ROZDZIAŁ 8.

WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH W RACHUNKU KORELACJI I REGRESJI

8.1. Wstęp

Rachunek korelacji i regresji zajmuje się, jak wiadomo, badaniem zależności między zmiennymi. W rachunku tym testy statystyczne mogą więc być stosowane do weryfikacji następującego rodzaju hipotez:

• Czy siła zależności między badanymi zmiennymi jest statystycznie istotna?

• Czy ilościowe oddziaływanie danej zmiennej objaśniającej na zmienną objaśnianą ma określony wymiar, w szczególnym przypadku, czy jest statystycznie istotne?

• Czy można przyjąć, że funkcja regresji ma postać liniową?

Do weryfikacji wymienionych hipotez można wykorzystać wiele testów. Należą do nich:

• test t na istotność współczynnika korelacji liniowej,

• test t na istotność współczynnika korelacji cząstkowej,

• test F na istotność współczynnika korelacji wielorakiej,

• test niezależności ²,

• test na istotność współczynnika regresji liniowej dwóch zmiennych i współczynnika regresji cząstkowej,

• test serii na liniowość funkcji regresji.

Wśród tych testów, jak można zauważyć, są zarówno testy parametryczne, jak i nie-parametryczne.

8.2. Testy istotności dla współczynnika korelacji liniowej i współczynnika regresji liniowej

Testy te stosujemy w przypadku, gdy zbiorowość analizowana jest ze względu na dwie zmienne, między którymi badamy zależność. W szczególności interesuje nas, czy jest to zależność liniowa.

W przypadku testu dla współczynnika korelacji sprawdzamy hipotezę, że zmienne X i Y nie są skorelowane. Miarą tej zależności jest współczynnik korelacji liniowej oznaczany dla populacji generalnej symbolem ρ , stąd hipoteza zerowa ma postać:

, (8.1)

wobec hipotezy alternatywnej, która przyjmuje jedną z trzech możliwych postaci:

lub
lub
(8.2)

W celu weryfikacji hipotezy zerowej z populacji generalnej losujemy próbę liczącą n elementów i liczymy współczynnik korelacji z próby r według wzoru:

. (8.3)

Następnie liczymy wartość sprawdzianu hipotezy zerowej zgodnie ze wzorem:

(8.4)

Statystyka ta, przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej, ma rozkład t-Studenta o n-2 stopniach swobody.

Z tablic rozkładu t-Studenta, dla założonego poziomu istotności  i n-2 stopni swobody odczytujemy wartość krytyczną t_.

W zależności od postaci hipotezy alternatywnej możemy tu mieć do czynienia z dwu-stronnym, prawostronnym lub lewostronnym obszarem krytycznym.

Gdy hipoteza alternatywna ma postać:
(dwustronny obszar krytyczny), to odczytujemy
, a H₀ odrzucamy na rzecz H₁ gdy:

W przypadku, gdy
(obszar krytyczny prawostronny), odczytujemy:
, to H₀ odrzucamy na rzecz H₁, gdy:
natomiast gdy
(lewostronny obszar krytyczny) odczytujemy wartość
, nadajemy jej znak „minus” a hipotezę zerową odrzucamy, gdy spełniona jest nierówność:

Odrzucenie hipotezy zerowej oznacza, że zależność między badanymi zmiennymi jest statystycznie istotna.

O tym, czy zależność między dwiema badanymi zmiennymi jest istotna można też wnioskować wykorzystując test istotności dla współczynnika regresji liniowej.

W teście tym stawiamy hipotezę zerową, że współczynnik regresji w populacji generalnej jest równy pewnej postulowanej wartości, czyli hipoteza brzmi:

(8.5)

wobec hipotezy alternatywnej, która, podobnie jak w poprzednim teście, może mieć trzy postaci:

lub
lub
(8.6)

Dla weryfikacji hipotezy zerowej z populacji generalnej losujemy n-elementową próbę, na podstawie której szacujemy funkcję regresji liniowej:

(8.7)

Następnie liczymy sprawdzian hipotezy zerowej według wzoru:

(8.8)

We wzorze tym S_u oznacza odchylenie standardowe składnika resztowego funkcji regresji liczone według wzoru:

, (8.9)

gdzie:

y_i - empiryczne wartości zmiennej objaśnianej dla i = 1, 2, …, n,

- teoretyczne wartości zmiennej objaśnianej dla i = 1, 2, …, n.

