1. Właściwości transmisyjne układów dynamicznych liniowych: sygnał wejściowy, wyjściowy, stan początkowy układu, odpowiedź własna i wymuszona układu, odpowiedź impulsowa, odpowiedź skokowa. Związki między tymi sygnałami.

Układ dynamiczny to taki układ który zawiera elementy mogące gromadzić informację (np. energię). Sygnał to pojęcie abstrakcyjne - przebieg czasowy dowolnej wielkości fizycznej.

**Układ dynamiczny to taki układ który zamienia elementy potrafiące zmieniać energie. Jego sygnał wyjściowy jest jednoznacznie zależny od wejściowego. Schemat blokowy: -U(t)->H(t)—Y(t). Odpowiedź impulsowa układu H(t) pozwala na związanie sygnałów wejścia i wyjścia. Pobudzenie to np. delta diraka. Związki:**związek pomiędzy sygnałem wejściowym, a sygnałem wyjściowym określa równanie wejścia - wyjścia (opis typu czarna skrzynka przedstawiający wprost zależność wyjścia układu regulacji od jego wejścia z pominięciem wewnętrznego stanu układu (brak zmiennych opisujących stan układu), wynikające z prawa równowagi dynamicznej Newtona i Kirchhoffa: T*(dY/dt)+Y(t)=K*U(t). T - stała czasowa, K - wzmocnienie;**równanie wyjścia określa zależność sygnału wyjściowego Y(t) od zmiennych stanu układu x1(t), x2(t);**równania stanu uzyskuje się z równania wejścia - wyjścia. Stan obiektu w każdej chwili określają zmienne stanu związane z magazynami energii występującymi w układzie.**transmitancję operatorową uzyskuje się z równania wejścia wyjścia po jego przekształceniu wg. Reguły Laplace'a, oraz po założeniu że warunki początkowe: Y(0)=0, u(0)=0. -> H(s)=Y(s)/u(s) (sygnał wyjściowy przez sygnał wejściowy). Odpowiedź impulsowa (własna układu): **odpowiedź układu liniowego na wymuszenie w postaci: delty diraka δ(t) - przy zerowych warunkach początkowych w przypadku układu ciągłych impulsów; **analizowanie funkcji odpowiedzi impulsowej pozwala na określenie czy mamy do czynienia z układem o skończonej czy też nieskończonej odpowiedzi własnej układu. Odpowiedź wymuszona układu: **jest to odpowiedź o charakterystyce skokowej (skok jednostkowy - 1(t)) przy zerowych warunkach początkowych. Przedstawia przebieg sygnału w układzie w stanie nieustalonym (przejściowym - stan dla którego występując zmiany sygnału wyjściowego, następuje do momenty ustalenia się wartości sygnału wyjściowego).

2. Proste i odwrotne przekształcenie Laplace'a: właściwości sygnałów L-transformowalnych, przekształcenie proste i odwrotne, pojęcie pulsacji zespolonej. Przekształceniem (prostym) Laplace'a nazywamy takie przekształcenie, które funkcji f(t) zmiennej rzeczywistej t przyporządkowuje funkcje zespoloną F(s) zmiennej zespolonej s według wzoru: F(s)=całka (od 0 do +oo) f(t)e^-st*dt = F(s), gdzie całka (od 0 do oo) e^-stf(t)dt=lim(indeks dolny T->oo)całka(od 0 do 1)e^-st*f(t)dt, s-pulsacja zespolona (wielkość określająca szybkość powtarzania się zjawiska okresowego): s=(sigma)+jomega, Gdzie: jomega - pulsacja urojona, (sigma)- współczynnik tłumienia. Przekształcenie całkowe określone powyższym wzorem oznaczamy symbolem L i nazywamy również L-przekształceniem, a funkcję F(s) nazywamy obrazem lub transformatą Laplace'a f(t) lub L- transformatą i zapisujemy symbolicznie w postacie F(s)=L[f(t)]. Własności sygnałów L-transformowalnych (ułatwiają znajdowanie transformat pewnych oryginałów na podstawie znanych funkcji transformat i na odwrót. Są podstawą rachunku operatorowego): *liniowość, *transformata pochodnej: f(0⁺) granica prawostronna funkcji f(t) w pkt t=0. L[f'(t)]=s*F(s)-f(0^+), *pochodna transformaty F^(n)*(s)=(-1)^n*L{t^n *f(t)}, *całka transformaty L{f(t)/t}=całkaF(sigma)dsigma, *przesunięcie w dziedzinie transformaty: L{e^dt*f(t)}=F(s-a), transformata funkcji z przesunięciem: L{f(t-a)1(t-a)}=e^-asF(s). Przekształcenie odwrotne Laplace'a: *przekształcenie całkowe, które w transformacie F(s) przyporządkowuje oryginał F(t), transformata funkcji F(s) L^-1 [F(s)] = f(t), *najprostszym oryginałem jest funkcja skoku jednostkowego.

3. Proste i odwrotne przekształcenie Laplace'a : liniowość, przesunięcie oryginału, transformata sygnału tłumionego, transformata pochodnej i całki, wartości graniczne, twierdzenie Borela o splocie. Liniowość - przekształcenie proste i odwrotne Laplace'a są liniowe gdy: F1(t) i f2(t) - oryginały A1, A2 dowolne liczby zespolone. Przesunięcie rzeczywiste oryginału - są to tzw. Przesunięcia w dziedzinie oryginału lub dziedzinie czasu. Np. zapis oryginału f(t) w przypadku przesunięcia jego wykresu o pewną wielkość równolegle wzdłuż osi t, gdy oryginał jest funkcją skoku jednostkowego (ozn. Symbolem 1(t-t0) - funkcja jednostkowa przesunięta o wielkość t0>0). Funkcja przesunięcia o wielkość t0 względem funkcji oryginalnej f(t) * 1(t) nazywamy funkcje g(t) w postaci f(t-t0) * 1(t-t0). Przesunięcie zespolone oryginału występuje jeżeli L[f(t)]=F(s) i alfa jest dowolną liczbą zespoloną to Re(s+alfa)>lambda 0. Różniczkowanie i całkowanie transformaty jeżeli f(t) jest oryginałem to twierdzenie o wartościach granicznych wprowadza się określenie sektora kątowego. Twierdzenie Borela o splocie jeżeli f1(t) i f2(t) są oryginałami i L[f1(t)]=F1(s), L[f2(t)]=F2(s) to ich transformata splotu (transformata splotu 2 oryginałów jest równa iloczynowi ich transformat). Jeśli funkcje f1, f2 są bezwzględnie transformowalne (w sensie Laplace'a) oraz chociaż jedna z nich jest ograniczona w każdym przedziale [0,T] dla T>0, to L[f1*f2]=L[f1]*L[f2]

4. Metody wyznaczania transformaty odwrotnej Laplace'a. Zastosowanie transformaty do rozwiązywania równań różniczkowych liniowych. Metoda bezpośrednia - polega na odczytaniu oryginału z tablic transformat Laplace'a najczęściej spotykanych funkcji, do których sprowadzamy (jeśli to konieczne) daną transformatę F(s). Metoda rozkładu na ułamki proste - wielomian dowolnej funkcji może zostać poddany rozkładowi na ułamki proste, które pod postacią sumy wielomianów przedstawiają dowolną funkcję wymierną, w której stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika. Każdy ułamek prosty ma następujące własności: mianownik jest potęgą pewnego wielomianu nierozkładalnego, licznik jest wielomianem stopnia mniejszego od stopnie nierozkładalnego wielomianu występującego w mianowniku. Metoda Residuów - jest to najbardziej ogólna metoda oparta na teorii funkcji analitycznych twierdzeniu Jordana. Przez residuum funkcji X(s) w biegunie s=si rozumiemy współczynniki ai1 rozwinięcia funkcji X(s) w szereg Laurenta w otoczeniu punktu s=si_i.

