0058

59

§ 3. Ciąg monotoniczny

Dowód. Ograniczmy się do przypadku rosnącego (być może w sensie szerszym) ciągu {*„} (przypadek ciągu malejącego rozważamy analogicznie).

Przypuśćmy z początku, że ciąg ten jest ograniczony z góry. Wówczas według twierdzenia z ustępu 11 zbiór wartości tego ciągu ma skończony kres górny:

a = sup {*„} ;

pokażemy, że właśnie ta liczba a jest granicą ciągu {jc_n}.

Przypomnijmy więc własności charakterystyczne kresu górnego [11]. Po pierwsze dla wszystkich wskaźników n jest

Po drugie, dla dowolnej liczby e>0 istnieje taki wskaźnik N, że

_N>a-e.

Ponieważ ze względu na monotoniczność ciągu (tu po raz pierwszy korzystamy z tego założenia) przy n>N jest x„>x_N, tj. tym bardziej x„>a—s, więc dla tych wskaźników n spełniona jest nierówność

0 K.a—x_n<£, czyli    |x„ —aj<e,

skąd już wynika, że limx„=a.

Niech teraz ciąg {x„} nie będzie ograniczony z góry. Wówczas, dla dowolnie dużej liczby E>0 istnieje choćby jeden wskaźnik N, przy którym jest x_N > E, tj. istnieje choć jeden wyraz ciągu większy niż E. Ze względu na monotoniczność ciągu {x„} przy n>N mamy tym bardziej

x„>E,

co oznacza, że lim x_n = -l-oo.

Łatwo zauważyć, że wszystkie omawiane tezy pozostają w mocy, jeżeli ciąg staje się monotoniczny począwszy od pewnego miejsca (bo — bez wpływu na granicę ciągu — - można pominąć dowolną skończoną ilość wyrazów ciągu).

Przejdźmy do przykładów zastosowania twierdzenia.

35. Przykłady. 1) Rozważmy ciąg (przy o 0)

n

C

n !

gdzie /?! = 1 • 2 - 3 -... -Ponieważ

n. (Ciąg ten przy Ol przedstawia symbol nieoznaczony postaci oo/oo).

c

Xn+ 1    ' ~~T ⁵

n +1

więc skoro tylko n>c — 1, to ciąg ten jest malejący; jednocześnie jest on ograniczony z dołu, np. przez 0. Wynika stąd na podstawie twierdzenia, że ciąg {*„} ma granicę skończoną, którą oznaczamy przez a.