img038

38

W przestrzeni Eⁿ określany również iloczyn skalarny (x,y) dwóch wektorów x - {x_Ł____,x_n5, y « {y_±.....y„) , który z definicji jest rów

ny liczbie

(**y) ■ ]Li ^xiYi

1-1

w związku z powyższym, długość wektora xeRⁿ możemy zapisać następująco:

I x i

(x,x)

natomiast odległość między wektorami x i y można przedstawić wzorem

n    j    1

d_k(x,y) « j* Tj(*i-Yi)²j " (*-y,x-y)    * I x-y »

W dalszym ciągu przyjmujemy, że Jeśli dwa wektory x,yc(?ⁿ są takie, że    y_x (1-1, . • . ,n), to będziemy pisać x^y. Podobnie, Jeśli x_i >y_t

dla i-l,...,n, to będziemy pleać x>y.

Twierdzenie 3,4, Ne to, aby cięg punktów

T -
l - di...

zbioru Rⁿ był zbieżny do elementu g « (9......g.)t Rⁿ « sensie ce-

n    *    ** w

tryki przestrzeni E , potrzeba i wystarcza, aby lim ■* g. dla

k»l,.,._fn (w sensie metryki przestrzeni E )•

, 1 2

Twierdzenie 3-4 mówi więc, że zbieżność ciągu x,x,.„* w przestrzeni Eⁿ Jeet to zbieżność współrzędnych 5_k,x_k,#*. (k *    w prze-

strzerTi E¹.

Dowód. Niech ^^*,5 « g. Wówczas dla dowolnego r > O w kuli K(g,r) leżę wszystkie wyrazy.ciągu x,x,.*. poza co najwyżej skończoną ilością (zobacz str.a.3), tzn.

1

d_k(5,g)    (Si - g^²    ^ r

[£* - «!>*]>[<■■, * «k>*f * W - *-_k

n

dla a > p

Ale

dla k • l.