Układ optyczny składa się z lasera Ne-Ne, układu zwierciadeł kierujących wiązkę, ławy optycznej z uchwytami szczelin, fotodiody, rejestratora XY i przetwornika analogowo-cyfrowego sprzężonego z komputerem.

Przeszkodę oświetla światło lasera helowo-neonowego. Obraz interferencyjno-dyfrakcyjny przeszkody może być obserwowany na matówce, umieszczonej na końcu ławy optycznej. Przed matówką znajduje się element światłoczuły, zamocowany do ruchomego ramienia osi X rejestratora. Sygnał z fotodiody jest podany poprzez wzmacniacz na przetwornik analogowo-cyfrowy sprzężony z komputerem. Ze względu na bardzo dużą dynamikę natężenia światła w obrazach dyfrakcyjnych na wejściu osi Y zastosowano wzmacniacz z kompresją wzmocnienia. Dla małych sygnałów wzmocnienie jest liniowe, dla większych sygnał wyjściowy jest coraz bardziej ograniczany. Powyżej pewnej wartości sygnału wejściowego sygnał wyjściowy ma stałą wartość.

Wyprowadzenie wzorów

Kilka metod wyprowadzenie podstawowych wzorów dyfrakcyjnych podano w uzupełnieniu instrukcji wykonawczej.

Podstawowe wzory

Pojedyncza szczelina

Przegroda zawierająca szczelinę o szerokości a jest oświetlona płaską falą elektromagnetyczną.

Rozkład natężenia światła na ekranie, umieszczonym w dużej odległości od szczeliny, w funkcji kąta ugięcia θ opisuje wzór:

,

gdzie I₀ jest największą wartością natężenia światła w obrazie dyfrakcyjnym, odpowiadającą centralnemu maksimum, ponieważ gdy
to
, bo

.

Kolejne maksima dyfrakcyjne występują w miejscach gdzie argument funkcji sinus będzie równy nieparzystej wielokrotności
, czyli

lub
, gdzie
.

Gdy argument funkcji sinus będzie równy całkowitej wielokrotności liczby π, czyli

lub
, gdzie
,

to w takich miejscach występują minima dyfrakcyjne, bo natężenie
. Ponieważ wymiary szczeliny są znacznie mniejsze od odległości przeszkody od ekranu
możemy zastosować przybliżenie

,

gdzie x jest odległością od centrum wzoru. Minima dyfrakcyjne będą występować w następujących odległościach od centrum:

.

Pomiary odległości szczeliny od ekranu i położeń minimów we wzorze dyfrakcyjnym oraz znajomość długości fali światła oświetlającego szczelinę pozwalają wyznaczyć szerokość szczeliny ze wzoru:

.

Dwie szczeliny

Gdy dwie szczeliny, każda o szerokości a, znajdujące się w odległości d od siebie, są oświetlone płaską falą elektromagnetyczną, to fale wychodzące z takich szczelin będą ulegały dyfrakcji i jednocześnie będą ze sobą interferowały. W efekcie obraz interferencyjny jest zmodulowany przez efekt dyfrakcji. Rozkład natężenia światła na ekranie jest opisany wzorem:

.

W powyższym równaniu I₀ jest maksymalnym natężeniem w centrum wzoru, drugi czynnik jest czynnikiem dyfrakcyjnym, związanym z dyfrakcją na szczelinie o szerokości a, natomiast trzeci czynnik jest czynnikiem interferencyjnym, opisującym interferencję światła z dwóch szczelin odległych od siebie o d.

Minima dyfrakcyjne występują w takich miejscach na ekranie, dla których
,
. Cechą obrazu dyfrakcyjnego jest to, że jasny prążek zerowego rzędu ma szerokość dwukrotnie większą niż jasne prążki dyfrakcyjne wyższych rzędów.

Położenia minimów interferencyjnych określa warunek zerowania się trzeciego czynnika, czyli

.