Statystyka t, przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej, ma rozkład t-Studenta o n-2 stopniach swobody.

Wartość tej statystyki porównujemy z wartością t_ według takich samych zasad jak poprzednio (w teście istotności dla współczynnika korelacji).

8.3. Test na liniowość funkcji regresji dwóch zmiennych

Populację generalną badamy z uwagi na dwie zmienne: X i Y. Z populacji tej losujemy próbę, która liczy n elementów. Na podstawie wyników tej próby mamy zweryfikować hipotezę, że funkcja regresji Y względem X w populacji generalnej jest liniowa.

Stawiamy hipotezę zerową:

, (8.10)

oraz hipotezę alternatywną:

(8.11)

Na podstawie wyników z próby szacujemy funkcję regresji liniowej postaci:

. (8.12)

Parametry tej funkcji liczymy według wzorów:

(8.13)

Następnie obliczamy wartości funkcji regresji
dla wszystkich ustalonych dla próby wartości zmiennej objaśniającej x_i (i = 1, 2, … , n).

W tablicy roboczej porządkujemy rosnąco, według wartości zmiennej objaśniającej, dane
z trzech kolumn, które zawierają: x_i, y_i oraz
.

Porównujemy wartości y_i oraz
.

Jeżeli
to takiej relacji przypisujemy symbol a. Jeśli zaś
to symbol b.

Otrzymujemy ciąg symboli a oraz b. Ustalamy liczbę serii w tym ciągu i oznaczamy ją przez k. Jest ona sprawdzianem hipotezy zerowej.

Porównujemy ją z wartością krytyczną liczby serii k_ odczytaną z tablic rozkładu liczby serii dla założonego poziomu istotności  oraz n_a (liczba symboli a w ciągu) i n_b (liczba symboli b w ciągu).

Gdy zajdzie relacja:
to stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że funkcja regresji Y względem X w populacji generalnej jest liniowa.

Przykład 8.1

W celu zbadania zależności między wydajnością pracy i stażem pracy pracowników pewnego zakładu przemysłowego wylosowano próbę 10 pracowników i otrzymano dla nich następujące dane:

Staż pracy - xi	1	2	3	8	5	6	7	8	9	10
Wydajność pracy - yi (sztuki/godz.)	10	15	13	22	23	20	18	25	27	22

Źródło: dane umowne.

Przyjmując  = 0,05 zweryfikuj następujące hipotezy:

1. czy między wydajnością pracy a stażem pracy występuje statystycznie istotna zależność liniowa?

2. Czy wzrost stażu o 1 rok pociąga za sobą przeciętny wzrost wydajności pracy o więcej niż 1,3 szt./godz?

3. Czy funkcja regresji wydajności pracy względem stażu pracy jest liniowa?

Rozwiązanie:

Ad. a) Należy zastosować test istotności dla współczynnika korelacji liniowej.

Stawiamy hipotezę zerową i alternatywną:

(8.14)

Sprawdzian hipotezy zerowej ma postać:

(8.15)

Stąd musimy najpierw wyliczyć współczynnik korelacji z próby.

Potrzebne obliczenia wykonujemy w tabeli roboczej 8.1.1.

Tabela robocza 8.1.1.

1 2 3 8 5 6 7 8 9 10	10 15 13 22 23 20 18 25 27 22	10 30 39 176 115 120 126 200 243 220	1 4 9 64 25 36 49 64 81 100	100 225 169 484 529 400 324 625 729 484
59	195	1279	433	4069

Źródło: obliczenia własne.

Liczymy średnie i odchylenia standardowe obu zmiennych:

;
;

.

