img095

95

Podobnie definiujemy trzeci? różniczkę:

95

d³f(a)

d(d*f)(a)

■ tę ć

■ E E E    (•)<»x₁a*_JdK_k

i-1 j-1 k-1    ^{1 J}

oraz różniczki wyższych rzędów.

Wcześniej, na stronie 71,. pokazaliśmy, że wartość różniczki zupełnej pierwszego rzędu nie zmienia się przy zamianie zmiennych niezależnych x^,...«x_n na funkcje zależne od innych zmiennych niezależnych. Własność ta jest charakterystyczna tylko dla różniczek pierwszego rzędu. Dla różniczek wyższych rzędów, zastąpienie zmiennych niezależnych przez funkcje innych zmiennych powoduje na ogół zmianę wartości tej różniczki*

Rzeczywiście, niech x^ « f^(t^,...,t_m)    x_n • f_n(¹•*•*¹n) oraz

a ■ (fb),...,f_n(b))• Wówczas przy odpowiednich założeniach o regularności funkcji    otrzymujemy

d‘f(b) d

t (E i*7 ^dxi)^(b) ’ E [^dt 1^-^(b)] ^dxi

\i-l ⁴    /    i-1    ^1    J

E ^{(a) d}t( E

i«i ¹    \j-i ³    /

E E ^(8)dxi^dx. *

i-1 s-l ^{1    8}

d*f(a) ♦ R

E % ^(a{E E 3^ ^(b)dt₃^d'k) -

i*l ¹ \j-l k-l J ^k    1

f_i(t₁,...,t_m) - a₁₁t₁+...

k— 1,i — 1, ...,n, że w innych przypadkach ma-

Z powyższych rachunków wynika, że jeśli

•••♦⁸n,i^tra + k>_i gdzie a_kl i bj^ eę stałymi dla

2    o

to d_tf(b) - d_xf(a). Nietrudno też zauważyć, djf(b) + d*f(a).