Odległość między dwoma kolejnymi prążkami interferencyjnymi jasnymi (maksima interferencyjne) lub ciemnymi (minima interferencyjne) jest we wzorze interferencyjnym stała i wynosi

Pomiary odległości przeszkody od ekranu, położeń minimów we wzorze dyfrakcyjnym, odległości między prążkami interferencyjnymi oraz znajomość długości fali światła oświetlającego szczelinę pozwalają wyznaczyć zarówno odległość między szczelinami, jak i szerokość każdej ze szczelin ze wzorów:

.

Siatka dyfrakcyjna

Siatka dyfrakcyjna jest szeregiem równoległych szczelin o jednakowej szerokości, przedzielonych nieprzezroczystymi dla światła przegrodami o tej samej szerokości. Odległość między szczelinami d nazywamy stałą siatki.

Gdy N szczelin znajdujących się w odległości d od siebie, jest oświetlonych płaską falą elektromagnetyczną, to fale wychodzące z takich szczelin będą ulegały dyfrakcji i jednocześnie będą ze sobą interferowały.

Rozkład natężenia światła na ekranie jest opisany wzorem:

Rysunek przedstawia rozkład natężenia światła na ekranie dla dziesięciu szczelin
.

Natężenie światła w centrum ekranu, gdzie wszystkie fale docierają w zgodnych fazach i gdzie
, można znaleźć wykorzystując przybliżenie

.

Jest to maksimum zerowego rzędu.

Taką samą wartość natężenia , równą
, zaobserwujemy w tych punktach na ekranie, dla których obie funkcje
oraz
jednocześnie zbiegają do zera, tzn. gdy
lub

. Są to tzw. maksima główne. Dokładniejszą analizę rozkładu natężenia światła dla N szczelin przedstawiono w uzupełnieniu do instrukcji wykonawczej.

Funkcję sinθ możemy wyrazić przez odległość ekranu od przeszkody L oraz przez x_m, czyli odległość maksimum m-tego rzędu od centrum wzoru

.

Z pomiarów odległości szczeliny od ekranu i położeń maksimów głównych na ekranie oraz znajomości długości fali światła oświetlającego siatkę można wyznaczyć stałą siatki dyfrakcyjnej ze wzoru:

.

Analogicznie z pomiarów odległości szczeliny od ekranu i położeń maksimów głównych na ekranie dla siatki, o znanej stałej, oświetlonej światłem monochromatycznym o nieznanej długości fali, można tę długość fali wyznaczyć ze wzoru:

.

Wykonanie ćwiczenia

Wyniki wszystkich pomiarów muszą być zapisane w sprawozdaniu, opatrzone odpowiednimi jednostkami i podpisane przez asystenta.

Wyznaczanie szerokości szczeliny

Źródłem światła jest laser He-Ne, emitujący promieniowanie o długości fali
.

1. Na drodze wiązki światła ustawiamy tarczę z pojedynczymi przeszkodami. Obrót tarczy pozwala na zmianę kształtu przeszkody. Na matowym ekranie obserwujemy wzory dyfrakcyjne odpowiadające przeszkodom o różnych kształtach.

2. Asystent wybiera szczelinę, której wzór dyfrakcyjny będziemy rejestrowali za pomocą rejestratora sprzężonego z komputerem.

3. Mierzymy odległość między ekranem i szczeliną.

4. Uruchamiamy program Pico Log Recorder. W lewym górnym rogu ekranu pojawia się menu programu. Wybieramy New data i wpisujemy numer grupy np. A13. Następnie w pozycji View wybieramy Graph i na ekranie pojawia się biały prostokąt, odpowiednik czystej kartki.

5. W pozycji Settings wybieramy Sampling i wpisujemy ilość próbek - 4200.

6. Po prawej stronie ekranu naciskamy na przedostatni z przycisków, View options, i zamiast tytułu wpisujemy parametry aktualnej szczeliny, tzn. podaną przez producenta szerokość i zmierzoną wcześniej odległość od ekranu do szczeliny.

7. Aby zarejestrować wzór dyfrakcyjny jednocześnie naciskamy przycisk Start na rejestratorze i czerwony przycisk Start recording w menu programu. Element światłoczuły zaczyna przesuwać się ze stałą prędkością i na ekranie komputera jest zapisywana linia. Współrzędna pozioma, każdego z punktów tej linii, jest proporcjonalna do czasu potrzebnego na przesunięcie fotodiody do danego miejsca wzoru dyfrakcyjnego. Współrzędna pionowa jest proporcjonalna do natężenia fotoprądu,

8. Poprawność rejestracji powinien ocenić asystent. Po zatwierdzeniu zapisu naciskamy piąty od dołu spośród pionowych klawiszy i drukujemy uzyskaną rejestrację.

