img015

15

ii* d(5,g) - o *-*• li* d. (3_#g) - o

■ —»<w    • —*■ oo ¹

Można sprawdzić, te aetrykl przaatrzanl E_n 1 E° s« równoważne.

Z definicji granicy ciągu wynika

Twierdzenie 1,2# Oośli ci#g {?}„£ HCZ Jeat stały, tzn. 3 • g dla sg » i,2,.*«_t to jest on zbieżny w wancie dowolnej eatryki wprowadzonej w zbiorze Z i Jego granic* Jeat punkt g.

Definicja 1*4. Niech    będzie cięgien elementów zbioru Z

i niech N_QcN będzie dowolnyw podzbiorom zbioru liczb naturalnych, który nie Jeat ograniczony od góry, tzn.

A V •^>n •

n e N a c N₀

Cięgiaw częściowy*, lub wybrąnya albo podclęglew cięgu x,x,,.. nażyły elęg l*J_i>cM • o

Twierdzenie 1.3. Niach (Z,d) będzie przaetrzenię wetrycznę 1 niech geZ, x c Z (ani,2, ..    , Cięg i,?,... Jeat zbieżny do g w sensie

metryki d wtedy i tylko wtedy, gdy każdy Jago podelęg zawiera cięg częściowy zbieżny do g w sensie metryki d*

Powód. Niech r_m » d(3,g) dla a « 1,2_M„ 1 niech N_Q będzie dowolnym podzbiorem zbioru liczb naturalnych który nie Jeat ograniczony od góry. Wówczas warunek Ile (r !■ O implikuje, te cięg f n t    ■    J

{^rnl neN * i^d(^x*9)j_ncN    również zbieżny do zera co oznacza*

^{1 J} o f₀)    o

żs podeięg    Jest zbieżny do elementu g w sensie metryki d.

⁰ a

Zatem z warunku 11* fi m g (w sensie eatryki d) wynika, źs każdy pod-cięg I*l_neN Jeat również zbieżny do g w sensie metryki d. *

O    12

Załóżmy teraz, żs każdy podelęg eięgu x,x,..« zawiera cięg częściowy zbieżny do g w sensie aetrykl d. Oznacza to, że kafidy podeięg clęgu liczbowego    _{£ N} zawiera cięg częściowy zbieżny do zera.

Przypuśćmy, te cięg    nim Jaet zbieżny dd zera, czyli

V A V ^rk(.)>^co

6 > 0 a c N k(a) € N, k(a)>m

Zbiór {k(r)]_w€M Jaat więc podzbioraa zbioru liczb naturalnych, który nie Jest ograniczony od góry. Zatem cięg    mcH

częściowym clęgu    _{B €H} 1 zgodnie z założeniem zawiera on podelęg

{^rk(m)} kii (VN i N₀ nia Jest ograniczony od góry), który Jest zbieżny do zera, al« ^rk(m) > ^eo ^d*^B * • i,2,***, co daje sprzeczność.