Następnie liczymy współczynnik korelacji liniowej z próby:

.

Teraz możemy wyliczyć wartość sprawdzianu hipotezy zerowej:

W tablicach rozkładu t-Studenta dla  = 0,05 oraz n-2 stopni swobody odczytujemy wartość krytyczną t_:
.

Odpowiedź:

Ponieważ
wobec tego hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej. Oznacza to, że liniowa zależność między stażem pracy a wydajnością pracy jest statystycznie istotna.

Ilustracja graficzna:

Ad. b) Zastosujemy test istotności dla współczynnika regresji liniowej.

Stawiamy hipotezę zerową i alternatywną:

(8.16)

Na podstawie wyników próby szacujemy funkcję regresji liniowej:

Wykorzystując obliczenia wykonane w tabeli roboczej 1 wyznaczamy wartości para-metrów tej funkcji:

,

.

Funkcja ma więc postać:
.

Liczymy wartości teoretyczne
, a następnie odchylenie standardowe składnika resztowego funkcji regresji S_u. Konieczne obliczenia zamieszczone są w tabeli roboczej 8.1.2.

Tabela robocza 8.1.2.

					Symbole
1	2	3	4	5	6
1 2 3 8 5 6 7 8 9 10	10 15 13 22 23 20 18 25 27 22	12,11 13,62 15,13 22,68 18,15 19,66 21,17 22,68 24,19 25,70	4,4521 1,9044 4,5369 0,4634 23,5225 0,1156 10,0489 5,3824 7,8961 13,6900	24,01 15,21 8,41 4,41 0,81 0,01 1,21 4,41 9,61 16,81	a b a a b b a b b a
59	195	X	72,0113	84,90	X

Źródło: obliczenia własne.

Liczymy wartość sprawdzianu hipotezy zerowej:

Z tablic rozkładu t-Studenta odczytujemy wartość krytyczną t_ dla n -2 stopni swobody oraz założonego poziomu istotności. Obszar krytyczny jest prawostronny, stąd odczy-tujemy:
.

Odpowiedź:

Ponieważ
, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

Oznacza to, że nie jest prawdą, że wzrost stażu o rok wiąże się ze wzrostem wydajności o więcej niż 1,3 szt./godz.

Ilustracja graficzna:

Ad. c) Stosujemy test serii.

Stawiamy hipotezę zerową i alternatywną:

(8.17)

Obserwacje z próby są z założenia uporządkowane rosnąco według wartości cechy X.

W tabeli roboczej 8.1.2 zostały też wyliczone wartości
, stąd możemy przystąpić do nadawania symboli a i b. Jest to wykonane w kolumnie 6 tabeli roboczej 8.1.2.

Liczba serii w ciągu wynosi 7. Jest to sprawdzian hipotezy zerowej.

Z tablic rozkładu liczby serii odczytujemy wartość krytyczną k_ dla założonego poziomu istotności  = 0,05 oraz dla n_a = 5 oraz n_b = 5 wynosi ona

Odpowiedź:

Ponieważ
, nie ma więc podstaw do odrzucenia H₀.

Można w związku z tym przyjąć, że funkcja regresji wydajności pracy względem stażu pracy jest liniowa.

8.4. Test niezależności ^

Test ten stosujemy do weryfikacji hipotezy, że dwie zmienne w populacji generalnej są niezależne. Ma on zastosowanie, gdy przynajmniej jedna z tych zmiennych jest niemierzalna.

Zmienne są niezależne, gdy dla dystrybuant zachodzi równość
. Stąd hipotezy w tym teście można zapisać:

, (8.18)

H₁:
. (8.19)

Sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka:

, (8.20)

gdzie:

- liczebności empiryczne znajdujące się na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny w tablicy kontyngencji,

- liczebności teoretyczne znajdujące się na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny w tablicy kontyngencji.