5. Operatorowa postać sieci elektrycznej: impedancje i admitancje operatorowe elementów, źródła , metody macierzowe. Metody macierzowe: *rysujemy graf na podstawie schematu, tworzymy macierz incydencji węzłowych A, tworzymy macierz incydencji obwodowych B, określamy wektory od źródeł prądowych I0 (s) i napięciowych Eo(s), tworzymy macierz impedancji gałęziowych Zg, zapisujemy 1 prawo Kirchhoffa dla układu, wyznaczamy transmitancje układu H(s)=I(s)/E(s), gdzie : E(s) - sygnał wejściowy, I(s) - sygnał wyjściowy. Metoda oczkowa rozwiązywania obwodów polega na wyznaczeniu prądów oczkowych, na podstawie których są następnie obliczane wartości prądów w poszczególnych gałęziach obwodu elektrycznego. Wartości prądów oczkowych obliczamy z równania macierzowego. Metoda węzłowa rozwiązywania obwodów polega na wyznaczeniu potencjałów węzłów obwodu elektrycznego, na podstawie których są następnie obliczane wartości prądów w poszczególnych gałęziach. Wartości potencjałów węzłowych obliczamy z równania macierzowego. ŹRÓDŁA. Twierdzenie o źródle zastępczym[AM6]. Na podstawie twierdzenia o źródle zastępczym można złożony obwód elektryczny o dowolnej liczbie źródeł energii elektrycznej sprowadzić do schematu o jednym źródle. Twierdzenie o zastępczym źródle napięcia - Tw. Thevenina [AM7]. Prąd w dowolnej gałęzi mn obwodu elektrycznego liniowego nie zmieni się, jeżeli obwód elektryczny, do którego jest przyłączona dana gałąź, przedstawić w postaci zastępczego źródła napięcia. SEM tego źródła jest równa napięciu na rozwartych zaciskach gałęzi mn, a impedancja wewnętrzna źródła musi być równa impedancji zastępczej obwodu elektrycznego pasywnego (bezźródłowego), otrzymanego w wyniku zastąpienia wszystkich niezależnych źródeł napięciowych zwarciami i wszystkich niezależnych źródeł rozwarciami. Twierdzenie o zastępczym źródle prądu - Tw. Nortona [AM8]. Prąd w dowolnej gałęzi mn obwodu elektrycznego liniowego nie zmieni się, jeżeli obwód elektryczny, do którego jest przyłączona dana gałąź, przedstawić w postaci zastępczego źródła prądu. Prąd tego źródła musi być równy prądowi przepływającemu między zaciskami m i n w przypadku ich zwarcia, a admitancja wewnętrzna źródła musi być równa admitancji zastępczej obwodu elektrycznego pasywnego(bezźródłowego), otrzymanego w wyniku zastąpienia wszystkich niezależnych źródeł napięciowych zwarciami i wszystkich niezależnych źródeł rozwarciami. IMPEDANCJĄ operatorową dwójnika pasywnego nazywamy stosunek napięcia operatorowego na zaciskach do prądu operatorowego płynącego przez dany dwójnik przy zerowych warunkach początkowych. Impedancja Z(s): rezystancja R, cewka indukcyjna sL, kondensator 1/sC, Admitancja: rezystancja 1/R, cewka 1/sL, kondensator sC.

6. Graf przepływowy i schemat blokowy operatorowej postaci elektrycznej. Zasady łączenia bloków (redukcja sieci). Graf przepływowy sygnału: graf, w którym węzły są sygnałami, a gałęzie to operacje wykonywane na sygnałach. Schemat: u(t)--- >x'(t)—całka--->x(t)--->y(t) x do x'-A, u do x' - B, x do y - C, u do y - D. W grafie wyróżniamy 3 rodzaje wezłow: zrodlowe - sygnaly tylko odchodzą, odbiorcze - takie wezly do których sygnaly tylko dochodzą i wtorne (posrednie) - wezly do których sygnaly dochodzą i odchodzą. Schemat blokowy: jest to graf dualny gdzie wszystkie gałęzie zamieniono na węzły a wezeł na gałęzie. Elementy schematu blokowego: węzeł odczepowy, zaczepowy (punkt do którego doprowadza się i odprowadza się identyczne sygnaly), węzeł sumujący (punkt do którego doprowadza się dowolna liczbe sygnalow i odprowadza się sume algebraiczna tych sygnalow), blok mnożenia sygnału przez stałą, blok całkujący. Upraszczanie schematów: polaczenie kaskadowe - transmitancja bloku zastępczego rowna jest iloczynowi transmitancji blokow składowych, H(s)=H1(s)*H2(s) + schemat. Połączenie równoległe: transmitancja układu to suma transmitancji H(s)=H1(s)+H2(s) + schemat, sprzężenie zwrotne (układ zamknięty): z wyjścia układu (węzla zaczepowego) sygnal przekazywany jest na wejście (wezel sumacyjny), jeslio sygnal jest doprowadzony z minusem - ujemne, z plusem - dodatnie. Tu Schemat (odwrotne równoległe). Transmitancja: H(s)=H1(s)/1+-H1(s)*H2(s), jeśli sygnal jest bezpośredni z wyjścia na wejście to H2(s) rowne jest zero, wtedy: H(s)=H1(s)/1+-H1(s); Przeniesienie węzła zaczepowego sprzed bloku (wejścia) za blok (wyjście) wymaga wprowadzenia dodatkowego bloku o transmitancji 1/H(s) ---*--blok--- na ---blok---*---; Przenoszenie węzła sumacyjnego: z wyjścia (wezel sumacyjny) na wejście (wezel sumacyjny) wprowadzamy blok transmitancji 1/H(s); z wejścia (wezel sumacyjny) na wyjście (wezel sumacyjny) wprowadzamy blok transmitancji H(s). Schemat blokowy (ang. block diagram, flowchart) jest narzędziem nakierowanym na prezentację kolejnych czynności w projektowanym algorytmie. Realizowane jako diagram, na którym procedura, system albo program komputerowy są reprezentowane przez opisane figury geometryczne, połączone liniami zgodnie z kolejnością wykonywania czynności wynikających z przyjętego algorytmu rozwiązania zadania. Redukcja oznacza upraszczanie schematu do postaci w której pozostanie już tylko pojedynczy blok zawierający transmitancję znajdującą się pomiędzy wejściem i wyjściem. W redukcji schematów blokowych, bardzo pomocne jest prowadzenie jej krok po kroku, zawsze utrzymując tą samą zależność pomiędzy wejściem i wyjściem. Zastosowanie przekształceń schematów blokowych zilustrowane zostanie na poniższym przykładzie, w którym przeprowadzona została redukcja schematu blokowego.

