1.Równania La'granga II rodzaju.

, dla i=1…n

Jeżeli
(współrzędne) są niezależne to można powyższe równanie uprościć:

- siła uogólniona

- zmienna uogólniona

2.Równania Lagrangea'a II rodzaju dla ruchu układu w polu sił grawitacyjnych.

Siły działające mają potencjał V w każdej chwili t.

Siła uogólniona
, U - ener. potencjalna układu

- równanie Lagrange'a 2 rodzaju

- U nie zależy od prędkości uogólnionych

3. Analog, siła, napięcie.

x <-> q, m< -> L, α <-> R, k <->
,
(t)<-> e(t)

Energia kinetyczna

Energia potencjalna

Dysypacja energii

5. Definicja stateczności w sensie Lapunowa.

Mówimy, że rozwiązanie
układu
jest stateczne w sensie Lapunowa przy warunkach początkowych
jeżeli w przedziale czasu
dla dowolnej liczby
istnieje
, że dla każdego rozwiązania
naszego układu
z warunkami początkowymi
, spełniającymi nierówność
, zachodzi nierówność
,
.

6.Tw. Lapunowa o stateczności:

Jeżeli dla równania
istnieje funkcja skalarna
(funkcja Lapunowa) klasy C⁽¹⁾ względem t i
, spełniająca następujące warunki:

1)
jest dodatnio określona (większa od 0)

2)Pochodna podług trajektorii po czasie z
jest stała co do znaku i ujemna

3)Jeżeli zachodzi 1 i 2 warunek to rozwiązanie
jest stabilne w sensie Lapunowa

Wnioski do twierdzenia:

-powyższe tw. jest prawdziwe w przypadku, gdy
jest ujemnie określona, a jej pochodna podług trajektorii jest stała co do znaku i dodatnia

-ogólne rozwiązanie
jest stabilne w sensie Lapunowa, jeżeli
jest określona dodatnio lub ujemnie, a iloczyn
spełnia warunek
.

7.Pierwsze przybliżenie równania ruchu zaburzonego.

A=const

= ciągła w czasie dla



= jednostajna względem czasu t

Jeżeli równanie ma rozwiązanie 0 to odpowiadające mu równanie liniowe ma postać

- równanie charakterystyczne

A - macierz wektorów głównych

- kwadrat częstości drgań

TW1 Jeżeli wszystkie pierwiastki równania charakterystyczno układu liniowego mają części rzeczywiste ujemne to ruch niezaburzony układu nieliniowego jest stateczny niezależnie od składników wyższych rzędów w równaniu ruchu zaburzonego.

TW2 Jeżeli chociaż jeden pierwiastek równania charakterystycznego układu liniowego ma część rzeczywistą dodatnią to ruch niezaburzony układu jest niestateczny przy dowolnych składowych wyższych stopni w równaniach ruchu zaburzonego.

8. Kryterium Hurwitza

det(A-λI)=0 ,
,

,
,

Części rzeczywiste pierwiastków równania charakterystycznego są ujemne jeżeli wszystkie parametry Δ są dodatnie.

9.Macierzowy zapis drgań układów o skończonej liczbie stopni swobody.

L=E-U

n=1,2…

……………………………

M - macierz mas

K - macierz sztywności

10.Drgania swobodne układu o jednym stopniu swobody (trzy przypadki tłumienia).

Pierwiastki równania:

W zależności od wyróżników równania charakterystycznego:

tłumienie nadkrytyczne

Wyróżnik równania charakterystycznego jest większy od zera, pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i oba ujemne, a rozwiązanie ogólne równaniama postać:

Jest to przypadek silnego tłumienia

tłumienie krytyczne

Wyróżnik równania charakterystycznego jest równy zeru. Rozwiązaniem jest jeden ujemny pierwiastek podwójny:
.

Rozwiązanie równania ma postać:

tłumienie podkrytyczne

Wyróżnik równania charakterystycznego jest mniejszy od zera, równanie ma wtedy dwa pierwiastki zespolone i rozwiązanie ogólne równania ma postać

,

gdzie
jest częstością drgań tłumionych

2