Egz

1.

2.

Sprawdzić, jaką strukturę algebraiczną tworzy trójka: (X, +, • ), gdzie X= |x € 9? : X — a + b-JS, a,b € (j)j Przedyskutować istnienie rozwiązań w zależności od parametru ae9t i rozwiązać układ równań dla 3x - y + az - 2,

parametru a=l: < x + 2y — z — a, ax-5y + 3z = 0.

3.

Dany jest czworościan o wierzchołkach: A(l,-l,-2), B(5,3,0), C(-2,-3,4), D(2,l,0).

a)    Wyznaczyć równanie płaszczyzny, na której leży ściana ABC.

b)    Obliczyć długość wysokości czworościanu wychodzącej z wierzchołka D.

c)    Wyznaczyć równanie prostej, na której leży dwusieczna ściany bocznej ABD wychodząca z wierzchołka A.

2    x y 2

4. Dana jest krzywa T: x=t, y=t , z=t, tetR i prosta L: y = — = — . Wyznaczyć:

a)    równanie powierzchni powstałej z obrotu krzywej T dookoła prostej L;

b)    równanie walca o kierującej T i tworzących równoległych do prostej L.

1.

2.

(1-V3 i

,400

Wyznaczyć postać algebraiczną liczby:

(1 + 0 (-1-/),

Określić liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru pe91: x + py-z = \,

< 2x - y + pz - 0, (nie rozwiązywać układu!) x + 10jp -6- - p.

3.

4.

	'1 2 3'		'7 1
Wyznaczyć macierz X spełniającą równanie:	0 1 2 0 2 1	•X =	4 4 2 5

Dany jest czworościan o wierzchołkach: A( 1,1,0). B(0,3,2), C(-l,l,l), D(2,0,0). Obliczyć:

a)    długość wysokości czworościanu wychodzącej z wierzchołka D;

b)    równanie płaszczyzny, na której leżą punkty A, B, C.

1. Zbadać zbieżność szeregów: a)

(h!)²S"

(2nj>

n + yn

2n~ yn +4^ + 3

tgx

2. Obliczyć f oraz lim/(x) Jeżeli f(x) = (lnctgx)

3. Wyznaczyć asymptoty, ekstrema oraz punkty przegięcia funkcji f, jeżeli /(x) = (x + 2)e^x .

4. Obliczyć całki: a)

* i

dx

(x + l)²V^/"

x‘ +4x + 5

; b) f-

(-1)

dx

x + 3x + 2