9. Następnie przystępujemy do pomiarów położeń minimów dyfrakcyjnych bezpośrednio na ekranie. Kursor umieszczamy w minimum pierwszego rzędu po lewej stronie maksimum głównego i zapisujemy aktualne położenie kursora na osi poziomej t_l, wyświetlane w milisekundach w lewym górnym rogu ekranu. Przesuwamy kursor do minimum pierwszego rzędu po drugiej stronie maksimum głównego i zapisujemy jego położenie t_p. Analogicznie mierzymy położenia kilku minimów dyfrakcyjnych wyższych rzędów.

10. Notujemy ustawienie przesuwu ramienia rejestratora τ określające czas potrzebny na przesunięcie ramienia np. o 1 cm.

Propozycja zapisu wyników:

a = ....... L = ....... τ = .......

11. Rejestracje tego samego wzoru i pomiary jak w punkcie i) kilkakrotnie powtarzamy.

Wyznaczanie szerokości szczeliny i odległości między szczelinami

Źródłem światła jest laser He-Ne, emitujący promieniowanie o długości fali
.

1. Na drodze wiązki światła ustawiamy tarczę z układami szczelin. Obrót tarczy powoduje, że w wiązkę światła wprowadzane są podwójne szczeliny o różnych szerokościach i różnych odległościach, lub układy o różnej liczbie szczelin. Na matowym ekranie obserwujemy odpowiadające im wzory interferencyjno-dyfrakcyjne.

2. Asystent wybiera podwójną szczelinę, której wzór dyfrakcyjny będziemy rejestrowali.

3. Mierzymy odległość między podwójną szczeliną a ekranem.

4. Z menu programu wybieramy Rerecord, po prawej stronie ekranu naciskamy na przycisk View options i zamiast tytułu wpisujemy parametry aktualnego układu szczelin, tzn. podaną przez producenta szerokość szczelin, odległość między szczelinami i zmierzoną odległość od ekranu do szczeliny.

5. Rejestrujemy wzór dyfrakcyjny jednocześnie naciskając przycisk Start na rejestratorze i czerwony kwadrat Start recording na ekranie. Poprawność rejestracji powinien ocenić asystent. Po zatwierdzeniu zapisu drukujemy uzyskaną rejestrację.

6. Następnie przystępujemy do pomiarów położeń minimów dyfrakcyjnych i odległości między prążkami interferencyjnymi bezpośrednio na ekranie. Minima dyfrakcyjne mierzymy tak, jak dla pojedynczej szczeliny w punkcie h).

7. Wybieramy jak największą liczbę N dobrze widocznych prążków interferencyjnych i mierzymy różnicę położeń kursora między skrajnymi prążkami (można mierzyć między minimami interferencyjnymi, można między maksimami).

Propozycja zapisu wyników:

a = ....... d = ..... L = ....... τ = .......

8. Rejestracje tego samego wzoru i pomiary jak w punktach f) i g) kilkakrotnie powtarzamy.

Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej

Źródłem światła jest laser He-Ne, emitujący promieniowanie o długości fali
.

1. Na drodze wiązki światła ustawiamy siatkę dyfrakcyjną w takiej odległości od ekranu, aby na odcinku rejestrowanym przez fotodiodę zmieściły się maksima dyfrakcyjne drugiego rzędu.

2. Mierzymy odległość między siatką a ekranem.

3. Z menu programu wybieramy Rerecord, po prawej stronie ekranu naciskamy na przycisk View options i zamiast tytułu wpisujemy: siatka dyfrakcyjna - laser He-Ne oraz zmierzoną odległość od ekranu do siatki.

