7

13.IX.2007

Grupa: ... I.r. WMS IMIĘ I NAZWISKO: ...

1. Znaleźć odległość punktu A — (3,1,1) od rzutu prostopadłego prostej l: (x,y.z) = (4,—4, 3) +t(5,8, — 1) na płaszczyznę 11:2-2y + z = 3.

- 2. Dane jest odwzorowanie / : R³ 5 (x,y,z) >—* (kx + y + z, x + ky + z,x + y + kz) S K³. W zależności od parametru k znaleźć ker/, im/ oraz ich bazy i wymiary.

3.    Przeprowadzić ortonormalizację Gramma-Schmidta bazy

(x + l.x² + l.x² — 2) w przestrzeni K[as]2 z iloczynem skalarnym (p\q) = p(0)q(0) + p'{0)q' (0) + p"(0)<j"(0).

4.    Obradami wielomianów wi(x) = x² + l, W2(x) = x + l, (m) = x² + x poprzez /: K₂[x] —> M₂N są /(wi)(a:) = x² + 3x + 2, f(u>2)(x) = 2a:² + 2x, f(v>3)(o:) = 2x² + 2x + 2. Znaleźć macierz odwzorowania f~^l w bazie B — {u>i,u>2,u>3}.

5.    Dana jest macierz

1-20-2 0 0 0 -1 10 10 0 10 2

odwzorowania /: R⁴ —» R⁴ w bazie kanonicznej. Znaleźć bazę, w której macierz odwzorowania / ma postać Jordana. Podać tę postać Jordana.

	&
J O	•) 1

2T j 2' o 1

\ '1 Ł 'l i