7. Odpowiedź impulsowa układu dynamicznego i jego transmitancja. Definicje transmitancji. Związki pomiędzy transformatami sygnału wejściowego i wyjściowego. Transmitancja widmowa. Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s) - stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego układu przy zerowych warunkach początkowych: G(s)=Y(s)/U(s). Transmitancja jest częstotliwościowym modelem układu (w postaci zasadniczej określonym w dziedzinie s). Określa ogólne własności stacjonarnego układu liniowego o jednym wejściu i jednym wyjściu, niezależne od rodzaju wymuszenia. Dla układu wielowymiarowego o n wejściach i m wyjściach można określić m x n transmitancji wiążących każde wyjście z każdym wejściem. Transmitancja widmowa - wielkość w teorii sterowania i w teorii przetwarzania sygnałów definiowana jako stosunek wartości zespolonej odpowiedzi Y układu wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym, do wartości zespolonej tego wymuszenia, w stanie ustalonym. Transmitancja widmowa opisuje odtwarzanie przez dany obiekt (układ) zmieniającego się sygnału wejściowego i można otrzymać ją przechodząc z transmitancji operatorowej przez podstawienie s = jω. Związek między transformatami Laplace'a sygnału wejściowego i wyjściowego jest związkiem iloczynowym, znacznie dogodniejszym do obliczeń, niż zależność splotowa. Z równania transmisyjnego wynika bowiem, że sygnał wyjściowy można wyznaczyć ze wzoru: y(t)=L^-1*[H(s)X(s)]. W celu obliczenia odwrotnej transformaty można korzystać z tablic transformat Laplace'a.

8. Układ równoważny zaciskowo. Schematy blokowe realizacji założonej funkcji transmitancji, schemat kontrolera, obserwera, kaskadowy i równoległy przekształcenie transmitancji z postaci kanonicznej w postać iloczynową i sumę ułamków prostych. Układ dynamiczna opisany równaniami stanu posiada wystarczającą ilość informacji do wyznaczenie transmitancji układu. Każdemu układowi danemu w postaci równania stanu można przypisać tylko jedną funkcję transmitancji. Odwrotna zależność nie obowiązuje. Może istnieć wiele układów różniących się sposobem wewnętrznych powiazań informacyjnych i energetycznych realizujących tę samą funkcję transmitancji. Poszukując układu dynamicznego który ma realizować założoną funkcję transmitancji poszukujemy zwykle w czterech postaciach. W postaci kaskadowej, w postaci równoległej (modalnej) oraz dwóch postaciach kanonicznych kontrolera lub obserwera. Struktura kanoniczna kontrolera - jedna z dwóch możliwych struktur wykorzystujących współczynniki kanonicznej postaci funkcji transmitancji. Schemat blokowy i graf przepływowy sygnałów struktury kontrolera:

Struktura obserwera - Schemat blokowy o strukturze obserwera łatwo uzyskać ze schematu kontrolera. Trzeba wykonać następujące czynności : Zmienić kierunek wszystkich sygnałów (odwrócić strzałki), Wszystkie węzły sumujące zamienić na węzły odczepowe, wszystkie węzły odczepowe zamienić na sumujące, Przenumerować zmienne stanu. W wyniku tych czynności można otrzymać schemat blokowy układu kanonicznego o strukturze obserwera i graf przepływowy sygnałów:

Aby ułożyc równania stanu, wygodniej jest przetworzyć schemat blokowy na graf przepływowy. (dualność grafów) Wyznaczając z grafu przepływowego sygnałów równania na pochodne kolejnych współrzędnych wektora stanu, otrzymamy równania stanu zdefiniowane przez macierze. Podstawową A (pierwsza kolumna to a_n-1 a_n-2 itp. Następnie zaczynając od drugiego miejsca pierwszego wiersza 1 po przekątnej, reszta to zera) oraz macierz wyjścia i wejścia B= wektor z elementami b₀,b₁, b_n-3 itp. Oraz C wektor 1xm [1 0 0 0….0]. Struktura kaskadowa - transmitancja jeśli jest funkcją wymierną może być przedstawiona nie tylko w postaci kanonicznej. Tę samą funkcję wymierną można też przedstawić w postaci iloczynowej. Postać ta jest także nazywana kaskadową, bo odpowiada kaskadzie prostych członów. Powstaje ona po znalezieniu zer `Beta i' oraz biegunów `alfa k' transmitancji i przedstawieniu wielomianów licznika i mianownika w postaci iloczynowej. Zera i bieguny transmitancji mogą być rzeczywiste lub tworzyć pary liczb zespolonych sprzężonych, mogą być pojedyncze lub wielokrotne. Schemat blokowy układu o strukturze kaskadowej i graf przepływowy sygnałów:

Struktura równoległa (modalna) - Współczynniki elementów mnożących występujących w tej postaci otrzymamy rozkładając funkcję transmitancji na ułamki proste. Schemat blokowy układu o strukturze równoległej i graf przepływowy:

Struktura ta jest bardzo szczególna, gdyż wszystkie składniki elementarne (mody) reakcji impulsowej układu są w niej realizowane w odrębnych nie sprzężonych ze sobą kanałach. Ma to znaczne konsekwencje dla drugorzędnych cech układu takich jak wrażliwość.

9. Stabilność układów dynamicznych. Definicja BIBO. Interpretacja energetyczna pojęcia stabilności: sygnały mocy, sygnały energii, dystrybucja diraka. Jednym z najważniejszych zadań teorii sterowania jest zapewnienie by układ pozbawiony sterowania samoistnie powracał do stanu równowagi. Taką cechę nazywamy stabilnością. Istnieje wiele sposobów analizy stabilności układów, jednak jeden z nich ze względu na swoją prostotę stał się bardzo istotny z punktu widzenia praktycznego, chodzi o BIBO stabilność. Układ wejściowo - wyjściowy (tj. układ dynamiczny) jest BIBO stabilny jeżeli ograniczonemu sygnałowi wejściowemu u(t) odpowiada ograniczony sygnał wyjściowy y(t). Można to zapisać jako: u(t)->F->y(t). Układ jest stabilny w sensie BIBO <->II F II<oo. Należy zauważyć, że BIBO stabilność jest "słabsza" od zwykłej stabilności. Wystarczy bowiem rozważyć system, który na pobudzenie skokiem jednostkowym odpowiada sygnałem sinusoidalnym. Układ ten jest BIBO stabilny choć stabilny w sensie klasycznym nie jest. Stabilność jest właściwością układu, zapewniającą jego powrót do stanu równowagi stałej po ustaniu działania zakłócenia, które wytrąciło układ z tego stanu. Układ liniowy uważa się za stabilny, jeżeli przy każdym skończonym zakłóceniu z(t) lub wymuszeniu u(t) i dowolnych warunkach początkowych, wektor stanu x(t) i wektor wyjść y(t) przyjmuje skończone wartości dla do wolnej chwili t. Układy nieliniowe uważa się za stabilne, jeżeli spełniają pewne warunki, które wyjaśnione s w dalszej części tego rozdziału. Ograniczając się chwilowo do układów autonomicznych (bez wymuszenia), rozpatruje się układ liniowy o równaniu stanu. Interpretacja energetyczna stabilności - układ liniowy jest BIBO stabilny jeśli na pobudzenie o ograniczonej energii odpowiada sygnałem o ograniczonej energii. Jeśli na pobudzenie o ograniczonej mocy odpowiada sygnałem o ograniczonej mocy. Sygnały okresowe są sygnałami mocy (ograniczona moc, nieograniczona energia). Sygnały energii mają ograniczoną energii, nieograniczoną moc (delta Diraca).