4. W pozycji Settings wybieramy Sampling i wpisujemy ilość próbek - 4200.

5. Rejestrujemy wzór dyfrakcyjny jednocześnie naciskając przycisk Start i Start recording. Poprawność rejestracji powinien ocenić asystent. Po zatwierdzeniu zapisu drukujemy uzyskaną rejestrację.

6. Następnie przystępujemy do pomiarów położeń maksimów dyfrakcyjnych bezpośrednio na ekranie. Ustawiamy kursor na lewym (bądź prawym) zboczu zapisu wiązki ugiętej (-1) - ego rzędu i notujemy położenie kursora t_l dla np. y = 0,9. Przesuwamy kursor na lewe zbocze (bądź prawe) wiązki 1 rzędu i dla tego samego y odczytujemy położenie kursora t_p.

7. Analogicznie mierzymy położenia wiązek ugiętych 2 - ego rzędu.

h) Rejestracje tego samego wzoru i pomiary jak w punktach f) i g) kilkakrotnie powtarzamy.

Wyznaczanie długości fali lasera półprzewodnikowego

Źródłem światła jest laser półprzewodnikowy.

1. Siatkę dyfrakcyjną oświetlamy laserem półprzewodnikowym. Położenie siatki względem ekranu regulujemy tak, aby na odcinku rejestrowanym przez fotodiodę zmieściły się maksima dyfrakcyjne drugiego rzędu.

2. Mierzymy odległość między siatką a ekranem.

3. Z menu programu wybieramy Rerecord, po prawej stronie ekranu naciskamy na przycisk View options i zamiast tytułu wpisujemy: siatka dyfrakcyjna - laser półprzewodnikowy oraz zmierzoną odległość od ekranu do siatki.

4. Rejestrujemy wzór dyfrakcyjny jednocześnie naciskając przycisk Start i Start recording. Poprawność rejestracji powinien ocenić asystent. Po zatwierdzeniu zapisu drukujemy uzyskaną rejestrację.

5. Położenia maksimów dyfrakcyjnych odczytujemy tak, jak w punkcie f) przy wyznaczaniu stałej siatki.

6. Rejestracje tego samego wzoru i pomiary powtarzamy kilkakrotnie.

Opracowanie wyników

Wyznaczanie szerokości szczeliny

1. Dla każdej spośród i rejestracji wyznaczamy odległość x_m minimum dyfrakcyjnego m-tego rzędu od centrum wzoru, czyli
   .

2. Dla każdego rzędu dyfrakcji m obliczamy wartość średnią x_m, odchylenie standardowe średniej
   i niepewność
   rozszerzoną współczynnikiem Studenta-Fishera.

3. Dla każdego m obliczamy szerokość szczeliny.

4. Obliczamy błąd pomiaru szerokości szczeliny
   metodą różniczki zupełnej. Jeśli niepewności dla kolejnych rzędów dyfrakcji są różne, czyli
   , to wartość średnią
   ze wszystkich pomiarów i niepewność pomiarową Δa liczymy metodą średniej ważonej.

Wyznaczanie odległości między szczelinami i szerokości każdej z nich.

1. Dla każdej rejestracji obliczamy odległość Δx_i między dwoma minimami (bądź maksimami) interferencyjnymi ze wzoru:
   .

2. Obliczamy wartość średnią x, odchylenie standardowe średniej
   i niepewność
   rozszerzoną współczynnikiem Studenta-Fishera.

3. Wyznaczamy odległość między szczelinami d.

4. Obliczamy błąd pomiaru odległości d metodą różniczki zupełnej.

5. Szerokość szczelin wyznaczamy tak samo jak dla pojedynczej szczeliny.

Wyznaczanie stałej siatki dyfrakcyjnej.

1. Dla każdej rejestracji wyznaczamy odległość x_mi m-tego maksimum dyfrakcyjnego ze wzoru:
   .

2. Dla każdego rzędu dyfrakcji m obliczamy wartość średnią x_m, odchylenie standardowe średniej
   i niepewność
   rozszerzoną współczynnikiem Studenta-Fishera.

3. Dla każdego m wyznaczamy stałą siatki dyfrakcyjnej i obliczamy niepewność pomiarową
   metodą różniczki zupełnej.

4. Ponieważ
   ≠
   , to średnią wartość d i jej niepewność liczymy metodą średniej ważonej.

5. Wyznaczamy liczbę linii przypadających w siatce na 1 mm ze wzoru:

Wyznaczanie długości fali lasera półprzewodnikowego.

