img024

ograniczona). Przekształcenie logitowe dobrze linearyzuje krzywe sigmoidalnc, nie zapewniając jednak stabilizacji wariancji.

2.4.3 Przekształcenie probitowe

Przekształcenie to. jakkolwiek z trzech tutaj omawianych najbardziej skomplikowane, jeżeli chodzi o wyartykułowanie i sprawiające trudności obliczeniowe (wymaga dysponowania tablicami statystycznymi), jest najczęściej używane, co prawdopodobnie ma swoje podłoże w głęboko zakorzenionej wśród przedstawicieli nauk medycznych i biologicznych tradycji.

Niech dla dowolnej frakcji p liczba >•* będzie taką wartością, że na lewo od y' znajduje się p-ta część powierzchni zawartej pod krzywą standaryzowanego rozkładu normalnego. Innymi słowy y* można określić z zależności

P = F(y')    (2.16)

gdzie F( ) jest dystrybuantą standaryzowanego rozkładu normalnego (rozkładu normalnego o wartości średniej równej zeru i odchyleniu standardowym równym jeden).

Probit y frakcji p jest definiowany jako:

>- = 5 + /    (2.17)

Dodanie wartości 5 do y' w powyższej definicji wynika z tradycji i nie ma jakiegoś merytorycznego uzasadnienia.

Przekształcenie probitowe ma własności bardzo podobne do przekształcenia logitowego. Również przyjmuje wartości nieskończone dla p = 0 i p = 1, dobrze linearyzuje regresję sigmoidalną i nie stabilizuje wariancji. Niekiedy, aby uniknąć trudności z nieskończonymi

wartościami y dla p = 0 i p = 1 przyjmuje się poprawkę w definicji p = - określając:

n

dla t• - 0 (czyli p = 0) p' = ^ i dla /• = n (czylip = 1) p' = ■■    * i później w granicznych

przypadkach używa się wartości p’ przy obliczaniu probitów.

Przykład 2.3 (ciąg dalszy)

Kontynuujmy przykład poświęcony wyznaczaniu pięćdziesięcioprocentowej dawki śmiertelnej pewnej trucizny. Dane w postaci frakcji przeżycia dla różnych logarytmów stężeń trucizny przekształcamy obliczając ich probity i zaznaczając to na wykresie (por. rys. 2.4). Następnie wykorzystując odpowiednie metody analizy regresji (opisane dalej w rozdziale 8) dopasowujemy do uzyskanych punktów w najlepszy możliwie sposób prostą regresji, będącą obrazem zależności probitu frakcji przeżycia od logarytmu

24