10. Związki pomiędzy odpowiedzią impulsową układu dynamicznego a biegunami transmitancji, mapa biegunów transmitancji i modów odpowiedzi impulsowej.

Mody to składniki odpowiedzi impulsowej. Bieguny transmitancji odpowiedzi impulsowej i bieguny modów to te same liczby przy opisie układu. Jeżeli bieguny transmitancji leża po lewej stronie płaszczyzny zespolonej to układ jest stabilny (przebieg tłumiony) jeżeli po prawej - niestabilny (nietłumiony), jeżeli na osi urojonej - na granicy stabilności. Bieguny mniejsze od zera - przebiegi aperiodyczne większe od zera - periodyczne. Na linii ukośnej stały ubytek (dekrement) tłumienia (stosunek dwóch kolejnych amplitud jest równy). Pierwiastki licznika transmitancji określane są zerami transmitancji (lub zerami układu, który ta transmitancja opisuje). Przyrównując mianownik transmitancji do zera otrzymujemy tzw. równanie charakterystyczne. Pierwiastki mianownika transmitancji (czyli odpowiadającego jej równania charakterystycznego) określa się mianem biegunów transmitancji (lub biegunów układu, który ta transmitancja opisuje) albo też mianem wartości własnych układu (opisanych przez tą transmitancję).

11. Równania stanu: opis układu dynamicznego, równania stanu, równanie wyjścia graf przepływowy i schemat blokowy równań stanu, wartości równań stanu, wartości własne i wektory własne macierzy podstawowej, interpretacje. Równania stanu są sposobem na reprezentację modelu matematycznego układu dynamicznego (zwłaszcza układu automatycznej regulacji). Znajomość stanu układu daje bardzo wiele, ale jeszcze więcej wiemy o układzie, gdy znamy związki zmiennej stanu z innymi ważnymi zmiennymi. Dlatego w opisie układu (w jego modelu matematycznym) kluczową rolę odgrywa związek rządzący zachowaniem się zmiennej stanu czyli równania stanu. Opis układu za pomocą równań stanu nazywany jest też czasami opisem w przestrzeni stanów lub modelem zmiennych stanu. Postac równania stanu: x'(t)=A*x(t)+B*u(t), równanie wyjścia: y(t)=C*x(t)+D*u(t); Interpretacje: x'(t)-pochodna względem czasu wektora stanu, A-macierz obwodu (wymiar n*n), B-macierz wymuszeń (wymiar n*p), x(t)-wektor stanu(x(t)=pionowo[x1(t) x2(t)…xn(t)], x1, x2 - zmienne stanu obwodu elektrycznego, u(t)-wektor wymuszeń u(t)=[u1(t) u2(t)…un(t)], u1(t), u2(t) - napięcia i prady zrodlowe; Wartosci własne (pierwiastki charakterystyczne) macierzy A to pierwiastki lambda1, lambda2…lambdan równania charakterystycznego f(lambda)=det(1I - A)=0; Wektory własne jest to każdy niezerowy wektor xi, który spelnia równanie Axi=lambdai*xi. Jeśli macierz A posiada rozne wartości własne czyli nie ma wielokrotnych pierwiastkow to każdej wartości własnej odpowiada jeden liniowo niezależny wektor wlasny, np Ax1=lambda*x1. Szybkość zmiany stanu (dx/dt) zależy od tanów (Ax) i(+) zewnętrznego pobudzenia (Bu); Graf przepływowy sygnałów - opis układu dynamicznego za pomocą grafu, gdzie węzły to sygnały a gałęzie to operacje na sygnałach. Schemat blokowy - graf dualny do przepływowego, gdzie gałęzie to sygnały a operacje na nich to węzły. Wektory własne macierzy A to kierunki własne modów odpowiedzi impulsowej, wartości własne to bieguny modów i bieguny transmitancji. W przeciwieństwie do opisu typu wejście-wyjście (w postaci odpowiedniego równania różniczkowego, transmitancji lub całki splotowej) opis równaniami stanu nie jest jednoznaczny. Oznacza to, że: *różnym postaciom opisu w przestrzeni stanów może odpowiadać jeden opis transmitancyjny a z drugiej strony, *dla danej transmitancji istnieje nieskończenie wiele opisów w przestrzeni stanów (tym niemniej spośród różnych możliwych sposobów wyboru zmiennych stanu kilka jest szczególnie ciekawych). Wprowadzenie przekształcenia nieosobliwego zmiennych stanu (to znaczy takiej zmiany współrzędnych w przestrzeni stanów, że przejście od jednych współrzędnych do drugich jest wzajemnie jednoznaczne) spowoduje, że ten sam układ będzie mógł być opisany innymi zmiennymi stanu i równaniami o innej postaci przy zachowaniu tych samych własności.

12. Równania stanu: macierz tranzycyjna, rozwiązania równań stanu, rozwiązanie swobodne (własne) i wymuszone, stan początkowy, interpretacja energetyczna wektora stanu.

Macierz tranzycyjna (macierz przejścia stanu) - to macierz której iloczyn z wektorem stanu x z chwili początkowej t0 daje stan x w chwili późniejszej t. Macierz przejścia stanu może być wykorzystana do uzyskania ogólnego rozwiązania dla liniowych układów dynamicznych. Macierz ta znana jest jako eksponenta macierzy. Stan układu przedstawiany jest zwykle jako wektor x=[x1,x2,…,xn] należydo R^n i przedstawia pamięć układu. Znając stan układu oraz sterowanie jesteśmy w stanie określić stan, który osiągnie układ po zadanym czasie.