Liczebności teoretyczne liczone są według wzoru:

dla i = 1, 2, ,,,, w ; j = 1, 2, …, k. (8.21)

gdzie:

- liczebność brzegowa obliczona dla i-tego wiersza po wszystkich kolumnach tablicy kontyngencji,

- liczebność brzegowa obliczona dla j-tej kolumny po wszystkich wierszach tablicy kontyngencji.

Statystyka ^ ma, przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej, rozkład ^ o (k-1)(w-1) stopniach swobody. Jej wartość porównujemy więc z wartością krytyczną
odczytaną z tablic tego rozkładu dla założonego poziomu istotności  i (k-1)(w-1) stopni swobody. Jeśli
, to H₀ odrzucamy na korzyść H₁, czyli między badanymi zmiennymi występuje zależność.

Żeby omawiany test zastosować trzeba zbudować tablicę kontyngencji, która ma następującą postać:

Warianty	Warianty cechy Y				ni.
cechy X	y1	y2	...	yk
x1	n11	n12	...	n1k	n1.
x2	n21	n22	...	n2k	n2.
...	...	...	...	...	...
xw	nw1	nw2	...	nwk	nw.
n.j	n.1	n.2	...	n.k	n

Przykład 8.2

Postawiono hipotezę, że istnieje zależność między wielkością firmy (małe i mikro) a jej wynikiem finansowym. W celu sprawdzenia tej hipotezy wylosowano 100 firm, wśród których było 70 mikro-firm. Spośród wylosowanych, zysk w badanym okresie osiągnęło 60 firm, zaś stratę poniosło 20 firm małych.

Czy hipoteza jest prawdziwa? Przyjmij  = 0,05.

Rozwiązanie:

Stosujemy test niezależności ².

Stawiamy hipotezę zerową i alternatywną:

(8.22)

Budujemy tablicę kontyngencji:

Wynik finansowy ( xi )	Typ firmy ( yi )		ni.
		mikro		mała
Zysk	50	10	60
Strata	20	20	40
n.j	70	30	100

Źródło: dane z przykładu 8.2.

Obliczamy liczebności teoretyczne
:

,
,

,
.

Zestawiamy w tabeli roboczej 8.2. liczebności empiryczne i teoretyczne, a następnie liczymy statystykę ².

Tabela robocza 8.2.

i, j
1,1 1,2 2,1 2,2	50 10 20 20	42 18 28 12	1,52 3,56 2,29 5,33
Ogółem	100	100	12,70

Źródło: obliczenia własne.

Mamy, że

Z tablic rozkładu ² odczytujemy wartość krytyczną dla  = 0,05 oraz
=1 stopni swobody. Wynosi ona:

Odpowiedź:

Ponieważ
wobec tego H₀ odrzucamy na rzecz H₁.

Oznacza to, że pomiędzy badanymi zmiennymi występuje istotna zależność.

Ilustracja graficzna:

1. Weryfikacja hipotez w rachunku korelacji i regresji wielorakiej

W przypadku, gdy badamy zależność między zmienną Y a ciągiem zmiennych objaśniających X_j (j = 1, 2, … , k), to otrzymujemy wówczas model regresji wielokrotnej postaci:

. (8.23)

Zależność badamy najczęściej opierając się na wynikach uzyskanych dla próby losowej pobranej z populacji generalnej.

W takim przypadku najczęściej weryfikujemy hipotezy dotyczące:

1. istotności wpływu poszczególnych zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą,

2. istotności współczynnika korelacji wielorakiej R^*, określającego łączny wpływ wszystkich zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą.

Dla weryfikacji hipotezy o istotności współczynników regresji cząstkowej _j wykorzystujemy test t-Studenta.

Stawiamy hipotezę zerową:
wobec
.

Następnie stosując KMNK szacujemy, na podstawie wyników próby, parametry modelu regresji wielokrotnej otrzymując oceny parametrów tego modelu a_j.

Sprawdzian hipotezy zerowej w tym teście liczymy według wzoru:

, (8.24)

gdzie:

D (a_j) - średni błąd szacunku parametru o numerze j (j = 1, 2, … , k).