1. Dla każdej rejestracji wyznaczamy odległość x_mi m-tego maksimum dyfrakcyjnego ze wzoru:
   .

2. Dla każdego rzędu dyfrakcji m obliczamy wartość średnią x_m, odchylenie standardowe średniej
   i niepewność
   rozszerzoną współczynnikiem Studenta-Fishera.

3. Dla każdego m wyznaczamy długość fali lasera półprzewodnikowego i niepewność pomiarową
   metodą różniczki zupełnej.

4. Ponieważ
   
   , to średnią wartość λ i jej niepewność liczymy metodą średniej ważonej.

We wnioskach do pierwszych dwóch części opracowania spróbujmy opisać

• jakie zmiany zaobserwowano we wzorach dyfrakcyjnych przy zmianie kształtów lub wymiarów przeszkody.

We wnioskach do każdej części opracowania spróbujmy ocenić

• które pomiary mają większą dokładność i dlaczego.

• czy wyniki pomiarów są zgodne w granicach błędów doświadczalnych z wartościami podanymi przez producenta.

Czy wyznaczona długość fali lasera półprzewodnikowego odpowiada barwie czerwonej?

zjawiska dyfrakcji i interferencji światła laserowego

Dwie wąskie szczeliny

Przegroda zawierająca dwie szczeliny Z₁ i Z₂ jest oświetlona płaską falą elektromagnetyczną. Zakładamy, że szczeliny są tak wąskie, że każda z nich zgodnie z zasadą Huygensa (czyt. Hojhensa), staje się źródłem nowej fali kulistej. W przestrzeni za szczelinami rozchodzą się dwie fale kuliste. Fale te nakładają się na siebie, tzn. interferują ze sobą.

Zbadajmy rezultat interferencji fal docierających do ekranu w punkcie P (patrz rysunek) ze szczelin oddalonych od siebie na odległość d.

Gdy fala padająca jest monochromatyczna, to fale które powstają w źródłach Z₁ i Z₂ mają te same amplitudy E₀, częstości kołowe ၷ i te same fazy. Jednak aby dotrzeć do punktu P fala ze źródła Z₁ musi pokonać drogę r₁, inną niż fala ze źródła Z₂, która pokonuje drogę r₂.

Fale docierające do punktu P zapiszemy wzorami:

.

Gdy odległość d między szczelinami jest rzędu ułamka milimetra i jest znacznie mniejsza od odległości przegrody od ekranu L (rzędu metrów), to różnicę w amplitudach obu fal możemy zaniedbać, czyli
.

Fala w punkcie P będzie superpozycją fal docierających z obu szczelin

I metoda - dodawanie funkcji trygonometrycznych.

Korzystając ze wzoru na sumę kosinusów
zapiszemy

.

Jest to równanie fali stojącej. Maksymalna amplituda tej fali,
, zależy od różnicy dróg ၄r przebytych przez obie fale.

Natężenie światła w punkcie P jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy fali, czyli I ၾ
. Ponieważ większość detektorów, w tym także nasze oko, mierzy wartość średnią natężenia uśrednioną po wielu okresach, to obserwowane lub rejestrowane natężenie będzie

.

Całka
, więc średnie natężenie światła w punkcie P można zapisać

,

gdzie
jest maksymalnym średnim natężeniem światła, a
jest różnicą dróg.

Natężenie światła w dowolnym punkcie na ekranie zależy tylko od różnicy dróg ၄r jaką muszą przejść fale ze źródła do danego punktu i zmienia się periodycznie jak kwadrat funkcji kosinus (patrz rysunek). Gdy
, to promienie r₁ i r₂ można traktować jak proste równoległe, a wtedy ၄r = d sinၱ. W miejscach, gdzie różnica dróg jest równa zero lub całkowitej wielokrotności długości fali,

,

obie fale docierają w zgodnych fazach i wzmacniają się (interferencja konstruktywna). Natężenie światła przyjmuje w tych punktach wartość maksymalną równą I₀ (jasne prążki).

