CCF20091117021

73

FUNKCJE CIĄGŁE

Przyjrzyj się wykresom funkcji, które przedstawiono na poniższych rysunkach. W wypadku pierwszej z tych funkcji granica w punkcie 2 jest równa wartości funkcji w tymi punkcie. Na drugim rysunku przedstawiono wykres funkcji, której wartość w punkcie 2 jest różna od granicy funkcji w tym punkcie. Funkcja, której wykres przedstawiono na trzecim rysunku, jest określona dla x = 2, ale nie ma granicy w tym punkcie.

Mówimy, że pierwsza z powyższych funkcji jest funkcją ciągłą w punkcie 2, a dwie pozostałe funkcje nie są ciągłe w tymi punkcie (punkt 2 jest punktem nieciągłości funkcji g i h).

Funkcję f nazywamy funkcją ciągłą w punkcie x₀ należącym do jej dziedziny', gdy funkcja f ma w tym punkcie granicę i granica ta jest równa wartości funkcji w tym punkcie (czyli gdy lim f(x) = f(xo)).

X-XQ

Uwaga. Wiemy już, że o granicy funkcji w punkcie xo możemy mówić naw'et wtedy, gdy funkcja w' punkcie x₀ nie jest określona (wystarczy, że jest określona w pewnym jego sąsiedztwie). Natomiast o ciągłości funkcji w' danym punkcie możemy mówić tylko wtedy, gdy funkcja jest określona w tym punkcie i w pewnym jego sąsiedztwie.

Gdy funkcja jest ciągła w każdym punkcie pewnego przedziału otwartego, to mówimy, że jest funkcją ciągłą w tym przedziale.

O funkcji f przedstawionej na pierwszym z powyższych rysunków możemy więc powiedzieć, że jest funkcją ciągłą w każdym punkcie swojej dziedziny. Zarówno o funkcji g, jak i o funkcji h możemy powiedzieć, że jest ciągła w przedziale (-00; 2) oraz w przedziale (2;+oo).

Ćwiczenie B. Narysuj wykresy podanych funkcji f, g i h. Która z tych funkcji jest ciągła przedziale (-2; 2)?

	-2x	dla x < -1		2x	dla x < -1		X +1	dla x < -1
f(x) = ■	2	dla x = -1	g(x) = -	-1	dla x = -1	h(x) = -	1	dla x = -1
	. x + 3	dla x > -1		. -x-3	dla x > -1		. 2x	dla x > -1