13. Równania stanu: przestrzeń stanu, interpretacja energetyczna wektora stanu, trajektorie, zobrazowanie stabilności strukturalnej układu w przestrzeni stanu, interpretacja energetyczna stabilności układu dynamicznego w przestrzeni stanu. Przestrzeń stanu - przestrzeń, której współrzędne to współczynniki wektora stanu naładowania elementów konserwatywnych. Przestrzeń stanu obrazuje każdy stan w jakim może znajdować się układ dynamiczny. Trajektorie wyznaczają ślad ruchu w przestrzeni stanu, czyli przez jakie stany przechodzi układ podczas zmian. Pojęcie wektora stanu jest uogólnieniem w stosunku do pojedynczej zmiennej stanu. Jeśli układ jest opisany tylko jedną zmienną stanu, to jej wartości są reprezentowane przez liczby skalarne (rzeczywiste). W przypadku większej liczby zmiennych stanu nie można określić konkretnego stanu za pomocą jednej liczby, lecz za pomocą zbioru liczb reprezentujących wartości poszczególnych zmiennych. Można to interpretować w taki sposób, że stan ma sens wektora, określonego w przestrzeni stanów, n-wymiarowej, jeśli istnieje n zmiennych stanu. Osiami (współrzędnymi) przestrzeni stanów są więc poszczególne współrzędne (zmienne) stanu. Każdy punkt przestrzeni stanów reprezentuje określony stan rozumiany jako zbiór wartości wszystkich zmiennych stanu układu. Można więc zapisać symbolicznie wektor stanu układu o 
     zmiennych stanu x1, x2,…,xn jako x=[x1,x2,…,xn]. Liczba zmiennych stanu określa wymiar wektora stanu n, a zarazem rząd układu dynamicznego.

14. Sterowalność i obserwowalność układów dynamicznych. Sterowalność i obserwowalność to kluczowe zagadnienia przy analizie i syntezie układów regulacji. Sterowalność to własność układu sterowania polegająca na tym, że istnieje sterowanie przeprowadzające układ w pewnym skończonym przedziale czasu do zadanego stanu (np. położenia, prędkości, przyspieszenia itp.) przy spełnieniu warunków początkowych. Sterowalność odnosi się do możliwości wymuszenia przejścia układu do określonego stanu za pomocą odpowiednich sygnałów sterujących. Jeśli stan nie jest sterowalny, to żaden z sygnałów nie będzie mógł sterować takim stanem. Jeśli stan jest niesterowalny ale jego dynamika jest stabilna to wówczas taki stan nazywa się stabilizowalnym. Obserwowalność odnosi się do możliwości przeprowadzenia obserwacji (mierząc wielkości na wyjściach układu). Jeśli stan nie jest obserwowalny to regulator nigdy nie będzie w stanie określić zachowania takiego stanu i dlatego nie można go wykorzystać do stabilizacji układu. Jednakże, podobnie jak w przypadku warunków stabilizowalności (dla sterowalności) - jeśli stan nie jest obserwowalny to jednak może być wykrywalny. Problemy związane z brakiem sterowalności lub obserwowalności mogą być rozwiązane między innymi przez dodanie urządzeń wykonawczych lub czujników.

Sterowalność - przy pomocy jednego z sygnałów wejściowych można pobudzić do działania wszystkie inne. Układ może być sterowalny globalnie lub względem jednego z wejść.

Def.1 Liniowy układ sterowania jest sterowalny, jeżeli dla dowolnego stanu początkowego x(0) możemy zastosować takie sterowanie u(t), które w skończonym czasie tf spowoduje sprowadzenie sygnału wyjściowego do zera x(tf)=0. Obserwowalność - przy obserwacji sygnału wejściowego możemy odczytać informacje o działaniu każdego z modów osobno. *Obserwowalność - własność układu sterowania mówiąca, czy na podstawie odczytu sygnału sterującego oraz odczytu sygnału wyjściowego możliwe jest określenie wewnętrznego stanu obiektu. Def.1 Układ jest obserwowalny, jeżeli przy dowolnym sterowaniu można określić wartości wszystkich zmiennych stanu w chwili to na podstawie znajomości sterowania u(to, t) i odpowiedzi y(to, t). Def.2 Stan początkowy XoER^n liniowego, dyskretnego układu regulacji nazywamy obserwowalnym w q krokach, jeżeli na podstawie danego ciągu wymuszeń {uo, u1, …, u(q-1)} i danego ciągu odpowiedzi {yo, y1, …, y(q-1)} można wyznaczyć jednoznacznie stan początkowy Xo tego układu. Def.3 Układ jest obserwowalny jeśli każdy stan układu jest odróżnialny od stanu 0.

15. Właściwości układu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym: definicja sprzężenia zwrotnego, elementy składowe schematu blokowego układu ze sprzężeniem zwrotnym, sprzężenie ujemne i dodatnie. Sprzężenie zwrotne w układach elektronicznych polega na doprowadzeniu części sygnału wyjściowego z powrotem do wejścia. Część sygnału wyjściowego, zwana sygnałem zwrotnym, zostaje skierowana do wejścia układu i zsumowana z sygnałem wejściowym, wskutek czego ulegają zmianie warunki sterowania układu.

* Układ zamknięty (sprzężenie zwrotne) (ang. closed-loop system) - układ sterowania, w którym przebieg sygnału następuje w dwóch kierunkach. Od wejścia do wyjścia przebiega sygnał realizujący wzajemne oddziaływanie elementów, natomiast od wyjścia do wejścia przebiega sygnał sprzężenia zwrotnego. Sterowanie w układzie zamkniętym (ręczne lub automatyczne) różni się od sterowania w układzie otwartym tym, że człowiek lub regulator otrzymują dodatkowo poprzez sprzężenie zwrotne informacje o stanie wielkości wyjściowej (lub o stanie obiektu). Informacja ta (odczytana z miernika lub podana w postaci np. napięcia do regulatora) jest używana do korygowania nastaw wielkości wejściowej.

Sprzężenie zwrotne nazywamy dodatnim, gdy faza napięcia zwrotnego doprowadzonego z wyjścia do wejścia układu jest zgodna z fazą napięcia wejściowego. Przy zgodności faz obu sygnałów sterujących wzmacniacz, efektywny sygnał sterujący ulega zwiększeniu. Oznacza to, że współczynnik beta - określający jaka część napięcia wyjściowego zostaje doprowadzona na wejście - jest dodatni. Gdy współczynnik b dalej wzrasta i iloczyn b K zbliża się do jedności, wzmocnienie dąży do nieskończoności. Taki wniosek wynika z zależności matematycznej, fizycznie jednak omawiany przypadek jest niemożliwy. W układzie wystąpi generacja drgań, a nieskończone wzmocnienie oznacza, że generator sam dostarcza na wejście sygnał podtrzymujący drgania. Sygnał wyjściowy zostanie ograniczony do pewnej wartości określonej przez układ - nie może ona być jednak wyższa niż napięcie zasilające wzmacniacz. Dodatnie sprzężenie zwrotne jest podstawą działania generatorów, przy czym warunki generacji można wyrazić następująco: układ działa jak generator, gdy sprzężenie zwrotne jest dodatnie i dostatecznie silne (b K = l), aby podtrzymywać drgania. Jeżeli b K < l, w układzie następuje tylko wzrost wzmocnienia. Tego rodzaju dodatnie sprzężenie zwrotne, zwane również sprzężeniem regeneracyjnym lub niekiedy reakcją, stosuje się bardzo rzadko (m.in. ze względu na wzrost zniekształceń). Sprzężenie zwrotne nazywamy ujemnym, gdy faza napięcia zwrotnego doprowadzonego z wyjścia do wejścia układu jest przeciwna w porównaniu z fazą napięcia wejściowego. Ujemne sprzężenie zwrotne powoduje zmniejszenie wzmocnienia wzmacniacza. Wynika to z faktu, że w układzie z ujemnym sprzężeniem zwrotnym doprowadzona na wejście część napięcia wyjściowego ma przeciwną fazę niż napięcie wejściowe, a więc odejmuje się od napięcia wejściowego. W rezultacie na wejściu wzmacniacza występuje mniejsze napięcie niż w przypadku braku ujemnego sprzężenia zwrotnego. Przy mniejszym napięciu wejściowym również napięcie wyjściowe ma mniejszą wartość. Ze względu na to, że źródło sygnału nie jest objęte pętlą sprzężenia zwrotnego, przy tym samym napięciu źródła otrzymujemy mniejsze napięcie wyjściowe, a zatem wzmocnienie układu ulega zredukowaniu. Właściwości układu wzmacniacza o dużym wzmocnieniu z ujemną pętlą sprzężenia zwrotnego zależeć będą wyłącznie od parametrów pętli. Dlaczego w układach stosuje się ujemne sprzężenie zwrotne? Ujemne sprzężenie zwrotne, szeroko stosowane w układach wzmacniających, wpływa na ogół korzystnie na większość parametrów wzmacniaczy: *poprawia stabilność wzmocnienia (układ jest mniej wrażliwy np. na wahania napięć zasilających i zmianę temperatury); *zmniejszają się szumy i zniekształcenia (tak liniowe, jak i nieliniowe); *zwiększa się górna częstotliwość graniczna (czyli ulega poszerzeniu pasmo); *możliwe jest kształtowanie charakterystyki częstotliwościowej; *możliwa jest modyfikacja impedancji wejściowej i wyjściowej.