Dla małych kątów ၱ możemy zastosować przybliżenie
, gdzie x jest odległością punktu P od punktu O. Położenie jasnych prążków na ekranie opisane jest wzorem:

.

Gdy różnica dróg jest równa nieparzystej wielokrotności połówek fali, czyli

to spotykające się w takich punktach fale będą miały przeciwne fazy i będą się wzajemnie wygaszały (interferencja destruktywna). Natężenie światła w tych punktach będzie równe zero (ciemne prążki). Położenie ciemnych prążków na ekranie opisane jest wzorem:

.

W pozostałych miejscach ekranu natężenie światła będzie należało do przedziału
.

Odległość między dwoma jasnymi lub dwoma ciemnymi prążkami interferencyjnymi jest taka sama i wynosi
.

II metoda - z zastosowaniem liczb zespolonych.

Amplituda fali opisanej równaniem
jest częścią rzeczywistą liczby zespolonej E', którą można zapisać:

, gdzie
.

Amplituda zespolona fali w punkcie P jest sumą amplitud zespolonych fal docierających do tego punktu z obu szczelin, czyli

a ponieważ
, to

Natężenie światła I w punkcie P jest wprost proporcjonalne do kwadratu modułu liczby

,

co możemy zapisać równaniem

,

gdzie I₀ jest maksymalnym natężeniem światła. Analiza wzoru jest taka jak w I metodzie.

III metoda - dodawanie graficzne.

Amplitudy zespolone
i
można przedstawić graficznie na płaszczyźnie zespolonej jako wektory o długości E₀ obracające się z częstością kątową ၷ wokół początku układu współrzędnych przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara. W ustalonej chwili czasu
i
można przedstawić na wykresach:

Amplitudę fali wypadkowej możemy zapisać
, gdzie E jest podstawą trójkąta równoramiennego o bokach E₀ i kątach przy podstawie równych ၤ.

Z twierdzenia o kącie zewnętrznym w trójkącie k၄r = 2ၤ, czyli

Natężenie światła I w punkcie P jest wprost proporcjonalne do
, czyli

.

Analiza wzoru jest taka sama jak w I metodzie.

Układ N wąskich szczelin - siatka dyfrakcyjna

N równoodległych od siebie szczelin jest oświetlonych płaską falą elektromagnetyczną. Zakładamy, że szczeliny są tak wąskie, że każda z nich staje się źródłem nowej fali kulistej. Za przegrodą fale kuliste ze wszystkich szczelin interferują ze sobą.

Zbadajmy rezultat interferencji fal docierających do ekranu w punkcie P. Gdy odległość siatki od ekranu L jest dużo większa od odległości między szczelinami d (L>>d), to promienie r₁, r₂,....., r_N można traktować jako proste równoległe. Różnice dróg między dwoma kolejnymi promieniami docierającymi do punktu P są sobie równe:
.

Fala w punkcie P jest superpozycją fal docierających ze wszystkich szczelin, czyli

Aby obliczyć rezultat nałożenia się N zaburzeń falowych trzeba obliczyć sumę szeregu trygonometrycznego.

I metoda - z zastosowaniem liczb zespolonych.

Zespoloną sumę N zaburzeń falowych można zapisać następująco:

Wyrazy w nawiasie tworzą szereg geometryczny o ilorazie
. Sumę postępu geometrycznego znajdujemy ze wzoru:
, gdzie a₁ jest pierwszym wyrazem szeregu.

.

Zespolone zaburzenie
zapiszemy

,

a korzystając z własności liczb zespolonych natężenie fali w punkcie P zapiszemy jako

Rysunek przedstawia rozkład natężenia światła na ekranie dla N=10 szczelin.

Rozkład ten zależy od różnicy dróg ၄r przebywanych przez fale wychodzące z dwóch kolejnych szczelin oraz od liczby oświetlonych szczelin N.

Gdy L>>d, to różnicę dróg można wyrazić przez
.

Natężenie światła w centrum ekranu, gdzie wszystkie fale docierają w zgodnych fazach i gdzie
można znaleźć wykorzystując przybliżenie sinၡ Ⴛ ၡ , czyli

.