Sprawdzian ten, przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład t-Studenta o n-k stopniach swobody. Stąd jego wartość porównujemy z wartością krytyczną t_ odczytaną z tablic rozkładu t-Studenta dla założonego  oraz n - k stopni swobody, gdzie k jest liczbą parametrów modelu łącznie z wyrazem wolnym.

Jeśli okaże się, że
, to hipotezę zerową odrzucamy na korzyść H₁. Oznacza to, że zmienna X_j istotnie wpływa na zmiany zmiennej objaśnianej.

Dla weryfikacji z kolei hipotezy zerowej o istotności współczynnika korelacji wielokrotnej R^* wykorzystujemy test F.

Stawiamy H₀: R^* = 0 wobec H₁: R^* > 0.

Na podstawie próby liczącej n elementów obliczamy współczynnik korelacji wielokrotnej R, a następnie liczymy sprawdzian hipotezy zerowej, który ma postać:

. (8.25)

Sprawdzian ten, przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej, ma rozkład F Fishera-Snedecora o (n-k) oraz (k-1) stopniach swobody. Odczytujemy więc wartość krytyczną F_ z tablic tego rozkładu dla założonego poziomu istotności i wspomnianej liczby stopni swobody.

Jeśli F > F_ , to H₀ odrzucamy ma korzyść H₁. Oznacza to, że zależność między zmienną Y a zmiennymi X₁, X₂,…, X_k jest statystycznie istotna.

Przykład 8.3

Z populacji generalnej pobrano próbę liczącą 25 elementów i na jej podstawie oszacowano model regresji wielokrotnej.

.

Przyjmując  = 0,05 sprawdź istotność parametru ₁ tego modelu oraz istotność współczynnika korelacji R^*, który wyniósł dla próby 0,85.

Rozwiązanie:

Dla sprawdzenia hipotezy o istotności parametry ₁ zastosujemy test t-Studenta. Stawiamy hipotezę zerową i hipotezę alternatywną:

. (8.26)

Liczymy wartość sprawdzianu hipotezy zerowej:

.

Z tablic rozkładu t-Studenta odczytujemy dla  = 0,05 oraz n - k = 25 - 3 = 22 stopni swobody wartość krytyczną t_ = 2,074.

Odpowiedź:

Ponieważ zachodzi:
, więc H₀ odrzucamy ma korzyść H₁.

Oznacza to, że zmienna X₁ w sposób istotny wpływa na zmienną objaśnianą Y.

Ilustracja graficzna:

Dla weryfikacji z kolei hipotezy o istotności współczynnika korelacji wielokrotnej stosujemy test F - Fishera. Stawiamy H₀ i H₁:

H₀: R^* = 0 H₁: R^* > 0. (8.27)

Liczymy sprawdzian hipotezy zerowej:

Z tablic rozkładu F - Fishera odczytujemy następnie dla założonego poziomu istotności oraz 22 i 2 stopni swobody wartość krytyczną F_ = 3,44.

Odpowiedź:

Ponieważ
, więc hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej. Oznacza to, że łączny wpływ wszystkich zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą jest statystycznie istotny.

Ilustracja graficzna:

5. Zadania

Zadanie 8.1

W roku akademickim 2007/2008 na II roku studiów dziennych jednego z wydziałów pewnej uczelni w Poznaniu było 500 studentów, w tym 180 mężczyzn. Letnią sesję egzaminacyjną bez poprawek zaliczyło 350 studentów, w tym 100 mężczyzn.

Czy istnieje zależność między wynikami sesji a płcią studentów ? (Przyjmij α = 0,05).

Zadanie 8.2

Zamieszczona tabela wielodzielcza przedstawia zaobserwowane liczebności warunkowe dotyczące zawodów ojca i syna w 250 rodzinach pracowniczych.

Zawód ojca	Zawód syna
	nauczyciel	ekonomista	inżynier
Nauczyciel	30	10	40
Ekonomista	20	40	20
Inżynier	10	30	50

Źródło: dane umowne.