16. Metody widmowe analizy układów dynamicznych; widmo sygnałów okresowych (mocy); właściwości widma sygnałów mocy, widmo amplitudowe, widmo fazowe, transformacja odwrotna, twierdzenie Parsevala. Widmo sygnału - przedstawienie sygnału w dziedzinie częstotliwości lub pulsacji, otrzymane przy pomocy transformacji Fouriera. *Widmem sygnału nazywa się zarówno samą transformatę Fouriera (wynik transformacji Fouriera), jak i wykres przedstawiający tę transformatę. Widmo sygnału okresowego o częstotliwości fo składa się wyłącznie z impulsów Diraca występujących w punktach na osi częstotliwości odpowiadających całkowitym wielokrotnościom jego częstotliwości. Widmo amplitudowe - wykres amplitudowo-częstotliwościowy. Każdy prążek na wykresie jest to amplituda składowej sygnału o określonej częstotliwości. Widmo fazowe - wykres fazowo-częstotliwościowy. Każdy prążek na wykresie jest to przesunięcie fazowe składowej o określonej częstotliwości.Twierdzenie Parsevala w matematyce tożsamość, która wynika z własności unitarności transformacji Fouriera, co nieformalnie można określić, że suma (lub całka) kwadratu funkcji równa się sumie (lub całce) kwadratu jej transformaty. Pozwala wyznaczyć energię/moc sygnału w dziedzinie częstotliwości.

17. Metody widmowe analizy układów dynamicznych; widmo sygnałów energii, właściwości, widmo amplitudowe, fazowe, transformacja odwrotna, twierdzenie Parsevala.
TO SAMO CO WCZEŚNIEJ. Widmo sygnału to wyrażenie matematyczne opisujące częstotliwościowy rozkład amplitud i faz sygnału lub fizyczne zobrazowanie tego sygnału. Widmo sygnałów energii - jest to kwadrat modułu tranformaty Fouriera F(jomega) funkcji f(t). Jeśli funkcja f(t) jest sygnałem wejściowym układu to transformata Fouriera G(jomega) jego odpowiedzi g(t) jest równa F(jomega)H(jomega). Lokalizacja energii (idealny filtr środkowoprzepustowy) - całka widma gęstości energii sygnału f(t) w przedziale pulsacji równym pasmu przepustowemu filtru (omega1, omega2) jest równa energii sygnału wyjściowego filtru. Widmo amplitudowe - charakterystyka zmienności amplitud poszczególnych harmonicznych w funkcji częstotliwości, zbiór modułów. Widmo fazowe - charakterystyka zmienności kąta fazowego poszczególnych harmonicznych w funkcji częstotliwości, zbiór argumentów. Przekształcenie odwrotne - wzór: f(t)=1/2pi całka od -oo do +oo F(j*omega)e^(j*omega*t)*domega jest zależność między sygnałem f(t), a jego transformatą F(j omega). Funkcja F(jomega) jest widmem (składową harmoniczną) sygnału f(t). Przekształcenie odwrotne jest to inaczej rozkład widmowy sygnału. Twierdzenie Parsevala - pozwala wyrazić wartość średnią iloczynu dwóch funkcji okresowych o takim samym okresie za pomocą współczynników rozwinięcia wykładniczego Fouriera, wartość ta jest równa sumie od -niesk. do +niesk. szeregu nieskończonego, którego wyrazami są iloczyny współczynników rozwinięcia wykładniczego jednej z tych funkcji przez współczynniki sprzężone rozwinięcia wykładniczego drugiej funkcji, wzór: całka(od -oo do +oo)f1(t)f2*(t)dt=1/2pi całka(od -oo do +oo)F1(jomega)F2*(jomega)domega

18. Transformata Fouriera definicja i właściwości; liniowość, zmiana skali czasu, przesunięcie w czasie, transformata pochodnej i całki, transformata splotu, przesunięcie widma.

Transformacja Fouriera - transformacja całkowa z dziedziny czasu w dziedzinę częstotliwości.
Transformata Fouriera - jest wynikiem transformacji Fouriera. Transformacja Fouriera rozkłada funkcję na szereg funkcji okresowych tak, że uzyskana transformata podaje w jaki sposób poszczególne częstotliwości składają się na pierwotną funkcję.

*Liniowość: x(t) -> ak, y(t) -> bk ⇒ alfax(t) + bettay(t) ↔ alfaak + bettabk; *Przesunięcie w dziedzinie czasu x(t) <-> ck; x(t − t0) <[-> cke^(−jkomega0t0) = cke^(−jk2pit0/T); *transformata splotu oryginałów (tw. Borela o splotach) L [(f ∗ g)(t)] (s) = L [f(t)] (s)*L [g(t)] (s); *transformata całki oryginału: L I całka (od 0 do t)f(x)dx I*(s)=L[f(t)](s)/s.

