4

-    met. siecznych z przyspieszeniem- wyznacza się wartość fcji w pkcie x, i prostąprowadzi się między pktem

obecnym a pktem poprzednim (x,-_i). W efekcie otrzymuje się pkt x₁₊₁. Na początku obliczamy wart. fcji w dwóch ' dowolnych pktach, a następnie wyliczamy kolejne przybliżenia wg równ.: x_i+i= x_r ....    . W odróżnieniu

od klasycznej met.siecznych pierwiastek nie musi leżeć między dwoma poprzednimi pktami Wodv: nie musi być zbieżna. Natomiast jeżeli jest zbieżna, to jest zbieżna szybciej niż klasyczna met.)

-    meŁstycznych (Newtona)- Załużmy, że wart Xi oznacza oszacowane przybliżenie w^rart.pierwiastka równania F(x)=0. Możemy wtedy napisać równanie stycznej w tym pkcie do krzywej y=F(x). To równ. Ma postać: y=F(X])+F⁵(X]Xx-x₁). Znajdujemy pkt x₂, który jest miejscem zerowym f-cji liniowej y. Można go wyliczyć w' równ: x₂=x_rF(xi)/F⁵(xi). Następnie znajdujemy wart. F(x₂) i F⁵(x₂) i cały proces powtarzamy aż do osiągnięcia zadanej dokładności. Met. ta znacznie szybciej niż poprzednia prowadzi do wyznaczenia pierwiastka. W każdym kroku otrzymuje się dokładność wyrażoną przez 2 razy więcej cyfr binarnych niż w poprzednim kroku.

Wadv: (I)wymaga zgrubnego oszacowania pierwszego przybliżenia wartości pierwiastka, co nie zawsze musi być łatwe; (2)konieczna jest znajomość nie tylko fcji, ale również jej pochodnej; (3)met.ta zawodzi w przypadku pierwiastków wielokrotnych, gdyż w tym pkcie nie tylko w^rart.fcji ale również wart.pochodnejjest=0. By znaleźć rozw. Wykorzystuje się fakt, że fcja dziewicza dąży do rozw. Szybciej niż jej pochodna i stosujemy algorytm, któjy mówi ze: xh-i= Xi-m* , m- krotność pierw. Inny sposób: u(x)=f(x)/f (x).

X

Algorytm Newtona Raphsona- przy każdej iteracji wylicza się nową mac.sztywności, w met.zmodyfikowanej N-R korzysta się z mac.sztywności ustalonej w 1 iteracji.

Met.przyrostowa- przedz.poszukiwania dzieli się na podprzedz.W praktyce najczęściej stosowana jest met.mieszana, w której na każdym przyroście wykonuje się iteracje przy pomocy algorytmu N-R lub zmodyf.N-R.

Interpolacja polega na znalezieniu takiego przepisu y=f(x), aby funkcja ta przechodziła przez wszystkie punkty (x;, yO i aby można było obliczyć wszystkie wartości funkcji dla x_imi_D<x<Xj_max

Ekstrapolacja - proces, w którym szukamy funkcji, która przechodzi przez wszystkie punkty (Xj, y,) dla wartości funkcji poza przedziałem.

\J Def. Aproksymacja jest to poszukiwanie jednej f-cji, która w przedziale (xi, Xn) najlepiej przybliża wartości f-cji od y | do y_n. Fcja nie musi przechodzić przez wszystkie pkty (x^ y»).

V Sposoby interpolacji:

- interpolacja liniowa-poszukujemy interpolacji liniowej, która przechodzi przez p-kty (xj,yj); y=f(x_ł-.i)+

^^eże^ odl.między wszystkimi pktami jest stała: x- x_i_₁=dx=const, to wtedy: y=f(x_i.₁)+

^Xmin‘^r(I“2)dx).

- interpolacja kwadratowa- Chcąc wyznaczyć wartość f-cji w^f dowolnym p-cie x wybieramy 3 najbliższe temu p-ktowi wartości Xj.i,Xi,Xffi, a następnie tak dobieramy wielomian II stopnia aby otrzymana f-cja przechodziła przez punkty yj_i_? y^yj+j. Jeżeli pkty sąróno oddalone od siebie to otrzymujemy: y(x)=(CT+B)T-f(Xi), B=(f(xH!)-f(x_i.i))/2dx, C=(f(x_i+J)-2f(Xi)+f(xH-i))/2dxdx, T=x-x_min-(i-l)dx ć Metoda kolokacji

Poszukujemy f-cji y=f_(x)zadanej w nast. sposób. y-a₁fi(_X)+a₂f2(_X)⁺..-⁺a_nf_lł(_X)

gdzie f-cje: fi,f₂,...,f_n - są z góry założone tak, aby dobrze oddawały charakter opisywanej f-cji.

Jeżeli założymy, ze f-cje fj są postaci: f(x)=x^,‘¹i=l,2,....,n to mamy do czynienia z interpolacją wielomianową. Kryteria aproksymacji:

1. Minimum sumy różnic: H^minTAy c /    2. Minimalna suma wartości bezwzględnej fcji H=min]r | Ay |

3.    Minimalizowanie maksymalnej różnicy H=min(max Ay,)

4.    Minimum sumy kwaaratów(metoda najmniejszych kwadratów) H=minYAyj² Analiza statysty czna bledu:

1.    standardowy Wad przybliżenia S_y/_x=sqrt((Sr/(n-2))

2.    Błąd standardowy różnicy S_v= _

\    s n — 1

3.    Współczynnik korelacji r²=(S_t-S_r)/S_;

Dwa kryteria oceny:

1.    Aby wynik aproksymacji można uznać za wiarygodny S_y/_x<S_y

2.    Aby ocenić jakość aproksymacji patrzymy na r. Im bliżej jedności tym lepiej. Jeśli r=l to f-cja przechodzi przez wszystkie pkty'.

Standaryzacja całki- zmiana przedziału całkowania