Czy można na tej podstawie stwierdzić, że wybór zawodu przez syna zależy od zawodu ojca (α = 0,01)?

Zadanie 8.3

W roku 2008 przedsiębiorstwo żeglugowe A posiadało 80 statków zatrudnionych w żegludze regularnej i 10 statków zatrudnionych w trampingu, natomiast przedsiębiorstwo B odpowiednio 40 statków zatrudnionych w żegludze regularnej i 20 w trampingu.

Sprawdź czy występuje współzależność między typem przedsiębiorstwa a charakterem zatrudnienia floty? (Przyjmij α = 0,10).

Zadanie 8.4

Zbadano 200 gospodarstw domowych w powiecie „Z” w celu określenia, czy występuje współzależność między liczbą osób w gospodarstwie domowym a przynależnością do grupy społeczno-ekonomicznej.

Wyniki badania zestawiono w poniższej tabeli wielodzielczej.

Grupa społeczno-	Liczba osób w gospodarstwie
-ekonomiczna	1	2	3 i więcej
Pracowników	2	50	20
Rolników	2	8	30
Pracujących na własny rachunek	10	4	12
Emerytów i rencistów	40	20	2

Źródło: dane umowne.

Zweryfikuj hipotezę, że związek między wyróżnionymi zmiennymi jest statystycznie istotny (α = 0,05).

Zadanie 8.5

W pewnym przedsiębiorstwie przeprowadzono badanie zależności między wydajnością pracy robotników [szt./godz.] a ich stażem pracy [lata].

Na podstawie wyników otrzymanych dla 100-osobowej próby robotników ustalono, że:

• średnia wydajność wyniosła 40 szt./godz., a odchylenie standardowe wydajności stanowi 25% średniego jej poziomu,

• przeciętny przyrost wydajności na jednostkę (1 rok) przyrostu stażu pracy wynosi 2 szt./godz.,

• empiryczny rozkład stażu pracy jest następujący:

Staż pracy	Liczba robotników
0 - 4	5
4 - 8	25
8 - 12	35
12 - 16	20
16 - 20	15
×	100

Źródło: dane umowne.

1. Czy zależność między badanymi zmiennymi jest statystycznie istotna (α = 0,05)?

2. Czy staż pracy jest statystycznie istotną zmienną objaśniającą (α = 0,05)?

Zadanie 8.6

W zakładzie Z wysunięto hipotezę, że wydajność pracy robotników zależy od czasu nieprzerwanej pracy robotników w ciągu dnia roboczego. W celu sprawdzenia tego przypuszczenia pobrano próbę liczącą 10 robotników i otrzymano następujące dane:

Wydajność pracy [kg/godz]	18	20	18	17	15	15	14	12	10	9
Czas nieprzerwanej pracy [godz.]	2	3	3	4	5	6	7	11	9	10

Źródło: dane umowne.

1. czy korelację między wydajnością pracy robotników, a czasem ich nieprzerwanej pracy można uznać za statystycznie istotną, przy poziomie istotności 0,10 ?

2. czy można przyjąć, że funkcja regresji wydajności względem czasu nieprzerwanej pracy robotników jest liniowa (α = 0,05) ?

Zadanie 8.7

Na podstawie wyników 27-elementowej próby gospodarstw domowych zamieszkujących na os. Stefana Batorego w Poznaniu zbadano zależność między wydatkami na artykuł Z (Y) a liczbą osób w gospodarstwie domowym (X).

Otrzymano następującą funkcję regresji:
. Równocześnie wiadomo, że odchylenie standardowe składnika resztowego S_u = 0,7, a odchylenie standardowe zmiennej X wynosi 1,3. Przyjmując poziom istotności 0,05, zweryfikuj hipotezę o istotności współczyn­nika regresji.

Zadanie 8.8

Całkowite koszty produkcji i wielkość produkcji w 7 przedsiębiorstwach należących do tej samej branży były następujące :

Koszty [tys. zł ]	52	54	63	60	88	90	100
Produkcja [tys. zł]	20	30	40	101	183	190	200

Źródło: dane umowne.