19. Widmo i charakterystyki częstotliwościowe; amplitudowe, fazowe, rzeczywiste, urojone, zespolone , logarytmiczne, asymptotyczne -przykłady i interpretacja.
(co to widmo to jest w 16, zresztą widmo amplitudowe i fazowe też) Widmo amplitudowe:
Widmo fazowe:

Charakterystyka częstotliwościowa - charakterystyka reprezentowana przez wykres transmitancji widmowej uzyskana w ten sposób, że pulsacja omega staje się na wykresie zmienną niezależną i przebiega od 0 do oo. Charakterystyka amplitudowa w elektronice oraz przetwarzaniu sygnałów, to wykres modułu zespolonej transmitancji widmowej układu LTI (np. wzmacniacza albo filtra) w funkcji częstotliwości lub pulsacji. Charakterystyka amplitudowa obrazuje, jak układ zmienia widmo amplitudowe sygnału, który przez niego przechodzi. Inaczej mówiąc, charakterystyka amplitudowa pokazuje jak układ wzmacnia lub tłumi określone składowe widmowe sygnału w zależności od ich częstotliwości. Charakterystyka fazowa w elektronice oraz przetwarzaniu sygnałów, to wykres argumentu zespolonej transmitancji widmowej układu LTI (np. wzmacniacza lub filtru) w funkcji częstotliwości lub pulsacji. Charakterystyka fazowa obrazuje, jak układ zmienia widmo fazowe sygnału, który przez niego przechodzi. Inaczej mówiąc, charakterystyka fazowa pokazuje jak układ zmienia fazę poszczególnych składowych widmowych sygnału w zależności od ich częstotliwości. Logarytmiczne - charakterystyka Bodego - charakterystyka ta obrazuje logarytmiczną zależność amplitudy i fazy od częstotliwości. Składa się z dwóch wykresów: charakterystyki amplitudowej oraz charakterystyki fazowej. 

20. Właściwości liniowego układu dynamicznego drugiego rzędu (na przykładzie układu nadążnego), różne postaci transmitancji, związki pomiędzy parametrami różnych postaci transmitancji, odpowiedź skokowa liniowego układu dynamicznego drugiego rzędu, wpływ wzmocnienia toru głównego na kształt odpowiedzi skokowej. BRAK ODPOWIEDZI.

21. Właściwości układu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym; twierdzenie Nyquista zapas stabilności, interpretacja na wykresach Nyquista i Bode'go zapasu amplitudy i fazy, korygowanie zapasu stabilności. Ujemne sprzężenie zwrotne, szeroko stosowane w układach wzmacniających, wpływa na ogół korzystnie na większość parametrów wzmacniaczy:- poprawia stabilność wzmocnienia (układ jest mniej wrażliwy np. na wahania napięć zasilających i zmianę temperatury); - zmniejszają się szumy i zniekształcenia (tak liniowe, jak i nieliniowe); - zwiększa się górna częstotliwość graniczna (czyli ulega poszerzeniu pasmo); - możliwe jest kształtowanie charakterystyki częstotliwościowej; - możliwa jest modyfikacja impedancji wejściowej i wyjściowej.

Twierdzenie Nyquista: Sygnał ciągły może być ponownie odtworzony z sygnału dyskretnego, jeśli był próbkowany z częstotliwością co najmniej dwa razy większą od granicznej częstotliwości swego widma. Zapas stabilności określa praktyczną przydatność zamkniętego układu automatycznej regulacji. Jest miarą odległości danego punktu pracy urządzenia lub algorytmu od granicy stabilności, określanej przez dowolne z kryterium stabilności układu automatycznej regulacji. Dla zamkniętych układów regulacji zapas stabilności definiuje się na podstawie charakterystyk układu otwartego jako parę liczb, z których pierwsza określa zapas amplitudy, a druga zapas fazy. Wykres:

niebieski - układ stabilny, zielony - na granicy stabilności, czerwony - układ niestabilny.

Korygowanie zapasu stabilności: *szeregowa - właczenie w dowolnym miejscu petli układu regulacji, szeregowo, wybranego członu korekcyjnego, *korekcja polegajaca na utworzeniu dodatkowych petli wokół jednego lub kilku czlonow układu: rownolegla i w sprzężeniu zwrotnym.

22. Asymptotyczna, logarytmiczna charakterystyka amplitudowa (wykres Bodego).

Stosowane skale i jednostki, właściwości skal logarytmicznych, asymptoty prawostronne i lewostronne, oddziaływanie biegunów i zer transmitancji na przebieg logarytmicznej asymptotycznej charakterystyki amplitudowej.

Asymptotyczna, logarytmiczna charakterystyka amplitudowa wyznacza się ją dla układu opisanego transmitancją widmową. Charakterystyka ta obrazuje logarytmiczną zależność amplitudy i fazy od częstotliwości. Składa się z dwóch wykresów: charakterystyki amplitudowej oraz charakterystyki fazowej. SKALA LOGARYTMICZNA

Osie ω i A(ω) skaluje się logarytmicznie, wprowadzając tzw. moduł logarytmiczny Lm(ω)=20 lgA(ω), którego jednostką jest decybel (dB), wzmocnieniu 10-krotnemu odpowiada 20 dB, wzmocnieniu jednostkowemu 0 dB. SKALA LOGARYTMICZNA 2 I LINIOWA

Dla charakterystyki fazowej oś ω skaluje się logarytmicznie, oś ϕ(ω) pozostaje liniowa. Sposób przedstawienia w postaci częstotliwościowych charakterystyk logarytmicznych czyli w postaci wykresów Bodego stosuje się bardzo często (charakterystyki A(ω) i ϕ(ω) w skali liniowej są rzadko stosowane). Skala logarytmiczna - rodzaj skali pomiarowej, w której mierzona wartość wielkości fizycznej jest przekształcana za pomocą logarytmu. Wartości na skali logarytmicznej są zawsze bezwymiarowe, to jest albo podawane w odniesieniu do pewnej jednostki, albo będące logarytmami wielkości niemianowanych. Skala musi również mieć zdefiniowaną używaną podstawę logarytmu. Zgodnie z właściwościami logarytmu, skala logarytmiczna może być używana jedynie do odwzorowania wielkości dodatnich. Najczęściej używa się logarytmów dziesiętnych oraz logarytmów naturalnych tj. o podstawach równych odpowiednio 10 i e. Przy odwzorowaniu wielkości w skali logarytmicznej, używane są często specyficzne jednostki miary, właściwe dla danej dziedziny, np. bele(B) i decybele (dB) w elektronice i przetwarzaniu sygnałów czy nepery w akustyce. ASYMPTOTY: Asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji. Jeśli krzywa dana jest w postaci y=f(x), gdzie f jest funkcją, która nie jest określona w punkcie x=a, to ma ona w tym punkcie asymptotę pionową, jeżeli istnieje granica niewłaściwa: *lim x->a- f(x)=+-oo (asymptota lewostronna); *lim x->a+ f(x)=+-oo (asymptota prawostronna). Charakterystyka amplitudowa w elektronice oraz przetwarzaniu sygnałów, to wykres modułu zespolonej transmitancji widmowej układu LTI (np. wzmacniacza albo filtra) w funkcji częstotliwości lub pulsacji. Charakterystyka amplitudowa obrazuje, jak układ zmienia widmo amplitudowe sygnału, który przez niego przechodzi. Inaczej mówiąc, charakterystyka amplitudowa pokazuje jak układ wzmacnia lub tłumi określone składowe widmowe sygnału w zależności od ich częstotliwości. Oś częstotliwości (pozioma) wykresu charakterystyki amplitudowej może być wyskalowana w hercach lub radianach na sekundę, zarówno w sposób liniowy jak i logarytmiczny. Oś amplitudy (pionowa) jest niemianowana, lecz może być wyskalowana w decybelach. BIEGUNY: Metoda Bodego opiera si na spostrzeżeniu, że:

**każdy biegun pojedynczy zagina charakterystykę amplitudową o 6 dB na oktawę częstotliwościową w prawo i wywołuje skok fazy o - 90deg, **każde zero pojedyncze zagina charakterystykę amplitudową o 6 dB na oktawę częstotliwościową w lewo i wywołuje skok fazy o + 90deg.