Tę samą wartość natężenia, równą
, zaobserwujemy w tych punktach, dla których obie funkcje oraz jednocześnie zbiegają do zera, tzn. gdy
lub
. Są to tzw. maksima główne. Położenia maksimów głównych opisuje wzór

,

nazywany wzorem siatkowym. Wyrażając
wzór siatkowy zapiszemy w formie

,

gdzie x jest położeniem maksimum m-tego rzędu na ekranie.

Funkcja
zmienia się N - krotnie szybciej niż funkcja
to znaczy, że w tym samym przedziale argumentów, np. dla m = 1 w przedziale od 0 do ၰ, funkcja
N - krotnie staje się zerem, a
tylko raz. W tym samym przedziale argumentów N - 1 razy będzie tak, że gdy
, lub
, to
. W takich punktach natężenie światła przyjmuje wartość minimalną
. Są to minima wzoru dyfrakcyjnego.

Natomiast w takich miejscach, gdzie funkcja
, co w tym samym przedziale od 0 do ၰ zdarzy się N - 2 razy, występują maksima wtórne.

Dla siatki dyfrakcyjnej, dla której N jest rzędu 100 i więcej, na ekranie widoczne będą tylko maksima główne.

II metoda - dodawanie graficzne.

Dodajemy graficznie N funkcji falowych o jednakowych amplitudach E₀ takich, że każde następne zaburzenie jest pod kątem k၄r do poprzedniego. Kolejne zaburzenia falowe są bokami wielokąta foremnego o N bokach. Niech punkt O będzie środkiem wielokąta, zaś przez R oznaczymy promień okręgu opisanego na tym wielokącie. Trójkąty ABO i BCO są przystającymi trójkątami równoramiennymi. Z własności trójkątów równoramiennych wynika, że jeśli podstawy tworzą kąt k၄r, to kąt między wysokościami też jest równy k၄r. Z trójkąta ABO wynika, że

პ
.

Ponieważ kąt AOD jest równy Nk၄r, więc z trójkąta AOD obliczymy

a po podstawieniu R amplitudę fali świetlnej w punkcie P ekranu zapiszemy

.

Wzór na natężenie fali w punkcie P ekranu jest taki sam jak otrzymany I metodą, czyli

.

Pojedyncza szczelina

Przegroda zawierająca szczelinę o szerokości a jest oświetlona płaską falą elektromagnetyczną. Podzielmy szczelinę na bardzo wiele wąziutkich subszczelin o szerokości du każda. Falę wysłaną z subszczeliny o szerokości du, znajdującej się w odległości u od centrum szczeliny zapiszemy:

,

gdzie r_u jest odległością subszczeliny od punktu P. Amplituda fali wysłanej ze subszczeliny du zależy od jej szerokości, czyli
.

Korzystając z twierdzenia kosinusów w trójkącie ABP zapiszemy

,

a ponieważ u << r, to możemy zaniedbać
jako małą wyższego rzędu, a wtedy

.

Rozkładając tę funkcję w szereg Maclaurina , czyli
, i zaniedbując wyrazy małe wyższego rzędu mamy

.

Amplitudę dE zapiszemy w postaci:

.

Fala w punkcie P jest superpozycją fal wysłanych przez wszystkie subszczeliny

.

Ze wzoru na kosinus różnicy kątów wynika, że

, czyli

lub

.

Wzór na uśrednione w czasie natężenie fali w punkcie P ekranu zapiszemy

ponieważ
. Ten sam wzór możemy zapisać w postaci:

gdzie I₀ jest największą wartością natężenia światła w obrazie dyfrakcyjnym, odpowiadającą centralnemu maksimum, bo dla

.

Kolejne maksima dyfrakcyjne występują w miejscach, gdzie
, albo
. Natężenia kolejnych maksimów szybko maleją. Natężenie pierwszego maksimum bocznego jest równe
, a natężenie drugiego maksimum bocznego wynosi
itd.

Gdy argument funkcji sinus będzie równy:
, gdzie
, to I_P = 0. W takich miejscach występują minima dyfrakcyjne. Ten sam warunek można zapisać

(
).