Czy można przyjąć, że funkcja regresji kosztów względem produkcji jest liniowa ?

Uzasadnij odpowiedź.

Zadanie 8.9

Przeprowadzono badanie zależności między długością serii produkcji artykułu Z [szt.] a kosztem jednostkowym produkcji tego wyrobu [zł] w 25 zakładach go wytwarzających.

Okazało się, że jest to zależność o kształcie liniowym, przy czym:

• wzrost skali produkcji o 1 sztukę prowadził do spadku kosztu jednostkowego przeciętnie o 270 zł,

• łączna produkcja wyrobu Z w badanych zakładach wyniosła 200 szt., a łączne koszty jednostkowe 75 tys. zł.

Czy współzależność między badanymi zmiennymi jest statystycznie istotna (α = 0,05)?

Zadanie 8.10

Badanie zależności między liczbą braków [szt.] powstałych przy wytwarzaniu pewnego detalu w grupie 15 pracowników pewnego zakładu a ich stażem pracy dało następujące rezultaty:

• średni staż pracy wyniósł 10 lat,

• staż pracy w 81 % wyjaśnia zmienność liczby braków,

• w celu zmniejszenia liczby braków potrzeba wydłużenia stażu pracy, przeciętnie biorąc o 0,3 roku,

• teoretycznie biorąc przy liczbie braków równej 0 sztuk, staż pracy wynosi 13 lata.

Wiedząc, że związek korelacyjny między badanymi zmiennymi jest liniowy sprawdź istotność współczynnika korelacji (α = 0,10),

Zadanie 8.11

Mając informacje o tygodniowych płacach i stażu pracy 10 pracowników zatrudnionych
w pewnym zakładzie, ustal siłę i kierunek związku korelacyjnego między tymi zmiennymi.

Płace [zł]	300	500	405	400	505	500	605	600	600	500
Staż pracy [lata]	1	5	3	3	7	4	10	10	8	6

Źródło: dane umowne.

Sprawdź, przy poziomie istotności α = 0,10, czy zależność pomiędzy badanymi zmiennymi jest liniowa.

Zadanie 8.12

Struktura 25 sklepów ogólnospożywczych według wysokości obrotów w Poznaniu w roku 2002 była następująca :

Obroty [tys. zł]	Liczba sklepów
40-60	5
60-80	12
80-100	6
100-120	2
x	25

Źródło: dane umowne.

Natomiast rozkład empiryczny kosztów handlowych w tych sklepach opisują poniższe parametry :

• średnia arytmetyczna = 19,4 tys. zł,

• odchylenie standardowe = 4 tys. zł,

• r = 0,8.

Czy można przyjąć, że obrót jest statystycznie istotną zmienną kosztotwórczą? (α = 0,05).

Zadanie 8.13

Funkcja regresji wielokrotnej produkcji rolnej (w tys. zł) w 20 gospodarstwach rolnych woj. wielkopolskiego o wielkości powierzchni 20 ha względem powierzchni zasiewu (X₁ w ha) i zużycia nawozów (X₂ w kg/ha) była następująca:


; S_u = 1,2.

Przyjmując  = 0,05 sprawdź, czy powierzchnia zasiewów i zużycie nawozów są istotnymi zmiennymi objaśniającymi.

Zadanie 8.14

Przeprowadzono badanie 19 zakładów produkujących te same wyroby, które dotyczyło wydajności pracy jednego robotnika (Y), ilości zużytej energii na jednego robotnika (X₁), oraz płynności kadr (X₂). Otrzymano, że:


,
,
.

Sprawdź istotność współczynnika korelacji wielorakiej (α = 0,05),

Zadanie 8.15

Poniższe informacje dotyczą następujących zmiennych :

Y - wydatki miesięczne na żywność w gospodarstwie domowym,

X₁ - liczba osób w gospodarstwie domowym,

X₂ - dochód miesięczny gospodarstwa domowego.