23. Zadanie filtracji, rodzaje filtrów. Ich gabaryty, filtr: Butterwortha, Czybyszewa i eliptyczne. Projektowanie filtrów - transmitancji i schematów blokowych.

Filtr Butterwortha - filtr charakteryzujący się maksymalnie płaską charakterystyką amplitudową w paśmie przenoszenia. Częstotliwość graniczną filtru wyznacza spadek sygnału o 3 dB. Nachylenie charakterystyki w paśmie zaporowym wynosi: n*6 dB na oktawę, gdzie n - rząd filtru. Filtr Butterwortha określony jest funkcją transmitancji: Td(f)=1/sqrt(1+(f/fo)^2n, filtr ten działa w dziedzinie częstotliwości.

Filtr Czebyszewa - rodzaj filtru elektrycznego, którego charakterystyczną cechą jest wykorzystanie wielomianów Czebyszewa do aproksymacji charakterystyki częstotliwościowej amplitudowej. Optymalizacja przebiegu charakterystyki częstotliwościowej amplitudowej w filtrach Czebyszewa ma kluczowe znaczenie, przebieg charakterystyki częstotliwościowej fazowej, silnie nieliniowy, ma znaczenie drugorzędne. Wyróżnia się dwa typy filtrów Czebyszewa: *filtr Czebyszewa I typu - ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie przepustowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie zaporowym, *filtr Czebyszewa II typu (inwersyjny) - ma zafalowania przebiegu wzmocnienia w paśmie zaporowym, oraz płaski przebieg charakterystyki w paśmie przepustowym. Optymalna z punktu widzenia charakterystyki amplitudowej filtru jest aproksymacja eliptyczna, to znaczy dla tej aproksymacji filtr spełniający gabaryty ma najniższy możliwy rząd. Charakterystyka tego filtru faluje równomiernie wewnątrz gabarytów. Filtry eliptyczne cechują się jednak dużymi zniekształceniami fazowymi sygnału, tak więc np. w akustyce najchętniej stosuje się filtry Butterwortha posiadające znacznie lepsze właściwości w tej dziedzinie. Charakterystyka amplitudowa filtru Butterwortha opada łagodnie bez jakichkolwiek zafalowań. Filtry Czebyszewa zajmują pozycję pośrednią, filtry Czebyszewa I-go rodzaju mają zafalowaną charakterystykę w paśmie przepustowym i monotoniczną w paśmie zaporowym, odwrotnie jak to jest w przypadku filtrów Czebyszewa II-go rodzaju. Filtry eliptyczne to jedna z kilku grup filtrów (obok filtrów Butterwortha, Bessela, Czebyszewa itd.). Są one stosowane między innymi w zwrotnicach zestawów głośnikowych. Filtry eliptyczne nazywane są też filtrami Cauera (od nazwiska niemieckiego matematyka Wilhelma Cauera). Filtry eliptyczne wyróżniają się na tle innych filtrów kilkoma specyficznymi właściwościami. Ich główną zaletą jest możliwość uzyskania bardzo stromego zbocza przy zastosowaniu umiarkowanej ilości elementów. Nachylenie zbocza w paśmie przejściowym może wynosić kilkadziesiąt, czy nawet ponad 100 decybeli na oktawę (nachylenie najbardziej popularnych typów filtrów stosowanych w zwrotnicach głośnikowych z reguły nie przekracza 24dB na oktawę). Filtry eliptyczne mają jednak zafalowania zarówno w paśmie roboczym jak i w paśmie zaporowym, co odróżnia je od innych filtrów. Inne rodzaje filtrów albo nie mają żadnych zafalowań w paśmie roboczym i zaporowym, albo tylko zafalowania w paśmie roboczym, albo tylko w paśmie zaporowym. Filtry eliptyczne są rzadko spotykane w zwrotnicach zestawów głośnikowych, co dotyczy zarówno konstrukcji pasywnych jak i aktywnych. GABARYTY. Częstotliwość graniczna filtru - wartość graniczna częstotliwości, dla której kończy się umowne pasmo przepustowe filtru. W popularnej interpretacji, jest to częstotliwość, poza którą tłumienie wnoszone przez filtr staje się większe niż 3 dB w stosunku do tłumienia wewnątrz pasma przepustowego, które idealnie powinno wynosić 0 dB. W ścisłej definicji, częstotliwość graniczna pasma przepustowego może być wyznaczona przez punkt o dowolnym tłumieniu, które dla danego filtru wyznaczają gabaryty filtru.

W zależności od typu filtru częstotliwość graniczna może być: dla filtru dolnoprzepustowego częstotliwością górną, dla filtru górnoprzepustowego częstotliwością dolną, dla filtru środkowoprzepustowego oraz dla filtru środkowo zaporowego częstotliwością dolną i górną.

PROJEKTOWANIE FILRÓW ANALOGOWYCH O SKOŃCZONEJ ODPOWIEDZI IMPULSOWEJ (FIR):

Projektowanie filtrów wykonywane jest w kilku krokach, które finalnie umożliwiają wykonanie wykresy przedstawiającego odpowiedź impulsową opracowywanego filtru: *Określenie gabarytów filtru ( Określenie wartości min tłumienia pasma przepustowego (Rp), max tłumienia pasma zaporowego (Rs) - [dB], dolna częstotliwość graniczna pasma zaporowego (fs) i górna pasma zaporowego (fp), *Wyznaczenie wartości pasma przepustowego (Ws) oraz zaporowego (Wp) wg wzoru Ws = [2*pi*fs₁ 2*pi*fs₂], Wp = [2*pi*fp₁ 2*pi*fp₂], *Wyznaczenie rzędu filtru „n” oraz pulsacji unormowanej „Wn” wg. Wzoru: >> [n,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s'); *Wyznaczenie współczynników (A,B) transmitancji przy wykorzystaniu funkcji: >> [B,A]=butter(n,Wn,'bandpass','s'), bandpass - rodzaj środkowoprzepustowy filtra, `s' - zaznaczenie typu filtra - `s'=analogowy. Wynikiem są dwie macierze A i B (ilość elementów zależna od rzędu filtra), *Wyznaczenie transmitancji realizowanej przez filtr za pomocą funkcji transfer function, *Wyznaczenie logarytmicznej charakterystyki częstotliwościowej (wykres bodego) za pomocą komendy >> bode(Hs), *Wygenerowanie zespolonej charakterystyki częstotliwościowej (wykres nyquista): >> nyquist(Hs), *Utworzenie wykresu rozmieszczenia zer i biegunów transmitancji za pomocą funkcji >>pzmap(Hs), *Finałowe utworzenie wykresu odpowiedzi impulsowej filtru przy użyciu komendy >>impulse(Hs), *Określenie struktury realizacji określonej dla filtru transmitancji (Kaskadowej, Równoległej, Kontrolera, Obserwera)

---