Gdy wymiary szczeliny są znacznie mniejsze od odległości przeszkody od ekranu (a << L) to możemy zastosować przybliżenie

.

Położenia minimów dyfrakcyjnych względem centrum wzoru będą:

(
).

Odległość między minimami pierwszego rzędu, tzn. dla
i
, wyznacza szerokość centralnego maksimum, czyli zerowego rzędu dyfrakcji:

.

Jest ona dwukrotnie większa od szerokości prążków wyższych rzędów, np. pierwszego

.

Znajomość długości fali światła oświetlającego szczelinę, odległości szczeliny od ekranu i położenia minimów dyfrakcyjnych pozwala wyznaczyć szerokość szczeliny ze wzoru:

(
).

II metoda - z zastosowaniem liczb zespolonych.

Dzielimy szczelinę na bardzo wiele wąziutkich subszczelin o szerokości du każda. Zespoloną amplitudę fali wysłanej z subszczeliny o szerokości du, znajdującej się w odległości u od centrum szczeliny zapiszemy wzorem:
, gdzie r_u jest odległością subszczeliny od punktu P. Amplituda fali wysłanej z subszczeliny du zależy od jej szerokości, czyli
, czyli

Stosując przybliżenia opisane w powyższej metodzie wyrazimy r_u przez

Amplitudę
zapiszemy w postaci:

.

Fala w punkcie P jest superpozycją fal wysłanych przez wszystkie subszczeliny, czyli

.

Uśrednione w czasie natężenie fali w punkcie P ekranu będzie opisane wzorem

.

III metoda - dodawanie graficzne.

Metoda graficznego dodawania zaburzeń wysłanych ze szczeliny o szerokości a jest przedstawiona w podręczniku D. Halliday, R. Resnick, Fizyka tom II, rozdz. 44-4.

Wpływ dyfrakcji na pojedynczej szczelinie na wzór interferencyjny układu szczelin.

Gdy dwie szczeliny o szerokości a każda, znajdujące się w odległości d od siebie, są oświetlone płaską falą elektromagnetyczną, to fale przechodzące przez szczeliny będą ulegały dyfrakcji i jednocześnie będą ze sobą interferowały. W efekcie obraz interferencyjny jest zmodulowany przez efekt dyfrakcyjny. Maksymalna amplituda natężenia prążków interferencyjnych I_0int będzie określona przez natężenie obrazu dyfrakcyjnego

,

a wypadkowe natężenie

.

18

laser He-Ne

zwierciadła

szczelina lub układ szczelin lub siatka dyfrakcyjna

rejestrator XY

ruchome ramię osi Y z pisakiem

ruchome ramię

osi X z fotodiodą

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

sin θ

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0

20

40

60

80

10000

sinθ

Rząd dyfrakcji Położenie Położenie

m kursora t_l kursora t_p [jednostka] [jednostka] Δt_l = ..... Δt_p = .....

Rząd dyfrakcji Położenie Położenie

m kursora t_l kursora t_p [jednostka] [jednostka] Δt_l = ..... Δt_p = .....

Ilość prążków Położenie Położenie

iinterferencyjnych kursora t_l kursora t_p N [jednostka] [jednostka] Δt_l = ..... Δt_p = .....

Rząd dyfrakcji Położenie Położenie

m kursora t_l kursora t_p [jednostka] [jednostka] Δt_l = ..... Δt_p = .....

P

Z₁

Z₂

d

r₁

r₂

ၱ

၄r

L

0

0,5

1

sinၱ

Im

Re

ၷ t-kr₁

Im

Re

ၷ t- kr₂=ၷ t- k(r₁+၄r)

Im

Re

ၷ t-kr₁

k၄r

ၤ

ၤ

P

L

d

r₁

r₂

r_N

sinၱ

0

0,5

d

ၱ

၄r

r₁

r₂

k၄r

k၄r

k၄r

k၄r

k၄r

k၄r

k၄r

k၄r

Nk၄r

E₀

A

B

C

D

O

E

R

a

P

r_u

r

ၱ

L

u

du

ၱ

x

A

B

sinၱ

0

0,5

---