Przebadano 28 gospodarstw domowych. Wiadomo, że suma iloczynów odchyleń wartości cech Y i X₂ od ich średnich arytmetycznych wynosi 1428, natomiast współczynniki korelacji całkowitej wynoszą :


0,9

0,8.

Zróżnicowanie badanych zmiennych było następujące:


= 10;
= 2;
= 6.

Mając powyższe informacje:

1. określ łączny wpływ zmiennych X₁ i X₂ na zmienną Y, w badanej grupie gospodarstw domowych i zbadaj czy jest on statystycznie istotny (α = 0,01),

2. sprawdź istotność współczynnika korelacji częściowej wydatków względem dochodu (α = 0,10).

Zadanie 8.16

W przedsiębiorstwie Z zbadano zależność między wydajnością pracy (Y) a stażem pracy (X₁) i poziomem wykształcenia (X₂) 100 pracowników bezpośrednio produkcyjnych. Wiadomo, że macierz korelacji całkowitej między tymi zmiennymi jest następująca :

P
.

Ustal łączny wpływ stażu pracy i poziomu wykształcenia na wydajność pracy i oceń, czy jest to zależność statystycznie istotna dla  = 0,05.

Zadanie 8.17

Na podstawie informacji o kształtowaniu się liczby braków (Y - [szt.]) w zależności od skali produkcji (X₁ - [tys. szt.]) oraz stopnia automatyzacji procesu wytwarzania (X₂ - [%]), przy produkcji pewnego wyrobu w przedsiębiorstwie Z w latach 1982-1994 oszacowano poniższy model regresji:


,
.

Czy obie zmienne objaśniające wpływają w sposób istotny na kształtowanie się liczby braków? Przyjmij  = 0,05.

Zadanie 8.18

W jednym z krajów europejskich zbadano zależność między następującymi zmiennymi w latach 1995-2006:

Y - liczba przestępstw na 1000 mieszkańców,

X₁ - udział mężczyzn w ludności ogółem,

X₂ - procent mężczyzn obcokrajowców wśród całej ludności.

Ustalono, że :


,
,
,
,
,
.

P


1. Oszacuj równanie regresji wielokrotnej, opisujące zależność liczby przestępstw na 1000 mieszkańców tego kraju od podanych zmiennych i ustal, czy ich wpływ jest statystycznie istotny przy poziomie istotności 0,05.

2. Ustal wartość współczynnika korelacji wielorakiej i zbadaj jego istotność.

Zadanie 8.19

Dana jest macierz korelacji całkowitej P w postaci :

P
.

Przyjmując, że n = 52, sprawdź istotność współczynnika korelacji wielokrotnej. Przyjmij α = 0,10.

Zadanie 8.20

Na podstawie informacji o wartościach trzech zmiennych przedstawionych w tabeli, wyjaśnij:

1. czy funkcja spożycia na badane dobro powinna zawierać obie zmienne objaśniające? Uzasadnij odpowiedź. (Przyjmij α = 0,10).

2. Oszacuj właściwą funkcję spożycia.

Lp.	Spożycie dobra y [kg]	Cena dobra x1 [zł]	Cena substytutu x2 [zł]
1	2	4	2
2	6	4	2
3	8	6	4
4	10	8	6
5	14	8	6

Źródło: dane umowne.

Zadanie 8.21

Poniższe dane liczbowe dotyczą następujących zmiennych :

Y - wydatki miesięczne na artykuły nieżywnościowe, w przeliczeniu na osobę
w rodzinie,

X₁ - liczba osób w rodzinie,

X₂ - dochód na osobę w rodzinie,

X₃ - wydatki ogółem na osobę w rodzinie.

Wiadomo przy tym, że:


,
,
,


,
,
,
,


,
,
.

1. Które ze zmiennych objaśniających powinny się znaleźć, twoim zdaniem, w modelu regresji?

2. Utwórz równanie regresji y względem dwóch „najlepszych” zmiennych objaśniających wiedząc, że α₀ = 10.

115

---